15 §8 三角函数的简单应用-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§8　三角函数的简单应用 知识层面 1.会用三角函数解决简单的实际问题．　2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 素养层面 通过三角函数的简单应用，培养学生数学运算与数学建模素养． 一　三角函数模型在生活中的应用 例1　我国明朝科学家宋应星所著《天工开物》中记载了水车，水车是古代劳动人民发明的灌溉工具，体现了中华民族的创造力．如图是水车示意图，其半径为6 m，中心O距水面3 m，一水斗从水面处的点P0处出发，逆时针匀速旋转，80 s转动一周，经t秒后，水斗旋转到点P处，此时水斗距离水面高度为h. (1)以O为坐标原点，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数； (2)此水斗经过多长时间后再次到达水面？在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是多少？ 解：(1)依题意，当t＝0时，以x轴非负半轴为始边，OP0为终边的角是－，因为80 s转动一周，所以水斗转动的角速度为ω＝＝，因此，水斗转动t s到点P时的角为ωt＝t，以x轴非负半轴为始边，OP为终边的角是t－， 于是得点P的纵坐标为6sin ， 则h＝6sin ＋3， 所以所求函数关系为：h＝6sin ＋3(t≥0). (2)由(1)令h＝6sin ＋3＝0，即sin ＝－，当再次到达水面时，0<t<80，t－∈，所以解t－＝，得t＝ s，即此水斗经过 s后再次到达水面， 在旋转一周的过程中，水斗位于水下的时间是80－＝(s). 解决三角函数的实际应用问题的一般步骤 第一步：认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论； 第二步：建立三角函数模型，将实际问题数学化； 第三步：利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解； 第四步：根据实际问题的意义，得出实际问题的解； 第五步：将所得结论返回，转译成实际问题的答案．　　 对点练1.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色(如图①).某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图②).开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时． (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(其中A>0，ω>0)，求摩天轮转动一周的解析式H(t)； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，首次距离地面的高度恰好为30米？ 解：(1)H(t)＝A sin (ωt＋φ)＋B(其中A>0，ω>0，≤π)， 由题意知⇒ T＝＝30⇒ω＝，故H(t)＝40sin (t＋φ)＋50， 因为H(0)＝10，所以sin φ＝－1， 又因为≤π，所以φ＝－， 所以H(t)＝40sin (t－)＋50＝－40cos t＋50， 故解析式为H(t)＝－40cos t＋50，t∈[0，30]. (2)令H(t)＝30，则－cos t＝－，即cos t＝， 因为t∈[0，30]，则t∈[0，2π]，所以t＝或，解得t＝5或t＝25， 故游客甲坐上摩天轮5分钟时，首次距离地面的高度恰好为30米． 学生用书第44页 二　三角函数模型在物理中的应用 例2　已知电流I与时间t的关系为I＝A sin (ωt＋φ). (1)如图所示的是I＝A sin (ωt＋φ)(ω>0，|φ|<)的部分图象，根据图中数据求I＝A sin (ωt＋φ)的解析式； (2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝A sin (ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 解：(1)由题图可知A＝300， 当t＝0时，I＝150，即300sin φ＝150，sin φ＝， 所以φ＝＋2kπ，又|φ|<，所以φ＝， 所以I＝300sin(ωt＋)， 又当t＝时，I＝0，即300sin(ω×＋)＝0， ＋＝π＋2kπ，所以ω＝150π＋360kπ， 由图可知，T≥×2，即≥， 所以ω≤180π，所以ω＝150π. 故所求解析式为I＝300sin(150πt＋). (2)依题意知，周期T≤，即≤(ω>0)， 所以ω≥300π>300×3.14＝942，又ω∈N＋， 故所求最小正整数ω＝943. 由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数模型，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量是解答此类问题的关键．　　 对点练2.(一题多问)如图所示，挂在弹簧下方的小球做上下振动，小球在时间t(单位：s)时相对于平衡位置(即静止的位置)的高度为h(单位：cm)，由下列关系式决定：h＝2sin ，t∈.以横轴表示时间，纵轴表示高度，画出这个函数在一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题： (1)小球开始振动时的位置在哪里？ (2)小球位于最高、最低位置时h的值是多少？ (3)经过多长时间小球振动一次(即周期是多少)? (4)小球每1 s能往复振动多少次(即频率是多少)? 解：(1)作出函数h＝2sin (t＋)在一个周期的闭区间上的图象如图， 当t＝0时，h＝2sin ＝，即小球在开始振动(即t＝0)时的位置在(0，)处，即平衡位置上方 cm处． (2)h＝2sin 的最大值为2，最小值为－2， 则小球位于最高、最低位置时的h的值分别为2，－2. (3)由于T＝＝2π，故经过2π(s)小球振动一次． (4)每秒钟小球能往复振动次． 