13 7.1 正切函数的定义&7.2 正切函数的诱导公式-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§7　正切函数 7．1　正切函数的定义　7.2　正切函数的诱导公式 知识层面 1.理解任意角的正切函数的定义．　2.掌握正切函数诱导公式的推导及应用． 素养层面 通过正切函数概念的学习，培养学生数学抽象素养；通过正切函数的定义和诱导公式的应用，提升学生数学运算和逻辑推理素养． 知识点一　正切函数的定义 问题1.设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，写出sin α，cos α的值，那么何时有意义？tan α与sin α，cos α有怎样的关系？ 提示：sin α＝b，cos α＝a；当a≠0时，有意义．tan α＝＝，α∈R，α≠＋kπ(k∈Z). 正切函数的定义：根据函数的定义，比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan_x，其中定义域为． [微提醒]　(1)由定义易知：当x＝kπ，k∈Z时，tan x＝0；当x在第一、三象限时，tan x>0；当x在第二、四象限时，tan x<0. 学生用书第38页 (2)特殊角的正切值： α 0 tan α 0 1 － －1 － 例1　(链教材P58例2)(1)已知角α的终边上有一点P(1，－2)，则tan α的值为(　　) A．－2 B．－ C． D．－ (2)若角θ的终边经过点A，且tan θ＝，则m＝________． 答案：(1)A　(2)－ 解析：(1)利用正切函数的定义tan α＝＝－2.故选A． (2)由正切函数的定义得，＝，解得m＝－. 求正切函数值的两种方法 1．先求出角的正弦函数、余弦函数值，再利用正切函数的定义求解． 2．已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，利用结论tan α＝.　　 对点练1.设α是第二象限角，P为其终边上一点，且cos α＝x，则tan α＝(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－ 答案：C 解析：由题意知，cos α＝＝且x<0，解得x＝－2，所以tan α＝＝－.故选C． 知识点二　正切函数的诱导公式 问题2.根据正切函数定义，由正弦函数、余弦函数的诱导公式，对任意整数k，有 tan (x＋kπ)＝＝ 即tan (x＋kπ)＝tan x(x∈R，x≠kπ＋，k∈Z)，你能得到什么结论呢？类比上述方法你能得到正切函数的奇偶性吗？ 提示：正切函数是周期函数，且最小正周期为π；由tan (－x)＝＝－tan x可以得到正切函数为奇函数． 问题3.根据正切函数定义以及正弦函数、余弦函数相应的诱导公式，当－<α<，推导角α与角π＋α，＋α的正切值有什么关系？ 提示：tan (π＋α)＝＝＝tan α，tan (＋α)＝＝＝－. 正切函数的诱导公式 tan (x＋kπ)＝tan_x(k∈Z)；tan (－x)＝－tan_x； tan (x＋π)＝tan_x；tan (π－x)＝－tan_x； tan ＝－；tan ＝． [微提醒]　(1)诱导公式的记忆方法：函数名不变，符号看象限(把x看作锐角时原函数值的符号). (2)公式中的x≠kπ＋(k∈Z)且在tan ＝－与tan ＝中x≠kπ(k∈Z). 例2　(链教材P60例3)(1)计算：； (2)已知α为第二象限角，且tan α－＝，求的值． 解：(1)原式＝ ＝＝＝2＋. (2)由tan α－＝，得4tan2α－15tanα－4＝0， 得tan α＝－或tan α＝4. 又α为第二象限角，所以tan α＝－. 故＝＝＝＝. 学生用书第39页 1．熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键． 2．无条件求值，又称给角求值，关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值．　　 对点练2.(1)已知tan(π＋α)＋＝2，则tan (π－α)＝(　　) A．2 B．－2 C．1 D．－1 (2)(多选)下列式子中，结果为－的是(　　) A．tan B．tan(－420°) C．tan D．tan 1 110° 答案：(1)D　(2)ABC 解析：(1)由tan(π＋α)＋＝tan α＋＝2，可得tan α＝1，于是tan (π－α)＝－tan α＝－1.故选D． (2)tan ＝tan(4π－)＝tan(－)＝－tan ＝－，故A正确；tan(－420°)＝tan(－360°－60°)＝tan(－60°)＝－tan 60°＝－，故B正确；tan ＝tan＝tan ＝tan(π－)＝－tan ＝－，故C正确；tan 1 110°＝tan(6×180°＋30°)＝tan 30°＝，故D错误．故选ABC． 正切函数定义与诱导公式的综合应用 例3　如图所示，在平面直角坐标系xOy中，钝角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与以原点为圆心，半径为3的圆相交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，OB＝2. (1)求tan α的值； (2)求的值． 解：(1)由题意知，Rt△AOB中，|OA|＝3，|OB|＝2， 则|AB|＝＝，tan ∠AOB＝＝， 而由图可知，∠AOB＋α＝π， 故tan α＝tan＝－tan ∠AOB＝－. (2)因为tan α＝－，sin α＝， 故＝＝＝－. 若已知角α的终边过定点时，则首先利用任意角的三角函数的定义求出sin α，cos α，tan α，然后再利用诱导公式化成最简形式，最后代入求值．　　 对点练3. (1)在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边过点，且tan ＝－3，则cos α＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)已知角α的终边经过点，将角α的终边绕原点O顺时针旋转得到角β的终边，则tan β＝________． 答案：(1)B　(2)－ 解析：(1)因为角α的终边经过点，且tan (－π＋α)＝tan α＝－3，所以＝－3，解得m＝－2，所以cos α＝＝－.故选B． (2)因为角α的终边经过点，所以tan α＝＝，又因为角α的终边绕原点O顺时针旋转得到角β的终边，故β＝α－，所以tan β＝tan ＝－＝－. 知识 1.正切函数的定义.2.正切函数的诱导公式 方法 公式法、转化法 易错误区 在正切函数的诱导公式中，角α可以为使等式两边都有意义的任意角 1．若点M在角α的终边上，则tan α＝(　　) A． B．－ C． D．－ 答案：B 解析：因为点M在角α的终边上，所以tan α＝＝－.故选B． 2．tan 585°＝(　　) A．－ B．－1 C．1 D． 答案：C 解析：tan 585°＝tan ＝tan 45°＝1.故选C． 3．(多选)下列正切函数值正确的是(　　) A．tan＝－ B．tan ＝－ C．tan ＝ D．tan＝ 答案：ACD 解析：对于A，tan ＝－tan ＝－，故A正确；对于B，tan ＝tan＝－tan ＝－，故B错误；对于C，tan ＝tan ＝tan ＝，故C正确；对于D，tan＝tan＝tan ＝，故D正确．故选ACD． 4．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，则tan ＝__________． 答案： 解析：根据题意设P，则有x2＋2＝1⇒x＝±，因为x<0，所以x＝－，即P，所以tan ＝－tan α＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$