10 6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§6　简单几何体的再认识　 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 知识层面 1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的侧面积的求法．　2.了解柱体、锥体、台体的侧面积计算公式，能运用柱体、锥体、台体的侧面积公式进行计算和解决有关实际问题．　3.通过认识侧面展开培养空间想象能力和思维能力． 素养层面 通过对柱、锥、台的侧面展开，提升学生直观想象素养；通过利用柱、锥、台的侧面积计算公式，培养学生数学运算素养． 知识点一　圆柱、圆锥、圆台 问题1.把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着他们的一条母线剪开后展开在一个平面上，它们的侧面展开图分别是什么图形？ 提示： 分别为矩形、扇形、扇环． 问题2.如何根据圆柱、圆锥的展开图，求圆柱、圆锥的侧面积呢？ 提示：圆柱的侧面展开图是矩形(如图所示)，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高(母线).设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S圆柱侧＝2πrl. 同理，圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆周长．设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S圆锥侧＝×2πrl＝πrl. 1．侧面积 把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一个平面上，展开图的面积就是它们的侧面积． 2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 几何体 侧面展开图 侧面积公式 圆柱 S圆柱侧＝c·l＝2πrl r—底面半径 l—圆柱母线长 c—底面圆周长 圆锥 S圆锥侧＝c·l＝πrl r—底面半径 l—圆锥母线长 c—底面圆周长 圆台 S圆台侧＝(c1＋c2)l＝π(r1＋r2)l r1，r2—上、下底面半径 c1，c2—上、下底面圆周长 l—圆台母线长 [微思考]　将圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式进行类比，能发现它们的联系和区别吗？ 提示：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系(如图)，其中r为上底面半径，R为下底面半径，l为侧面母线长． 例1　(链教材P251例2)如图所示，在Rt△AOB中，∠OAB＝，斜边AB＝4，D是AB的中点，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且∠BOC＝90°. (1)求圆锥的表面积； (2)若某动点在圆锥侧面上运动，试求该动点从点C出发运动到点D所经过的最短距离． 解：(1)由∠OAB＝，AB＝4，则OB＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×22＋π×2×4＝12π. (2)设圆锥展开扇形的圆心角为α，2π×2＝α×4，故α＝π，如图所示： 可得∠CAB＝，所以CD2＝42＋22－2×2×4×cos ＝20－8，故CD＝2. 所以动点从点C出发运动到点D所经过的最短距离为2. 学生用书第180页 1.旋转体侧面积的计算一般通过轴截面寻找其中的数量关系． 2．解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下底面圆的周长是展开图的弧长．　　 对点练1.(1)已知圆台的上下底面半径分别为1和2，高为2，则该圆台的侧面积为(　　) A．π B．2π C．3π D．4π (2)如图所示，某圆柱体的高为1，ABCD是该圆柱体的轴截面．已知从点B出发沿着圆柱体的侧面到点D的路径中，最短路径的长度为5，则该圆柱体的侧面积是(　　) A．14 B． C．7 D． 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)圆台的上下底面半径分别为1和2，高为2，则圆台的母线长l＝＝，所以该圆台的侧面积S＝π(1＋2)l＝3π.故选C. (2)设圆柱体底面圆的半径为r，如图所示，将侧面的一半展开后得四边形ABCD为矩形，则依题意得(πr)2＋12＝(5)2，所以(πr)2＝49，即r＝，所以该圆柱体的侧面积为S＝2πr×CD＝2π×＝14.故选A. 对点练2.如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A. 求：(1)绳子的最短长度的平方f(x)的解析式； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f(x)的最大值． 解：将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长， 所以L＝2πr＝2π. 所以∠ASM＝×360°＝×360°＝90°. (1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝(0≤x≤4). 所以f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4). (2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，在△SAM中， 因为S△SAM＝SA·SM＝AM·SR， 所以SR＝＝(0≤x≤4)， 即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4). (3)因为f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数， 所以f(x)的最大值为f(4)＝32. 知识点二　直棱柱、正棱锥、正棱台 问题3.类比圆柱、圆锥、圆台的展开图和侧面积的求法，直棱柱、正棱锥、正棱台的展开图是怎么样的？如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积？ 提示：展开图如图所示．首先需求出各个展开图中的每部分平面图形的面积，然后求和即可． 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c —底面周长 h —高 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′ c —底面周长 h′—斜高 正棱台 S正棱台侧＝(c1＋c2)h′ c1，c2—上、下底面周长 h′—斜高 [微思考]　将直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式进行类比，能发现它们的联系和区别吗？ 