6 4.3 诱导公式与对称-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

4．3　诱导公式与对称 知识层面 1.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用．　2.理解诱导公式的推导过程．识记诱导公式，理解和掌握公式的内涵和结构特征．　3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题． 素养层面 借助诱导公式的推导，培养学生逻辑推理素养；通过诱导公式的应用，提升学生数学运算素养． 知识点　诱导公式与对称 问题1.观察如图，角α与－α的终边有什么关系？你能根据三角函数的定义探究角α与角－α的三角函数值之间的关系吗？ 提示：角α与－α的终边关于x轴对称，根据三角函数的定义sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α. 问题2.观察如图，角α与α±π的终边有什么关系？你能根据三角函数的定义探究角α与角α±π的三角函数值之间的关系吗？ 提示：角α与α±π的终边关于原点对称，根据三角函数的定义推出：sin (α＋π)＝－sin α，cos (α＋π)＝－cos α，sin (α－π)＝－sin α，cos (α－π)＝－cos α. 问题3.观察如图，角α与π－α的终边有什么关系？你能根据三角函数的定义探究角α与角π－α的三角函数值之间的关系吗？ 提示：角α与π－α的终边关于y轴对称，根据三角函数的定义推出：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α. 终边 关系 角－α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边关于原点对称 角π－α与角α的终边关于y轴对称 图示 公式 sin (－α)＝－sin_α， cos (－α)＝cos_α sin (α＋π)＝－sin_α， cos (α＋π)＝－cos_α， sin (α－π)＝－sin_α， cos (α－π)＝－cos_α sin(π－α) ＝sin_α， cos(π－α)＝－cos_α 特点 (1)公式两边的函数名称一致． (2)将α看作锐角时，原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，即为等号右边的符号 [微提醒]　(1)公式的角为任意角．(2)口诀：“函数名不变，符号看象限”． 学生用书第18页 例1　(链教材P21例6)求下列三角函数值： (1)cos 210°；(2)sin ；(3)sin； (4)cos(－1 920°). 解：(1)cos 210°＝cos(30°＋180°)＝－cos 30°＝－. (2)sin ＝sin＝sin ＝sin＝sin ＝. (3)sin＝－sin＝－sin ＝－sin＝sin ＝. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(120°＋5×360°)＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－. 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 第一步：“负化正”——用sin (－α)＝－sin α，cos (－α)＝cos α转化； 第二步：“大化小”——用终边相同的角的三角函数值相等化为0到2π之间的角； 第三步：“小化锐”——用α±π与π－α相应的公式将大于的角转化为锐角； 第四步：“锐求值”——得锐角三角函数后求值．　　 对点练1.(1)cos 的值为(　　) A． B．－ C． D．－ (2)计算：sin －cos ＝________． 答案：(1)C　(2)1 解析：(1)cos ＝cos ＝cos＝cos＝.故选C． (2)sin －cos ＝－sin (4π＋π＋)－cos ＝sin ＋cos ＝＋＝1. 一　给值求值 例2　(1)已知sin (α＋π)＝－0.3，则sin(2π－α)＝________； (2)已知cos ＝，则cos＝__________． 答案：(1)－0.3　(2)－ 解析：(1)因为sin (α＋π)＝－sin α＝－0.3，所以sin α＝0.3，所以sin (2π－α)＝－sin α＝－0.3. (2)cos＝cos＝－cos(－α)＝－. [变式探究] (变结论)若本例(2)中的条件不变，如何求cos ？ 解：cos ＝cos ＝cos＝cos＝. 解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用．　　 对点练2.已知cos ＝，则cos等于(　　) A．－ B． C． D．－ 答案：A 解析：cos ＝cos ＝cos (＋α)＝cos＝－cos＝－.故选A． 二　三角函数式化简求值 例3　已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若α＝－，求f(α)的值． 解：(1)f(α)＝＝cos α. (2)因为－＝－6×2π＋， 所以f＝cos ＝cos ＝cos＝cos＝cos ＝. 利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，常将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式，将所给角的三角函数式化为角α的三角函数式．　　 学生用书第19页 对点练3.(1)化简：＝________． (2)已知角α的终边与单位圆相交于点P(－，)，则化简等于________． 答案：(1)1　(2)－ 解析：(1)原式＝＝＝1. (2)因为角α的终边与单位圆相交于点P(－，)，所以cos α＝－，sin α＝.又＝＝＝＝，所以＝＝－. 知识 1.特殊关系角的终边对称性.2.三组诱导公式以及诱导公式的应用 方法 公式法、转化法 易错误区 公式中符号的确定 1．sin＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：B 解析：sin＝sin＝－sin＝－.故选B． 2．已知cos＝，则cos ＝(　　) A．－ B．－ C． D． 答案：B 解析：由cos＝－cos θ，得cos θ＝－，所以cos ＝cos θ＝－.故选B． 3．cos ＋sin的值为(　　) A．－ B． C． D． 答案：C 解析：原式＝cos －sin ＝cos －sin ＝－cos ＋sin ＝.故选C． 4．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P，则cos ＝____________. 答案： 解析：根据题意得到cos α＝＝－，故cos ＝－cos α＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$