专题10 二次函数的应用（3类中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（湖北专用）

专题10 二次函数的实际应用 课标要求 考点 考向 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系。 3.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题。 4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 二次函 数的实际应用 考向一 商品销售问题 考向二 面积问题 考向三 实物型抛物线问题 考点 二次函数的实际应用 ►考向一 商品销售问题 解题技巧： 总利润 = 销售单价×销量 - 进货单价×销量 = (销售单价 - 进货单价)×销量 = 单利润×销量 1．（2022•荆门）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为yx+9．同时销售过程中的其它开支为50万元． （1）求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？ （2）若净利润预期不低于17.5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？ 【分析】（1）根据总利润＝单价利润×销量﹣50，可得z与x的函数解析式，再求出x60时，z最大，代入即可； （2）当z＝17.5时，解方程得出x的值，再根据函数的增减性和开口方向得出x的范围，结合y与x的函数关系式，从而解决问题． 【解答】解：（1）z＝y（x﹣30）﹣50 ＝（）（x﹣30）﹣50 12x﹣320， 当x60时，z最大，最大利润为40； （2）当z＝17.5时，17.512x﹣320， 解得x1＝45，x2＝75， ∵净利润预期不低于17.5万元，且a＜0， ∴45≤x≤75， ∵yx+9．y随x的增大而减小， ∴x＝45时，销售量最大． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，一次函数的性质等知识，正确列出z关于x的函数的解析式是解题的关键． 2．（2023•湖北）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表： 时间：第x（天） 1≤x≤30 31≤x≤60 日销售价（元/件） 0.5x+35 50 日销售量（件） 124﹣2x （1≤x≤60，x为整数） 设该商品的日销售利润为w元． （1）直接写出w与x的函数关系式 　 　； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 【分析】（1）分1≤x≤30和31≤x≤60两种情况利用“利润＝每千克的利润×销售量”列出函数关系式； （2）根据（1）解析式，由函数的性质分别求出1≤x≤30的函数最大值和31≤x≤60的函数最大值，比较得出结果． 【解答】解：（1）当1≤x≤30时， w＝（0.5x+35﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620， 当31≤x≤60时， w＝（50﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣40x+2480， ∴w与x的函数关系式w， 故答案为：w； （2）当1≤x≤30时， w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296， ∵﹣1＜0， ∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296； 当31≤x≤60时，w＝﹣40x+2480， ∵﹣40＜0， ∴当x＝31时，w有最大值，最大值为﹣40×31+2480＝1240， ∵1296＞1240， ∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元． 【点评】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是弄清数量关系，列出函数表达式． 3．（2023•十堰）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒． （1）当x＝60时，p＝　 ； （2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ （3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论． 【分析】（1）根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒，可以得到p与x之间的函数关系式，把x＝60代入解析式计算即可； （2）根据每盒利润×销售盒数＝总利润可得W关于x的关系式，由二次函数性质可得答案； （3）根据题意，在正确的x的范围中求出日销售额的最大值，判断小强是否正确，根据题意列出不等式，结合x的范围求出不等式的解集，判断小红是否正确． 【解答】解：（1）由题意可得， p＝500﹣10（x﹣50）＝﹣10x+1000， 即每天的销售量p（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式是p＝﹣10x+1000， 当x＝60时，p＝﹣10×60+1000＝400，（x≥50）， 故答案为：400． （2）由题意可得， W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000， 由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒， ∴， 即，解得50≤x≤65． ∴当x＝65时，W取得最大值，此时W＝8750， 答：当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W（元）最大，最大利润是8750元； （3）小强：∵50≤x≤65， 设日销售额为y元， y＝x•p＝x（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1000x＝﹣10（x﹣50）2+25000， 当x＝50时，y值最大，此时y＝25000， 当x＝65时，W值最大，此时W＝8750， ∴小强正确． 小红：当日销售利润不低于8000元时， 即W≥8000， ﹣10（x﹣70）2+9000≥8000，解得：60≤x≤80， ∵50≤x≤65， ∴当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65． 故小红错误，当日销售利润不低于8000元时，60≤x≤65． 【点评】本题以一次函数为背景考查了一次函数的实际应用，考查学生对一次函数和不等式综合运用的能力，解决问题的关键是弄清题意，求出x的范围，在有效范围内求最值是本题容易出错的地方． 4．（2023•湖北）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200⩽x⩽700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2． （1）当x＝　 　m2时，y＝35元/m2； （2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ （3）学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？ 【分析】（1）当200≤x≤600时，由待定系数法求出一次函数关系式，当600＜x≤700时，y＝40，再求出当y＝35时x的值，即可得出结论； （2）当200≤x≤600时，W（x﹣400）2+42000，由二次函数的性质得当x＝400时，W有最小值，最小值为42000，再求出当600≤x≤700时，W＝﹣10x+50000，由一次函数的性质得当x＝700时，W有最小值为43000，然后比较即可； （3）根据2025年的总种植成本为28920元，列出一元二次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）当200≤x≤600时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2 ）与其种植面积x（单位：m2 ）的函数关系式为y＝kx+b， 把（200，20），（600，40）代入得：， 解得：， ∴， 当600＜x≤700时，y＝40， ∴当y＝35时，35x+10， 解得：x＝500， 故答案为：500； （2）当200≤x≤600时，W＝x（x+10）+50（1000﹣x）（x﹣400）2+42000， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当x＝400时，W有最小值，最小值为42000， 此时，1000﹣x＝1000﹣400＝600， 当600≤x≤700时，W＝40x+50（1000﹣x）＝﹣10x+50000， ∵﹣10＜0， ∴当x＝700时，W有最小值为：﹣10×700+50000＝43000， ∵42000＜43000， ∴当种植甲种蔬菜的种植面积为400m2，乙种蔬菜的种植面积为600m2时，W最小； （3）由（2）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42000元，乙种蔬菜的种植成本为50×600＝30000（元）， 则甲种蔬菜的种植成本为42000﹣30000＝12000（元）， 由题意得：12000（1﹣10%）2+30000（1﹣a%）2＝28920， 设a%＝m， 整理得：（1﹣m）2＝0.64， 解得：m1＝0.2＝20%，m2＝1.8（不符合题意，舍去）， ∴a%＝20%， ∴a＝20， 答：当a为20时，2025年的总种植成本为28920元． 【点评】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用等知识，解题的关键：（1）用待定系数法正确求出一次函数关系式；（2）找出数量关系，正确求出二次函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 5．（2023•随州）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式p销量q（千克）与x的函数关系式为q＝x+10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元． （1）m＝　 　，n＝　 　； （2）求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式； （3）在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？ 【分析】（1）用待定系数法可得m，n的值； （2）由销售额W＝pq，分两种情况可得答案； （3）分两种情况，结合（2）可列出方程解得答案． 【解答】解：（1）把（5，50），（10，40）代入p＝mx+n得： ， 解得， ∴p＝﹣2x+60（1≤x＜20）， 故答案为：﹣2，60； （2）当1≤x＜20时，W＝pq＝（﹣2x+60）（x+10）＝﹣2x2+40x+600； 当20≤x≤30时，W＝pq＝30（x+10）＝30x+300； ∴W； （3）在W＝﹣2x2+40x+600中，令W＝1000得：﹣2x2+40x+600＝1000， 整理得x2﹣20x+200＝0， 方程无实数解； 由30x+300＞1000得x＞23， ∵x整数， ∴x可取24，25，26，27，28，29，30， ∴销售额超过1000元的共有7天． 【点评】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 6．（2023•黄石）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是z，其中x是正整数．当x＝16时，z＝14；当x＝20时，z＝13． （1）求m，n的值； （2）设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y＝5x+20． ①当12＜x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？ ②当0＜x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法求出m，n的值即可； （2）①当12＜x≤20时，根据利润＝（售价﹣成本）×设备的数量，可得出w关于x的二次函数，由函数的性质求出最值； ②求出0＜x≤12时w关于x的函数解析式，再画出w关于x的函数图象的简图，由题意可得结论． 