专题18 新高考背景下导数的新定义问题（3大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第二册）

专题18 新高考背景下导数的新定义问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、定义新概念 2 题型二、定义新运算 12 题型三、定义新性质 17 压轴能力测评（6题） 24 一、新定义问题 “新定义”主要是指即时定义新概念、新运算、新性质几种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 二、新定义问题的方法和技巧 1.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； 2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； 3.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； 4.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 三、导数新定义问题 1、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸． 2、设为平面上两点，则定义为“折线距离”“直角距离”或“曼哈顿距离”，记作． 结论1：设点为直线0外一定点，为直线上的动点，则 结论2：设点为直线上的动点，点为直线上的动点，则． 【题型一 定义新概念】 一、解答题 1．（23-24高二下·甘肃武威·期中）对于三次函数．定义：①的导数为，的导数为，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称． (1)已知，求函数的“拐点”的坐标； (2)检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称. 【答案】(1) (2)的图象关于“拐点”对称 【分析】（1）借助定义求出时的解即可得； （2）计算是否成立即可得. 【详解】（1）由，则，则， 当时，解得，又， 故其拐点为； （2）由（1）知“拐点”坐标是， 又 ， 由定义②知的图象关于“拐点”对称. 2．（23-24高二下·山东枣庄·期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为.幂指函数在求导时，可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数，. (1)已知，，求曲线在处的切线方程； (2)若且，研究函数的单调性； (3)已知，，，均大于0，且，讨论和的大小关系. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据幂指函数的求导法则结合导数的几何意义求解即可； （2）根据幂指函数的求导法则结合导数和函数单调性的联系求解即可； （3）构造函数，利用函数单调性求解即可. 【详解】（1）， 故， ，且， 故切线方程为，即 （2）， 故 ， 设，， 则， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以， 即，故在单调递增. （3）设，则， 设， 由在单调递增知，在单调递增. 故当时，，即， 即， 当时，，即， 即. 综上，当时， ； 当时， 【点睛】关键点点睛：本题是导数中的新定义问题，关键是明确幂指函数的求导法则，然后结合函数的单调性比较大小即可. 3．（23-24高二下·重庆·期中）若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数” (1)证明：为“切合函数”； (2)若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）假设存在两个不同的数满足条件，通过求出即可得证； （2）（ⅰ）利用“切合函数”的定义得出关系式，通过构造新函数，通过新函数的单调性得出证明. （ⅱ）利用与的关系，把待证不等式转化为关于的不等式，构造函数，利用单调性证明即可. 【详解】（1）假设存在两个不同的数，满足题意， 易知，由题意可得 ， 即， ，，， ， 又， 所以. 因为，即， 化简可得，又， 所以， 代入， 可得或， 所以为“切合函数”. （2）由题意知， 因为为“切合函数”， 故存在不同的数(不妨设)使得 ， 即， 整理得， （ⅰ）先证， 即， ， 令，则由，知， 要证，只需证， 即， 设， 易知， 故在单调递减，所以， 故有， 由上面的式知, 所以.                                           （ⅱ）由上面的得， ， 又， 所以且， 故要证，                   只需证， 即， 设， 则即证 ， 设， 则， 即也就是在单调递增， ， 所以在单调递增， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以原不等式成立. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键主要有三点：一是理解新定义“切合函数”；二是利用切合函数得到两个关键等式；三是把多变量转化为单变量，构造函数，利用单调性证明不等式. 4．