8 5.1 正弦函数的图象与性质再认识-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5．1　正弦函数的图象与性质再认识 知识层面 1.能借助单位圆或五点(画图)法画出正弦函数的图象．　2.了解正弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．　3.借助图象理解正弦函数在[0，2π]上的性质． 素养层面 通过作正弦函数的图象，培养学生直观想象素养；通过正弦函数性质的应用，培养学生数学运算素养． 知识点一　正弦函数的图象 问题1.我们根据正弦函数的定义，求出x＝0，，，，…，2π对应的函数值，借助单位圆，可以画出正弦函数在区间[0，2π]上的图象吗？ 提示：在区间[0，2π]上取一系列的x值，例如0，，，，…，2π，并借助单位圆获得对应的正弦函数值(如图①所示)，列表． x 0 sin x 0 1 x π 2π sin x 0 － － －1 － － 0 利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结合对函数y＝sin x性质的了解，用光滑曲线顺次连接，就可以得到函数y＝sin x在区间[0，2π]上的图象(如图②所示). 问题2.由诱导公式sin (x＋2kπ)＝sin x，k∈Z，把函数y＝sin x，x∈[0，2π]上的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，能不能得到正弦函数在定义域R上的图象？ 提示：将函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象(如图③所示). 1．定义：正弦函数y＝sin x，x∈R的图象称作正弦曲线． 2．图象 [微提醒]　(1)只有函数y＝sin x，x∈R的图象称为正弦曲线．(2)正弦函数y＝sin x，x∈R的图象夹在两直线y＝±1之间． 例1　(1)使不等式－2sin x≥0成立的x的取值集合是(　　) A． B． C． D． (2)函数y＝的定义域为______________________． 答案：(1)C　(2){x或2kπ＋≤x<2kπ＋π，k∈Z} 解析：(1)不等式可化为sin x≤.作正弦曲线y＝sin x及直线y＝，如图所示． 由图知，原不等式的解集为{x≤x≤2kπ＋，k∈Z}．故选C． (2)为使函数有意义，需满足即0<sin x≤. 由正弦函数的图象，可得函数的定义域为 {x或2kπ＋≤x<2kπ＋π，k∈Z}． 利用正弦函数图象求定义域 1．利用正弦函数图象解决与正弦函数有关的定义域问题，先根据定义域的求法列出不等式(组)，再求解；涉及解三角不等式时，一般需借助图象求解． 2．利用正弦函数图象解形如sin x>a(或<a)的步骤： (1)画出直线y＝a，y＝sin x的图象； (2)确定sin x＝a时x的值； (3)确定sin x>a(或<a)的解集．　　 对点练1.函数y＝lg 的定义域为____________． 答案： 解析：要使函数有意义，自变量x应满足sin x－>0，即sin x>， 在同一直角坐标系下，作出函数y＝sin x，x∈[0，2π]以及直线y＝的图象，如图所示．由函数的图象知，sin ＝sin ＝.所以根据图象可知sin x>的解集为.又x∈R，故该函数的定义域为. 学生用书第23页 知识点二　正弦函数性质的再认识 问题3.利用正弦曲线(如图)，解答下列问题： (1)观察正弦曲线，简单地说出正弦函数的定义域、值域、奇偶性； (2)观察正弦曲线，探索正弦函数图象的对称性，它有对称轴吗？有对称中心吗？ (3)观察正弦曲线，正弦函数是不是单调函数？ 提示：(1)定义域：R；值域：[－1，1]；奇偶性：图象关于原点对称，为奇函数． (2) 正弦函数的图象既是轴对称图形，对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z；也是中心对称图形，对称中心的坐标为(kπ，0)，k∈Z. (3) 正弦函数不是单调函数，但有多个单调区间． 正弦函数的性质 函数 y＝sin x，x∈R 图象 定义域 R 周期性 是周期函数，2π是它的最小正周期 单调性 在区间，k∈Z上单调递增； 在区间，k∈Z上单调递减 最大(小) 值和值域 当x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋，k∈Z时，ymin＝－1. 值域是[－1，1] 奇偶性 奇函数，图象关于原点对称 对称性 对称轴：x＝kπ＋，k∈Z 对称中心：(kπ，0)，k∈Z [微思考]　正弦函数在第一象限是增函数吗？ 提示：不是，只能说正弦函数在区间[2kπ，2kπ＋](k∈Z)内为增函数． 例2　(1)(链教材P30例1)比较sin与sin(－)的大小； (2) 判断下列函数的奇偶性，并求函数的最小正周期： ①f(x)＝sin x(x∈R); ②f(x)＝|sin x|(x∈R). 解：(1) 因为sin＝－sin ，sin＝－sin＝－sin ， 由于<<<，且y＝sin x在上是单调递减的， 所以sin >sin ，所以－sin <－sin ，即sin<sin. (2)①因为x∈R，所以定义域关于原点对称， 因为f(－x)＝sin ＝－sin x＝－f(x)， 所以f(x)＝sin x是奇函数． 因为f(x＋4π)＝sin ＝sin(x＋2π)＝sin x＝f(x)，所以f(x)＝sin x的最小正周期是4π. ②作出f(x)＝|sin x|的图象，如图所示． 由图象易知f(x)＝|sin x|是偶函数，最小正周期为π. 1．用正弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 2．求正弦函数的单调区间有两种方法 一是利用y＝sin x的单调区间，进行代换，解不等式； 二是画图象，从图象上观察，注意定义域，单调区间不能随便并起来．　　 对点练2.(1)(多选)设函数f(α)＝sin x，下列结论成立的是(　　) A．f>0 B．－1≤f(x)≤1 C．最小正周期是2π D．f>f (2)函数y＝2sin x＋1的值域是________________． 答案：(1)ABC　(2)[1＋，3] 解析：(1)对于A，f＝sin＝>0，故A正确；对于B，－1≤sin x≤1，故B正确；对于C，正弦函数的最小正周期为2π，故C正确；对于D，由于f(x)＝sin x在上为增函数，所以f<f，故D错误．故选ABC． (2)因为≤x≤π，所以sin x∈，所以2sin x＋1∈[1＋，3]. 学生用书第24页 知识点三　五点(画图)法 问题4.在画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的简图时，应抓住哪些关键点？ 