热点5-1 等差数列与等比数列综合（8题型+高分技法+限时提升练）-2025年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考通用）

热点4-1 等差数列与等比数列综合 三年考情分析 2025考向预测 在近三年高考数学中的占比约10%-15%，分值在10-15分左右，以选择题和填空题为主，难度中等偏上，偶尔在解答题中出现．等差数列和等比数列的基本量的计算以及性质应用是高考的热点，解答题中通常结合其他知识点，考查综合运用能力． 预计2025年稳中求变，基本概念、公式和性质的考查仍会占据主要部分，但题目设计会更加灵活，注重知识点的综合应用．数列问题可能会更多地结合现实生活中的情境． 题型1 等差数列的基本量计算 1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 1．（24-25高三上·江西上饶·模拟测试）已知数列是等差数列，记数列的前项和为，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 2．（24-25高三上·宁夏银川·月考）设为等差数列的前项和，，，则（    ） A． B． C．0 D．4 3．（24-25高三上·广东·期末）已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ） A． B． C．1 D．2 4．（24-25高三上·云南昆明·模拟预测）设等差数列{an}的前n项和为，已知，则（    ） A．11 B．9 C．8 D．6 题型2 等差数列的通项与前n项和性质 1、等差数列通项的性质 （1）在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d． （2）等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． （3）等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap． 2、等差数列前n项和的性质 （1）等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． （2）数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列． （3）若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝． 1．（24-25高三下·湖南·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．1 B． C．10 D． 2．（24-25高三上·湖南永州·期中）已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．44 B．56 C．68 D．84 3．（24-25高三上·河南·期末）已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高三上·江西上饶·月考）等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 题型3 等差数列的前n项和最值问题 1、二次函数法：将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意 n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 1．（24-25高三上·河北·期末）数列为等差数列，，，且，，成等比数列，当最大时，n=（    ） A．8或9 B．9或10 C．10或11 D．11或12 2．（24-25高三上·广东广州·月考）已知等差数列的前项和为，且，，则取最大值时的值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东肇庆·模拟测试）已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（    ） A．数列为等差数列 B． C．数列存在最大值 D．数列存在最大值 4．（24-25高三上·浙江·模拟预测）设等差数列的前项和是，前项积是，若，，则（    ） A．无最大值，无最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值 题型4 含绝对值的等差数列求和 设的前项和为，的前项和为， 1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列：第项小于0而项开始大于0或等于0，于是有； 2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列：第项大于0而项开始小于0或等于0，于是有． 1．（24-25高三上·湖北武汉·月考）已知递减的等比数列满足：，，，若，则数列的前12项和（    ） A．9 B．12 C．18 D．27 2．（23-24高三上·贵州·月考）记等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 3．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 4．（23-24高三上·湖北·期中）已知为等差数列的前项和，若，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 题型5 等比数列的基本量计算 等比数列的运算技巧 1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． 2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体． 1．（24-25高三上·甘肃白银·月考）设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知公比为的等比数列的前和为，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25高三上·江苏苏州·期末）设等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B．2 C．2025 D． 4．（24-25高三上·江苏无锡·月考）已知等比数列的前项和为，若，则 . 