（23-24高二下·山东德州·期中）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”. (1)若，判断是否为上的“2类函数”； (2)若，为上的“2类函数”，求实数a的取值范围. 【答案】(1)不是上的“2类函数”. (2). 【分析】（1）利用解析式化简，结合放缩即可判断； （2）不妨设，根据新定义可得，整理后可得且，根据和的单调性可得，然后参变分离，构造函数，，分别利用导数求和即可得解. 【详解】（1）对于任意不同的，设， 则，， 所以， 所以不是上的“2类函数”. （2）因为， 由题意知，对于任意不同的，都有， 不妨设，则， 故且， 故为上的增函数，为上的减函数， 所以，， 故对任意，都有，即， 所以， 令，， 令，在单调递减， 所以，， 故在单调递减， 所以，所以， 令，， 令，在上单调递减， ，， 所以，使，即， 当时，，即，在上单调递增， 当时，，即，在上单调递减， 所以， 由，得， 所以， 又因为，所以， 所以a的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题关键在于根据新定义转化为为上的增函数，为上的减函数，再由函数单调性与导数的关系得，然后参变分离，转化为求函数最值问题，最后利用导数求解可得.本题还属于隐零点问题，需充分利用隐零点方程. 5．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）设是定义在区间上的连续函数，若存在区间，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为“含峰函数”，为“峰点”，称为的一个“含峰区间”. (1)判断下列函数是否为“含峰函数”？若是，请指出“峰点”；若不是，请说明理由： （i）； （ii）. (2)已知是“含峰函数”，且是它的一个“含峰区间”，求的最大值； (3)设是“含峰函数”，是它的一个“含峰区间”，并记的最大值为.若，且，求的最小值. 【答案】(1)（i）是“含峰函数”，“峰点”为 （ii）不是 “含峰函数” (2) (3) 【分析】（1）结合所给定义，分别借助导数研究函数与是否有极大值即可得； （2）结合所给定义，可得在上存在极大值点，结合导数计算即可得的范围，即可得其最值； （3）求导后可因式分解，由定义可得有两不相等实根，再根据，结合单调性得到，根据，结合单调性得到，即有，即可结合韦达定理表示出，再由、代入计算可得出间的关系，即可分类讨论最小值. 【详解】（1）（i）由，， 当或时，，当或时，， 所以在和上单调递增，在和上单调递减， 故存在区间，该函数在上单调递增，在上单调递减， 故是“含峰函数”， “峰点”为， （ii），，则在上是增函数， 故不是“含峰函数”； （2）由题意在上存在极大值点， 的定义域是， ， 因为，令得，（舍去）， 当时，，当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得，又，所以的最大值是； （3）由， 则， 若， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 此时不为 “含峰函数”， 则有两个不等实根， 设这两根分别为、且， 则有， ，， 由，故在上不为减函数， 若，则当时，，即在上单调递减，矛盾，故； 由，故在上不为增函数， 若，则当时，，即在上单调递增，矛盾，故； 故有， 故当时，，当时，， 即在、上单调递减，在、上单调递增， 故，故 ， 由，即， ，即， 令，解得， 故当时，，当时，， 故当时， ， 由，故， 当时， ， 由，故， 综上所述，的最小值为，此时，. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于根据，结合单调性得到，根据，结合单调性得到. 【题型二 定义新运算】 一、解答题 1．（24-25高二上·山西·阶段练习）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据题设新定义即可证结论； （2）令，并对其求导，讨论参数的范围，结合函数区间最值确定参数范围. 【详解】（1）因为，且在上连续，在内可导， 所以，由罗尔中值定理得，. （2）设，则. 当，即时，， 当，得，则在上单调递减， 当，得，则在上单调递增， 从而，故符合题意. 当时，即时，令，得或. 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减. 因为在上的最小值为，且，则，得； 当，即时，恒成立，则在上单调递增，故，不合题意； 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减， 从而，故，不合题意； 综上，a的取值范围为. 2．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式.当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式.比如在处的麦克劳林公式为：，由此当时，可以非常容易得到不等式请利用上述公式和所学知识完成下列问题： (1)写出在处的泰勒展开式. (2)若，恒成立，求a的范围;（参考数据） (3)估计的近似值（精确到） 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）求导，根据题意写出在处的泰勒展开式； （2）结合在处的泰勒展开式，构造函数证明，再令，，求导得到函数单调性，证明出，当时， ，满足要求，当时，令，，易求得，所以必存在一个区间，使得在上单调递减， 所以时，，不合要求，从而得到答案； （3）求出和的泰勒展开式，得到，令，估计的近似值. 