4 2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用 知识层面 1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式，了解它们的内在联系．　2.掌握两角和与差的正弦、正切公式，并能灵活运用公式进行简单的恒等变换． 素养层面 通过对两角和与差的正弦、正切公式的推导，培养学生逻辑推理素养；通过应用两角和与差的正弦、正切公式进行求值、化简和证明，培养学生数学运算、逻辑推理素养． 知识点一　两角和与差的正弦公式 问题1.你能用类比的方法，借助诱导公式，根据两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式吗？ 提示：sin (α＋β)＝cos ＝cos [(－α)－β]＝cos cos β＋sin sin β＝sin αcos β＋cos αsin β，用－β代替β可以得到：sin (α－β)＝sin [α＋(－β)]＝sin αcos (－β)＋cos αsin (－β)＝sin αcos β－cos αsin β. 两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的 正弦公式 Sα＋β sin (α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β α，β∈R 两角差的 正弦公式 Sα－β sin (α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β α，β∈R [微提醒]　(1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”． ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“＋”，两角差时用“－”． 例1　(链教材P155例3)已知cos ＝，x∈. (1)求sin x的值； (2)(一题多解)求sin 的值． 解：(1)因为cos ＝， 所以sin 2＝1－cos 2＝， 又因为x∈，所以x－∈， 所以sin >0， 所以sin ＝＝， 所以sin x＝sin ＝sin cos ＋cos sin ＝×＋×＝. (2)由(1)知，sin x＝，x∈，所以cos x＝－＝－， 法一：sin ＝sin x cos ＋cos x sin ＝(－)×＝. 法二：sin ＝cos (－x)＝cos (x－)＝. 解决给角求值问题的策略 1．对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． 2．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要注意逆用或变形应用公式．　　 对点练1.(1)sin 75°－sin 15°的值为(　　) A． B． C． D．－ (2)若<α<π，sin ＝，则sin α＝(　　) A． B． C． D． 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)sin 75°－sin 15°＝sin (45°＋30°)－sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°－(sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°)＝2cos 45°sin 30°＝2××＝.故选B． (2)因为<α<π，所以<α＋<，因为sin (＋α)＝，所以cos ＝－＝－＝－，所以sin α＝sin (α＋－)＝sin cos －cos sin ＝×－×＝.故选D． 学生用书第114页 知识点二　两角和与差的正切公式 问题2.你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？ 提示：tan (α＋β)＝＝(α＋β≠＋kπ，k∈Z).分子、分母同时除以cos αcos β(当cos αcos β≠0时)，得到两角和的正切公式tan (α＋β)＝，用－β来代替tan (α＋β)中的β即可得到tan (α－β). 两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 条件 两角和的 正切公式 Tα＋β tan (α＋β) ＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的 正切公式 Tα－β tan (α－β) ＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) [微提醒]　(1)只有当α，β，α－β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，上述公式才能成立．(2)公式的符号变化简记为：“分子同，分母反”． 例2　(链教材P156例4)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A，B(－，)两点． (1)求sin (α＋β)和tan (α－β)； (2)若α∈，β∈，求2α－β的值． 解：(1)由A，B， 得sin α＝，cos α＝，sin β＝，cos β＝－， 所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝×＋× ＝－＋＝－. 因为tan α＝2，tan β＝－， 所以tan (α－β)＝＝＝3. (2)因为α∈，β∈， 所以－π＜α－β＜0， 又因为tan (α－β)＝3，所以α－β∈， 所以2α－β∈(－π，0). 因为tan (2α－β)＝tan [(α－β)＋α]＝＝＝－1， 所以2α－β＝－. 1．关于求值问题：利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解． 2．关于求角问题：先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．　　 对点练2.(1)如图所示，α，β是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则α＋β＝(　　) A． B． C． D． (2)若tan ＝3，tan ＝－3，则tan (β－)的值为________． 答案：(1)B　(2)－ 解析：(1)由题意及图得，tan α＝，tan β＝，所以tan (α＋β)＝＝＝1.因为α∈，β∈，所以α＋β＝.