14 7.3 正切函数的图象与性质-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

7.3　正切函数的图象与性质 知识层面 1.能画出y＝tan x的图象．　2.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及其在区间内的单调性．　3.能利用正切函数的图象与性质解决简单问题． 素养层面 通过正切函数图象的学习，培养学生数学抽象素养；通过正切函数图象和性质的应用，培养学生数学运算与逻辑推理素养． 知识点一　正切函数的图象 问题1.类比画正弦函数图象的方法，你能画出函数y＝tan x在的图象吗？你能画出函数y＝tan x的图象吗？ 提示：(1)选取长度为一个周期的连续区间(－，). (2)列表： x － － － 0 y＝tan x － －1 － 0 1 (3)描点：用光滑曲线连接得到y＝tan x，x∈的图象． (4)将所得图象向左右平移，每次平移π个单位长度，即得y＝tan x的图象(如图所示). 正切函数的图象 1．正切函数的图象称作正切曲线，正切曲线各支的渐近线方程为x＝＋kπ(k∈Z)． 2．正切函数的图象： [微思考]　正切函数的图象为什么不是连续的？各支的渐近线为什么是x＝＋kπ(k∈Z)? 提示：正切函数的定义域为{x∈R，k∈Z}．且周期为π，所以它的图象不连续，且各支的渐近线为x＝＋kπ(k∈Z). 例1　观察正切曲线，写出满足下列条件的x值的范围： (1)tan x>0；(2)tan x＝0；(3)tan x<0. 解：作正切函数y＝tan x的图象如下： 观察图象可知： (1)当kπ<x<＋kπ，k∈Z时，图象位于x轴上方，即tan x>0， 所以tan x>0的解集为{x＋kπ，k∈Z}． (2)x＝kπ，k∈Z为函数图象的零点，即tan x＝0， 所以tan x＝0的解集为{x|x＝kπ，k∈Z}． (3)当－＋kπ<x<kπ，k∈Z时，图象位于x轴下方，即tan x<0， 所以tan x<0的解集为{x＋kπ<x<kπ，k∈Z}． 解决与正切函数有关的图象识别问题的常用方法 1．作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案． 2．性质法：研究相关函数的性质，排除相关选项，从而确定正确答案．　　 对点练1.(1)如图所示的图形分别是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan (－x)；④y＝tan |x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　) A．①②③④ B．①③④② C．③②④① D．①②④③ (2)函数y＝－tan x－sin x在区间[，]内的图象是(　　) 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)y＝|tan x|≥0，其图象在x轴及其上方，只有图象a符合，即a对应①，易知y＝tan x在内的图象为图象b，即b对应②，故排除B，C选项．y＝tan (－x)＝－tan x在上单调递减，只有图象d符合，即d对应③，故排除A选项．故选D． (2)当x∈(，π]时y＝－tan x－sin x＝sin x－tan x－tan x－sin x＝－2tan x，此时函数为减函数，且y≥0，可排除C、D；当x∈时，y＝|tan x－sin x|－tan x－sin x＝tan x－sin x－tan x－sin x＝－2sin x，此时函数为增函数，且0<y<2，可排除A．故选B． 学生用书第41页 知识点二　正切函数的性质 问题2.我们已经知道y＝tan x是周期为π的奇函数，观察正切曲线，回答下列问题． (1)正切函数是否存在单调递减区间？ (2)正切函数是否存在对称轴？ (3)正切函数是否存在对称中心，若存在，对称中心一定在正切曲线上吗？ 提示：(1)不存在单调递减区间．正切函数在每一个开区间(k∈Z)上都单调递增． (2)不存在对称轴．(3)存在对称中心，但对称中心不一定在正切曲线上． 正切函数的性质 函数 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期性 最小正周期是π 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个区间，k∈Z上单调递增 对称性 (k∈Z) [微思考]　正切函数在定义域内是增函数吗？正切函数是否有最大值、最小值呢？ 提示：不能说正切函数在整个定义域内单调递增，只能说成正切函数在每一个区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上单调递增，正切函数的图象向上、向下无限伸展没有最大值、最小值． 例2　(链教材P62例4)设函数f＝tan (－)，作出函数f在一个周期内的简图并求函数f(x)的最小正周期、对称中心和单调区间． 解：函数在一个周期内的函数图象为(画法略)： f＝tan 的最小正周期为T＝＝2π. 令－＝，k∈Z，解得x＝π＋kπ，k∈Z， 故对称中心为(k∈Z). 