【详解】（1），，，， 其中， 在处的泰勒展开式为：， （2）因为， 由在处的泰勒展开式，先证， 令， ，易知，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 再令，，易得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而，所以恒成立， 当时， ，所以成立， 当时，令，，易求得， 所以必存在一个区间，使得在上单调递减， 所以时，，不符合题意. 综上所述，. （3）因为转化研究的结构， ， ， 两式相减得 ， 取得， 所以估计的近似值为（精确到）. 【点睛】麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下： ，， ， ， ， 3．（24-25高二上·山西阳泉·期末）如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积. (1)求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积； (2)当时，求证：； (3)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中新定义的含义计算即可. （2）先由新定义的运算得到，再构造函数，利用导数分析单调性，证明结论. （3）先证明时，再利用结论，得，累加法可得答案. 【详解】（1）由，得. 由题意可得所求面积. 令，则是常数） 所以， 即曲线在上与轴围成的封闭图形的面积为. （2）令，可得（是常数）， 所以， 要证，只需证， 令， 当时，， 所以在上单调递减，所以当时，， 所以，即. （3）由（2）得，当时，. 因为，所以. 即. 所以. . . . 累加可得 ， 即， 所以. 【点睛】关键点点睛：构造函数，求导证明，进而得到，利用累加法得出答案. 【题型三 定义新性质】 一、解答题 1．（2024·江西·模拟预测）已知定义在正整数集上的函数，若函数同时具有性质：①对任意，；②存在实数a，使得对任意，，则称函数为“可积函数”，此时a称为的“可积指标”.（e是自然对数的底数） (1)判断函数，是否“可积函数”，若是，求出的“可积指标”；若不是，请说明理由； (2)若定义在正整数集上的函数是“可积指标”为a的“可积函数”，求的解析式，及“可积指标”a的最大值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)； 【分析】（1）根据可积函数定义，结合反比例函数的单调性，通过常变量分离求得，由函数单调性可知不为常数； （2）结合定义求的解析式，再由不等式分离参数，转化为恒成立问题，再构造函数利用导数求最值可得. 【详解】（1）函数，不是“可积函数”，理由如下： 当时，函数是单调递减， 所以有，符合性质①； 假设存在实数a，使得对任意，， 即，则， 所以，两边取对数得， 得，令， 设，， 则， 由，， 则， 故在单调递减，且， 因此给定一个值，对应的值不同，即值不同， 所以对于对任意，因此不存在实数a，使， 因此不符合性质②， 故函数，不是“可积函数”； （2）当，有成立， 当时，有， 两式相除，得，显然当时，也成立， 综上，； 因为函数是“可积指标”为a的“可积函数”， 所以有，可变形为. 令，则， 设，， 则 令，其中， 则， 令，其中， 则，则在单调递减， 所以，即，故在单调递减； 所以，即，故在单调递减； 当时，，即， 且当时，， 故要使恒成立，则. 故，且“可积指标”a的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于运算，利用整体换元法，进而简化函数运算探求函数性质. 2．（2024·上海奉贤·一模）若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质． (1)判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）； (2)设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由； (3)设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程． 【答案】(1)偶函数，一条点切线方程为 (2)没有，理由见解析 (3)证明见解析，切线方程为和 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可得出函数的奇偶性，数形结合可得出该函数的一条点切线方程； （2）求出，分析函数的单调性，即可得出结论； （3）取点、、，利用导数求出曲线在三处的切线方程，利用这三条切线重合可得出，然后对、、的关系进行讨论，即可求出对应的切线方程. 【详解】（1）令，其中，则， 所以，函数为偶函数，且，如下图所示： 由图可知，函数的一条点切线方程为. （2）因为，该函数的定义域为，且， 令，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 因此，不可能存在、且，使得， 因此，函数不具有点性质. （3）取点、、， 因为，则， 所以，曲线在点处的切线方程为， 即， 曲线在点处的切线方程为， 曲线在点处的切线方程为， 由题意可知，这三条切线重合， 则， 由上得，则，，， （i）若，，， 则，所以，， 因为，则（舍去）； （ii）若，，中至少有一个成立， 不妨设，则， 若，则（舍去），所以，， 故或. 