【解答】解：（1）把x＝16时，z＝14；x＝20时，z＝13代入z＝mx+n得： ， 解得m，n＝18； （2）①设第x个生产周期创造的利润为w万元， 由（1）知，当12＜x≤20时，zx+18， ∴w＝（z﹣10）y＝（x+18﹣10）（5x+20）＝（x+8）（5x+20）x2+35x+160（x﹣14）2+405， ∵0，12＜x≤20， ∴当x＝14时，w取得最大值，最大值为405， ∴工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元； ②当0＜x≤12时，z＝15， ∴w＝（15﹣10）（5x+20）＝25x+100， ∴w， 则w与x的函数图象如图所示： 由图象可知，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元， ∴当x＝13，15时w＝403.75， 当x＝12，16时，w＝400， ∴a的取值范围为400＜a≤403.75． 【点评】本题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键． ►考向二 面积问题 解题技巧： 在解答有关利用二次函数求几何图形的最大（小）面积或（体积）的问题时，应遵循以下的规律： （1）利用几何图形的面积或（体积）公式得到面积或（体积）的二次函数解析式.（2）由已得到的二次函数解析式求解问题； （3）结合实际问题中自变量的取值范围得出实际问题的答案. 7．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S米2． （1）求y与x，S与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750米2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 【分析】（1）依据题意，2x+y＝80，从而y＝﹣2x+80，再由0＜﹣2x+80≤42，且x＞0，可得x的范围，又S＝AB•BC＝x（﹣2x+80），进而可以得解； （2）依据题意，令S＝﹣2x2+80x＝750，解方程即可判断得解； （3）依据题意，根据（1）S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，从而依据二次函数的性质即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，2x+y＝80， ∴y＝﹣2x+80． 由0＜﹣2x+80≤42，且x＞0， ∴19≤x＜40． 由题意，S＝AB•BC＝x（﹣2x+80）， ∴S＝﹣2x2+80x（19≤x＜40）． （2）由题意，令S＝﹣2x2+80x＝750， ∴x＝15（舍去）或x＝25． 答：当x＝25时，围成的矩形花圃的面积为750米2． （3）由题意，根据（1）S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800， 又∵﹣2＜0，且19≤x＜40， ∴当x＝20时，S取最大值为800． 答：围成的矩形花圃面积存在最大值，最大值为800米2，此时x的值为20． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 8．（2022•湖北）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2． （1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时． ①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？ ②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围． 【分析】（1）分段利用图象的特点，利用待定系数法，即可求出答案； （2）先求出x的范围； ①分两段建立w与x的函数关系，即可求出各自的w的最小值，最后比较，即可求出答案案； ②分两段利用w≤6000，建立不等式求解，即可求出答案． 【解答】解：（1）当0＜x≤40时，y＝30； 当40＜x≤100时， 设函数关系式为y＝kx+b， ∵线段过点（40，30），（100，15）， ∴， ∴， ∴yx+40， 即y； （2）∵甲种花卉种植面积不少于30m2， ∴x≥30， ∵乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍， ∴360﹣x≥3x， ∴x≤90， 即30≤x≤90； ①当30≤x≤40时， 由（1）知，y＝30， ∵乙种花卉种植费用为15元/m2． ∴w＝yx+15（360﹣x）＝30x+15（360﹣x）＝15x+5400， 当x＝30时，wmin＝5850； 当40＜x≤90时， 由（1）知，yx+40， ∴w＝yx+15（360﹣x）（x﹣50）2+6025， ∴当x＝90时，wmin（90﹣50）2+6025＝5625， ∵5850＞5625， ∴种植甲种花卉90m2，乙种花卉270m2时，种植的总费用最少，最少为5625元； ②当30≤x≤40时， 由①知，w＝15x+5400， ∵种植总费用不超过6000元， ∴15x+5400≤6000， ∴x≤40， 即满足条件的x的范围为30≤x≤40， 当40＜x≤90时， 由①知，w（x﹣50）2+6025， ∵种植总费用不超过6000元， ∴（x﹣50）2+6025≤6000， ∴x≤40（不符合题意，舍去）或x≥60， 即满足条件的x的范围为60≤x≤90， 综上，满足条件的x的范围为30≤x≤40或60≤x≤90． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，用分段讨论的思想解决问题是解本题的关键． ►考向三 实物型抛物线问题 解题技巧： ①建立适当的直角坐标系； ②将已知条件转化为点的坐标； ③合理设出函数解析式； ④代入已知条件或点的坐标，求出函数解析式； ⑤利用函数解析式解决问题． 9．（2024•武汉）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线yx+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km， ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 【分析】（1）①、易得火箭第二级的引发点的坐标为（9，3.6），分别代入抛物线的解析式和直线的解析式可得a和b的值； ②、把①中得到的抛物线的解析式整理成顶点式，可得火箭运行的最高点的坐标，取纵坐标减去1.35km即为相应的高度，把所得高度分别代入①中得到的两个函数解析式，求得合适的x的值，相减即为两个位置间的距离； （2）假设火箭落地点与发射点的水平距离为15km．用a表示出火箭第二级的引发点的坐标，把火箭第二级的引发点的坐标和（15，0）代入直线解析式可得火箭落地点与发射点的水平距离恰好为15km时a和b的值，进而结合抛物线开口向下可得a的取值范围． 【解答】解：（1）①∵y＝ax2+x经过点（9，3.6）， ∴81a+9＝3.6． 解得：a． ∵yx+b经过点（9，3.6）， ∴3.69+b． 解得：b＝8.1； ②由①得：yx2+x （x2﹣15x） （x）2（0≤x≤9）． ∴火箭运行的最高点是km． ∴1.35＝2.4（km）． ∴2.4x2+x． 整理得：x2﹣15x+36＝0． 解得：x1＝12＞9（不合题意，舍去），x2＝3． 由①得：yx+8.1． ∴2.4x+8.1． 解得：x＝11.4． ∴11.4﹣3＝8.4（km）． 答：这两个位置之间的距离为8.4km； （2）当x＝9时，y＝81a+9． ∴火箭第二级的引发点的坐标为（9，81a+9）． 设火箭落地点与发射点的水平距离为15km． ∴yx+b经过点（9，81a+9），（15，0） ∴． 解得：． ∴a＜0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 【点评】本题考查二次函数的应用．比火箭运行的最高点低的高度，要从求得的两个函数解析式去考虑合适的自变量的取值；求火箭落地点与发射点的水平距离超过15km时a的取值范围，需要求出火箭落地点与发射点的水平距离恰好是15km时a的值． 10．（2023•武汉）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表． 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 … 飞行高度y/m 0 22 40 54 64 … 探究发现 x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 问题解决 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题． （1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； （2）在安全线上设置回收区域MN，AM＝125m，MN＝5m．若飞机落到MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 【分析】探究发现：根据待定系数法求解即可； 问题解决：（1）令二次函数y＝0代入函数解析式即可求解； （2）设发射平台相对于安全线的高度为nm，则飞机相对于安全线的飞行高度 ．结合 25＜t＜26，即可求解． 【解答】解：探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系， 设x＝kt，y＝at2+bt， 由题意得：10＝2k，， 解得：k＝5，， ∴x＝5t，yt2+12t， 问题解决：（1）依题意，得t2+12t＝0． 解得，t1＝0（舍），t2＝24， 当t＝24 时，x＝120． 答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120m． （2）设发射平台相对于安全线的高度为nm，飞机相对于安全线的飞行高度y′t2+12t+n， ∵125＜x＜130，∴125＜5t＜130，∴25＜t＜26． 在y′t2+12t+n中， 当t＝25，y′＝0时，n＝12.5； 当t＝26，y′＝0时，n＝26． ∴12.5＜n＜26． 答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m且小于26m． 【点评】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11．（2022•武汉）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处． 小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表． 运动时间t/s 0 1 2 3 4 运动速度v/cm/s 10 9.5 9 8.5 8 运动距离y/cm 0 9.75 19 27.75 36 小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系． （1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度； （3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由． 【分析】（1）设v＝mt+n，代入（0，10），（2，9），利用待定系数法可求出m和n；设y＝at2+bt+c，代入（0，0），（2，19），（4，36），利用待定系数法求解即可； （2）令y＝64，代入（1）中关系式，可先求出t，再求出v的值即可； （3）设黑白两球的距离为w cm，根据题意可知w＝70+2t﹣y，化简，再利用二次函数的性质可得出结论． 【解答】解：（1）设v＝mt+n，将（0，10），（2，9）代入，得， 解得，， ∴vt+10； 设y＝at2+bt+c，将（0，0），（2，19），（4，36）代入，得， 解得， ∴yt2+10t． （2）令y＝64，即t2+10t＝64， 解得t＝8或t＝32， 当t＝8时，v＝6； 当t＝32时，v＝﹣6（舍）； （3）设黑白两球的距离为w cm， 根据题意可知，w＝70+2t﹣y t2﹣8t+70 （t﹣16）2+6， ∵0， ∴当t＝16时，w的最小值为6， ∴黑白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球． 另解1：当w＝0时，t2﹣8t+70＝0，判定方程无解． 另解2：当黑球的速度减小到2cm/s时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球．