由kπ－<－<kπ＋，k∈Z， 解得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z， 所以函数f＝tan 的单调增区间为(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z. 解答正切函数图象与性质问题的注意点 1．对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴． 2．单调性：正切函数在每一个区间(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上都单调递增，但不能说其在定义域内单调递增． 3．在判断函数f(x)＝tan (ω<0)的单调性或求单调区间时，要注意首先利用诱导公式把x的系数化为正数．　　 对点练2.画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性． 解：由y＝|tan x|得， y＝ 其图象如图． 由图象可知，函数y＝|tan x|的定义域为{x＋kπ，k∈Z}， 值域为[0，＋∞)，是偶函数． 函数y＝|tan x|的周期T＝π， 函数y＝|tan x|的单调递增区间为[kπ，kπ＋)，k∈Z，单调递减区间为，k∈Z. 学生用书第42页 正切函数性质的综合应用 例3　(一题多问)设函数f＝tan (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<)，已知f的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称． (1)求f的解析式； (2)求函数f(x)的定义域、单调区间； (3)求不等式－1≤f≤的解集． 解：(1)因为函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，即T＝，所以ω＝2， 所以f(x)＝tan (2x＋φ)， 因为图象关于点M 对称， 所以－2×＋φ＝，k∈Z， 因为0<φ<，所以φ＝， 则f(x)＝tan (2x＋). (2)由2x＋≠kπ＋，得x≠＋(k∈Z)， 所以f(x)的定义域是. 由kπ－<2x＋<kπ＋，k∈Z， 得－<x<＋，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为(－，＋)，k∈Z，无单调递减区间． (3)由(1)知，f(x)＝tan . 由－1≤tan (2x＋)≤， 得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z， 即－＋≤x≤＋，k∈Z， 所以不等式－1≤f(x)≤ 的解集为{x＋≤x≤＋，k∈Z}． 正切函数的变换与正弦函数相同，一般根据函数图象的平移变换得到变换后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的相关特征，用整体的观点建立对称轴、对称中心、单调区间等的方程或不等式求解．　　 对点练3.(1)(多选)下列结论正确的是(　　) A．tan>tan B．tan>tan C．tan>tan D．tan>tan (2)函数y＝3tan 的单调递减区间为___________． 答案：(1)AD　(2)，k∈Z 解析：(1)对于A，因为0<<<，函数y＝tan x在上单调递增，所以tan>tan，故A正确；对于B，tan<0<tan，故B不正确；对于C，tan＝tan＝tan，tan＝tan＝tan.又0<<<，函数y＝tan x在上单调递增，所以tan<tan，即tan<tan，故C不正确；对于D，tan＝tan(－＋4π)＝tan，tan＝tan(－＋3π)＝tan.又－<－<<，函数y＝tan x在上单调递增，所以tan>tan，即tan>tan，故D正确．故选AD． (2)y＝3tan 可化为y＝－3tan (x－)，由kπ－<x－<kπ＋，k∈Z，得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，故函数的单调递减区间为，k∈Z. 知识 1.正切函数的图象与性质.2.正切函数的性质的应用 方法 整体代换法、转化法 易错误区 最小正周期T＝，在定义域内不单调，对称中心为(k∈Z) 1．函数y＝tan x在一个周期内的大致图象是(　　) 答案：A 解析：由正切函数的图象与性质可知y＝tan x在(－，)上单调递增，图象为A． 2．函数f＝tan 的定义域是(　　) A． B．R C． D． 答案：D 解析：由于正切函数y＝tan x的定义域为{x，k∈Z}，故对于函数f＝tan (3x－)，令3x－≠＋kπ，k∈Z，则x≠＋，k∈Z，故f＝tan 的定义域是{x＋，k∈Z}．故选D． 3．函数y＝－2＋tan 的单调递增区间是(　　) A．，k∈Z B．，k∈Z C．，k∈Z D．，k∈Z 答案：A 解析：由－＋kπ<x＋<＋kπ，k∈Z，解得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.故选A． 4．比较大小：tan ________tan . 答案：< 解析：根据三角函数的诱导公式，可得tan＝tan(3π＋)＝tan，tan＝tan＝tan，因为0<<<，且函数y＝tan x在上为单调递增函数，所以tan<tan，所以tan<tan. 学科网（北京）股份有限公司 $$