综上所述，点切线方程为和. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问题考查点切线的新定义，解题的关键就是利用切线重合得出，通过分析、、之间的关系来求解. 3．（2024·上海·三模）设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． (1)已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； (2)已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； (3)已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 【答案】(1)区间是函数的“美好区间”，区间不是函数的“美好区间”，理由见解析； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）分别求出函数在区间和区间上的值域，结合“美好区间”的定义判断即可； （2）记，，根据“美好区间”的定义可得：或，利用导数研究在上的单调性，分，，以及四种情况讨论在区间上的值域，利用集合间的关系，即可得到实数的取值范围； （3）对于任意区间，记，根据单调性得到，若为的“美好区间”必满足性质②，转化为或，得出函数一定存在“美好区间”，记，结合函数的单调性和零点存在定理，得到存在，使得，即可证明结论. 【详解】（1）区间和区间都是函数的“美好区间”，理由如下： 由， 当时，，所以区间是函数的“美好区间” 当时，，不是的子集， 所以区间不是函数的“美好区间” （2）记， 若区间是函数的一个“美好区间”，则或 由，可得， 所以当或时，，则的单调递增区间为：，； 当时，，则的单调递增区间为：， 且，，，得到在的大致图像如下： (i)当时，在区间上单调递减，且， 所以，则，即对于任意，都有，满足性质②, 故当时，区间是函数的一个“美好区间”； (ii)当，在区间上单调递减，在上单调递增，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iii)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 所以，，则当时，区间不是函数的一个“美好区间”； (iv)当时，在区间上单调递减，在上单调递增，且，此时， 因为，则要使区间是函数的一个“美好区间”，则，即， 构造函数， 则， 由于，所以恒成立，则在区间上单调递增， 所以，则，不满足题意， 故当时，区间不是函数的一个“美好区间”， 综上，实数的取值范围是 （3）对于任意区间，记， 因为对于任意，都有， 所以在区间上单调递减，故， 因为，即的长度大于的长度，故不满足性质①， 所以若为的“美好区间”必满足性质②，即， 即只需要或， 由显然不恒成立，所以存在常数使得， 如果，取，则区间满足性质②； 如果，取，则区间满足性质②； 综上，函数一定存在“美好区间”； 记，则的图象连续不断，下证明有零点， 由于在上单调递减，则在上是减函数，记 若，则是的零点； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 若，则，记，， 由零点存在定理，可知存在，使得； 综上，有零点，即， 因为所有“美好区间”都满足性质②，故，否则与性质②矛盾； 即存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”，证毕. 【点睛】思路点睛：本题是新定义题，解题关键是理解“美好区间”的含义，对于区间是函数的一个“美好区间”，实质就是在区间上的值域满足或，这样就把新定义转化为一般函数及导数的问题. 一、解答题 1．（2024·江西新余·模拟预测）偏导数在微积分领域中有重要意义.定义：设二元函数在点附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数（计算时相当于将视为常数），记作，若在区域内每一点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于的偏导函数，它被称为二元函数对的偏导函数，记作.以上定义同样适用于三元函数. (1)气体状态方程描述的三个变量满足：（是非零常量）.求的值，并说明其为常数. (2)求值：对的偏导数. (3)将偏导数应用于包络线在金融领域可以发挥重要价值.在几何学中，某个平面内曲线族的包络线是跟该曲线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线，例如：曲线族的包络线为.不难发现：对于任何一个给定的的值，包络线与原曲线的切点的总是对应值在参数取遍后得到的极值.已知函数的包络线为. （i）求证：. （ⅱ）设的极值点构成曲线，求证：当时，与有且仅有一个公共点. 【答案】(1)，说明见解析 (2) (3)（i）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据“偏导函数”的定义求解即可； （2）求出，再将带入即可求值； （3）（i）先求出包络线，再构造函数，利用导数研究的单调性，进而可知的最值，进而可证明； （ii）对求导，令得到的极值点和极值，令，求出的极值点和单调性及最值，由题知的最大值与的最大值等价，进而求出的值；再利用导数研究的单调性和最值，进而可以证明与有且仅有一个公共点. 