题型6 等比数列的通项与前n项和性质 1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2、等比数列前项和的性质 （1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为； （2）对，有； （3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和； （4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且） 1．（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）在等比数列中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·辽宁本溪·开学考试）等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A． B．5 C． D．30 3．（24-25高三上·重庆·月考）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（    ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 4．（24-25高三上·福建厦门·月考）已知等比数列的前项和为，若，则 . 题型7 等差数列与等比数列的证明 1、等差数列的证明方法 （1）定义法：或是等差数列； （2）定义变形法：验证是否满足． 2、等比数列的证明方法 （1）定义法：为常数且数列是等比数列． （2）等比中项法：数列是等比数列． 1．（24-25高三上·安徽六安·期末）已知数列、分别满足，，则下列说法错误的是（   ） A．数列是公比为的等比数列 B．数列是公差为的等差数列 C．数列的前项和为 D．数列是等比数列 2．（23-24高三下·江西·模拟预测）（多选）在数列中，，对任意正整数n，都有，则（    ） A．若，则是等差数列 B．若是等比数列，则 C．存在，使得是等差数列 D．存在，使得是等比数列 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）设正项数列的前项和为，满足（）. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式. 4．（24-25高三下·福建宁德·开学考试）已知数列中，. (1)若依次成等差数列，求； (2)若，证明：数列为等比数列； (3)若，求的前项和. 题型8 等差数列与等比数列的实际应用 解决等差数列与等比数列的实际应用问题，首先需要仔细阅读题目，明确已知条件和求解目标，理解题目中涉及的数列类型（等差数列或等比数列）；再根据根据题目描述，确定数列的首项、公差（等差数列）或公比（等比数列），将实际问题转化为数列问题，根据已知条件和数列公式，求解数列的特定项、前n项和或数列的性质． 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min才有一台到达施工现场投入工作，要在24h内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（    ） A．25台 B．24台 C．23台 D．22台 2．（24-25高三下·山东·开学考试）（多选）现有200根相同的钢管，若把它们堆放成正三角形垛，且使剩余的钢管尽可能的少，则下面说法正确的是（    ） A．堆放成正三角形垛后，没有剩余钢管 B．堆放成正三角形垛后，剩余钢管的根数为10 C．若再增加8根钢管，则所有的钢管恰好可以堆放成正三角形垛 D．若再增加10根钢管，则所有的钢管恰好可以堆放成正三角形垛 3．（24-25高三上·北京房山·期末）《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条件，该女子第5天织布 尺；若要织布50尺，该女子所需的天数至少为 . 4．（24-25高三上·江苏无锡·期末）数学史上著名的“康托三分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作过程不断地进行下去.若使前次操作后剩余所有区间长度之和不超过，则需要操作的次数的最小值为 ，该次操作完成后依次从左到右第四个区间为 . （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·河南周口·期末）记数列的前项和为，，，则（    ） A．0 B．12 C．15 D．20 2．（24-25高三上·江苏·月考）等比数列中，，，若其前项的和，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知数列为等差数列，前项和为.若，，则（    ） A． B． C．9 D．18 4．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知等比数列，则（    ） A．3 B．±3 C． D． 5．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 6．（24-25高三上·江西上饶·期中）复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为系列、系列、系列，其中系列的幅面规格为，，，…，，所有规格的纸张的长度（以表示）和幅宽（以表示）的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；…，如此对开至规格.现有，，，…，纸各一张，若纸的幅宽为，则这9张纸的面积之和为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·浙江丽水·期末）记为数列的前项和，为数列的前项和，且数列是一个首项不等于公差的等差数列，则下列结论正确的是（    ） A．和均是等差数列 B．是等差数列，不是等差数列 C．不是等差数列，是等差数列 D．和均不是等差数列 8．（24-25高三上·湖南长沙·期末）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.已知等差数列的第5项为5，前10项和为55，等比数列的第3项为4，第6项为32.若数列的前项和为，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·山西运城·期末）设等比数列的公比为q，前n项积为，且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D． 10．（24-25高三上·福建福州·期末）已知为等差数列的前项和，若，则（    ） A．