4 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4．1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 知识层面 1.借助单位圆理解正弦、余弦函数的关系．　2.掌握任意角的正弦、余弦的定义． 素养层面 通过任意角的正(余)弦函数定义的学习，培养学生数学抽象素养；通过任意角的正(余)弦函数定义的应用，提升学生数学运算素养． 知识点一　任意角的正弦函数和余弦函数 问题1.如图所示，如果一个锐角α的终边与单位圆的交点是P(u，v)，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦的定义，能否用点P的坐标表示sin α，cos α？ 提示：当α为锐角时，cos α＝u，sin α＝v. 问题2.一般地，给定一个任意角α，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？ 提示：一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标u还是纵坐标v，都是唯一确定的，且cos α＝u，sin α＝v，即点P的横坐标u和纵坐标v都是角α的函数． 1．锐角的正弦函数和余弦函数 对于锐角α，点P的纵坐标v是该角的正弦函数值，记作v＝sin_α；点P的横坐标u是该角的余弦函数值，记作u＝cos_α． 2．任意角的正弦函数和余弦函数 给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的．仿照上述锐角三角函数的定义，把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值，记作v＝sin α；把点P的横坐标u叫作角α的余弦值，记作 u＝cos α. 例1　 (一题多问)(链教材P15例2)在平面直角坐标系的单位圆中，α＝. (1)画出角α； (2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标； (3)求出角α的正弦函数值、余弦函数值． 解：(1)因为α＝＝2π＋，所以角α的终边与角的终边相同．以原点为角的顶点，以x轴非负半轴为始边，逆时针旋转，与单位圆交于点P，则角α如图所示． (2)由(1)知，点P在第二象限，且在角的终边上，所以点P的坐标为. (3)由(2)及正、余弦函数的定义可得sin ＝，cos ＝－. 利用任意角的正弦函数和余弦函数的定义求角的正弦、余弦值的关键在于确定角的终边与单位圆的交点坐标．　　 对点练1.在单位圆中，α＝－. (1)画出角α； (2)求角α的终边与单位圆的交点P的坐标； (3)求角α的正弦函数值和余弦函数值． 解：(1)因为－＝－2π＋(－)，所以－与－终边相同． 以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转，与单位圆交于点P，角α如图所示． (2)过点P作x轴的垂线交x轴于点M.于是∠MOP＝－.设点P(u，v)，则u＝，v＝－，即点P的坐标为(，－). (3)由任意角正弦函数、余弦函数的定义，得sin (－)＝v＝－，cos (－)＝u＝. 学生用书第12页 知识点二　任意角的终边上任一点的正弦函数、余弦函数的定义 问题3.已知Q(x，y)是角α终边上除原点外的任一点，如何求sin α与cos α？ 提示：先考虑角α的终边不在坐标轴上的情形． 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的坐标为(cos α，sin α)，且OP＝1. 点Q(x，y)在角α的终边上，则OQ＝. 分别过点P，Q作x轴的垂线PM，QN，垂足为M，N.易知△POM∽△QON. 所以＝，即＝. 因为点P和点Q在同一象限，所以sin α和y的符号相同，于是得到sin α＝. 同理，cos α＝. 当角α的终边在坐标轴上时，容易验证上述等式仍然成立． 设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝，cos α＝，其中r＝. [微思考]　角α的正弦、余弦函数值的大小与α终边上点的位置有关系吗？ 提示：角α的正弦、余弦函数值的大小与在终边上的点的位置无关． 例2　(链教材P15例1)已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ的值． 解：由题意知r＝|OP|＝， 由三角函数定义得cos θ＝＝. 又因为cos θ＝x，所以＝x. 因为x≠0，所以x＝±1. 当x＝1时，P(1，3)，此时sin θ＝＝. 当x＝－1时，P(－1，3)，此时sin θ＝＝. 综上，sin θ的值为. [变式探究] (变条件、变设问)在本例中，将“cos θ＝x”改为“sin θ＝”，求x的值． 解：因为|OP|＝，所以sin θ＝＝，解得x2＝1，所以x＝±1. 1．已知角α终边上除原点外的任一点的坐标求三角函数值的方法 (1)先利用角α的终边与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应的三角函数值． (2)在角α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便． 2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．　　 对点练2.已知角α的终边过点P(－3a，4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值． 解：r＝＝5|a|. ①若a>0，则r＝5a，角α是第二象限角，sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－， 所以2sin α＋cos α＝－＝1； ②若a<0，则r＝－5a，角α是第四象限角，sin α＝＝－，cos α＝＝， 所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1. 综上所述，2sin α＋cos α的值为1或－1. 学生用书第13页 求终边在已知直线上的角的三角函数值 例3　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值． 解：设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则r＝＝. 当k＞0时，r＝k，所以sin α＝＝－，＝＝， 所以10sin α＋＝－3＋3＝0. 当k＜0时，r＝－k，所以sin α＝＝，＝＝－， 所以10sin α＋＝3－3＝0. 综上，10sin α＋＝0. 1.先利用直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦函数、余弦函数的定义求出相应的三角函数值． 2.注意到角的终边为射线，应分两种情况处理，取射线上任意一点P(a，b))，则对应角的正弦值为，余弦值为cos α＝ 对点练3.已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求2sin α＋cos α的值． 解：在直线3x＋4y＝0上任取一点P(4a，－3a)(a≠0)， 则r＝＝5|a|. (1)当a＞0时，r＝5a，故sin α＝＝－， cos α＝＝， 所以2sin α＋cos α＝2×(－)＋＝－. (2)当a＜0时，r＝－5a，故sin α＝＝， cos α＝＝－， 所以2sin α＋cos α＝2×＋(－)＝. 故2sin α＋cos α的值为或－. 知识 1.任意角的正弦函数和余弦函数.2.利用角α的终边上除原点外的任意一点的坐标求三角函数值.3.已知角的终边落在某一直线上，求其三角函数值 方法 转化与化归、分类讨论法 易错误区 正弦、余弦函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点的位置无关 1．已知点P(－3，－4)为角α终边上一点，则sin α＝(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：D 解析：因为点P(－3，－4)为角α终边上一点，所以sin α＝＝－.故选D． 2．已知角α终边经过点P，且cos α＝－，则x的值为(　　) A．± B．± C．－ D． 答案：C 解析：因为角α终边经过点P，所以cos α＝＝－，所以解得x＝－.故选C． 3．(多选)若sin α＝－，则下列各点可能是角α终边上的点的是(　　) A． B． C． D． 答案：CD 解析：选项中的点均为平面直角坐标系中单位圆上的点，由三角函数的定义，知y＝sin α＝－.故选CD． 4．已知α∈(0，2π)，且α的终边上一点的坐标为(sin ，cos )，则α＝________． 答案： 解析：α的终边上一点的坐标为(sin ，cos )，即α的终边上一点的坐标为(，)，位于第一象限，所以cos α＝＝，因为α∈(0，2π)，所以α＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$