三　三角函数模型的拟合 例3　某“花式风筝冲浪”集训队在海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)是随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 (1)根据表中近似数据画出散点图．观察散点图，从①y＝A sin (ωt＋φ)；②y＝A cos (ωt＋φ)＋b；③y＝－A sin ωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式； (2)为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全． 解：(1)根据表中近似数据画出散点图，如图所示： 结合散点图可知，图形进行了上下平移和左右平移，故选②y＝A cos (ωt＋φ)＋b作为函数模型， 所以A＝＝0.9，b＝＝1.5， 因为T＝＝12，所以ω＝， 所以y＝0.9cos ＋1.5， 又因为函数y＝0.9cos ＋1.5的图象过点， 所以2.4＝0.9cos ＋1.5， 所以cos ＝1，所以sin φ＝－1， 又因为－π<φ<0，所以φ＝－， 所以y＝0.9cos ＋1.5＝0.9sin t＋1.5. (2)由(1)知 y＝0.9sin t＋1.5， 令y≥1.05，即0.9sin t＋1.5≥1.05， 所以sin t≥－，所以2kπ－≤t≤2kπ＋，所以12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)， 又因为5≤t≤18，则5≤t≤7或11≤t≤18， 所以这一天可以安排5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全． 学生用书第45页 处理数据拟合和预测问题的几个步骤 第一步：根据原始数据，绘出散点图； 第二步：通过散点图，作出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；　　 第三步：根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； 第四步：利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． 对点练3.某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是该港口的水深数据： t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10 一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5 m时就是安全的． (1)若有以下几个函数模型：y＝at＋b，y＝A sin (ωt＋φ)，y＝A sin ωt＋K，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系，请你求出该拟合模型的函数解析式； (2)如果船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？ 解：(1)函数y＝A sin ωt＋K可以更好地刻画y与t之间的对应关系， 根据数据可得所以A＝3，K＝10， 又因为T＝15－3＝12，所以ω＝＝， 所以y＝3sin t＋10(0≤t≤24). (2)要满足题意，需y≥4.5＋7，即3sin t＋10≥11.5(0≤t≤24)，所以sin t≥， 所以2kπ＋≤t≤2kπ＋，k∈Z， 解得12k＋1≤t≤12k＋5，k∈Z， 当k＝0时，t∈；当k＝1时，t∈， 所以t∈[1，5]或[13，17]， 所以该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港，若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16个小时． 知识 1.三角函数模型在生活中的应用.2.三角函数模型在物理中的应用.3.三角函数模型的拟合 方法 数学建模、数形结合 易错误区 注意函数的定义域，尤其是实际意义；注意作结论时应回到实际问题中 1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式为I＝2sin 100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的周期是(　　) A． B．100 C． D．50 答案：C 解析：T＝＝＝.故选C． 2．如图所示，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋b，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 答案：C 解析：由图象知ymin＝2.因为ymin＝－3＋b，所以－3＋b＝2，解得b＝5，所以这段时间水深的最大值是ymax＝3＋b＝3＋5＝8.故选C． 3．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节某天的时间与水深值(单位：m)记录表(　　) 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 时刻 15：00 18：00 21：00 24：00 水深值 7.5 5.0 2.5 5.0 根据以上数据，若用函数y＝2.5sin ωx＋5近似地描述这个港口的水深值y与时间x(记时刻0：00为时间x＝0)的函数关系，则上午7：00时，水深的近似数值为(　　) A．2.83 B．3.75 C．6.25 D．7.17 答案：B 解析：由表中数据知，T＝12，即＝12，解得ω＝，所以y＝2.5sin x＋5，当x＝7时，y＝2.5sin (π＋)＋5＝2.5×＋5＝3.75.故选B． 4．如图点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm，周期为3 s，且物体向左运动到平衡位置开始计时，则物体对平衡位置的位移x和时间t之间的函数关系式为x＝________． 答案：x＝－3sin t 解析：依题意设x＝A sin ωt，则A＝－3，周期T＝＝3，又ω>0，解得ω＝，所以x＝－3sin t. 学科网（北京）股份有限公司 $$