10 6.1 探究ω对y＝sin ωx的图象的影响-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§6　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象 6．1　探究ω对y＝sin ωx的图象的影响 知识层面 1.结合具体实例，理解函数y＝sin ωx中ω对图象的影响．　2.掌握y＝sin x与y＝sin ωx图象间的变换关系． 素养层面 通过作函数y＝sin ωx的图象，培养学生直观想象素养；通过函数y＝sin ωx的性质及其应用，提升学生数学运算素养． 知识点　ω对y＝sin ωx的图象的影响 问题1.如何用“五点法”画出函数y＝sin 2x和y＝sin x一个周期上的图象？ 提示：　(1)列表，函数y＝sin 2x在一个周期上的五个关键点： 2x 0 π 2π x 0 π y＝sin 2x 0 1 0 －1 0 画出函数y＝sin 2x在一个周期[0，π]上的图象，如图： (2)列表，函数y＝sin x在一个周期上的五个关键点： x 0 π 2π x 0 3π 6π y＝sin x 0 1 0 －1 0 画出函数y＝sin x在一个周期[0，6π]上的图象，如图： 问题2.比较y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的图象，指出由y＝sin x的图象怎样变换得到y＝sin 2x和y＝sin x的图象． 提示：把y＝sin x图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，就得到y＝sin 2x的图象．把y＝sin x图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，就得到y＝sin x的图象． ω对y＝sin ωx的图象的影响 1．对于ω>0，有sin ωx＝sin (ωx＋2π)＝sin ω.根据周期函数的定义，T＝是函数y＝sin ωx的最小正周期．通常称周期的倒数＝为频率，记作f. 2．函数y＝sin ωx的图象是将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的(纵坐标不变)得到的． [微提醒]　(1)ω决定了函数y＝sin ωx的周期和频率，也决定了函数y＝sin ωx图象的形状．(2)ω主导横向伸缩变换，也叫周期变换． 例1　(链教材P43例1)用五点法作函数y＝sin x的简图． (1)指出这个函数的周期和函数的递增区间； (2)求函数y＝sin x在区间上的最值． 解：(1)①列表： x 0 π 2π x 0 3π 6π 9π 12π y 0 1 0 －1 0 ②描点；③连线：用光滑曲线顺次连接，所得图象如图所示． 周期T＝＝12π.递增区间为[12kπ－3π，12kπ＋3π](k∈Z). (3)因为x∈，所以∈，所以函数y＝sin x在[π，2π]上单调递增， 所以函数y＝sin x的最大值为，最小值为. 五点法作图关键是列表，一般有下面两种列表方法 1．分别令ωx＝0，，π，，2π，再求出对应的x，这体现了整体代换思想． 2．取ωx0＝0，得x0＝0，再把x0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加个周期，就可得到其余四个点的横坐标．　　 对点练1.用“五点法”作出函数y＝sin x在一个周期上的图象，并指出这个函数的最小正周期、频率． 解：(1)列表： x 0 π 2π x 0 π y 0 1 0 －1 0 (2)描点：(0，0)，，，(π，－1)，. (3)连线：用平滑曲线顺次连接上述各点，即得函数y＝sin x在一个周期上的图象(如图). T＝＝，f＝＝. 学生用书第30页 一　图象上横坐标的伸缩变化问题 例2　(1)为了得到y＝sin 4x，x∈R的图象，只需把正弦曲线y＝sin x上所有点的(　　) A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 (2)函数y＝sin x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝sin ωx，则ω的值为(　　) A．2 B． C．4 D． 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)ω＝4>1，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．故选B． (2)所求的解析式为y＝sin x＝sin ωx，故ω＝.故选B． 由y＝sin x到y＝sin ωx的图象变换方法 把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的(纵坐标不变)，得函数y＝sin ωx的图象．　　 对点练2.(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到的解析式是________． (2)将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)得到的函数解析式为________________． 答案：(1)y＝sin 2x　(2)y＝sin x 解析：(1)所求的解析式为y＝sin (4x)＝sin 2x. (2)所求函数解析式为y＝sin (x)＝sin x. 二　函数y＝sin ωx的图象与性质的综合应用 例3　(一题多问)已知函数f(x)＝sin x. (1)试写出由函数y＝sin x得到函数f(x)＝sin x的图象的变换过程并求出其周期； (2) 求f(x)的单调递增区间； (3)求f(x)的对称轴． 解：(1) 由函数y＝sin x的图象上每个点的横坐标都缩短为原来的，纵坐标不变，得到f(x)＝sin x的图象，且T＝＝4. (2)令2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z， 得4k－1≤x≤4k＋1，k∈Z， 即单调递增区间为[4k－1，4k＋1]，k∈Z. (3)令x＝kπ＋，k∈Z，得x＝2k＋1，k∈Z，所以对称轴为x＝2k＋1，k∈Z. 关于函数y＝sin ωx的性质 1．最小正周期T＝. 2．解决单调性、最值、对称轴和对称中心等问题时，可利用整体法，令u＝ωx，结合三角函数的性质求解． 3．y＝sin ωx为奇函数．　　 对点练3.已知函数f(x)＝a sin 2x＋b，且f(0)＝1，f＝2. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)当x∈时，求函数f(x)的最小值及取得最小值时x的值． 解：(1)因为函数f(x)＝a sin 2x＋b， 所以T＝＝π. (2)因为f(0)＝1，所以a sin 0＋b＝1，即b＝1. 又f＝2，所以a sin ＋b＝2，可得a＝1. 所以f(x)＝sin 2x＋1； 由x∈，所以2x∈. 由正弦函数单调性可知当2x＝，即x＝时，sin 2x取最小值－1， 此时f(x)＝sin 2x＋1取最小值－1＋1＝0； 即f(x)的最小值为0，此时x＝. 知识 1.ω对y＝sin ωx的图象的影响.2.函数y＝sin ωx的性质及其应用 方法 数形结合法、五点(画图)法、转化与化归 易错误区 “五点(画图)法”作图及五点的选取；在研究y＝sin ωx的性质时，注意整体代换 学生用书第31页 1．函数y＝sin的频率是(　　) A．6 B． C．－6 D．－ 答案：B 解析：因为T＝＝6，所以f＝＝.故选B． 2．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为(　　) A．2 B． C．4 D． 答案：B 解析：由题意得＝2，所以ω＝.故选B． 3．函数y＝－sin 2x，x∈R是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为2π的奇函数 D．最小正周期为2π的偶函数 答案：A 解析：令y＝f(x)＝－sin 2x，则f(－x)＝－sin (－2x)＝sin 2x＝－f(x)，所以函数y＝－sin 2x为奇函数，T＝＝π.故选A． 4．将函数y＝sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，则所得图象的函数解析式为____________． 答案：y＝sin x 解析：y＝sin 2x的图象y＝sin 2＝sin x的图象，即所得图象的函数解析式为y＝sin x. 学科网（北京）股份有限公司 $$