为递增数列 B．为递减数列 C．当或时，的值最大 D．使得成立的的最大值是4038 11．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知等差数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列为等比数列 B． C．当且仅当时，取得最大值 D． 三、填空题 12．（24-25高三上·湖北武汉·期末）已知为等差数列的前项和，若，则 . 13．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知、分别为等差数列、的前项和，，则 ． 14．（24-25高三上·甘肃靖远·联考）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为 . 四、解答题 15．（24-25高三上·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求数列的前n项和． 16．（24-25高三上·福建福州·月考）记为数列的前项和，已知. (1)求，并证明是等差数列； (2)求. 17．（24-25高三上·安徽蚌埠·月考）已知数列的前项和为且. (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求数列的前90项的和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点4-1 等差数列与等比数列综合 三年考情分析 2025考向预测 在近三年高考数学中的占比约10%-15%，分值在10-15分左右，以选择题和填空题为主，难度中等偏上，偶尔在解答题中出现．等差数列和等比数列的基本量的计算以及性质应用是高考的热点，解答题中通常结合其他知识点，考查综合运用能力． 预计2025年稳中求变，基本概念、公式和性质的考查仍会占据主要部分，但题目设计会更加灵活，注重知识点的综合应用．数列问题可能会更多地结合现实生活中的情境． 题型1 等差数列的基本量计算 1、等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想． 2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 1．（24-25高三上·江西上饶·模拟测试）已知数列是等差数列，记数列的前项和为，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】由题设，可得， 由.故选：D 2．（24-25高三上·宁夏银川·月考）设为等差数列的前项和，，，则（    ） A． B． C．0 D．4 【答案】A 【解析】因为，所以，即，所以，即， 又，所以公差，所以.故选：A 3．（24-25高三上·广东·期末）已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得，故选：A. 4．（24-25高三上·云南昆明·模拟预测）设等差数列{an}的前n项和为，已知，则（    ） A．11 B．9 C．8 D．6 【答案】D 【解析】因为数列为等差数列， 所以，， 又，所以，故或， 因为，故，则， 所以，所以.故选：D. 题型2 等差数列的通项与前n项和性质 1、等差数列通项的性质 （1）在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为am＝an＋(m－n)d． （2）等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． （3）等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap． 2、等差数列前n项和的性质 （1）等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． （2）数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列为等差数列． （3）若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d， ①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，＝； ②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，＝． 1．（24-25高三下·湖南·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．1 B． C．10 D． 【答案】B 【解析】设数列的公差为，则， 所以，所以 所以数列为等差数列， 设数列的公差为，又数列的首项为， 因为，两边同除以得：， 所以，解得， 又，即，解得.故选：B. 2．（24-25高三上·湖南永州·期中）已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．44 B．56 C．68 D．84 【答案】D 【解析】由题意可得，，成等差数列， 所以， 因为，， 则，解得.故选：D. 3．（24-25高三上·河南·期末）已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由等差数列的性质可知， 所以故选：C 4．（24-25高三上·江西上饶·月考）等差数列，的前项和分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】等差数列，的前项和分别为，， 由，得， .故选：C 题型3 等差数列的前n项和最值问题 1、二次函数法：将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．转化为求二次函数的最值问题，但要注意 n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 1．（24-25高三上·河北·期末）数列为等差数列，，，且，，成等比数列，当最大时，n=（    ） A．8或9 B．9或10 C．10或11 D．11或12 【答案】B 【解析】， 故，， ∴，， ∴最大时，或10，故选：B. 2．（24-25高三上·广东广州·月考）已知等差数列的前项和为，且，，则取最大值时的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为，则，化简得， 又，所以， 所以，， 则， 所以当时，取最大值，最大值为.故选：B. 3．