12 6.3 探究A对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

6．3　探究A对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响 知识层面 1.理解y＝A sin (ωx＋φ)中A对图象的影响，掌握y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)的图象间的变换关系．　2.会用“五点(画图)法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象；能根据y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．　3.掌握y＝A sin (ωx＋φ)的性质，并能利用性质解决问题． 素养层面 通过y＝sin x与y＝A sin (ωx＋φ)的图象间的变换关系，培养学生直观想象和逻辑推理素养；通过函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质及其应用，提升学生数学运算素养． 知识点一　A对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响 问题1.观察函数y＝sin 和y＝3sin (2x－)在同一坐标系中的图象，函数的周期是否相同？当x取同一个值时，两函数对应的y值有什么关系？ 提示：周期相同，均为T＝＝π.当x取同一个值时，y＝3sin 的函数值是y＝sin 的函数值的3倍． A对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响 y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0)的图象是将y＝sin (ωx＋φ)的图象上的每个点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)得到的．A决定了函数y＝A sin (ωx＋φ)的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅． [微提醒]　当A＞0时，函数y＝A sin (ωx＋φ)的最大值和最小值分别是函数y＝sin (ωx＋φ)的最大值与最小值的A倍． 例1　(1)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数解析式为(　　) A．y＝3sin B．y＝sin C．y＝3sin D．y＝3sin (2)为了得到函数f＝cos 的图象，只需把曲线g＝cos x上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍 B．向右平移个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍 C．向左平移个单位长度，再把纵坐标缩短到原来的 D．向右平移个单位长度，再把纵坐标缩短到原来的 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)函数y＝sin x向左平移个单位长度，得y＝sin ，横坐标扩大到原来的2倍，得y＝sin (x＋)，纵坐标扩大到原来的3倍，得y＝3sin.故选C． (2)函数g＝cos x的图象向左平移个单位长度，得y＝cos ，再把纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)，得f＝cos .故选C． 学生用书第35页 1．由y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象时， (1)若先相位变换，后周期变换，平移|φ|个单位长度． (2)若先周期变换，后相位变换，平移个单位长度．不论哪一种变换，都是针对自变量x而言的． 2．当目标函数与原函数名称不同时，一般先用诱导公式转化为同名函数，再进行相应的变换．　　 对点练1.(1)将函数y＝sin x，x∈R的图象上各点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的一半，然后再把所得点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)＝(　　) A．3sin B．3sin C．3sin D．3sin (2)把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的，所得图象的解析式是y＝2sin (x＋)，则f(x)的解析式为________． 答案：(1)A　(2)3cos x 解析：(1)将函数y＝sin x，x∈R的图象上各点向左平移个单位长度，可得y＝sin ，将y＝sin (x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，然后再把所得点的纵坐标伸长到原来的3倍可得y＝3sin (2x＋).故选A． (2)y＝2sin y＝3sin y＝3sin (x＋)y＝3sin ＝3sin (x＋)＝3cos x. 知识点二　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质 问题2.用“五点法”作函数y＝sin x的图象时，找哪五个关键点？ 提示：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). 问题3.你能用正弦函数y＝sin x的性质类比三角函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质吗？ 提示：可以，利用整体代换的思想，当A>0，ω>0时，用ωx＋φ整体代换正弦函数中的x即可． 1．探究函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)的性质的一般步骤 第1步，确定周期T＝； 第2步，在y＝sin x五个关键点(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)的基础上确定该函数的五个关键点； 第3步，用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出函数y＝A sin (ωx＋φ)在一个周期上的图象，再利用其周期性把图象延拓到R，就可以得到它在R上的图象； 第4步，借助图象讨论性质． 2．函数y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0的有关性质 函数 y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称性 对称轴：x＝＋； 对称中心： 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数 单调性 递增区间由2kπ－ ≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得； 递减区间由2kπ＋ ≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得 [微提醒]　在求函数y＝A sin (ωx＋φ)的基本性质时，应注意将ωx＋φ看作一个整体，即整体代换． 例2　(一题多问)已知函数f(x)＝2sin ，x∈R. (1)运用“五点法”作出f(x)在x∈[－，]内的简图； (2)该函数的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 学生用书第36页 (3)求函数f(x)的对称轴、对称中心和单调递增区间． 