先确定黑球速度为2cm/s时，其运动时间为16s，再判断黑白两球的运动距离之差小于70 cm． 【点评】本题属于函数综合应用，主要考查待定系数法求函数解析式，函数上的坐标特点等知识，（3）关键是弄明白如何判断黑白两球是否碰到． 1．（2024•长阳县模拟）麻花是我国的一种特色油炸面食小吃，色、香、味俱全，品种多样，十分畅销．阳光超市购进了一批麻花礼盒进行销售，成本价为30元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价为40元/件时，每天的销售量为300件，销售单价每提高10元/件，将少售出50件． （1）求超市销售该麻花礼盒每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润； （3）若超市销售该麻花礼盒每天要获得不低于5000元的利润，但物价部门规定，销售该麻花礼盒的利润率不得高于150%，该超市应如何确定销售单价． 【分析】（1）依据题意，销售量y＝300﹣50，计算即可得解； （2）依据题意，设每天获得的利润为w，从而w＝（x﹣30）（﹣5x+500）＝﹣5（x﹣65）2+6125，又﹣5＜0，进而结合二次函数的性质可以判断得解； （3）依据题意，由每天要获得不低于5000元的利润，故w≥5000，即﹣5（x﹣65）2+6125≥5000，可得x的范围，又利润率不得高于150%，则1.5，进而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，销售量y＝300﹣50， ∴y＝﹣5x+500． （2）由题意，设每天获得的利润为w， ∴w＝（x﹣30）（﹣5x+500） ＝﹣5x2+650x﹣15000 ＝﹣5（x﹣65）2+6125． 又﹣5＜0， ∴当x＝65时，w取最大值为6125． 答：当销售单价定65元时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大，最大利润为6125元． （3）由题意，∵每天要获得不低于5000元的利润， ∴w≥5000． ∴﹣5（x﹣65）2+6125≥5000． ∴﹣15≤x﹣65≤15． ∴50≤x≤80． 又利润率不得高于150%， ∴1.5． ∴x≤75． 综上，50≤x≤75． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 2．（2024•茅箭区一模）某超市在“元宵节”来临前夕，购进一种品牌元宵，每盒进价是20元，超市规定每盒售价不得少于25元，根据以往销售经验发现；当售价定为每盒25元时，每天可卖出250盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种元宵的每盒售价不得高于38元，如果超市想要每天获得不低于2000元的利润，那么超市每天至少销售元宵多少盒？ 【分析】（1）根据“当售价定为每盒25元时，每天可以卖出250盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）根据利润＝1盒元宵所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答； （3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种元宵的每盒售价不得高于38元，且每天销售汤圆的利润不低于2000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解． 【解答】解：（1）根据题意，y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500； （2）每天销售的利润P＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000 ＝﹣10（x﹣35）2+2250， ∴当x＝35时，P取得最大值，最大值为2250， 答：当每盒售价定为35元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是2250元； （3）根据题意得，﹣10（x﹣35）2+2250＝2000， 解得：x＝30或x＝40， ∴当30≤x≤40时，每天的销售利润不低于2000元， 又∵x≤38， ∴30≤x≤38， 在y＝﹣10x+500中，y随x的增大而减小， ∴当x＝38时，y最小值＝﹣10×38+500＝120， 即超市每天至少销售元宵120盒． 【点评】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润＝1盒元宵所获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围． 3．（2024•孝感模拟）“我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销大米时的台词．所推销大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋．为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋． （1）求出y与x的函数关系式； （2）设“东方甄选”每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润不低于3875元，且让消费者获得最大的利益，求此时大米的销售单价是多少元？ 【分析】（1）根据销售单价每降1元，则分钟可多销售5袋，写出y与x的函数关系式； （2）根据“东方甄选”每分钟获得的利润w元等于每袋的利润乘以销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可； （3）根据“东方甄选”每分钟获得的利润w元等于每袋的利润乘以销售量以及保证捐款后每分钟利润不低于3875元，列出方程，求出方程的解，再根据让消费者获得最大的利益，进行取值即可． 【解答】解：（1）由题意可得： y＝100+5（80﹣x） ＝﹣5x+500， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+500； （2）由题意，得： w＝（x﹣40）（﹣5x+500） ＝﹣5x2+700x﹣20000 ＝﹣5（x﹣70）2+4500， ∵a＝﹣5＜0，抛物线开口向下， ∴当x＝70时，w最大，最大值4500， 答：当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元； （3）根据题意得：（x﹣40）（﹣5x+500）﹣500＝3875， 解得x1＝65，x2＝75， 为了让消费者获得最大的利益， ∴x＝65， 答：此时大米的销售单价是65元． 【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 4．（2024•恩施市一模）已知甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元．经市场调查发现，甲种玩具每天的销量y1（单位：件）与每件售价x（单位：元）的函数关系为y1＝﹣2x+100，乙种玩具每天的销量y2（单位：件）与每件售价z（单位：元）之间是一次函数关系，其部分数据如下表： 每件售价z（单位：元） … 20 25 30 … 销量y2（单位：件） … 100 80 60 … 其中x，z均为非负整数．商店按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍来确定甲、乙两种玩具的销售单价，且销售单价高于进价． （1）直接写出乙种玩具每天的销量y2与每件售价z的关系式是 　 　；甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是 　 　； （2）当甲种玩具的总利润为800元时，求乙种玩具的总利润是多少元？ （3）当这两种玩具每天销售的总利润之和最大时，直接写出甲种玩具每件的销售价格． 【分析】（1）设y2＝kz+b，用待定系数法可得y2＝﹣4z+180；根据按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍，且销售单价高于进价，有x﹣10＝2（z﹣15），即x＝2z﹣20（z＞15）；故x＝2z﹣20（z＞15）； （2）根据甲种玩具的总利润为800元，知（x﹣10）（﹣2x+100）＝800，得x1＝x2＝30，可得z＝25，列式计算可得乙种玩具的总利润是800元； （3）由x＝2z﹣20，得zx+10，y2＝﹣4z+180＝﹣2x+140，设两种玩具每天销售的总利润之和为W元，有W＝（x﹣10）（﹣2x+100）+（x+10﹣15）（﹣2x+140）＝﹣3x2+200x﹣1700＝﹣3（x）2，根据二次函数性质可得答案． 【解答】解：（1）设乙种玩具每天的销量y2（单位：件）与每件售价z（单位：元）之间是一次函数关系为y2＝kz+b， 把（20，100），（30，60）代入得： ， 解得， ∴乙种玩具每天的销量y2与每件售价x的关系式是y2＝﹣4z+180； ∵按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍，且销售单价高于进价， ∴x﹣10＝2（z﹣15），即x＝2z﹣20（z＞15）； 故答案为：y2＝﹣4z+180；x＝2z﹣20（z＞15）； （2）∵甲种玩具的总利润为800元， ∴（x﹣10）（﹣2x+100）＝800， 解得x1＝x2＝30， ∴30＝2z﹣20， 解得z＝25， ∵（25﹣15）（﹣4×25+180）＝800（元）， ∴乙种玩具的总利润是800元； （3）∵x＝2z﹣20， ∴zx+10， ∴y2＝﹣4z+180＝﹣4（x+10）+180＝﹣2x+140， 设两种玩具每天销售的总利润之和为W元， 根据题意得：W＝（x﹣10）（﹣2x+100）+（x+10﹣15）（﹣2x+140）＝﹣3x2+200x﹣1700＝﹣3（x）2， ∵﹣3＜0，且x，z均为非负整数， ∴x＝34时，W取最大值， ∴甲种玩具每件的销售价格是34元． 【点评】本题考查二次函数，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 5．（2024•襄城区模拟）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．两种产品成本价、售价及每日需支付的专利费如下表所示： 类别产品 成本价（元/件） 售价（元/件） 每日需支付的专利费（元） A m （m为常数，且4≤m≤6） 8 30 B 12 20 y 其中A产品每日最多产销500件，B产品每日最多产销300件，B产品每日需支付专利费y（元）与每日产销x（件）满足关系式y＝80+0.01x2． （1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润；（A产品的最大日利润用含m的代数式表示） （3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由． 【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】 【分析】（1）根据利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费即可列出解析式，注意取值范围． （2）根据解析式系数a确定增减性，再结合x得取值范围选择合适的值得出最大值． （3）分类讨论当什么情况下A、B利润一样，什么情况下A利润大于B以及什么情况下A利润小于B 即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意，得w1＝（8﹣m）x﹣30，（0≤x≤500）． w2＝（20﹣12）x﹣（80+0.01x2） ＝﹣0.01x2+8x﹣80，（0≤x≤300）． （2）∵8﹣m＞0，∴w1随x的增大而增大，又0≤x≤500， ∴当x＝500时，w1有最大值，即w最大＝﹣500m+3970（元）． ∵w2＝﹣0.01x2+8x﹣80＝﹣0.01（x﹣400）2+1520． 又∵﹣0.01＜0．对称轴x＝400． ∴当0≤x≤300时，w2随x的增大而增大， ∴当x＝300时，w2最大＝﹣0.01×（300﹣400）2+1520＝1420（元）． （3）①若w1最大＝w2最大，即﹣500m+3970＝1420，解得m＝5.1， ②若w1最大＞w2最大，即﹣500m+3970＞1420，解得m＜5.1， ③若w1最大＜w2最大，即﹣500m+3970＜1420，解得m＞5.1． 又4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润： 当m＝5.1时，选择A，B产品产销均可； 当4≤m＜5.1时，选择A种产品产销； 当5.1＜m≤6时，选择B种产品产销． 