（24-25高三上·广东肇庆·模拟测试）已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（    ） A．数列为等差数列 B． C．数列存在最大值 D．数列存在最大值 【答案】D 【解析】由可知，当时，， 因为，所以， 故数列是从第二项开始的等差数列，故A错误. 将的通项公式可得，故B错误. 由知，数列为递增数列，不存在最大值，故C错误. 由知，数列为递减数列，故存在最大值，故D正确.故选：D. 4．（24-25高三上·浙江·模拟预测）设等差数列的前项和是，前项积是，若，，则（    ） A．无最大值，无最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】D 【解析】令数列公差为，则，即，作差可得， 所以，则，故， 当得，当得，当得， 显然，当时，时，所以有最小值， 且，当或4时，有最大值.故选：D 题型4 含绝对值的等差数列求和 设的前项和为，的前项和为， 1、对于首项小于0而公差大于0的等差数列：第项小于0而项开始大于0或等于0，于是有； 2、对于首项大于0而公差小于0的等差数列：第项大于0而项开始小于0或等于0，于是有． 1．（24-25高三上·湖北武汉·月考）已知递减的等比数列满足：，，，若，则数列的前12项和（    ） A．9 B．12 C．18 D．27 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为，则，，， ∵，，∴，解得或， ∵等比数列是递减数列，∴. ∵，∴，∵，∴， ∴， ∴， ∴， ∴.故选：C. 2．（23-24高三上·贵州·月考）记等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【答案】(1)；(2)8872 【解析】（1）由，则 设的公差为 则 则 所以数列的通项公式为. （2）由题可知 ，. 3．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）设等差数列的公差为，又，， 所以，解得，， 所以. （2）由（1）知， 当时，，则； 当时，，则， 当时，， 当时，. 综上，. 4．（23-24高三上·湖北·期中）已知为等差数列的前项和，若，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设的公差为，则：，. （2）， 令， 当时，， ， 当时，， 综上所述：. 题型5 等比数列的基本量计算 等比数列的运算技巧 1、在等比数列的通项公式和前项和公式中，共涉及五个量：，，，，，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． 2、对于基本量的计算，列方程组求解时基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可以看作一个整体． 1．（24-25高三上·甘肃白银·月考）设等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记等比数列的公比为q，因为， 所以，解得，所以．故选：D 2．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知公比为的等比数列的前和为，，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】，∴，∴，∴， ， 当时，， 当时，， 故，故选：C. 3．（24-25高三上·江苏苏州·期末）设等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B．2 C．2025 D． 【答案】B 【解析】因为，则，， 设等比数列的公比为， 当时，，整理得， 即，解得（舍）或， 若，，所以； 当时，，解得，所以， 综上，.故选：B. 4．（24-25高三上·江苏无锡·月考）已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】 【解析】设等比数列的公比为，由题意得， 所以，所以， 所以. 题型6 等比数列的通项与前n项和性质 1、等比数列性质应用问题的解题突破口 等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． 2、等比数列前项和的性质 （1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为； （2）对，有； （3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和； （4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且） 1．（24-25高三上·辽宁鞍山·期末）在等比数列中，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在等比数列中，，解得， 所以，， 所以，.故选：A. 2．（24-25高三下·辽宁本溪·开学考试）等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A． B．5 C． D．30 【答案】B 【解析】由题设知，而，则 则.故选：B 3．（24-25高三上·重庆·月考）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（    ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【解析】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项， 设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又，所以.故选：D 4．（24-25高三上·福建厦门·月考）已知等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】8 【解析】因为所以，则， 由等比数列的前项和的性质可知， 数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， ，即， 所以. 题型7 等差数列与等比数列的证明 1、等差数列的证明方法 （1）定义法：或是等差数列； （2）定义变形法：验证是否满足． 2、等比数列的证明方法 （1）定义法：为常数且数列是等比数列． （2）等比中项法：数列是等比数列． 1．（24-25高三上·安徽六安·期末）已知数列、分别满足，，则下列说法错误的是（   ） A．