【详解】（1）； ，； ，. ，为常数. （2）， 故：. （3）（ⅰ）令，则：. 由于在上，故：，① 由于取极值，故：，即：，② 由①②消去得：. 下试证：， 即证：. ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，，故：. （ⅱ），令： ，令：， ，令： 当时，单调递增， 当时，单调递减，且的最大值与的最大值等价. ，当且仅当时，. 又，，令：或. 当时，单调递减， 当时，单调递增. . 当且仅当时等号成立. 与有唯一公共点. 【点睛】关键点点睛：1.理解偏导数的概念； 2.用导数研究函数的单调性是导数的一个重要应用，在导数解答题中，单调性问题是绕不开的一个问题，因为单调性是解决后续问题的关键，利用导函数求解函数单调性步骤，先求定义域，再求导，根据导函数的正负号，确定函数的单调区间，若不能直接求出，可能需要多次求导. 2．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数. 若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为.若在区间单调递增；则称为区间上的凹函数.（这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.） (1)讨论函数，的凹凸性，并求锐角中，求的最小值； (2)已知函数. （ⅰ）当时，讨论的凹凸性； （ⅱ）平面直角坐标系中的点称为函数的“切点”，当且仅当过点恰好能作曲线的条切线，其中.当时，点在轴右侧且为的“切点”，求点的集合.（不需要写出求解过程） 【答案】(1)在上为凹函数; 的最小值为； (2)（ⅰ）当时，是上的凹函数，上的凸函数； 当时，是上的凸函数，上的凹函数; 当时，是上的凸函数，上的凹函数. （ⅱ）点的集合为： 【分析】（1）由有在为凹函数，利用琴生不等式可以求出最小值； （2）（ⅰ）利用导函数并对参数进行分类讨论，即可得出函数的单调性，可得其凹凸性； （ⅱ）根据“切点”的定义，由切点个数转化成方程根的个数即可得出点的集合； 【详解】（1）因为所以 所以所以函数在上为凹函数. 因为在上为凹函数，由琴生不等式有： 即 整理有:当且仅当时等号成立. 所以在锐角中，的最小值为. （2）（ⅰ） 所以令， 所以，令有：， 即 当时，解得，当时时，当时， 所以是上的凹函数，上的凸函数. 当时，解得或， 若时，即时， 当或时，当时， 所以是上的凸函数，上的凹函数; 若时，即时， 当或时，当时， 所以是上的凸函数，上的凹函数; 综上所述：当时，是上的凹函数，上的凸函数； 当时，是上的凸函数，上的凹函数; 当时，是上的凸函数，上的凹函数. （ⅱ）当时，，为的“切点” 所以，设，切点为， 所以过点的切线方程为：， 所以， 因为这样的切点有3个，则有3个解， 所以有3个实根， 即关于的方程：有三个不同的实数跟。. 令，则直线与曲线恰有三个不同的交点. 所以， 当时， 由有：，有：或， 所以在为增函数，在和为减函数. 所以的极小值为：，的极大值为： 所以： 当时，，为单调递减，不符合题意. 当时， 由有：，有：或， 所以在为增函数，在和为减函数. 所以的极小值为：的极大值为：， 所以： 综上所述：点的集合为： 【点睛】涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答；考查学生的创新应用能力. 3．（24-25高二上·福建漳州·阶段练习）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数． (1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若，求的极值差比系数的取值范围． 【答案】(1)是极值可差比函数，理由见解析； (2)不存在使的极值差比系数为，理由见解析； (3)． 【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数的值，这样的值存在即可判断. （2）反证法，假设存在这样的，又“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可. （3）由（2）得到参数与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性即可得出函数取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以， 当时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以，因此是极值可差比函数． （2）的定义域为，即， 假设存在，使得的极值差比系数为，则是方程的两个不等正实根， ，解得，不妨设，则， 由于 所以，从而， 得 令， 所以在上单调递增，有， 因此式无解，即不存在使的极值差比系数为． （3）由（2）知极值差比系数为， 即，不妨设， 令，极值差比系数可化为， ， 又，解得， 令， 设 所以在上单调递减，当时，， 从而， 所以在上单调递增，所以， 即． 故的极值差比系数的取值范围为． 【点睛】思路点睛：合理利用导函数和“极值可差比函数”定义，在（2）利用极值点的性质找到几个变量间的基本关系，利用函数单调性判断方程无解。（3）中的需要重复利用（2）几个重要的数量关系，对变量进行转化，利用导函数求出单调区间，得出取值范围是关键。 