17 章末综合提升 三角函数-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

章末综合提升 探究点一　 任意角的三角函数 例1　已知角θ的终边经过点P(－，m) (m≠0)，且sin θ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 解：由题意得r＝， 所以sin θ＝＝m. 因为m≠0，所以m＝±， 故角θ是第二或第三象限角． 当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)， 角θ是第二象限角， 所以cos θ＝＝＝－，tan θ＝＝＝－； 当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，角θ是第三象限角， 所以cos θ＝＝＝－，tan θ＝＝＝. 在任意角的正弦、余弦、正切的定义中，注意r＝，尤其是已知点的某一坐标，求另一坐标时注意符号的选取，从而得到角的其他三角函数值．　　 对点练1.(1)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，终边关于原点O对称．若角α的终边与单位圆⊙O交于点P(，－)，则cos β＝(　　) A． B．－ C． D．－ (2)(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存在两点A，B(b，1)且sin α＝，则下列结论正确的是(　　) 学生用书第49页A．a＝－ B．b＝－2 C．cos α＝－ D．tan α＝－ 答案：(1)B　(2)BCD 解析：(1)角α与角β终边关于原点O对称，且角α的终边与单位圆⊙O交于点P(，－)，所以角β的终边与单位圆⊙O交于点P′(－，)，故cos β＝－.故选B． (2)因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存在两点A，B且sin α＝，所以＝＝，所以a2＝，b2＝8，由＝，可知a>0，所以角α为第二象限的角，所以b<0，所以a＝，b＝－2，故A错误，B正确，所以cos α＝＝－，tan α＝＝－＝－，故C，D正确．故选BCD． 探究点二　诱导公式的应用 例2　化简：··. 解：·· ＝·· ＝··＝·· ＝··＝1. 解决三角函数的化简与求值问题一般先化简再求值，充分利用诱导公式，进行化简求值．　　 对点练2.已知方程cos ＝2sin ，求的值． 解：由cos ＝2sin ，得－sin α＝2cos α，即sin α＝－2cos α， 所以＝ ＝＝＝－. 探究点三　三角函数图象与性质的应用 例3　(一题多问)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式，并写出它的对称中心； (2)求函数f(x)的最小值，并求取最小值时x的集合； (3)若函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度得到一偶函数的图象，求m的最小值． 解：(1)由图象知T＝4＝4π， 所以ω＝＝＝， 所以f(x)＝A sin . 又由图象知f＝0，f(0)＝， 所以 由①得－＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z. 又φ∈，所以φ＝. 将φ＝代入②得A sin ＝，所以A＝2. 所以f(x)＝2sin ， 令x＋＝kπ，k∈Z，得x＝2kπ－，k∈Z， 所以它的对称中心为，k∈Z. (2)由f(x)＝2sin 知f(x)min＝－2，此时x＋＝－＋2kπ，k∈Z， 即x＝－＋4kπ，k∈Z. 所以f(x)取最小值时x的集合为{x＋4kπ，k∈Z}． (3)f(x)＝2sin 向右平移m个单位长度得到y＝f(x－m)＝2sin ＝2sin (x－＋)为偶函数，即函数图象关于y轴对称， 所以－＋＝kπ＋，k∈Z，所以m＝－2kπ－，k∈Z. 由于m>0，所以当k＝－1时，m＝. 所以m的最小值为. 研究y＝A sin (ωx＋φ)的单调性、最值问题时，把ωx＋φ看作一个整体来解决．　　 学生用书第50页 对点练3.已知函数f＝2sin (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值； (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，求g(x)的单调区间． 解：(1)由题意知，知T＝＝＝π，所以ω＝1. (2)由(1)知f＝2sin ，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝2sin [2(x＋)＋]＝2sin 的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数g＝2sin 的图象． 由－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ， 得－≤x≤－； 由＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ， 得－≤x≤＋， 故函数g(x)的单调递增区间为[－，－](k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z). 探究点四　三角函数的简单应用 例4　某港口海水的深度y是时间t(时)(0≤t≤24)的函数，记为y＝f.