数列是公比为的等比数列 B．数列是公差为的等差数列 C．数列的前项和为 D．数列是等比数列 【答案】C 【解析】对于A选项，，故数列是公比为的等比数列，A对； 对于B选项，， 故数列是公差为的等差数列，B对； 对于C选项，因为， 所以，， 所以，的前项之和为，C错； 对于D选项，因为，故数列是等比数列，D对.故选：C. 2．（23-24高三下·江西·模拟预测）（多选）在数列中，，对任意正整数n，都有，则（    ） A．若，则是等差数列 B．若是等比数列，则 C．存在，使得是等差数列 D．存在，使得是等比数列 【答案】BD 【解析】对于选项A：当时，，故， 但是不符合上式，故不是等差数列，故A错误. 对于选项B：若是等比数列，设公比为q， 则，解得，故选项B正确. 对于选项C：若是等差数列，设公差为d，则， 当且仅当为常数，即数列为常数数列， 则，，由上述，与常数数列矛盾，故C错误. 对于选项D：若是等比数列，设公比为， 则，所以， 整理得：，当时，解得：或，故D正确.故选：BD. 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）设正项数列的前项和为，满足（）. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）当时，，整理，又，所以. ，，， ，. ，数列为等差数列，首项为2，公差为4. （2）由（1）得：，，，. 由求根公式可知，.. 4．（24-25高三下·福建宁德·开学考试）已知数列中，. (1)若依次成等差数列，求； (2)若，证明：数列为等比数列； (3)若，求的前项和. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【解析】（1）由题意得在数列中， 令，得到，令，得到， 因为依次成等差数列，所以， 即，解得. （2）由题意得首项为， 因为， 所以，故是首项为1，公比为2的等比数列. （3）由（2）可得，则， 由等比数列前项和公式得， ， . 题型8 等差数列与等比数列的实际应用 解决等差数列与等比数列的实际应用问题，首先需要仔细阅读题目，明确已知条件和求解目标，理解题目中涉及的数列类型（等差数列或等比数列）；再根据根据题目描述，确定数列的首项、公差（等差数列）或公比（等比数列），将实际问题转化为数列问题，根据已知条件和数列公式，求解数列的特定项、前n项和或数列的性质． 1．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min才有一台到达施工现场投入工作，要在24h内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（    ） A．25台 B．24台 C．23台 D．22台 【答案】B 【解析】设至少需要台抽水机，记一台抽水机20min完成的任务为单位1， 这台抽水机完成的任务依次为，（） 依题意，，是公差为的等差数列， ， 要完成所有任务，则， ， 记，在上是减函数， ，， 所以时，， 所以最小值需要24台抽水机，故选：B． 2．（24-25高三下·山东·开学考试）（多选）现有200根相同的钢管，若把它们堆放成正三角形垛，且使剩余的钢管尽可能的少，则下面说法正确的是（    ） A．堆放成正三角形垛后，没有剩余钢管 B．堆放成正三角形垛后，剩余钢管的根数为10 C．若再增加8根钢管，则所有的钢管恰好可以堆放成正三角形垛 D．若再增加10根钢管，则所有的钢管恰好可以堆放成正三角形垛 【答案】BD 【解析】因为把200根相同的钢管堆放成正三角形垛， 所以正三角形垛从上到下每一层的钢管根数组成首项为1，公差为1的等差数列， 所以搭一个层的正三角形垛所需钢管总根数为. 令，解得是使得不等式成立的n的最大值，此时， 由此可得剩余钢管有10根，故A错误，B正确； 当时， 故再增加10根钢管，则所有的钢管恰好可以堆放成正三角形垛、故C错误，D正确.故选：BD. 3．（24-25高三上·北京房山·期末）《九章算术》是我国古代的优秀数学著作，内容涉及方程、几何、数列、面积、体积的计算等多方面.《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”由以上条件，该女子第5天织布 尺；若要织布50尺，该女子所需的天数至少为 . 【答案】/； 【解析】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，前5项的和为5， 设首项为，前项和为， 则由题意得，∴， ∴，即该女子第5天所织布的尺数为． 令，解得：，所以. 所以若要织布50尺，该女子所需的天数至少为. 4．（24-25高三上·江苏无锡·期末）数学史上著名的“康托三分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作过程不断地进行下去.若使前次操作后剩余所有区间长度之和不超过，则需要操作的次数的最小值为 ，该次操作完成后依次从左到右第四个区间为 . 【答案】 【解析】第一次操作去掉了区间长度的，剩下、 第二次操作去掉个长度为的区间即长度和为， 剩下的区间从左到右依次为、、、， 以此类推，第次操作将去掉个长度为的区间， 则第次操作去掉的长度和为， 设，则， 所以，数列为等比数列，其首项为，公比为， 的前项和， 由题意令，则， 所以，即， 所以，所以， 第次操作后第个区间；第次操作后，第、个区间、， 第次操作后第、、、个区间分别为、、、 所以从左到右第个区间为. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（24-25高三上·河南周口·期末）记数列的前项和为，，，则（    ） A．0 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【解析】由，即，所以数列为等差数列， 又，即，则， .故选：A.看 吧 2．（24-25高三上·江苏·月考）等比数列中，，，若其前项的和，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【解析】设数列的公比为，则有，， 则， 化简得，即.故选：C. 3．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知数列为等差数列，前项和为.若，，则（    ） A． B． C．9 D．18 【答案】B 【解析】由等差数列片段和的性质可知，、、成等差数列， 所以，，则，故选：B. 4．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知等比数列，则（    ） A．