答：当A产品成本价为5.1元时，工厂选择A或B产品产销日利润一样大，当A产品4≤m＜5.1时，工厂选择A产品产销日利润最大，当5.1＜m≤6时，工厂选择B产品产销日利润最大． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能读懂题意，并从实际问题中抽象出数学问题是关键． 6．（2024•孝南区模拟）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式p（且x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为q＝x+10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元． （1）m＝　 　，n＝　 　； （2）求销售额W元与x之间的函数关系式，并求第x天时，销售额W最大； （3）在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有 　 　天． 【分析】（1）用待定系数法可得m，n的值； （2）由销售额W＝pq，分两种情况列出函数解析式，并根据函数的性质求出最值； （3）分两种情况，结合（2）可列出方程解得答案． 【解答】解：（1）把（5，50），（10，40）代入p＝mx+n得： ， 解得， 故答案为：﹣2，60； （2）由（1）知，p＝﹣2x+60， 当1≤x＜20时，W＝pq＝（﹣2x+60）（x+10）＝﹣2x2+40x+600＝﹣2（x﹣10）2+800， ∵﹣2＜0， ∴当x＝10时，W有最大值，最大值为800； 当20≤x≤30时，W＝pq＝30（x+10）＝30x+300， ∵30＞0， ∴当x＝30时，W有最大值，最大值为1200， ∵1200＞800， ∴当x＝30时，W最大， ∴W元与x之间的函数关系式为W；第30天时，销售额W最大； （3）在W＝﹣2x2+40x+600中，令W＝1000得：﹣2x2+40x+600＝1000， 整理得x2﹣20x+200＝0， 方程无实数解； 由30x+300＞1000得，x＞23 ∵x整数， ∴x可取24，25，26，27，28，29，30， ∴销售额超过1000元的共有7天． 故答案为：7． 【点评】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 7．（2024•阳新县校级二模）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50． （1）当31≤x≤50时，求y与x的关系式为 　 　； （2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？ （3）若超市在第31天到第35天的当天销售价格的基础上涨a元/kg（0≤a≤6），且日销售利润W（元）随x的增大而增大，那么a的取值范围是多少？ 【分析】（1）依据题意，由当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，故可设函数为y＝kx+b，再建立方程组求出k，b即可得解；． （2）依据题意，当1≤x≤30时，w＝（40﹣18）（5x+50）＝110x+1100，又当31≤x≤50时，，再分别结合一次函数的性质和二次函数的性质进行判断，即可得解； （3）依据题意，由x2+（160+5a）x+1850+50a，再结合二次函数的性质进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系， ∴可设函数为y＝kx+b． ∴． ∴． ∴一次函数关系式为yx+55． 故答案为：yx+55． （2）由题意，当1≤x≤30时，w＝（40﹣18）（5x+50）＝110x+1100． ∵110＞0， ∴w随x增大而增大． ∴x＝30时，w取最大值＝4400（元）． 当31≤x≤50时，． ∵﹣2.5＜0，对称轴 x＝32， ∴当x＝32时，W甲ax＝4410 （元）． ∵4410＞4400， ∴x＝32时，利润取最大值，最大利润为4410元． （3）由题意得， x2+（160+5a）x+1850+50a． 又 ，对称轴 x＝32+a，且x取整数， ∴32+a＞34.5，a＞2.5． 又∵0≤a≤6， ∴2.5＜a≤6． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 8．（2024•荆州二模）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度OM为16米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明； （3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使点A，D在抛物线上．点B，C在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 【分析】（1）根据题意，可得点M及抛物线顶点P的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）由题知，当时，，而，即可得出结论； （3）设OB＝x，则BC＝16﹣2x，根据矩形的性质得出AD＝BC＝16﹣2x，，设l＝AB+AD+DC，进而表示出l的长，根据二次函数的性质，即可求解． 【解答】解：（1）依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米，现在O点为原点， ∴点M（16，0），顶点P（8，8）， 设抛物线的解析式为y＝ax2+bx． 把点M（16，0），点P（8，8）代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵OM＝16，M（16，0）， ∴自变量x的取值范围为：0≤x≤16； （2）当时，， ∴能同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆． （3）设OB＝x，则BC＝16﹣2x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝16﹣2x， 设l＝AB+AD+DC，则， ∴， ∵， ∴当时，l有最大值为． 答：三根木杆AB，AD，DC的长度和的最大值是20米． 【点评】本题考查了二次函数的实际应用，关键是二次函数性质的熟练应用． 9．（2024•巴东县模拟）【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活． 【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝x m． 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）． 【解决问题】思路：把矩形ABCD的面积S与边长x（即AB的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可． （1）请用含有x的代数式表示BC的长； （2）花园的面积能否为192m2？若能，求出x的值，若不能，请说明理由； （3）求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大？ 【分析】（1）依据题意，由AB＝x m，总长28m，计算即可得解； （2）依据题意，结合（1）可列方程计算可以得解； （3）依据题意，结合（1）可得S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196（6≤x≤13），再由在点P与CD，AD的距离分别是15m和6m，可得x的范围；由所得s关于x的函数关系式，根据函数增减性进行计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，AB＝x m， ∴BC＝（28﹣x）m． （2）∵AB＝x，则 BC＝（28﹣x）， ∴x（28﹣x）＝192， 解得：x＝12或x＝16 （由于树与墙CD为15m，从而x＝16不合题意，舍去）， ∴花园的面积可等于192m2，此时x的值为12 m． （3）①S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196． ∵在点P与CD，AD的距离分别是15m和6m， ∴28﹣15＝13． ∴6≤x≤13． ∴面积S与x的函数解析式为：S＝﹣（x﹣14）2+196（6≤x≤13）． ②∵﹣1＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝14， ∴当6≤x≤13时，S随x的增大而增大． ∴当x＝13时，S取到最大值＝﹣（13﹣14）2+196＝195， 即当x＝13m时，花园面积S最大，最大值为195m2． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键． 10．（2024•襄州区模拟）如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为18m），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32m，设矩形场地的长为x m，宽为y m，面积为s m2． （1）分别求出y与x，s与x的函数解析式； （2）当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ （3）若购买的篱笆总长增加8m，矩形场地的最大总面积能否达到100m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【分析】（1）依据题意得，x+4y＝32，从而可得，代入S＝xy即可得解； （2）依据题意，由（1）的解析式再根据，从而结合二次函数的性质即可判断得解； （3）依据题意得，x+4y＝32+8，从而，故 ．，进而求出x的值，最后可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意得，x+4y＝32， ∴． ∴，即． （2）由题意，∵， ∴S有最大值．当 时，． 答：当x＝16 时，矩形场地的总面积最大，最大面积为64． （3）由题意得，x+4y＝32+8， ∴． ∴． ∴x1＝x2＝20． ∵18＜20， ∴矩形场地的最大总面积不能达到100m2． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 11．（2024•洪山区模拟）根据以下素材，完成探索任务． 问题提出根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格之和）不高于5900元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案？ 素材一 如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有16m长的墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为22m，开两个门，且门宽均为1m． 素材二 每个门的价格为250元． 素材三 与现有墙平行方向的墙建筑费用为300元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米． 问题解决 任务1 设AB＝x m，矩形ABCD的面积为S，求S关于x的函数表达式． 任务2 探究自变量x的取值范围． 任务3 确定设计方案．当AB＝　 　m，BC＝　 m时，S的最大值为 　 　m2．（直接填写结果） 【分析】任务一：先根据题中条件写BC的长，即可求出S关于x的函数表达式； 任务二：先根据1＜BC≤16，解出2≤x＜7，写出新墙建筑费用的代数式，然后分选用型号A门和型号C门两种情况，利用总费用不高于6400元，分别求出x的取值范围即可； 任务三：先把函数表达式配成顶点式，然后根据x的取值范围和图象开口方向即可求出面积的最大值． 【解答】解：任务1：根据题意可得BC＝22+2﹣3x＝（24﹣3x）m， ∴S＝AB•BC ＝x（24﹣3x） ＝﹣3x2+24x； 任务2：由题意得，1＜BC≤16， 即1＜24﹣3x≤16， 解得：x， 根据题意可得：新墙建筑费用＝200（3x﹣1）+300（23﹣3x）＝（6700﹣300x）元， 则总费用＝6700﹣300x+500＝（7200﹣300x）元， ∵总费用不高于5900元， ∴7200﹣300x≤5900，解得：x， ∴x． 任务3：由任务1知S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵﹣3＜0，图象开口向下，且4， ∴当x时，面积S有最大值，最大值为47， 此时BC＝24﹣311（m）， ∴设计方案是ABm，BC＝11m，S的最大值为47m2． 