4．（24-25高二上·安徽合肥·阶段练习）给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，．已知在处的阶帕德近似．注：，，， (1)求，，的值； (2)比较与1的大小，并说明理由； (3)求不等式的解集，其中． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由，利用待定系数法，即可求解； （2）根据（1）的结果，即证明，利用换元，转化为证明时，再构造函数，再利用导数证明函数的单调性和最值，即可证明不等式； （3）首先由不等式确定或，由（2）的结果说明，求解不等式，再求解不等式，转化为，再构造函数，利用导数求解不等式. 【详解】（1）∵，∴，， ∵，则， 由题意得：，，， ∴，解得； （2），由（1）知，即证， 令，则且， 即证时，记， 则， ∴在上单调递增，上单调递增， 当时，，即，即成立， 当时，，即，即成立， 综上所述，时，， ∴成立，即成立. （3）由题意得：欲使得不等式成立，则至少有，即或， 首先考虑，该不等式等价于，即， 又由（2）知成立， ∴使得成立的的取值范围是， 再考虑，该不等式等价于， 记，则， ∴当时，时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴，即，， ∴，， 当时由，可知成立； 当时由，可知不成立； 所以使得成立的的取值范围是， 综上可得：不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：本题第1问的关键是理解题意，利用待定系数法求解；第2问的关键是换元后构造函数，第3问的关键是由不等式构造函数，利用导数解不等式. 5．（24-25高二上·江西新余·阶段练习）已知在定义域内处处连续可导的函数的图象为，在该平面内的两个不同点，若，中点，则记为；若过点可以作的切线，则切点记为（值得注意的是，可能不止一个,规定直线的切线为该直线本身）. (1)若存在，求证：存在使； (2)设，证明：存在使； (3)已知，设，记，探究是否存在定直线，使得有无穷多个使？若存在，请求出所有的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）将问题转化为证明，使有解，令，可知必至少有一变号零点，结合零点存在定理可证得结论； （2）结合（1）可知若存在，则一定存在（不与重合），此时令为关于的对称点即可，再证明一定存在，结合三次函数性质知至少存在一个零点，且，由此可得结论； （3）由（2）得，若，易得到在定直线；若，易证得点不在，再证明这样的有无数个，采用反证法即可得到结论；综合两种情况可得最终结果. 【详解】（1）由条件可设：，则，， 设，则需证：，使有解； 而，， 易知：，不妨设其均大于，令， 有至少两解，取的第二小零点为， 必至少有一变号零点， 则存在区间，使且， ，使，即存在，使. （2）由条件：若存在，，为中点且不为的对称中心， 那么设为的对称中心，关于的对称点为即可. 由（1）得：若存在，则一定存在（不与重合），此时令为关于的对称点即可，此时：. 再证明：一定存在. 设，则有解； 令：， 由三次函数的性质知：至少存在一个零点，而显然， 故一定存在，使. （3）存在，直线方程为：. 由（2）得：令， 则， ⑴若，即，此时， 则在定直线上，故：； ⑵若，即， 即…①， ，这些点不在上. 再证明这样的的个数有无数个：令， 则，， ，使，这样的的个数有无数个； 下面证明这些点中不会有无穷多个落在同一直线上： 反证法：假设，不妨任取三个点来研究： 由①式：， ， 即与的图象有无穷多个公共点，为了产生无穷多个公共点，只有轴，此时…②（或）， 而…③，…④， 解得：（另一情况同理）， 而此时，即同时满足②③④式的不存在. 即这些点中不会有无穷多个落在同一直线上. 综上：存在且仅存在一条定直线. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解已知中的新定义的含义，并将所证结论进行等价转化，灵活应用零点存在定理、反证法对结论进行证明. 6．（24-25高二上·上海·期中）已知函数的定义域为，直线：与曲线相切，若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”. (1)若，求其“上切线”的方程； (2)若存在直线，既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，试求的取值范围； (3)证明：对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设出直线，结合余弦函数性质可得当或当时都不符合要求，再结合导数的几何意义计算即可得解； （2）由题意可得、存在公切线，结合导数的几何意义即可表示出与有关等式，构造相应函数后借助导数研究其单调性即可得解； （3）由，可取上斜率为的切线，则可设其切点为，从而表示出两切线，再结合“上切线”与“下切线”定义，借助作差法研究函数与两切线的差的正负即可得证. 