11 6.2 探究φ对y＝sin (x＋φ)的图象的影响-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

6．2　探究φ对y＝sin (x＋φ)的图象的影响 知识层面 1.结合具体实例，了解y＝sin (ωx＋φ)的实际意义，理解参数φ对函数图象的影响．　2.掌握y＝sin x与y＝sin (x＋φ)图象间的变换关系． 素养层面 通过作函数y＝sin (x＋φ)的图象，培养学生直观想象素养；通过函数y＝sin (x＋φ)的性质及其应用，提升学生数学运算素养． 知识点一　φ对y＝sin (x＋φ)的图象的影响 问题1.观察图中给出的函数y＝sin x，y＝sin (x－)的图象，你能找出两图象的关系吗？两函数的周期相同吗？ 提示：把y＝sin x的图象向右平移个单位，即可得到y＝sin 的图象，把y＝sin 的图象向左平移个单位即可得到y＝sin x的图象，两函数的周期相同． φ对y＝sin (x＋φ)的图象的影响 1．函数y＝sin (x＋φ)与函数y＝sin x的周期相同，由x＋φ＝0，得x＝－φ，即函数y＝sin x图象上的点(0，0)平移到了点(－φ，0)． 2．函数y＝sin (x＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin x图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度得到的． [微提醒]　函数图象的左右平移只改变图象在坐标系中的位置，不改变图象的形状． 例1　函数y＝sin 的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？ 解：函数y＝sin 的图象，可以看作将函数y＝sin x图象上的所有点向右平移个单位长度得到的． [变式探究] (变条件)若将本例中y＝sin 改为y＝cos (x－)，其他不变，又该怎样变换？ 解：y＝cos ＝sin ＝sin (x＋)，可以看作是把y＝sin x图象上的所有点向左平移个单位长度得到的． 学生用书第32页　　 对于函数y＝sin x与y＝sin (x＋φ)之间的图象变换称为相位变换，它实质上是一种左右平移变换，遵循的平移变换原则是“左加右减”，不改变函数的周期．　　 对点练1. (多选)要得到函数y＝sin x的图象，只需将函数y＝sin 的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案：AD 解析：假设将函数y＝sin 的图象平移|φ|个单位长度可得到y＝sin x的图象，则平移后的解析式为y＝sin ＝sin ，根据题意只需满足φ－＝2kπ，k∈Z即可，故k＝0时，φ＝，即向左平移个单位长度，故A符合；当k＝－1时，φ＝－，即向右平移个单位长度，故D符合．故选AD． 知识点二　φ对y＝sin (ωx＋φ)的图象的影响 问题2.在同一坐标系下画出y＝sin 2x和y＝sin (2x－)的函数图象如图所示，你能由y＝sin 2x的图象得到函数y＝sin 的图象吗？ 提示：可以发现，y＝sin 2x与y＝sin 有相同的周期且形状相同，将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin 的图象． φ对y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象的影响 1．函数y＝sin (ωx＋φ)与函数y＝sin ωx有相同的周期，由ωx＋φ＝0，得x＝－，即函数y＝sin ωx图象上的点(0，0)平移到点(－，0)．函数y＝sin (ωx＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin ωx图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位长度得到的． 2．在函数y＝sin (ωx＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位． [微提醒]　周期变换与左右平移变换的顺序对平移量的影响：若周期变换在左右平移变换之前，即y＝sin ωx→y＝sin (ωx＋φ)，则左右平移的量为；若左右平移变换在周期变换之前，即y＝sin x→y＝sin (x＋φ)，则平移的量为|φ|. 例2　(多选)为了得到函数y＝sin 的图象，只要把函数y＝sin x的图象(　　) ①向左平移个单位；②向左平移个单位； ③将图象上每一点的横坐标变为原来的2倍； ④将图象上每一点的横坐标变为原来的. A．①④ B．①③ C．④② D．④① 答案：AC 解析：将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 的图象，再将函数y＝sin (x＋)的图象上每一点的横坐标变为原来的，得到y＝sin (2x＋)的图象，故A正确；将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 的图象，再将y＝sin 图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，得到y＝sin 的图象，故B错误；将y＝sin x图象上每一点的横坐标变为原来的，得到y＝sin 2x的图象，再将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 的图象，故C正确；将y＝sin x图象上每一点的横坐标变为原来的，得到y＝sin 2x的图象，再将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到y＝sin (2x＋)的图象，故D错误．