故选B． (2)因为tan ＝3，tan ＝－3， 所以tan ＝tan ＝＝＝－. 一　两角和与差的正切公式的变形 例3　化简求值： (1)； (2))； (3)； (4)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°. 解：(1)原式＝tan (74°＋76°)＝tan 150°＝－. (2)＝＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝. (3)原式＝＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝1. (4)因为tan 60°＝＝， 所以tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°tan 37°， 所以tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°＝. 学生用书第115页 1.熟记变形公式 tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β). tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan αtan β). tan α－tan β－tan αtan βtan (α－β)＝tan (α－β). tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝tan (α＋β). tan αtan β＝1－. tan αtan β＝－1. 2．“1”的代换 在Tα±β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 来代换，以达到化简求值的目的，如＝tan . 3．整体意识 若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan (α±β)的变形公式．　　 对点练3.(1)(2024·江苏三校高一联考)计算tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°的结果为(　　) A．－ B． C．－ D． (2)(2024·河南安阳高一测试)若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)等于(　　) A． B．2 C．1＋ D．不确定 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)因为tan 60°＝tan(25°＋35°)＝＝，所以tan 25°＋tan 35°＝(1－tan 25°tan 35°)，所以tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°tan 35°＝.故选B． (2)因为α＋β＝，所以tan (α＋β)＝＝－1，所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1，所以(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1－(tan αtan β－1)＋tan αtan β＝2.故选B． 二　两角和与差公式的综合应用 例4　(链教材P156例4)在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点．已知点A，B的横坐标分别为，. (1)求tan (α－β)的值； (2)求的值． 解：(1)根据三角函数的定义得cos α＝，cos β＝， 因为α，β为锐角，所以sin α＝，sin β＝， 因此tan α＝2，tan β＝， 所以tan (α－β)＝＝＝. (2)＝· ＝tan [(α－β)＋β]＝tan α＝×2＝. 利用三角函数公式解题时的三看 1．看角：注意已知角和所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧． 2．看名：恰当地利用同角的三角函数关系式进行转换，尽量减少函数的名称． 3．看式子的结构和特征：恰当地找到有相同结构和特征的公式进行变换．　　 对点练4.已知sin ＝，sin ＝. (1)求证：tan α＝3tan β； (2)若α，β∈，求tan β. 解：(1)证明：因为sin ＝sin αcos β＋cos αsin β＝， sin ＝sin αcos β－cos αsin β＝， 联立方程组，可得sin αcos β＝，cos αsin β＝， 所以sin αcos β＝3cos αsin β.所以tan α＝3tan β. (2)因为α，β∈，可得－<α－β<， 又因为sin ＝，可得tan ＝， 因为sin αcos β＝3cos αsin β，所以tan α＝3tan β， 所以tan ＝＝＝， 即3tan 2β－2tan β＋1＝0， 解得tan β＝. 知识 1.两角和与差的正弦、正切公式的推导.2.公式的正用、逆用、变形用.3.两角和与差的正弦、正切公式的综合应用 方法 转化法、构造法 易错误区 求值或求角时忽视角的范围、公式中加减符号易记错 1．sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：D 解析：sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝sin (45°＋15°)＝sin 60°＝.故选D． 2．已知sin α＝，α∈(0，)，则sin (α－)＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：A 解析：因为sin α＝，α∈(0，)，所以cos α＝＝，则sin (α－)＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝.故选A． 3．若tan α，tan β是方程x2－6x＋4＝0的两个根，则tan (α＋β)＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 答案：C 解析：因为tan α，tan β是方程x2－6x＋4＝0的两个根，由韦达定理得tan α＋tan β＝6，tan αtan β＝4，所以tan (α＋β)＝＝＝－2.故选C． 4．已知tan α＝2，tan β＝3，则＝________． 答案：－7 解析：因为tan α＝2，tan β＝3，所以tan ＝＝，tan ＝＝－1，故＝－7. 学科网（北京）股份有限公司 $$