【详解】（1）设直线：是的“上切线”， 则有恒成立，令， 则，即， 若，则对任一确定的，都存在， 使， 若，则对任一确定的，都存在， 使， 故，令，解得， 有，即此时的切线为，又，故， 即的“上切线”的方程为； （2）设该直线的方程为，其在上的切点为， 在上的切点为， 对，有，对，有， 则， 即， 令，， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 故是函数的“下切线”； 令 ，则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故， 故是函数的“上切线”； 则有，即有， 则， 整理得， 令， 则， 令，则， 故在上单调递增，又， 故当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 即，又时，， 即，即； （3）， 则， 令，， 设分别为的两根，则， 有，故， 则，在点处的切线为， 即， 同理可得，在点处的切线为， ， 由，则恒成立，即为其“下切线”； 同理可得， 由，则恒成立，即为其“上切线”； 综上所述，对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于取上斜率为的切线，设其切点为，从而表示出两切线，再结合“上切线”与“下切线”定义，借助作差法研究函数与两切线的差的正负. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 新高考背景下导数的新定义问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、定义新概念 2 题型二、定义新运算 3 题型三、定义新性质 4 压轴能力测评（6题） 5 一、新定义问题 “新定义”主要是指即时定义新概念、新运算、新性质几种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 二、新定义问题的方法和技巧 1.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； 2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； 3.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； 4.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 三、导数新定义问题 1、函数与导数新定义问题主要分两类：一是概念新定义型，主要是以函数新概念为背景，通常考查考生对函数新概念的理解，涉及函数的三要素的理解；二是性质新定义型，主要是以函数新性质为背景，重点考查考生灵活应用函数性质的能力，涉及函数的各种相关性质的拓展延伸． 2、设为平面上两点，则定义为“折线距离”“直角距离”或“曼哈顿距离”，记作． 结论1：设点为直线0外一定点，为直线上的动点，则 结论2：设点为直线上的动点，点为直线上的动点，则． 【题型一 定义新概念】 一、解答题 1．（23-24高二下·甘肃武威·期中）对于三次函数．定义：①的导数为，的导数为，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；②设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称． (1)已知，求函数的“拐点”的坐标； (2)检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称. 2．（23-24高二下·山东枣庄·期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为.幂指函数在求导时，可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数，. (1)已知，，求曲线在处的切线方程； (2)若且，研究函数的单调性； (3)已知，，，均大于0，且，讨论和的大小关系. 3．（23-24高二下·重庆·期中）若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数” (1)证明：为“切合函数”； (2)若为“切合函数”，并设满足条件的两个数为． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 4．（23-24高二下·山东德州·期中）若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”. (1)若，判断是否为上的“2类函数”； (2)若，为上的“2类函数”，求实数a的取值范围. 5．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）设是定义在区间上的连续函数，若存在区间，使得在上单调递增，在上单调递减，则称为“含峰函数”，为“峰点”，称为的一个“含峰区间”. (1)判断下列函数是否为“含峰函数”？若是，请指出“峰点”；若不是，请说明理由： （i）； （ii）. (2)已知是“含峰函数”，且是它的一个“含峰区间”，求的最大值； (3)设是“含峰函数”，是它的一个“含峰区间”，并记的最大值为.若，且，求的最小值. 【题型二 定义新运算】 一、解答题 1．（24-25高二上·山西·阶段练习）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 2．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式.当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式.