提示：根据前面的探究，我们发现，只需抓住函数图象上的几个关键点，然后用光滑的曲线连接即可．今后在精确度要求不高时，常常先找出五个关键点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). “五点(画图)法”作正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图象的步骤 (1)列表 x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 (2)描点 画正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (3)连线 用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图． 例3　(链教材P31例2)已知函数f(x)＝1－2sin x. (1)用“五点法”作出函数f(x)在x∈上的简图； (2)根据图象求f(x)≥1在上的解集． 解：(1)按五个关键点列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 f(x) 1 －1 1 3 1 于是得到函数f(x)＝1－2sin x在区间[0，2π]上的五个关键点为(0，1)，，(π，1)，，(2π，1).描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，图象如下． (2)根据(1)中的图象，可得f(x)≥1在上的解集为{0}∪[π，2π]. 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握“五点(画图)法”作图．“五点”即y＝sin x的图象在[0，2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点(画图)法”是作简图的常用方法．　　 对点练3.已知函数f(x)＝1－sin x. (1)用“五点法”作出f(x)在x∈上的图象； (2)求f(x)在x∈上的最大值和最小值． 解：(1)按五个关键点列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，对应的图象如图： (2)因为f(x)＝1－sin x，由f(x)＝1－sin x且x∈，结合图象知f(x)max＝f＝1＋，f(x)min＝f＝0. 正弦函数图象与性质的综合应用 例4　高一某班小赵同学在解答“利用五点法画出函数y＝2sin x－1在一个周期上的简图，并根据图象讨论它的性质”题目时，有如下解答过程，请补全解答过程． 第一步：列表． x 0 π 2π y＝sin x 0 y＝2sin x－1 学生用书第25页 第二步：画出y＝2sin x－1在一个周期上的简图． 第三步：讨论y＝2sin x－1的性质． 函数 y＝2sin x－1 定义域 R 最小正周期 __________ 单调性 单调递增区间为____________；单调递减区间为____________ 最大值与最小值 当x＝________时，最大值为1；当x＝________时，最小值为________ 解：第一步：列表． x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝2sin x－1 －1 1 －1 －3 －1 第二步：画出y＝2sin x－1在一个周期上的简图． 第三步：讨论y＝2sin x－1的性质． 函数 y＝2sin x－1 定义域 R 最小正周期 2π 单调性 单调递增区间为； 单调递减区间为 最大值与最小值 当x＝2kπ＋时，最大值为1； 当x＝2kπ＋时，最小值为－3 　　 正弦函数的图象与性质主要涉及到正弦函数的周期性，奇偶性与对称性，单调性与最值等．　　 对点练4.(一题多问)函数y＝asin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3. (1)求实数a的值； (2)求该函数的单调递增区间； (3)若x∈[－π，π]，求该函数的单调递增区间． 解：(1)因为ymax＝1－a， 所以a<0， 故ymin＝1＋a＝－3，所以a＝－4. (2)由(1)知，y＝－4sin x＋1， 当＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，函数y＝－4sin x＋1单调递增， 所以y＝－4sin x＋1的单调递增区间为[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z. (3)因为x∈[－π，π]，(k∈Z)∩[－π，π]＝∪， 所以当x∈[－π，π]时，y＝－4sin x＋1的单调递增区间为，. 知识 1.正弦函数的图象.2.正弦函数的性质及其应用.3.五点(画图)法作图象及应用 方法 数形结合法、五点(画图)法 易错 误区 “五点(画图)法”作图时五点的选取；单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x本身具有的范围 1．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(　　) A．重合 B．形状相同，位置不同 C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同 答案：B 解析：根据正弦曲线的图象可知函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同．故选B． 2．用“五点法”画函数y＝1＋sin x的图象时，首先应描出五点的横坐标是(　　) A．0，，，，π B．0，，π，，2π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， 答案：B 解析：所描出的五点的横坐标与函数y＝sin x的五点的横坐标相同，即0，，π，，2π.故选B． 3．函数y＝4sin x＋3在上的递增区间为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：y＝sin x的递增区间就是y＝4sin x＋3的递增区间，由正弦函数图象可得y＝sin x在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．故选B． 4．sin与sin的大小关系为________．(用“>”连接) 答案：sin>sin 解析：sin＝sin＝sin ＝sin(π－)＝sin ，sin＝sin＝sin ，因为0<<<，且y＝sin x在上单调递增，所以sin >sin ，所以sin(－)>sin. 学科网（北京）股份有限公司 $$