3 3.1 弧度概念&3.2 弧度与角度的换算-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

§3　弧度制 3．1　弧度概念　 3.2　弧度与角度的换算 知识层面 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．　2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系．　3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 素养层面 通过弧度制的概念的学习，培养学生数学抽象素养；通过角度制与弧度制的换算以及扇形的面积与弧长公式的应用，提升学生数学运算素养． 知识点一　弧度概念 问题1.角度是怎么定义的？这种度量单位的确定与单位线段有关吗？ 提示：把圆周等分成360份，称其中每一份所对的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制．这种度量单位的确定与单位线段无关． 问题2.如图所示，三个圆为同心圆，，，的长都等于相应圆的半径，它们所对应的圆心角与半径的大小有没有关系？弧长与半径的比分别为多少？ 提示：没有关系；都等于1. 1．角度制和弧度制 角度制 以度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，用周角的作为一个单位，称为1度角 弧度制 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角．其单位用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制 2.弧度数的计算 [微提醒]　(1)无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值．(2)在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心的正角的弧度数． 例1　下列各命题中，真命题是(　　) A．1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度等于半径的弧 C．1弧度是1°的弧与1°的角之和 D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小 答案：D 解析：根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确．故选D． 1．圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的． 2．任意角的弧度数与实数是一一对应的关系．　　 对点练1.下列说法正确的是(　　) A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D．用弧度表示的角都是正角 答案：A 解析：对于A，根据弧度的定义知，1弧度的圆心角所对的弧长等于半径，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误．故选A． 学生用书第9页 知识点二　弧度与角度的换算 问题3.角可以分别用角度和弧度度量，角度和弧度之间有什么关系呢？ 提示：根据弧度的定义，因为半径为r的圆的周长为l＝2πr，故圆周角的弧度数α＝2π，而圆周角的角度数是360°，于是我们有了弧度与角度的换算关系． 1．常见角度与弧度互化公式 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝≈57°18′ 2.一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系 角度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 π 2π [微提醒]　(1)弧度单位rad可以省略．(2)角度制与弧度制是两种不同的度量角的方式，二者不能混用，如α＝k·360°＋(k∈Z)，这种写法是错误的． 角度1　角度制与弧度制的互化 例2　(链教材P10例1、例2)将下列角度与弧度进行互化： (1)π； (2)－；(3)10°；(4)－855°. 解：(1)π＝×180°＝15 330°. (2)－＝－×180°＝－105°. (3)10°＝10×＝. (4)－855°＝－855×＝－. 角度与弧度的互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数．一般情况下，省略弧度单位raD．　　 对点练2.(多选)下列转化结果正确的是(　　) A．67°30′化成弧度是 B．－化成角度是－600° C．－150°化成弧度是 D．化成角度是5° 答案：AB 解析：对于A，67°30′＝67.5×＝，故A正确；对于B，－＝－×＝－600°，故B正确；对于C，－150°＝－150×＝－，故C错误；对于D，＝×＝15°，故D错误．故选AB． 角度2　用弧度制表示角 例3　已知α＝－1 920°. (1)将α写成β＋2kπ的形式，并指出它是第几象限角； (2)求与α终边相同的角θ，满足－4π≤θ<0. 解：(1)因为－1 920°＝－12π＋，π<<， 所以将α写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β<2π)的形式为－1 920°＝－12π＋，它是第三象限角． (2)因为θ与α的终边相同， 所以令θ＝2kπ＋，k∈Z， 当k＝－1，k＝－2满足题意，故θ＝－，－. 用弧度制表示终边相同的角的两个关键点 1．用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍． 2．注意角度制与弧度制不能混用，保持单位的统一性．　　 对点练3.用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(包含边界)的角θ的集合． 解：终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z，即θ＝＋2kπ，k∈Z. 终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即θ＝－＋2kπ，k∈Z， 故终边落在阴影部分的角θ的集合为{θ＋2kπ≤θ≤＋2kπ，k∈Z}． 学生用书第10页 扇形的弧长与面积公式 例4　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l. (1)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． 解：(1)由题意得 解得(舍去)，或所以扇形圆心角为. (2)由已知得，l＋2R＝20. 所以S＝lR＝R＝10R－R2＝－2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25，×α×R2＝25，解得α＝2. 故当扇形的圆心角α为2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积为25 cm2. 扇形的弧长和面积的求解策略 1．记公式：面积公式：S＝lR＝αR2，弧长公式：l＝αR(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π). 2．找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解．　　 对点练4.已知一扇形的圆心角为α，周长为C，面积为S，弧长为l，所在圆的半径为r. (1)若α＝30°，r＝8，求扇形的弧长； (2)若C＝16，S＝16，求扇形的半径和圆心角． 解：(1)由已知得l＝8×30×＝. (2)由已知得解得 所以α＝×＝×＝， 即扇形的半径为4，圆心角为. 知识 1.弧度概念. 2.弧度与角度的换算．3．扇形的弧长与面积的计算 方法 转化法、公式法 易错误区 弧度与角度混用 1．把π弧度化成角度是(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 答案：D 解析：因为π＝180°，所以π＝×180°＝120°.故选D． 2．315°＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：315°角对应的弧度数为π＝π.故选C． 3．在半径为9的圆中，100°的圆心角所对弧长为(　　) A．900 B．5π C．π D．10π 答案：B 解析：100°＝×100＝，则所对弧长为×9＝5π.故选B． 4．已知一扇形的弧长为，面积为，则其半径r＝________，圆心角为________． 答案：2　 解析：设圆心角为α，因为扇形的弧长为，面积为＝××r，解得r＝2，由于扇形的弧长为＝rα＝2α，解得α＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$