9 5.2 余弦函数的图象与性质再认识-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

5.2　余弦函数的图象与性质再认识 知识层面 1.能利用正弦函数的图象或五点(画图)法画余弦函数的图象．　2.了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．　3.借助图象理解余弦函数在[0，2π]上的性质． 素养层面 通过作余弦函数的图象，培养学生直观想象素养；通过余弦函数性质的应用，培养学生数学运算素养． 知识点一　余弦函数的图象 问题1.类比正弦曲线的作法，作出余弦函数y＝cos x的图象． 提示：在区间[0，2π]上取一系列的x值，例如0，，，，…，2π列表(如表). x 0 y＝cos x 1 0 － － x π 2π y＝cos x －1 － － 0 1 利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结合对函数y＝cos x性质的了解，用光滑曲线将它们顺次连接起来，就可以得到区间[0，2π]上y＝cos x的图象(如图). 由周期性可知，函数y＝cos x在区间[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z，k≠0上与在区间[0，2π]上的函数图象形状完全相同，只是位置不同，将函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈R的图象(如图). 问题2.类比正弦曲线的“五点(画图)法”，余弦函数y＝cos x的图象有哪五个关键点？ 提示：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 1．余弦函数y＝cos x，x∈R的图象称作余弦曲线． 2．要画出y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，可以通过描出(0，1)，(，0)，(π，－1)，，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们顺次连接起来，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象． 3．根据诱导公式sin ＝cos x可知，只需把正弦函数y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到余弦函数的图象(如图). 例1　(链教材P35例4)作出函数y＝－2cos x，x∈[0，2π]的大致图象，并分别写出使y>0和y<0的x的取值范围． 解：按五个关键点列表如下： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 y＝－2cos x －2 ＋2 －2 描点，在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，－2)，，(π，＋2)，，(2π，－2). 连线，用光滑曲线将描出的五个点顺次连接起来，就作出了函数大致图象，如图所示： 令y＝0，即－2cos x＝0，所以cos x＝.又x∈[0，2π]，所以x＝或， 结合图象可知：当x∈时，y>0；当x∈∪时，y<0. “五点(画图)法”画余弦函数图象的三个步骤 　　 对点练1.用“五点(画图)法”画出函数y＝2cos x＋1，x∈[0，2π]的简图． 解：因为x∈[0，2π]，所以令x＝0，，π，，2π，按五个关键点列表如下： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 2cos x＋1 3 1 －1 1 3 描点，连线，如图所示． 学生用书第27页 知识点二　余弦函数性质的再认识 问题3.由cos (－x)＝cos x，得余弦函数y＝cos x是偶函数，所以余弦曲线关于y轴对称，即y轴是余弦曲线的对称轴．观察余弦曲线，探究下面的问题． (1)除y轴外，余弦曲线还有其他对称轴吗？如果有，那么对称轴如何表示？ (2)余弦函数是中心对称图形吗？如果是，对称中心的坐标是什么？ 提示：(1)y＝cos x还有其他对称轴，对称轴表示为x＝kπ(k∈Z). (2)余弦函数是中心对称图形，对称中心的坐标为(k∈Z). 余弦函数的图象与性质 函数 y＝cos x，x∈R 图象 定义域 R 周期性 是周期函数，2π为最小正周期 单调性 在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增； 在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减 最大(小) 值和值域 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋π，k∈Z时，ymin＝－1. 值域是[－1，1] 奇偶性 偶函数，图象关于y轴对称 对称性 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：(kπ＋，0)，k∈Z [微提醒]　同正弦曲线一样，余弦曲线的对称轴过其最高点或最低点，对称中心是其与x轴的交点．注意不要混淆正、余弦曲线的对称轴和对称中心． 例2　(1)求f(x)＝的定义域； (2)求下列函数的值域： ①y＝－cos2x＋cosx； ②y＝. 解：(1)要使函数有意义，则2cos x－1≥0，所以cos x≥，所以－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的定义域为[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z). (2)①y＝－＋. 因为－1≤cos x≤1， 所以当cos x＝时，ymax＝；当cos x＝－1时，ymin＝－2. 所以函数y＝－cos2x＋cosx的值域为[－2，]. ②y＝＝－1. 因为－1≤cos x≤1，所以1≤2＋cos x≤3， 所以≤≤1，所以≤≤4， 所以≤－1≤3，即≤y≤3. 