5 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 知识层面 1.理解正弦函数值、余弦函数值的符号．　2.会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质．3.能利用正弦函数、余弦函数的基本性质解决问题． 素养层面 通过正弦函数、余弦函数性质的建立过程，培养学生逻辑推理素养；通过正弦函数、余弦函数性质的应用，提升学生数学运算素养． 知识点一　正弦函数、余弦函数的定义域、最值和值域 问题1.设任意角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，当自变量α变化时，点P的横坐标、纵坐标也在变化．试由正弦函数v＝sin α和余弦函数u＝cos α的定义，指出 (1)正弦函数v＝sin α和余弦函数u＝cos α的定义域； (2)α取何值时，v＝sin α、u＝cos α取得最大(小)值，最大(小)值分别是多少？ 提示：(1)正弦函数v＝sin α和余弦函数u＝cos α的定义域均为R. (2)当α＝2kπ＋，k∈Z时，正弦函数v＝sin α取得最大值1； 当α＝2kπ－，k∈Z时，正弦函数v＝sin α取得最小值－1. 当α＝2kπ，k∈Z时，余弦函数u＝cos α取得最大值1； 当α＝2kπ＋π，k∈Z时，余弦函数u＝cos α取得最小值－1. 正弦函数v＝sin α 余弦函数u＝cos α 定义域 R 值域 [－1，1] 最小值 当α＝2kπ－，k∈Z时，vmin＝－1 当α＝(2k＋1)π，k∈Z时，umin＝－1 最大值 当α＝2kπ＋，k∈Z时，vmax＝1 当α＝2kπ，k∈Z时，umax＝1 例1　(链教材P19例4)求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时自变量α的值： (1)v＝cos α，α∈； (2)v＝－sin α，α∈. 解：(1)在单位圆中画出α在区间[，π]上的示意图如图①所示，由图可知：当α＝时，函数v＝cos α取得最大值，最大值为cos ＝； 当α＝π时，函数v＝cos α取得最小值，最小值为cos π＝－1. 　 (2)在单位圆中画出α在区间[－，－]上的示意图，如图②所示，由图可知：当α＝－时，v＝－sin α取得最小值， 当α＝－时，v＝－sin α取得最大值. 1．对函数y＝sin α，y＝cos α(其中α∈[m，n])，可通过观察角α终边与单位圆交点坐标的变化得到它们的最值和值域． 2．关于sin α或cos α的复合函数，注意利用换元思想求解．　　 对点练1.求函数u＝－3cos α＋1在上的最大值与最小值． 解：在单位圆中画出α在区间上的示意图． 由图知，当α＝时，cos α取得最大值，此时umin＝－3×＋1＝； 当α＝π时，cos α取得最小值－1，此时umax＝－3×(－1)＋1＝4. 学生用书第15页 知识点二　正弦函数、余弦函数的周期性与单调性 问题2.你能用数学表达式表示与α终边相同的角的正弦值与sin α、与α终边相同的角的余弦值与cos α的关系吗？ 提示：对任意k∈Z，sin (α＋2kπ)＝sin α，α∈R，cos (α＋2kπ)＝cos α，α∈R. 问题3.已知v＝sin α，α∈[－，]，当α发生变化时，观察α的终边与单位圆的交点P(cos α，sin α)的变化，试写出其单调递增和递减区间． 提示：当α∈时，随着α的增大，sin α的值增加，v＝sin α在上单调递增，如图①所示； 当α∈时，随着α的增大，sin α的值减小，v＝sin α在上单调递减，如图②所示． 故v＝sin α，α∈的单调递增区间为，单调递减区间为. 正弦函数v＝sin α 余弦函数u＝cos α 周期性 周期函数，最小正周期为2π 单调性 在区间[2kπ－，2kπ＋]，k∈Z上单调递增；在区间[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z上单调递减 在区间[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上单调递减；在区间[2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z上单调递增 [微提醒]　若正弦函数在[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)上为增函数，是指当k取某个整数值时，得到一个对应区间，则只在这个区间上单调递增，而不是在这些区间的并区间内单调递增，更不能说成在第一、四象限为增函数． 例2　(链教材P19例3)借助单位圆，讨论函数u＝cos α在区间[－，]上的单调性． 解：在单位圆中画出角α在区间上的示意图，如图所示， 由图可得u＝cos α在[－，0]上单调递增；在[0，]上单调递减． 利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能使用“∪”连接．　　 对点练2.(1)下列关于函数u＝4sin α，α∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(　　) A．在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减 B．在上单调递增，在和[，π]上单调递减 C．