故答案为：，11，47． 【点评】本题主要考查的是二次函数的实际应用，解题关键：一是列出S关于x的函数表达式，二是配成顶点式． 12．（2024•湖北模拟）跳绳是校园中常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．如图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m．现在以两人的站立点所在的直线为x轴，过小明拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式yx2+bx+c． （1）求绳子所对应的抛物线的解析式； （2）身高为1.72m的乐乐站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由； （3）身高为1.64m的小颖和身高为1.66m的小丽，同时站在绳子的下方，在保证绳子甩到最高处时能过她们的头顶的情况下，她们之间的最大距离是 　m． 【分析】（1）依据题意，将点（0，1），（4，1）代入解析式可得方程组，计算即可得解； （2）依据题意，由，结合二次函数的性质即可判断得解； （3）依据题意，令y＝1.64，从而，求得x，再令y＝1.66，故，求出x，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）根据题意，∵抛物线 经过点（0，1），（4，1）， ∴． ∴ ∴绳子所对应的抛物线的解析式为． （2）身高为1.72m的乐乐站在绳子的正下方，绳子不能过他的头顶．理由如下： 由题意，∵， ∴当x＝2时，． ∴绳子不能过他的头顶． （3）由题意，令y＝1.64， ∴． ∴x＝1.6或x＝2.4． ∴当y＝1.66时，． ∴x＝1.8或x＝2.2． ∴两人之间最远相距2.2﹣1.6＝2.4﹣1.8＝0.6（m）． 故答案为：0.6． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 13．（2024•江岸区模拟）某广场有一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置OA，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，通过调节喷水装置OA的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观，在半径为3.2米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉． 设水流离池底的高度为y（单位：米），距喷水装置OA的水平距离为x（单位：米）．如图所示，以喷水装置OA所在直线为y轴，以池底水平线为x轴建立平面直角坐标系．如表是喷水口A最低时水流高度y和水平距离x之间的几组数据： x/米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y/米 1.5 1.875 2 1.875 1.5 0.875 0 （1）根据上述数据，水流喷出的最大高度为 　2　米，并求出y关于x的函数关系式，不要求写出自变量的范围； （2）为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，求喷水口A升高的最小值； （3）喷泉口A升高的最大值为1.92米，为能充分喷灌四周花卉，花卉的种植宽度至少要为多少米，才能使喷出的水流不至于落在花卉外？ 【分析】（1）依据题意，根据表格数据可得抛物线的对称轴是直线x1，从而顶点为（1，2），故水流喷出的最大高度为2米．；又由题意可设抛物线的关系式为y＝a（x﹣1）2+2，结合过（0，1.5），求出a即可得解析式； （2）依据题意，设抛物线向上平移m米恰好洒到花卉上，可得此时解析式为y＝﹣0.5（x﹣1）2+2+m，又过点（3.2，0），则0＝﹣0.5（3.2﹣1）2+2+m，求出m后得出解析式，然后令x＝0，进而可以判断得解； （3）依据题意，设喷泉口A升高的最大值为1.92米时，解析式为y＝﹣0.5（x﹣1）2+2+h，又过点（0，3.42），从而可得解析式，再令y＝0，求出x，然后与喷水池半径比较即可得解． 【解答】解：（1）由题意，根据表格数据可得抛物线的对称轴是直线x1， ∴顶点为（1，2）． ∴水流喷出的最大高度为2米． 故答案为：2． 由题意可设抛物线的关系式为y＝a（x﹣1）2+2， 又过（0，1.5）， ∴a+2＝1.5． ∴a＝﹣0.5． ∴函数解析式为y＝﹣0.5（x﹣1）2+2． （2）由题意，设抛物线向上平移m米恰好洒到花卉上， ∴此时解析式为y＝﹣0.5（x﹣1）2+2+m． 又过点（3.2，0）， ∴0＝﹣0.5（3.2﹣1）2+2+m． ∴m＝0.42． ∴此时解析式为y＝﹣0.5（x﹣1）2+2.42． 令x＝0， ∴y＝2.42﹣0.5＝1.92． ∴喷水口A升高的最小值为1.92﹣1.5＝0.42（米）． （3）由题意，设喷泉口A升高的最大值为1.92米时，解析式为y＝﹣0.5（x﹣1）2+2+h， 又过点（0，3.42）， ∴3.42＝﹣0.5（0﹣1）2+2+h． ∴h＝1.92． ∴解析式为y＝﹣0.5（x﹣1）2+3.92， 令y＝0， ∴0＝﹣0.5（x﹣1）2+3.92． ∴x＝3.8或x＝﹣1.8（不合题意，舍去）． ∴花卉的种植宽度至少为：3.8﹣3.2＝0.6（米）． ∴花卉的种植宽度至少要为0.6米，才能使喷出的水流不至于落在花卉外． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能读懂题意，灵活运用二次函数的性质解题是关键． 14．（2024•青山区模拟）海豚是生活在海洋里的一种动物，它行动敏捷，弹跳能力强．海豚表演是武汉海昌极地海洋公园最吸引人的节目之一．在进行跳水训练时，海豚身体（看成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分．如图，在某次训练中以海豚起跳点O为原点，以O与海豚落水点所在的直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系．海豚离水面的高度y（单位：m）与距离起跳点O的水平距离x（单位：m）之间具有函数关系y＝ax2+2x，海豚在跳起过程中碰到（不改变海豚的运动路径）饲养员放在空中的离O点水平距离为3m，离水面高度为4.5m的小球． （1）求海豚此次训练中离水面的最大高度是多少m？ （2）求当海豚离水面的高度是时，距起跳点O的水平距离是多少m？ （3）在海豚起跳点与落水点之间漂浮着一个截面长CD＝6m，高DE＝4m的泡沫箱，若海豚能够顺利跳过泡沫箱（不碰到），求点D横坐标n的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式然后配方得到最大值即可； （2）令，解一元二次方程方程即可； （3）令y＝4，解出x的值，然后借助图象解题即可． 【解答】解：（1）由抛物线y＝ax2+2x，过点（3，4.5）， 得4.5＝9a+2×3 ∴ ， ∴海豚此次训练中离水面的最大高度是6m． （2）依题意得：， 解得x1＝8，x2＝4， 答：海豚距起跳点O的水平距离是8m或4m． （3）若海豚恰好接触到纸箱边缘，则点F或点E在抛物线上， 令y＝4，则， 解得， 当点F在抛物线上时，D点的横坐标n为． 当点E在抛物线上时，D点的横坐标n为． ∴n的取值范围是． 【点评】本题考查二次函数的实际问题，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． 15．（2024•江夏区模拟）图1是两层喷泉景观的效果图，图2是其示意图，两层喷泉落在直径为4m的圆内，喷泉的水流均看作抛物线的一部分，下层喷泉C1的喷水口设在圆心O处，落地点与圆心O的水平距离为2m，水流的最高点距离地面1m；上层喷泉C2的喷水口设在圆心O的正上方，且水流经过下层喷泉水流的最高点，以圆心为原点，过圆心的一条水平线为x轴，中心线l为y轴建立如图3所示的平面直角坐标系，设水流的高度为y（单位：m），水流距离中心线的水平距离为x（单位；m）． （1）求图3中下层喷泉所对应抛物线C1的函数解析式；（不必写x的取值范围） （2）当图3中上层喷泉所对应抛物线C2的函数解析式为y＝−5x2+bx+c时，视觉效果最佳． ①试推算b，c应满足的数量关系； ②结合实际环境．要求上层喷泉C2的水流最大高度不低于2.8m，且不高于3.45m，求出b的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）①把（1，1）代入抛物线C2的函数解析式为y＝−5x2+bx+c即可得出结论；②把①的结论代入y＝−5x2+bx+c得y＝﹣5x2+bx+6﹣b，求出抛物线的最大高度hb2﹣b+6，求出b的取值范围，然后令h＝2.8和3.45，求出b的值，再确定取值范围． 【解答】解：（1）由题意可知，C1的顶点为（1，1）， 设下层喷泉所对应抛物线C1的函数解析式为y＝a（x﹣1）2＝1， 将（0，0）代入解析式得：a（0﹣1）2+1＝0， 解得a＝﹣1， ∴下层喷泉所对应抛物线C1的函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1； （2）①∵上层喷泉所对应抛物线C2经过下层喷泉所对应抛物线C1的顶点， ∴﹣5+b+c＝1， 整理得：c＝6﹣b， ∴b，c应满足的数量关系是c＝6﹣b（形式不唯一）； ②由①得，y＝﹣5x2+bx+6﹣b， 抛物线C2的最大高度hb2﹣b+6， ∵抛物线C2的对称轴x介于0和1之间， 即01， ∴0＜b＜10， 令h＝2.8，即b2﹣b+6， 解得b1＝16（舍去），b2＝4， 令h＝3.45，即b2﹣b+6， 解得b1＝17（舍去），b2＝3， ∴b的取值范围为3≤b≤4． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式． 16．（2024•枣阳市模拟）为有力有效推进乡村全面振兴，在驻村工作队的帮扶下，某村积极推动“合作社+农户”模式托起村民致富梦．村合作社推广种植某特色农产品，每千克成本为20元，规定每千克售价需超过成本，但不高于50元，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该农产品的日销售利润为W元． （1）分别求出y与x，W与x之间的函数解析式； （2）该合作社决定从每天的销售利润中拿出200元设立“助学基金”，若捐款后合作社的剩余利润是800元，求该农产品的售价； （3）若该农产品的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【分析】（1）利用待定系数法求y与x的函数关系式，根据W＝（x﹣20）•y求W与x之间的函数解析式； （2）每天利润为（800+200）元，代入W与x之间的函数解析式，解一元二次方程即可； （3）先求出售价单价的取值范围，将W与x之间的函数解析式变形为顶点式，根据函数的增减性求最值即可． 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b， 把（30，100），（40，80）代入得， 解得， ∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x+160； W＝（x﹣20）•y＝（x﹣20）（﹣2x+160） 即W＝﹣2x2+200x﹣3200（20＜x≤50）； （2）由题意得，﹣2x2+200x﹣3200＝800+200， 整理得，x2﹣100x+2100＝0， 解得x1＝70，x2＝30， ∵20＜x≤50， ∴x＝30， 答：该农产品的售价为30元/千克； （3）∵﹣2x+160≥90， 解得x≤35， ∴20＜x≤35， W＝﹣2x2+200x﹣3200 ＝﹣2（x﹣50）2+1800， ∵a＝﹣2＜0， ∴开口向下， ∵对称轴为直线x＝50， ∴在x≤50时，W随x的增大而增大， ∴x＝35时，W最大值＝15×90＝1350（元）， 答：售价为35元时，每天获利最大为1350元． 【点评】本题考查一次函数、二次函数、一元二次方程的实际应用，找到等量关系是关键． 17．（2024•湖北模拟）如图1，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，OA＝4m；若喷水口上升1.5m到P处，水线落地点为B，OB＝6m． （1）求水线最高点与点B之间的水平距离； （2）当喷水口在P处时， ①求水线的最大高度； ②身高1.5m的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与O的水平距离应满足什么条件？请说明理由． 