已知某日海水深度的数据如下： t(时) 0 2 4 6 8 10 12 y(m) 9.5 12.5 14.0 12.5 9.5 8.0 9.5 t(时) 14 16 18 20 22 24 y(m) 12.5 14.0 12.5 9.5 8.0 9.5 经长期观察，y＝f的曲线可近似地看成函数y＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<)的图象． (1)根据以上数据，求出函数y＝f＝A sin (ωt＋φ)＋b的表达式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5 m或5 m以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为7.5 m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)? 解：(1)由题设的数据可得故A＝3，b＝11，因为周期T＝12，故ω＝＝， 故y＝3sin ＋11， 因为t＝4时，y＝14，所以3sin ＋11＝14，sin (＋φ)＝1， 因为<，所以φ＝－，y＝3sin (t－)＋11. (2)令y≥7.5＋5＝12.5，则3sin ＋11≥12.5，得sin ≥， 所以＋2kπ≤t－≤＋2kπ，k∈Z，即2＋12k≤t≤6＋12k， 因为t∈，所以2≤t≤6或14≤t≤18， 故船舶至多能在港内停留16小时． 在三角函数的实际应用中，关键是构建三角函数模型，然后利用模型解决实际问题．　　 学生用书第51页 对点练4.(一题多问)筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图①).如图②，现有一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转1圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米，若以盛水筒P刚浮出水面在点A处时为初始时刻，设经过t秒后盛水筒P到水面的距离为f(单位：米)(在水面下则f为负数).筒车上均匀分布着12个盛水筒，假设盛水筒在最高处时把水倾倒到水槽上． (1)求函数f的表达式； (2)求第一筒水倾倒的时刻t和相邻两个盛水筒倾倒的时间差； (3)若某一稻田灌溉需水量为100立方米，一个盛水筒倾倒到水槽的水约为0.01立方米，求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌．(精确到0.1小时) 解：(1)由已知可得∠AOx＝， 因为盛水筒运动的角速度ω＝＝， 所以t秒后盛水筒转过的角度为t， 此时可得以x为始边OP为终边的角为t－， 所以f＝4sin ＋2，t∈. (2)当第一筒水到达最高位置时，是第一次取得最大值，此时t－＝，得t＝20(秒)， 相邻两个盛水筒倾倒的时间差为÷＝5(秒). (3)因为完成该稻田的浇灌需倾倒＝10 000筒水， 所以所需时间为20＋×5＝50 015秒，约为13.9小时． 所以约13.9小时可完成该稻田的浇灌． (2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin (3x－)的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 答案：C 解析：因为函数y＝2sin 的最小正周期T＝，所以函数y＝2sin 在[0，2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数y＝2sin (3x－)与y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示， 由图可知，这两个图象共有6个交点．故选C． (2024·天津卷)已知函数f(x)＝sin 3(ωx＋)的最小正周期为π，则f(x)在的最小值为(　　) A．－ B．－ C．0 D． 答案：A 解析：由f(x)的最小正周期为π，可得π＝，所以ω＝，所以f(x)＝sin (2x＋π)＝ －sin 2x.当x∈时，2x∈，sin 2x∈，所以f(x)min＝－.故选A． (多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin (2x－)，下列说法中正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 答案：BC 解析：对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，又g≠0，故A错误；对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误．故选BC． (2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f＝sin (ωx＋φ)，如图A，B是直线y＝与曲线y＝f的两个交点，若＝，则f＝________． 答案：－ 解析：设A，B，由＝可得x2－x1＝，由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由图可知，ωx2＋φ－＝π－＝，即ω＝，所以ω＝4.因为f＝sin ＝0，所以＋φ＝kπ，即φ＝－π＋kπ，k∈Z.所以f(x)＝sin ＝sin ，所以f＝sin 或f＝－sin ，又因为f<0，所以f(x)＝sin ，所以f＝sin ＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$