在[0，π]上单调递增，在[－π，0]上单调递减 D．在上单调递增，在上单调递减 (2)函数u＝cos α，α∈的单调递增区间为________；单调递减区间为________． 答案：(1)B　(2)和　[0，π] 解析：(1)利用单位圆可以得到：函数u＝4sin α在上单调递增，在和[，π]上单调递减．故选B． (2)作出单位圆如图所示，当α∈时，随着α的增大，观察α的终边与单位圆交点横坐标的变化易知，递增区间为，；递减区间为[0，π]. 知识点三　正弦函数值和余弦函数值的符号 问题4.借助单位圆以及正弦、余弦函数的定义，探究三角函数值的符号与什么有关． 提示：正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号，余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号． 正弦、余弦函数值在各象限的符号 象限 三角函数　　 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ 学生用书第16页 [微提醒]　(1)口诀“一全正、二正弦、三全负、四余弦”．(2)易忽略正弦、余弦函数在坐标轴上的符号． 例3　(1)(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是(　　) A．cos(－280°)<0 B．sin 500°>0 C．sin<0 D．cos>0 (2)若sin α＋cos α<0，且sin αcos α>0，则角α的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：(1)BCD　(2)C 解析：(1)因为－280°＝80°－360°，所以－280°是第一象限角，所以cos(－280°)>0；因为500°＝140°＋360°，所以500°是第二象限角，所以sin 500°>0；因为－＝－2π，所以－是第三象限角，所以sin<0；因为＝＋4π，所以是第一象限角，所以cos>0.故选BCD． (2)由sin αcos α>0，可知α是第一或第三象限角，又sin α＋cos α<0，所以sin α，cos α同为负，所以角α的终边在第三象限．故选C． 涉及正、余弦函数值的符号主要有两类问题 1．由给定角判断三角函数值或三角函数式的符号． 2．由正弦值、余弦值的符号判断角的终边的位置或求参数的范围．　　 对点练3.判断下列各式的符号： (1)sin α·cos α(α是第四象限角)； (2)sin 3·cos 4·cos. 解：(1)因为α是第四象限角，所以sin α<0，cos α>0.所以sin α·cos α<0. (2)因为<3<π，π<4<，所以sin 3>0，cos 4<0.因为－＝－6π＋，所以cos>0. 所以sin 3·cos 4·cos<0. 利用单位圆解三角函数不等式 例4　求函数y＝ 的定义域． 解：自变量x应满足2sin x－≥0，即sin x≥，图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围， 即定义域为{x≤x≤2kπ＋，k∈Z}． [变式探究] (变条件)将本例改为求y＝ 的定义域． 解：自变量x应满足－2sin x≥0，即sin x≤， 图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围， 即定义域为{x≤x≤2kπ＋，k∈Z}． 1．求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．　　 2．要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集． 对点练4.求函数y＝的定义域． 解：要使有意义， 则必须满足2sin x＋1≥0， 即sin x≥－， 图中阴影部分即为所求， 则函数定义域为，k∈Z. 知识 1.正弦、余弦函数的定义域.2.正弦、余弦函数的值域与最值.3.正弦、余弦函数的单调性．4.正弦、余弦函数值在各象限的符号 方法 数形结合法、分类讨论法 易错误区 单调区间漏写k∈Z，特殊角函数值记忆错误造成三角不等式解集有误 学生用书第17页 1．函数v＝sin α在区间[－π，]上的单调性是(　　) A．先增后减 B．先减后增 C．先增后减再增 D．先减后增再减 答案：B 解析：在单位圆中画出α在区间上的示意图．从图中知v＝sin α在上单调递减；在上单调递增．故选B． 2．函数y＝sin x，x∈的最大值和最小值分别是(　　) A．1，－1 B．1， C．， D．1， 答案：C 解析：函数y＝sin x在区间上单调递增，故最大值是sin ＝，最小值是sin ＝.故选C． 3．函数u＝cos α的一个单调递增区间为(　　) A． B．(0，π) C． D．(π，2π) 答案：D 解析：因为u＝cos α的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，令k＝1得α∈[π，2π]，即为u＝cos α的一个单调递增区间，而(π，2π)⊆[π，2π].故选D． 4．函数y＝ 的定义域为____________． 答案： 解析：自变量x应满足2sin x－≥0，即sin x≥.如图所示，单位圆中阴影部分就是满足条件的角x的范围，即{x≤x≤2kπ＋，k∈Z}． 学科网（北京）股份有限公司 $$