故选AC． 1．由y＝sin x的图象得到y＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象的两种方法 2．x轴上的伸缩变化即把x换成ωx，x轴上的平移即把x换成x±φ(φ>0，左“＋”右“－”).　　 对点练2.将函数y＝cos 2x的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数y＝cos 的图象，则φ的值可以是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：函数y＝cos 2x的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数的解析式为y＝cos [2(x＋φ)]＝cos (2x＋2φ)，于是有2φ＝2kπ＋，解得φ＝kπ＋，针对四个选项中的四个角都是正角且小于π，所以令k＝0，得φ＝.故选D． 学生用书第33页 函数y＝sin (ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 例3　已知函数f(x)＝2sin . (1)令g(x)＝f，判断函数g(x)的奇偶性； (2)求f(x)在区间上的最值． 解：(1)g(x)＝2sin ＝2sin (＋)＝2cos ，x∈R， 因为g(－x)＝2cos ＝2cos ＝g(x)， 所以函数g(x)是偶函数． (2)f(x)＝2sin ，因为x∈时，＋∈，令＋＝，得x＝， 所以f(x)在区间上单调递增，在区间[，]上单调递减， 因为f(0)＝，f＝2，f＝， 所以f(x)的最大值为2，最小值为. 1．关于函数y＝sin (ωx＋φ)的对称性与奇偶性 (1)将ωx＋φ看作整体，代入到y＝sin x的对称中心、对称轴的表达式可以求出函数y＝sin (ωx＋φ)的对称中心、对称轴． (2)若函数y＝sin (ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ，k∈Z；若函数y＝sin (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ，k∈Z.函数y＝sin (ωx＋φ)为奇(偶)函数的实质就是函数的对称中心、对称轴的特殊情况． 2．求函数y＝sin (ωx＋φ)的单调区间的步骤 第一步：将ω化为正值； 第二步：将ωx＋φ看作一个整体，代入到相应的单调区间中解出x的范围即为函数的单调区间； 第三步：如果要求函数在给定区间上的单调区间，则给k赋值即可．　　 对点练3.已知函数f(x)＝sin . (1)请用“五点法”列表并画出函数f(x)在[0，π]上的图象； (2)若函数y＝f(x)的图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到函数y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的单调增区间． 解：(1)列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π f(x) 1 0 －1 0 描点，作函数f(x)在[0，π]上的图象如下． (2)函数y＝f(x)的图象横坐标变为原来的2倍，纵 坐标不变，得到y＝sin ，再向右平移个单位，得到g(x)＝sin ＝sin ， 令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ， 解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ. 所以y＝g(x)的单调增区间为[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z). 知识 1.φ对y＝sin (x＋φ)和函数y＝sin (ωx＋φ)的图象的影响.2.函数y＝sin (ωx＋φ)的性质及其应用 方法 数形结合法、五点(画图)法、转化与化归 易错 误区 “五点(画图)法”作图及五点的选取；在研究y＝sin (ωx＋φ)的性质时，注意整体代换 1．函数y＝sin 的相位和初相分别是(　　) A．－2x＋， B．2x－，－ C．2x＋， D．2x＋， 答案：C 解析：y＝sin ＝sin＝sin ，故相位和初相分别为2x＋，.故选C． 2．要得到函数y＝sin 的图象，只需要将函数y＝sin x的图象(　　) A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度 答案：A 解析：要得到函数y＝sin 的图象，只需要将函数y＝sin x的图象向左平移1个单位长度．故选A． 学生用书第34页 3.函数y＝cos 的图象经过怎样的平移可得到函数y＝cos 2x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案：D 解析：因为y＝cos ＝cos ，所以y＝cos 的图象向右平移个单位长度可得到函数y＝cos 2x的图象．故选D． 4．函数y＝sin x＋1的图象可由函数y＝sin (x－)＋1的图象至少向右平移________个单位长度得到． 答案： 解析：因为y＝sin x＋1＝sin [(x－)－＋2kπ]＋1，k∈Z，所以函数y＝sin x＋1的图象可由函数y＝sin ＋1的图象至少向右平移个单位长度得到． 学科网（北京）股份有限公司 $$