比如在处的麦克劳林公式为：，由此当时，可以非常容易得到不等式请利用上述公式和所学知识完成下列问题： (1)写出在处的泰勒展开式. (2)若，恒成立，求a的范围;（参考数据） (3)估计的近似值（精确到） 3．（24-25高二上·山西阳泉·期末）如果函数的导数，可记为.若，则表示曲线，直线以及轴围成的“曲边梯形”的面积. (1)求曲线在上与轴围成的封闭图形的面积； (2)当时，求证：； (3)求证：. 【题型三 定义新性质】 一、解答题 1．（2024·江西·模拟预测）已知定义在正整数集上的函数，若函数同时具有性质：①对任意，；②存在实数a，使得对任意，，则称函数为“可积函数”，此时a称为的“可积指标”.（e是自然对数的底数） (1)判断函数，是否“可积函数”，若是，求出的“可积指标”；若不是，请说明理由； (2)若定义在正整数集上的函数是“可积指标”为a的“可积函数”，求的解析式，及“可积指标”a的最大值. 2．（2024·上海奉贤·一模）若函数的图象上存在个不同点、、、处的切线重合，则称该切线为函数的一条点切线，该函数具有点切线性质． (1)判断函数，的奇偶性并写出它的一条点切线方程（无需理由）； (2)设，判断函数是否具有点切线性质，并说明理由； (3)设，证明：对任意的，，函数具有点切线性质，并求出所有相应的切线方程． 3．（2024·上海·三模）设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”． 性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有． (1)已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由； (2)已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围； (3)已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”． 一、解答题 1．（2024·江西新余·模拟预测）偏导数在微积分领域中有重要意义.定义：设二元函数在点附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数（计算时相当于将视为常数），记作，若在区域内每一点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于的偏导函数，它被称为二元函数对的偏导函数，记作.以上定义同样适用于三元函数. (1)气体状态方程描述的三个变量满足：（是非零常量）.求的值，并说明其为常数. (2)求值：对的偏导数. (3)将偏导数应用于包络线在金融领域可以发挥重要价值.在几何学中，某个平面内曲线族的包络线是跟该曲线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线，例如：曲线族的包络线为.不难发现：对于任何一个给定的的值，包络线与原曲线的切点的总是对应值在参数取遍后得到的极值.已知函数的包络线为. （i）求证：. （ⅱ）设的极值点构成曲线，求证：当时，与有且仅有一个公共点. 2．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数. 若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为.若在区间单调递增；则称为区间上的凹函数.（这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式.） (1)讨论函数，的凹凸性，并求锐角中，求的最小值； (2)已知函数. （ⅰ）当时，讨论的凹凸性； （ⅱ）平面直角坐标系中的点称为函数的“切点”，当且仅当过点恰好能作曲线的条切线，其中.当时，点在轴右侧且为的“切点”，求点的集合.（不需要写出求解过程） 3．（24-25高二上·福建漳州·阶段练习）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数． (1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若，求的极值差比系数的取值范围． 4．（24-25高二上·安徽合肥·阶段练习）给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，．已知在处的阶帕德近似．注：，，， (1)求，，的值； (2)比较与1的大小，并说明理由； (3)求不等式的解集，其中． 5．（24-25高二上·江西新余·阶段练习）已知在定义域内处处连续可导的函数的图象为，在该平面内的两个不同点，若，中点，则记为；若过点可以作的切线，则切点记为（值得注意的是，可能不止一个,规定直线的切线为该直线本身）. (1)若存在，求证：存在使； (2)设，证明：存在使； (3)已知，设，记，探究是否存在定直线，使得有无穷多个使？若存在，请求出所有的方程；若不存在，请说明理由. 6．（24-25高二上·上海·期中）已知函数的定义域为，直线：与曲线相切，若对一切恒成立，称直线是函数的“下切线”；若对一切恒成立，称直线是函数的“上切线”. (1)若，求其“上切线”的方程； (2)若存在直线，既是函数的“下切线”，也是函数的“上切线”，试求的取值范围； (3)证明：对任意的，函数，既有“上切线”，也有“下切线”. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$