3 B．±3 C． D． 【答案】C 【解析】在等比数列中，，由，得， 而，因此， 又，且同号，则，所以.故选：C 5．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】等差数列中，，解得， 等比数列中，，， 所以.故选：A 6．（24-25高三上·江西上饶·期中）复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为系列、系列、系列，其中系列的幅面规格为，，，…，，所有规格的纸张的长度（以表示）和幅宽（以表示）的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；…，如此对开至规格.现有，，，…，纸各一张，若纸的幅宽为，则这9张纸的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设纸的幅宽为， 则的长宽分别为，的长宽分别为，的长宽分别为，…， 因此，，，…，纸的幅宽构成以为首项，为公比的等比数列， 由，得，则的长宽分别为，其面积为， 依题意，9张纸的面积是首项为，公比为的等比数列， 所以这9张纸的面积之和为.故选：D 7．（24-25高三上·浙江丽水·期末）记为数列的前项和，为数列的前项和，且数列是一个首项不等于公差的等差数列，则下列结论正确的是（    ） A．和均是等差数列 B．是等差数列，不是等差数列 C．不是等差数列，是等差数列 D．和均不是等差数列 【答案】C 【解析】因为数列是一个首项不等于公差的等差数列，可设且. 所以，，， 又，所以不成等差数列，故不是等差数列； 因为，所以， 所以， 所以是以为首项，以为公差的等差数列.故选：C 8．（24-25高三上·湖南长沙·期末）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.已知等差数列的第5项为5，前10项和为55，等比数列的第3项为4，第6项为32.若数列的前项和为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为，由第5项为5，前10项和为55， 得，解得，所以. 设等比数列的公比为，由第3项为4，第6项为32，得， 所以，所以， ， 则， 两式相减得 所以，故， 则 因为，所以， 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高三上·山西运城·期末）设等比数列的公比为q，前n项积为，且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D． 【答案】ABD 【解析】对于A：由，，得，，所以，故A正确; 对于B：，故B正确; 对于C：结合选项A可得等比数列的公比为， 所以数列为单调递增数列，所以T的最小值为，故C不正确; 对于D：，故D正确;故选：ABD 10．（24-25高三上·福建福州·期末）已知为等差数列的前项和，若，则（    ） A．为递增数列 B．为递减数列 C．当或时，的值最大 D．使得成立的的最大值是4038 【答案】BC 【解析】已知为等差数列的前项和，且. 根据等差数列前项和公式，那么. . 因为是等差数列，若设公差为，则. 这11项的和，所以. 又因为，，可得. 所以是首项大于，公差小于的数列，即为递减数列，A选项错误，B选项正确. 由于，，且.则，，，， 那么当或时，的值最大，C选项正确. 根据等差数列前项和公式. （因为）. ， 因为，，所以. 所以使得成立的的最大值是，选项错误. 故选：BC. 11．（24-25高三上·江苏扬州·期末）已知等差数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列为等比数列 B． C．当且仅当时，取得最大值 D． 【答案】AD 【解析】等差数列中，，解得， ，解得， 于是等差数列的公差，， 前项和， 对于A，显然，为非零常数，因此数列是等比数列，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，显然等差数列单调递减，前4项均为正数，第5项为0，从第6项起都为负数， 因此当或时，取得最大值，C错误； 对于D，，显然数列是等差数列， 因此，D正确.故选：AD 三、填空题 12．（24-25高三上·湖北武汉·期末）已知为等差数列的前项和，若，则 . 【答案】 【解析】由等差数列可知，，即， 所以， 故答案为：15 13．（24-25高三上·河南漯河·期末）已知、分别为等差数列、的前项和，，则 ． 【答案】 【解析】根据等差数列前n项和的函数特征，可设 则. 故答案为：. 14．（24-25高三上·甘肃靖远·联考）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为 . 【答案】120 【解析】由题意得购买一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的钱数依次成等差数列， 设该数列为，公差为， 则一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的价格依次为， 由题意得解得 故甲花费的钱数为. 故答案为：120. 四、解答题 15．（24-25高三上·福建漳州·模拟预测）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设等差数列的公差为d， 因为，所以． 又因为，则， 所以数列的通项公式． （2）由（1）知，． 当时，， ； 当时，， ． 综上，. 16．（24-25高三上·福建福州·月考）记为数列的前项和，已知. (1)求，并证明是等差数列； (2)求. 【答案】(1)，证明见解析；(2) 【解析】（1）已知， 当时，； 当时，，所以. 因为①，所以②. ②-①得，，整理得， 所以（常数），， 所以是首项为6，公差为4的等差数列. （2）由（1）知，. 所以 . 17．（24-25高三上·安徽蚌埠·月考）已知数列的前项和为且. (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求数列的前90项的和. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）因为， 所以， 两式相减得， 则， 因为，， 所以，数列是公差为2，首项为1的等差数列. （2）由（1）得， 当或时，， 当或时，， 所以数列的前90项的和为 ， 因为， 则上式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$