【分析】（1）以OB所在的直线为x轴，OP所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．易得喷水口在O处的抛物线经过点（0，0）和（4，0），那么可得抛物线的对称轴，结合点B的坐标可得水线最高点与点B之间的水平距离； （2）①根据抛物线上下平移，对称轴不变以及经过点P和点B求得当喷水口在P处时的水线所在的抛物线的解析式，水线的最大高度即为对称轴与抛物线交点的纵坐标到x轴的距离； ②取y＝1.5，代入①得到的抛物线解析式，求得对应的x的值，即可判断出为了不被水喷到，该点与O的水平距离应满足什么条件． 【解答】解：以OB所在的直线为x轴，OP所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）∵OA＝4， ∴点O坐标为（0，0），点A坐标为（4，0）． ∴所得抛物线的对称轴为：直线x＝2． ∵OB＝6， ∴点B的坐标为（6，0）． ∴水线最高点与点B之间的水平距离为：6﹣2＝4（m）； （2）①设喷水口在P处时，喷出的抛物线形水线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）． ∵经过点P（0，1.5），B（6，0），对称轴与过点O的抛物线的对称轴相同， ∴． 解得：． ∴yx2x+1.5． ∴当x＝2时，y＝2． 答：水线的最大高度为2m； ②当y＝1.5时， 1.5x2x+1.5． x2x＝0． x（x﹣4）＝0． ∴x1＝0，x2＝4． ∴为了不被水喷到，该点与O的水平距离x应满足0＜x＜4． 【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：在同一个抛物线上的两个点的坐标为（x1，y），（x2，y），那么该抛物线的对称轴为：直线x；抛物线上下平移，对称轴不变． 18．（2024•武汉模拟）足球是同学们喜爱的一项运动，如图，有一进攻球员位于点O处，面对高度为2.44m的足球球门．守门员位于点A处，OA的延长线与球门线交于点B，足球飞行路线可看成抛物线，点A，B均在抛物线下方．已知OB＝28m，AB＝8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（m）与离地高度h（m）的数据如表： S（m） … 9 12 15 18 21 … h（m） … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … （1）求h关于s的函数解析式，不需要写自变量取值范围； （2）在守门员不防守的情况下，进攻球员能否把球踢进，请说明理由； （3）守门员在进攻球员射门瞬间作出向着球门方向运动的防守反应，当足球在守门员正上方时足球离地高度不大于2.5m视为防守成功，已知守门员运动速度为2.5m/s，问守门员能否成功防守？请说明理由． 【分析】（1）依据题意，根据表格可知，s＝9时和s＝21时，h相等，s＝12时，s＝18时，h相等，故抛物线关于s＝15对称，则可设h关于s的函数解析式为h＝a（s﹣15）2+5，再把（12，4.8）代入上述解析式，从而a（12﹣15）2+5＝4.8，可得a，进而可以得解； （2）依据题意，当s＝OB＝28时，h（28﹣15）2+5≈1.24＜2.44，进而得解； （3）依据题意，设守门员后退到足球正下方所需时间为t秒，则15t＝28﹣（8﹣2.5t），可得守门员后退到足球正下方所需时间为1.6秒，故可得守门员后退到足球正下方距离，再由足球在守门员正上方时足球离地高度，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，根据表格可知，s＝9时和s＝21时，h相等，s＝12时，s＝18时，h相等， ∴抛物线关于s＝15对称． 可设h关于s的函数解析式为h＝a（s﹣15）2+5， 把（12，4.8）代入上述解析式， ∴a（12﹣15）2+5＝4.8． ∴a． ∴h关于s的函数解析式为h（s﹣15）2+5s2s． （2）由题意，当s＝OB＝28时，h（28﹣15）2+5≈1.24＜2.44， ∴进攻球员能把球踢进． （3）这次守门员不会防守成功．理由如下： 由题意，设守门员后退到足球正下方所需时间为t秒． ∴15t＝28﹣（8﹣2.5t）． ∴t＝1.6． ∴守门员后退到足球正下方所需时间为1.6秒． ∴守门员后退到足球正下方距离O为：15×1.6＝24m． 当s＝24时，h（24﹣15）2+5＝﹣1.8+5＝3.2m． ∵当足球在守门员正上方时足球离地高度不大于2.5m， 又3.2＞2.5， ∴这次守门员不会防守成功． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 19．（2024•武昌区模拟）乒乓球是我国国球．球台长为2.8m，中间处球网的高度为1.5dm．现有一台乒乓球发球器，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线．从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．乒乓球第一次接触台面在球网左侧，越过球网（擦网不影响球运动轨迹）后，第二次接触台面在球网右侧为成功发球．乒乓球大小忽略不计．如图，当发球器放在球台左端时，通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据，如表所示： x（dm） 0 2 4 6 8 10 12 14 … y（dm） 3.36 2.52 1.68 0.84 0 1.40 2.40 3 … （1）直接写出球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式；（写出自变量的取值范围） （2）求乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离； （3）发球器有一个滑轨，可以让发球口向右平移，若要成功发球，发球口最多向右平移多少dm？ 【分析】（1）易得球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数为一次函数，设y＝kx+b（k≠0），把表格中的前两组数据代入可得k和b的值，观察表格中的数据可得一次函数自变量的取值在0和8之间； （2）观察表格中的数据和所给函数图象可得当x＞8时，函数图象为二次函数，设二次函数的表达式为一般式，把表格中的从8开始的三组数据代入可得二次函数的解析式；取y＝0，求得相应的x的值，取较大的值即为乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离； （3）取y＝1.5，代入抛物线解析式，求得对应的x的值；易得球台长28dm，那么球台的一半长14dm，取球台的一半长减去较小的x的值，即为平移的距离；比较平移的距离和未移动前球台剩余的长度可得最多平移的距离． 【解答】解：（1）∵球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线， ∴设y＝kx+b（k≠0）． ∵经过点（0，3.36），（2，2.52）． ∴． ∴球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式为：y＝﹣0.42x+3.36（0≤x≤8）； （2）当x＞8时，设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）． ∴． 解得：． ∴y＝﹣0.05x2+1.6x﹣9.6． 当y＝0时，0＝﹣0.05x2+1.6x﹣9.6． 整理得：x2﹣32x+192＝0． （x﹣24）（x﹣8）＝0． 解得：x1＝24，x2＝8． 答：乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为24 dm； （3）∵2.8 m＝28 dm． ∴球台的一半长14 dm． 当y＝1.5时， 1.5＝﹣0.05x2+1.6x﹣9.6． 整理得：x2﹣32x+222＝0． 解得：x1＝16，x2＝16． ∴14﹣（16）2． ∵28﹣24＝4，2＜4， ∴发球口最多向右平移（2）dm． 【点评】本题考查二次函数的应用．理解发球口最多平移的距离是球台的一半长减去刚好擦网时得到的距离发球器出口的水平距离是解决本题的难点． 20．（2024•武汉模拟）某班在元旦联欢会上进行投掷小球游戏．通过实验，收集了小明同学抛出的小球高度h（单位：m）、距离起点的水平距离x（单位：m）随运动时间t（单位：s）变化的数据如表． 运动时间t（s） 0 0.5 1 … 水平距离x（m） 0 1 2 … 高度h（m） 1.6 2.2 2.4 … 其中h是关于x的二次函数，x是关于t的一次函数，建立如图所示平面直角坐标系． （1）直接写出h关于x的函数解析式和x关于t的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）求小球抛出后到达的最大高度以及所需要的时间； （3）如图所示，水平放置纵截面为矩形ABCD的纸箱，OA＝5m，AB＝0.5m，AD＝0.6m．当小明抛出小球的同时，小亮沿着射线BA的方向以v（单位：m/s）的速度移动该纸箱，若小球落在移动的CD上（不包括端点C，D），直接写出v的取值范围． 【分析】（1）依据题意，设二次函数为h＝ax2+bx+c，又结合表格数据可得方程组计算可得二次函数解析式，又设一次函数为x＝kt+b，从可得方程组，计算可得一次函数解析式；（2）依据题意，由h＝﹣0.2x2+0.8x+1.6＝﹣0.2（x﹣2）2+2.4，又﹣0.2＜0，从而当x＝2时，hmx＝2.4，进而将x＝2代入x＝2t得，即可得解； （3）依据题意，结合（1）h＝﹣0.2x2+0.8x+1.6，令h＝0.6，从而0.6＝﹣0.2x2+0.8x+1.6，计算可得x＝5或x＝﹣1（舍去），又OA＝5m，故此时小球刚好落在CD上，又x＝2t，从而求出t，结合∵小球落在移动的CD上，可得纸箱移动的距离＜AB＝5m，进而移动的最大速度v＝AB÷2.5，计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，设二次函数为h＝ax2+bx+c，又结合表格数据可得， ． ∴． ∴h＝﹣0.2x2+0.8x+1.6． 又设一次函数为x＝kt+b， ∴． ∴k＝2，b＝0． ∴一次函数为x＝2t． （2）由题意，∵h＝﹣0.2x2+0.8x+1.6＝﹣0.2（x﹣2）2+2.4， 又﹣0.2＜0， ∴当x＝2时，h的最大值为2.4m． 将 x＝2 代入x＝2t 得， ∴t＝1． ∴小球被抛出后1s达到最高点，且最大高度为2.4m． （3）由题意，结合（1）h＝﹣0.2x2+0.8x+1.6， 令h＝0.6， ∴0.6＝﹣0.2x2+0.8x+1.6． ∴x＝5或x＝﹣1（舍去）． 又OA＝5m， ∴此时小球刚好落在CD上． 又x＝2t． ∴2t＝5． ∴t＝2.5． ∵小球落在移动的CD上， ∴移动的距离＜AB＝0.5m． ∴移动的最大速度v＝AB÷2.5＝0.2（m/s）． ∴0＜v＜0.2m/s． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质解题是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 二次函数的实际应用 课标要求 考点 考向 1.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。 2.能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系。 3.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题。 4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 二次函 数的实际应用 考向一 商品销售问题 考向二 面积问题 考向三 实物型抛物线问题 考点 二次函数的实际应用 ►考向一 商品销售问题 解题技巧： 总利润 = 销售单价×销量 - 进货单价×销量 = (销售单价 - 进货单价)×销量 = 单利润×销量 1．（2022•荆门）某商场销售一种进价为30元/个的商品，当销售价格x（元/个）满足40＜x＜80时，其销售量y（万个）与x之间的关系式为yx+9．同时销售过程中的其它开支为50万元． （1）求出商场销售这种商品的净利润z（万元）与销售价格x函数解析式，销售价格x定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？ （2）若净利润预期不低于17.5万元，试求出销售价格x的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格x应定为多少元？ 2．