解：(1)列表： x＋ 0 π 2π x － 2sin 0 2 0 －2 0 描点画图： (2)将函数y＝sin x的图象先向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y＝sin (x＋)的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数y＝2sin的图象． (3)由x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋2kπ(k∈Z)， 故函数f(x) 的对称轴为x＝＋2kπ(k∈Z). 由x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－＋2kπ(k∈Z)， 故函数f(x) 的对称中心为(k∈Z). 令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z， 解得4kπ－π≤x≤4kπ＋，k∈Z. 故函数f(x)的单调递增区间为[－＋4kπ，＋4kπ](k∈Z). 1．用“五点法”作y＝A sin (ωx＋φ)的图象，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一个周期内的图象． 2．求y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时，首先把x的系数化为正值，然后利用整体代换，把ωx＋φ代入相应不等式中，求出相应的自变量x的范围．　　 对点练2.(多选)将曲线y＝sin x向左平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到曲线f＝sin (ω>0)，则下列说法正确的是(　　) A．ω＝1 B．函数f在上单调递增 C．函数f的图象关于直线x＝－对称 D．函数f的图象关于点对称 答案：AD 解析：将曲线y＝sin x向左平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝sin (2x＋)，所以ω＝1，故A正确；f(x)＝sin (2x＋)，x∈，则2x＋∈，根据y＝sin x的性质，可得f(x)在上单调递减，故B错误；f＝sin ≠±1，则f(x)的图象不关于直线x＝－对称，故C错误；f＝sin π＝0，则f(x)的图象关于点对称，故D正确．故选AD． 函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式及性质的应用 例3　已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，<)的部分图象如图所示． (1)求f的解析式； (2)将函数f的图象向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g的图象，求函数g在区间上的值域． 解：(1)根据函数f＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，<)的部分图象， 可得A＝2，T＝－＝，即T＝＝π，得ω＝2， 又函数f(x)过(，0)，所以2×＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝kπ－，k∈Z，而<，则φ＝， 所以f＝2sin . (2)根据题意，将函数f的图象向右平移个单位长度得y＝2sin ＝2sin (2x－＋)＝2sin (2x－)， 再将横坐标伸长为原来的2倍得y＝2sin (2×x－)＝2sin (x－)， 最后将图象向上平移1个单位得到函数g(x)＝2sin (x－)＋1的图象． 由0<x<π得－<x－<， 当－<x－<，即x∈(0，)时，g(x)单调递增， 当<x－<，即x∈(，π)时，g(x)单调递减， 所以x∈时，g(x)≤g()＝2sin (－)＋1＝3， 且g＝2sin (－)＋1＝0，g＝2sin (π－)＋1＝2sin ＋1＝2， 综上所述，g在区间上的值域为. 由图象求函数y＝A sin (ωx＋φ)，A>0，ω>0的解析式的一般方法 1．由函数图象上的最大值、最小值来确定A． 2．由函数图象上两特殊点的横坐标距离与周期的关系，确定T，由T＝，确定ω. 3．确定函数y＝A sin (ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法： (1)代入法：把图象上的一个最高点或最低点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)； (2)五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．　　 对点练3.(多选)已知函数f＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，<)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) 学生用书第37页 A．f的解析式可以写成f＝2cos B．函数y＝f的图象关于直线x＝－对称 C．函数y＝f在单调递减 D．该图象向右平移个单位长度可得y＝2sin 2x的图象 答案：ABD 解析：由题意知A＝2，由·＝－，解得ω＝2，再根据最值得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，又因为<，得φ＝，所以函数为f＝2sin (2x＋).对于A，由f＝2sin ＝2sin (2x＋－)＝2cos ，故A正确；对于B，当x＝－时，f＝－2，是函数的最小值，故B正确；对于C，当x∈时，得2x＋∈，函数f＝2sin (2x＋)不单调，故C错误；对于D，函数f＝2sin (2x＋)的图象向右平移个单位长度，可得y＝2sin (2x－＋)＝2sin 2x的图象，故D正确．故选ABD． 知识 1.A对y＝A sin (ωx＋φ)的图象的影响.2.函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质及其应用 方法 数形结合、五点(画图)法、转化与化归 易错误区 先平移后伸缩和先伸缩后平移得到的结果不一样 1．最大值为2，最小正周期为π，初相为的函数表达式可以是(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝2sin D．y＝2sin 答案：C 解析：由最大值为2，排除A，B，由最小正周期为π，排除D．故选C． 2．函数f(x)＝1＋sin (0.2x－2)的最小正周期与最小值分别为(　　) A．10π，－1 B．5π，0 C．10π，0 D．5π，－1 答案：C 解析：T＝＝10π，f(x)min＝1－1＝0.故选C． 3．已知函数f＝sin .给出下列结论： ①f的最小正周期为π； ②f是f的最大值； ③把函数y＝sin 2x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f的图象． 其中所有正确结论的序号是(　　) A．① B．①② C．①③ D．①②③ 答案：A 解析：最小正周期是T＝＝π，故①正确；令2x＋＝2kπ＋，k∈Z，x＝kπ＋，k∈Z，故②错误；把函数y＝sin 2x的图象上所有点向左平移个单位长度，得函数解析式为y＝sin ＝sin (2x＋)，故③错误．故选A． 4．将函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin 的图象． 答案：伸长　3 解析：A＝3>1，故将函数y＝sin 的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍，即可得到函数y＝3sin 的图象． 学科网（北京）股份有限公司 $$