7 4.4 诱导公式与旋转-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

4．4　诱导公式与旋转 知识 层面 1.掌握±α的正弦、余弦诱导公式的推导过程．　2.对诱导公式能作综合归纳，体会七组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力．　3.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题． 素养 层面 通过理解诱导公式的推导过程，培养学生逻辑推理素养；通过诱导公式的应用，提升学生数学运算素养． 知识点　诱导公式与旋转 问题1.观察如图，设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转得到点P′，那么＋α的终边与单位圆的交点P′的坐标如何求？你能根据三角函数的定义探究角α与角＋α的三角函数值之间的关系吗？ 提示：P′(－v，u)；sin＝cos α，cos ＝－sin α. 问题2.利用问题1中的结论和－α与α的正(余)弦关系，探究α－与α三角函数值的关系． 提示：sin (α－)＝－sin (－α)＝－sin [＋(－α)]＝－cos (－α)＝－cos α； 同理cos (α－)＝sin α. 学生用书第20页 正弦函数、余弦函数诱导公式 角 正弦 余弦 α＋2kπ(k∈Z) sin α cos α －α －sin α cos α α＋π －sin α －cos α α－π －sin α －cos α π－α sin α －cos α α＋ cos α －sin α －α cos α sin α [微提醒]　(1)±α的正弦、余弦函数值，函数名改变，把α看作锐角，符号看±α的函数值符号．简记为：“函数名改变，符号看象限”．(2)诱导公式可以统一概括为“k·±α(k∈Z)”．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”． 角度1　利用诱导公式求值 例1　(链教材P24例8)(1)已知cos(π＋α)＝－，求sin的值； (2)已知cos(2π－α)＝－，且α为第三象限角，求cos的值． 解：(1)因为cos(π＋α)＝－cos α＝－，所以cos α＝，则sin ＝cos α＝. (2)因为cos(2π－α)＝cos α＝－，且α为第三象限角，所以sin α＝－，所以cos ＝－sin α＝. 利用诱导公式求值的策略 在对给定的式子进行求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，勿将符号及三角函数名称弄错．　　 对点练1.已知角α的终边过点P，则＝________． 答案： 解析：因为角α的终边过点P，所以sin α＝＝－，cos α＝＝，所以＝＝＝. 角度2　利用诱导公式化简 例2　(链教材P25例9)化简：. 解：原式＝ ＝ ＝＝＝1. 化简策略 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值． 注意：用诱导公式进行化简时，要注意公式的选取，坚持的原则是负化正、大化小．　　 对点练2.(1)化简：sin (α－2π)sin(α＋π)－2cos (α－)sin (α－π)－cos2(＋α)＝________． (2)化简：＝________． 答案：(1)0　(2)1 解析：(1)原式＝sin α(－sin α)－2cos [－sin(π－α)]－(－sin α)2＝－sin2α－2sinα(－sin α)－sin2α＝－sin2α＋2sin2α－sin2α＝0. (2)原式＝ ＝＝＝1. 学生用书第21页 诱导公式的综合应用 例3　已知f(x)＝. (1)化简f(x)； (2)求f . 解：(1)f(x)＝ ＝＝＝. (2)f ＝＝＝＝－. 解决诱导公式与函数相结合的问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再化简或求值，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．　　 对点练3.已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若＝3，求f(α). 解：(1)f(α)＝ ＝＝－. (2)由＝＝3， 得sin α＋cos α＝3sin α－3cos α，即sin α＝2cos α， 所以f(α)＝－＝－2. 知识 正弦函数、余弦函数的诱导公式及其应用 方法 公式法、转化与化归 易错误区 函数名称、符号的变化，角与角之间的联系与构造 1．已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°等于(　　) A．a B．－a C．a2 D． 答案：A 解析：cos 64.7°＝cos(90°－25.3°)＝sin 25.3°＝A．故选A． 2．若sin＝－，则cos(π－α)＝(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：B 解析：因为sin＝－，所以cos α＝－，所以cos(π－α)＝－cos α＝－＝.故选B． 3．(2024·山东青岛高一联考)已知cos＝，则sin ＝(　　) A．± B． C．－ D． 答案：D 解析：因为＋＝，cos＝，所以sin ＝sin＝cos(－α)＝.故选D． 4．已知sin＝，则cos ＝________． 答案： 解析：cos ＝cos＝sin(－x)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$