（2023•湖北）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表： 时间：第x（天） 1≤x≤30 31≤x≤60 日销售价（元/件） 0.5x+35 50 日销售量（件） 124﹣2x （1≤x≤60，x为整数） 设该商品的日销售利润为w元． （1）直接写出w与x的函数关系式 　 　； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 3．（2023•十堰）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为x元，日销售量为p盒． （1）当x＝60时，p＝　 ； （2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ （3）小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤80．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论． 4．（2023•湖北）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中1000m2的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200⩽x⩽700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2． （1）当x＝　 　m2时，y＝35元/m2； （2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ （3）学校计划今后每年在这1000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28920元？ 5．（2023•随州）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式p销量q（千克）与x的函数关系式为q＝x+10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元． （1）m＝　 　，n＝　 　； （2）求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式； （3）在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？ 6．（2023•黄石）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是z，其中x是正整数．当x＝16时，z＝14；当x＝20时，z＝13． （1）求m，n的值； （2）设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y＝5x+20． ①当12＜x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？ ②当0＜x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围． ►考向二 面积问题 解题技巧： 在解答有关利用二次函数求几何图形的最大（小）面积或（体积）的问题时，应遵循以下的规律： （1）利用几何图形的面积或（体积）公式得到面积或（体积）的二次函数解析式.（2）由已得到的二次函数解析式求解问题； （3）结合实际问题中自变量的取值范围得出实际问题的答案. 7．学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42米，篱笆长80米．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为S米2． （1）求y与x，S与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750米2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 8．（2022•湖北）为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在360m2的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元/m2）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元/m2． （1）当x≤100时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当甲种花卉种植面积不少于30m2，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时． ①如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？ ②受投入资金的限制，种植总费用不超过6000元，请直接写出甲种花卉种植面积x的取值范围． ►考向三 实物型抛物线问题 解题技巧： ①建立适当的直角坐标系； ②将已知条件转化为点的坐标； ③合理设出函数解析式； ④代入已知条件或点的坐标，求出函数解析式； ⑤利用函数解析式解决问题． 9．（2024•武汉）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行． 某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线y＝ax2+x和直线yx+b．其中，当火箭运行的水平距离为9km时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为3.6km， ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km． 10．（2023•武汉）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）、飞行高度y（单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化的数据如表． 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 飞行水平距离x/m 0 10 20 30 40 … 飞行高度y/m 0 22 40 54 64 … 探究发现 x与t，y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 问题解决 如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题． （1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； （2）在安全线上设置回收区域MN，AM＝125m，MN＝5m．若飞机落到MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围． 11．（2022•武汉）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处． 小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表． 运动时间t/s 0 1 2 3 4 运动速度v/cm/s 10 9.5 9 8.5 8 运动距离y/cm 0 9.75 19 27.75 36 小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系． （1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度； （3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由． 1．（2024•长阳县模拟）麻花是我国的一种特色油炸面食小吃，色、香、味俱全，品种多样，十分畅销．阳光超市购进了一批麻花礼盒进行销售，成本价为30元/件，根据市场预测，在一段时间内，销售单价为40元/件时，每天的销售量为300件，销售单价每提高10元/件，将少售出50件． （1）求超市销售该麻花礼盒每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，超市销售该麻花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润； （3）若超市销售该麻花礼盒每天要获得不低于5000元的利润，但物价部门规定，销售该麻花礼盒的利润率不得高于150%，该超市应如何确定销售单价． 2．（2024•茅箭区一模）某超市在“元宵节”来临前夕，购进一种品牌元宵，每盒进价是20元，超市规定每盒售价不得少于25元，根据以往销售经验发现；当售价定为每盒25元时，每天可卖出250盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种元宵的每盒售价不得高于38元，如果超市想要每天获得不低于2000元的利润，那么超市每天至少销售元宵多少盒？ 3．（2024•孝感模拟）“我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销大米时的台词．所推销大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋．为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋． （1）求出y与x的函数关系式； （2）设“东方甄选”每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润不低于3875元，且让消费者获得最大的利益，求此时大米的销售单价是多少元？ 4．（2024•恩施市一模）已知甲、乙两种玩具每件的进价分别为10元和15元．经市场调查发现，甲种玩具每天的销量y1（单位：件）与每件售价x（单位：元）的函数关系为y1＝﹣2x+100，乙种玩具每天的销量y2（单位：件）与每件售价z（单位：元）之间是一次函数关系，其部分数据如下表： 每件售价z（单位：元） … 20 25 30 … 销量y2（单位：件） … 100 80 60 … 其中x，z均为非负整数．商店按照每件甲种玩具利润是每件乙种玩具利润的2倍来确定甲、乙两种玩具的销售单价，且销售单价高于进价． （1）直接写出乙种玩具每天的销量y2与每件售价z的关系式是 　 　；甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是 　 　； （2）当甲种玩具的总利润为800元时，求乙种玩具的总利润是多少元？ （3）当这两种玩具每天销售的总利润之和最大时，直接写出甲种玩具每件的销售价格． 5．（2024•襄城区模拟）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．两种产品成本价、售价及每日需支付的专利费如下表所示： 类别产品 成本价（元/件） 售价（元/件） 每日需支付的专利费（元） A m （m为常数，且4≤m≤6） 8 30 B 12 20 y 其中A产品每日最多产销500件，B产品每日最多产销300件，B产品每日需支付专利费y（元）与每日产销x（件）满足关系式y＝80+0.01x2． （1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润；（A产品的最大日利润用含m的代数式表示） （3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由． 【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】 6．（2024•孝南区模拟）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式p（且x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为q＝x+10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元． （1）m＝　 　，n＝　 　； （2）求销售额W元与x之间的函数关系式，并求第x天时，销售额W最大； （3）在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有 　 　天． 7．（2024•阳新县校级二模）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg．设第x天的销售价格为y（元/kg），销售量为m（kg）．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33．