提示： 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系： S直棱柱侧＝chS正棱台侧＝(c＋c′)h′S正棱锥侧＝ch′(c′为正棱台上底面周长). 例2　(链教材P252例3)已知正三棱台上底面边长为1，下底面边长为2，高为1.求该三棱台的表面积． 解：如图所示，正三棱台ABC-A1B1C1，O1，O分别为上、下底面的中心， 连接C1O1并延长交A1B1于D1，连接CO并延长交AB于D，连接D1D. 因为等边三角形A1B1C1的边长为1， 所以O1D1＝C1D1＝×1×＝. 因为等边三角形ABC的边长为2， 所以OD＝CD＝×2×＝. 因为O1O＝1，所以D1D＝＝， 所以该三棱台表面积为3××(1＋2)×＋×1×1×＋×2×2×＝. 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和． 2．求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量 底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用． (1)高，侧棱，上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形． (2)高，斜高，上、下底面边心距所成的直角梯形．　　 学生用书第181页 对点练3.(1)如图所示，ABCD -A1B1C1D1是棱长都为2的直平行六面体，且∠DAB＝60°，则这个直平行六面体的表面积为(　　) A．16 B．4＋2 C．16＋2 D．16＋4 (2)(新情境)攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑．如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为(　　) A． B． C． D． 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)由题意可知：底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，AB＝2，所以BD＝2，AC＝2，所以底面ABCD的面积为：×BD×AC＝×2×2＝2，又因为每个侧面的面积都是2×2＝4，所以这个直平行六面体的表面积为4×4＋2×2＝16＋4.故选D. (2)设底面棱长为2a(a>0)，因为正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°，所以侧面为等边三角形，则该正四棱锥的底面积与侧面积的比为＝.故选B. 组合体侧(表)面积 例3　(新角度)陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县新石器时代遗址中发现的．如图所示是一个陀螺立体结构图，已知底面圆的直径AB＝8 cm，圆柱体部分的高BC＝5 cm，圆锥体部分的高CD＝3 cm，则这个陀螺的表面积(单位：cm2)是(　　) A．60π B．76π C．92π D．96π 答案：B 解析：由题意可得圆锥体的母线长为l＝＝5，所以圆锥体的侧面积为＝20π，圆柱体的侧面积为8π×5＝40π，圆柱的底面面积为π×42＝16π，所以此陀螺的表面积为40π＋20π＋16π＝76π(cm2).故选B. 组合体表面积的求解策略 1．首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减． 2．在求组合体的表面积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”的定义，以确保不重复、不遗漏．　　 对点练4.某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体ABCD -A′B′C′D′挖去一个四棱锥O -EFGH后所得的几何体，其中O为长方体ABCD -A′B′C′D′的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝4，AA′＝2，那么该模型的表面积为(　　) A．56＋4 B．64＋8 C．56＋8 D．64＋16 答案：A 解析：由题意可得，OE＝OF＝OG＝OH＝＝，HG＝FG＝EF＝EH＝＝2，故S△OHG＝S△OFG＝S△OEF＝S△OEH＝×2×＝，故该模型的表面积为S＝4×4×2＋4×4＋4××2×2＋4＝56＋4.故选A. 知识 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积．2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积 方法 公式法、转化与化归 易错误区 对于组合体的表面积易重复计算拼接面 1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　) A.π B．2π C．3π D．4π 答案：B 解析：所求几何体是底面圆半径为1的圆柱，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选B. 2．已知正四棱台的上、下底面的边长分别是2、4，高为2，如图所示，则该四棱台的表面积为(　　) A.12 B．12 C.20＋12 D．20＋12 答案：C 解析：根据题意可知，该四棱台的侧面都是上底边长为2，下底边长为4的等腰梯形，所以侧面的斜高为h′＝＝，则××＝3，上、下底面面积分别为2×2＝4，4×4＝16，所以该四棱台的表面积为4＋16＋3×4＝20＋12.故选C. 3．(多选)圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的(　　) A.母线长是20 B．表面积是1 100π C.高是10 D．轴截面为等腰梯形 答案：ABD 解析：圆台的轴截面是等腰梯形，故D正确；设圆台母线长为l，又圆台侧面展开图圆心角是π，所以l＝＝20，故A正确；表面积为S＝π×102＋π×202＋π(10＋20)×20＝1 100π，故B正确；高h＝＝10，故C错误．故选ABD. 4．如图所示，△ABC的三条边长分别为AB＝4，AC＝3，BC＝5，现将此三角形以BC边所在直线为轴旋转一周，则所得几何体的表面积为________． 答案：π 解析：因为32＋42＝52，所以∠A＝90°，A点到BC的距离d＝＝，得到的几何体为两个圆锥，该圆锥底面周长为l＝2π·d＝，所以表面积为S＝l·AB＋l·AC＝π. 学科网（北京）股份有限公司 $$