所以函数y＝的值域为[，3]. 求值域或最大值、最小值问题的依据 1．cos x的有界性． 2．cos x的单调性． 3．化为cos x＝f(y)，利用|f(y)|≤1来确定． 4．通过换元转化为二次函数．　　 对点练2.(1)函数y＝lg 的定义域为(　　) A． B． C． D． (2)已知函数y＝4cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是(　　) A．4 B．4－2 C．6 D．4＋2 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)由题知cos x－>0，即cos x>，解得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，故函数的定义域为{x<x<2kπ＋，k∈Z}．故选B． (2)因为函数y＝4cos x在区间上单调递减，当x＝时，y＝4cos ＝4×＝2，即函数的最大值b＝2，当x＝π时，y＝4cos π＝－4，即函数的最小值a＝－4，则b－a＝2－(－4)＝6.故选C． 学生用书第28页 余弦函数单调性的应用 例3－1　函数y＝3－2cos x的单调递增区间为____________________． 答案：[2kπ，π＋2kπ](k∈Z) 解析：y＝3－2cos x与y＝cos x的单调性相反，由y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，得y＝3－2cos x的单调递增区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z). 例3－2　比较cos与cos的大小． 解：cos＝cos＝cos ， cos＝cos＝cos ， 因为π<<<2π，y＝cos x在[π，2π]上单调递增， 所以cos <cos ，即cos<cos. [变式探究] (变条件)本例3­1改为函数y＝3－2cos (－x)，x∈[－4，4]的单调递增区间为____________． 答案：[－4，－π]，[0，π] 解析：y＝3－2cos (－x)＝3－2cos x，y＝3－2cos x与y＝cos x的单调性相反，由函数y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，得y＝3－2cos (－x)的单调递增区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z).由[－4，4]∩[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)＝[－4，－π]∪[0，π]，得函数y＝3－2cos (－x)，x∈[－4，4]的单调递增区间为[－4，－π]，[0，π]. 用余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化为同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式进行适当转化，转化到同一单调区间内，再利用函数的单调性比较大小．　　 对点练3.(1)若a＝sin 47°，b＝cos 37°，c＝cos 47°，则a，b，c大小关系为(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．c>b>a (2)函数y＝2cos x，当x∈时，(　　) A．在区间上单调递增，在区间[－，]上单调递减 B．在区间上单调递增，在区间[，π]上单调递减 C．在区间[0，π]上单调递增，在区间[－，0]，[π，]上单调递减 D．在区间[－，0]，[π，]上单调递增，在区间[0，π]上单调递减 答案：(1)C　(2)D 解析：(1)由题意得sin 47°＝sin(90°－43°)＝cos 43°，因为y＝cos x在[0°，90°]上单调递减，且0°＜37°＜43°＜47°＜90°，所以cos 37°>cos 43°>cos 47°，即b>a>C．故选C． (2)函数y＝2cos x在上单调递增，在[0，π]上单调递减，在[π，]上单调递增，故D正确；对于A，由[，π]⊆[0，π]，得y＝2cos x在[，π]上单调递减，故A错误；对于B，函数y＝2cos x在[－，]上不单调，故B错误；对于C，函数y＝2cos x在[0，π]上单调递减，故C错误．故选D． 知识 1.余弦函数的图象以及五点(画图)法的应用.2.余弦函数的性质及其应用 方法 数形结合法、五点(画图)法 易错 误区 “五点(画图)法”作图及五点的选取；单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视cos x本身具有的范围 1．函数f＝cos x的最小正周期是(　　) A．π B．2π C．3π D．4π 答案：B 解析：因为cos (x＋2π)＝cos x，所以f(x)＝cos x的最小正周期为2π.故选B． 2．已知函数y＝cos x(x∈)的图象如图所示，则它的单调递减区间是(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：观察图象知，函数y＝cos x在上的图象从左到右是下降的，在上的图象从左到右是上升的，所以函数y＝cos x(x∈)的单调递减区间是.故选A． 3．设M和m分别表示函数y＝cos x－1的最大值和最小值，则M＋m等于(　　) A． B．－ C．－ D．－2 答案：D 解析：因为－1≤cos x≤1，所以－≤cos x－1≤－，所以M＝－，m＝－，所以M＋m＝－－＝－2.故选D． 4．比较大小： (1)cos 15°________cos 35°； (2)cos________cos. 答案：(1)>　(2)< 解析：(1)因为0°<15°<35°<90°，且当0°≤x≤90°时，y＝cos x单调递减，所以cos 15°>cos 35°. (2)因为－<－<－<0，且y＝cos x在[－，0]上单调递增，所以cos<cos. 学科网（北京）股份有限公司 $$