②m与x的关系为m＝5x+50． （1）当31≤x≤50时，求y与x的关系式为 　 　； （2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？ （3）若超市在第31天到第35天的当天销售价格的基础上涨a元/kg（0≤a≤6），且日销售利润W（元）随x的增大而增大，那么a的取值范围是多少？ 8．（2024•荆州二模）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度OM为16米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）． （1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明； （3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使点A，D在抛物线上．点B，C在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆AB，AD，DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 9．（2024•巴东县模拟）【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活． 【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝x m． 【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）． 【解决问题】思路：把矩形ABCD的面积S与边长x（即AB的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可． （1）请用含有x的代数式表示BC的长； （2）花园的面积能否为192m2？若能，求出x的值，若不能，请说明理由； （3）求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大？ 10．（2024•襄州区模拟）如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为18m），另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为32m，设矩形场地的长为x m，宽为y m，面积为s m2． （1）分别求出y与x，s与x的函数解析式； （2）当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？ （3）若购买的篱笆总长增加8m，矩形场地的最大总面积能否达到100m2？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 11．（2024•洪山区模拟）根据以下素材，完成探索任务． 问题提出根据以下提供的素材，在总费用（新墙的建筑费用与门的价格之和）不高于5900元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案？ 素材一 如图是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有16m长的墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为22m，开两个门，且门宽均为1m． 素材二 每个门的价格为250元． 素材三 与现有墙平行方向的墙建筑费用为300元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米． 问题解决 任务1 设AB＝x m，矩形ABCD的面积为S，求S关于x的函数表达式． 任务2 探究自变量x的取值范围． 任务3 确定设计方案．当AB＝　 　m，BC＝　 m时，S的最大值为 　 　m2．（直接填写结果） 12．（2024•湖北模拟）跳绳是校园中常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．如图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m．现在以两人的站立点所在的直线为x轴，过小明拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式yx2+bx+c． （1）求绳子所对应的抛物线的解析式； （2）身高为1.72m的乐乐站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由； （3）身高为1.64m的小颖和身高为1.66m的小丽，同时站在绳子的下方，在保证绳子甩到最高处时能过她们的头顶的情况下，她们之间的最大距离是 　m． 13．（2024•江岸区模拟）某广场有一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置OA，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，通过调节喷水装置OA的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观，在半径为3.2米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉． 设水流离池底的高度为y（单位：米），距喷水装置OA的水平距离为x（单位：米）．如图所示，以喷水装置OA所在直线为y轴，以池底水平线为x轴建立平面直角坐标系．如表是喷水口A最低时水流高度y和水平距离x之间的几组数据： x/米 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 y/米 1.5 1.875 2 1.875 1.5 0.875 0 （1）根据上述数据，水流喷出的最大高度为 　2　米，并求出y关于x的函数关系式，不要求写出自变量的范围； （2）为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，求喷水口A升高的最小值； （3）喷泉口A升高的最大值为1.92米，为能充分喷灌四周花卉，花卉的种植宽度至少要为多少米，才能使喷出的水流不至于落在花卉外？ 14．（2024•青山区模拟）海豚是生活在海洋里的一种动物，它行动敏捷，弹跳能力强．海豚表演是武汉海昌极地海洋公园最吸引人的节目之一．在进行跳水训练时，海豚身体（看成一点）在空中的运行路线可以近似看成抛物线的一部分．如图，在某次训练中以海豚起跳点O为原点，以O与海豚落水点所在的直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系．海豚离水面的高度y（单位：m）与距离起跳点O的水平距离x（单位：m）之间具有函数关系y＝ax2+2x，海豚在跳起过程中碰到（不改变海豚的运动路径）饲养员放在空中的离O点水平距离为3m，离水面高度为4.5m的小球． （1）求海豚此次训练中离水面的最大高度是多少m？ （2）求当海豚离水面的高度是时，距起跳点O的水平距离是多少m？ （3）在海豚起跳点与落水点之间漂浮着一个截面长CD＝6m，高DE＝4m的泡沫箱，若海豚能够顺利跳过泡沫箱（不碰到），求点D横坐标n的取值范围． 15．（2024•江夏区模拟）图1是两层喷泉景观的效果图，图2是其示意图，两层喷泉落在直径为4m的圆内，喷泉的水流均看作抛物线的一部分，下层喷泉C1的喷水口设在圆心O处，落地点与圆心O的水平距离为2m，水流的最高点距离地面1m；上层喷泉C2的喷水口设在圆心O的正上方，且水流经过下层喷泉水流的最高点，以圆心为原点，过圆心的一条水平线为x轴，中心线l为y轴建立如图3所示的平面直角坐标系，设水流的高度为y（单位：m），水流距离中心线的水平距离为x（单位；m）． （1）求图3中下层喷泉所对应抛物线C1的函数解析式；（不必写x的取值范围） （2）当图3中上层喷泉所对应抛物线C2的函数解析式为y＝−5x2+bx+c时，视觉效果最佳． ①试推算b，c应满足的数量关系； ②结合实际环境．要求上层喷泉C2的水流最大高度不低于2.8m，且不高于3.45m，求出b的取值范围． 16．（2024•枣阳市模拟）为有力有效推进乡村全面振兴，在驻村工作队的帮扶下，某村积极推动“合作社+农户”模式托起村民致富梦．村合作社推广种植某特色农产品，每千克成本为20元，规定每千克售价需超过成本，但不高于50元，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该农产品的日销售利润为W元． （1）分别求出y与x，W与x之间的函数解析式； （2）该合作社决定从每天的销售利润中拿出200元设立“助学基金”，若捐款后合作社的剩余利润是800元，求该农产品的售价； （3）若该农产品的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 17．（2024•湖北模拟）如图1，公园草坪的地面O处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形水线也随之上下平移，图2是其示意图．开始喷水后，若喷水口在O处，水线落地点为A，OA＝4m；若喷水口上升1.5m到P处，水线落地点为B，OB＝6m． （1）求水线最高点与点B之间的水平距离； （2）当喷水口在P处时， ①求水线的最大高度； ②身高1.5m的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与O的水平距离应满足什么条件？请说明理由． 18．（2024•武汉模拟）足球是同学们喜爱的一项运动，如图，有一进攻球员位于点O处，面对高度为2.44m的足球球门．守门员位于点A处，OA的延长线与球门线交于点B，足球飞行路线可看成抛物线，点A，B均在抛物线下方．已知OB＝28m，AB＝8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（m）与离地高度h（m）的数据如表： S（m） … 9 12 15 18 21 … h（m） … 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … （1）求h关于s的函数解析式，不需要写自变量取值范围； （2）在守门员不防守的情况下，进攻球员能否把球踢进，请说明理由； （3）守门员在进攻球员射门瞬间作出向着球门方向运动的防守反应，当足球在守门员正上方时足球离地高度不大于2.5m视为防守成功，已知守门员运动速度为2.5m/s，问守门员能否成功防守？请说明理由． 19．（2024•武昌区模拟）乒乓球是我国国球．球台长为2.8m，中间处球网的高度为1.5dm．现有一台乒乓球发球器，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线．从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．乒乓球第一次接触台面在球网左侧，越过球网（擦网不影响球运动轨迹）后，第二次接触台面在球网右侧为成功发球．乒乓球大小忽略不计．如图，当发球器放在球台左端时，通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据，如表所示： x（dm） 0 2 4 6 8 10 12 14 … y（dm） 3.36 2.52 1.68 0.84 0 1.40 2.40 3 … （1）直接写出球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式；（写出自变量的取值范围） （2）求乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离； （3）发球器有一个滑轨，可以让发球口向右平移，若要成功发球，发球口最多向右平移多少dm？ 20．（2024•武汉模拟）某班在元旦联欢会上进行投掷小球游戏．通过实验，收集了小明同学抛出的小球高度h（单位：m）、距离起点的水平距离x（单位：m）随运动时间t（单位：s）变化的数据如表． 运动时间t（s） 0 0.5 1 … 水平距离x（m） 0 1 2 … 高度h（m） 1.6 2.2 2.4 … 其中h是关于x的二次函数，x是关于t的一次函数，建立如图所示平面直角坐标系． （1）直接写出h关于x的函数解析式和x关于t的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）求小球抛出后到达的最大高度以及所需要的时间； （3）如图所示，水平放置纵截面为矩形ABCD的纸箱，OA＝5m，AB＝0.5m，AD＝0.6m．当小明抛出小球的同时，小亮沿着射线BA的方向以v（单位：m/s）的速度移动该纸箱，若小球落在移动的CD上（不包括端点C，D），直接写出v的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$