第一章 整式的乘除（单元重点综合测试B卷，北师大版2024）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记•巧练（陕西专用）

第一章 整式的乘除（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂的乘方运算 【分析】根据幂的乘方运算进行计算即可求解． 本题主要考查了幂的乘方，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故选：D． 2．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查幂的运算，解题的关键是掌握，，，进行解答，即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：A． 3．计算（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查积的乘方公式的逆用，掌握将指数化为相同再运用公式是解题关键． 通过积的乘方公式的逆用，将指数变成相同，再进行计算即可． 【详解】解： ； 故选：C． 4．石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长．将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的定义，理解定义“科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当时，n是正整数，当时，n是负整数．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：C． 5．若，则的值为（    ） A．6 B．8 C．12 D．32 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，代数式求值等知识点，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 利用幂的乘方得到，然后利用同底数幂的乘法得到，最后将代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：B． 6．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的几何背景．用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可． 【详解】解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：D． 7．若式子的计算结果中不含的一次项，则的值为（   ） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则计算出的结果，再根据结果中不含的一次项，即含的一次项的系数为0列式求解即可． 【详解】解： ， ∵式子的计算结果中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查正方形的性质、平方差公式，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则阴影面积的底为，高之和为， ∴阴影面积为，即， ∵大正方形的面积为， ∴，即小正方形的面积为3， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．计算： ． 【答案】/ 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．，则 ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查利用幂的运算解方程，涉及幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算等知识，先由幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算将条件化为，利用幂相等解方程即可得到答案，熟记幂的相关运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ，解得， 故答案为：． 11．若代数式是完全平方式，则 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．根据完全平方式的结构特点进行解答即可． 【详解】解：∵多项式是完全平方式，即： ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 12．若，，则的值为 ． 【答案】6 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． 根据完全平方公式，然后代入相关数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：． 故答案为：6． 13．如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为4cm的正方形AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为S1，长方形ABCD的面积记为S2，已知：3S2－S1=96，则长方形ABCD的周长为 ． 【答案】24 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、整式乘法混合运算 【分析】设KF=a，FL=b，利用a，b表示出图中的阴影部分面积S1与长方形面积S2，然后根据3S2－S1=96可得a，b的关系式，然后可求周长． 【详解】设KF=a，FL=b， 由图可得，EK=BH=LJ=GD=4-a，KH=EB=GL=DJ==4-b， ∴S1= S2= ∵3S2－S1=96 ∴ 整理得： ∴长方形ABCD的周长= 故答案为：24． 【点睛】本题考查列代数式表示图形面积以及代数式求值，利用长方形KFLI的长和宽表示出图形面积是解题的关键． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）计算 (1) (2) 【答案】(1)；(2) 【知识点】有理数的加减混合运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】（1）先将每项单独求出来，再进行有理数加减运算； （2）先将每项单独求出来，再进行同底数幂乘除运算 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 【点睛】本题考查幂的乘方，积的乘方，有理数加减法，同底数幂乘除，负整数指数幂，掌握运算法则是解题的关键． 15．（5分）利用乘法公式计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 16．（5分）先化简，再求值：，其中． 【答案】，10． 【知识点】整式的混合运算 【分析】根据整式的四则混合运算法则即可化简，再将代入化简后的式子求值即可． 【详解】解： ． 将代入得：． 【点睛】本题考查整式的四则混合运算，代数式求值．掌握整式的四则混合运算法则是解题关键． 17．（5分）已知：，求的值． 【答案】16 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ． 18．（5分）已知，．求的值． 【答案】80 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式，把转化为即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 19．（5分）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 【答案】 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式乘法中的无关型问题，负整数指数幂，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再根据乘积展开式中不含项和项，即含项和项的系数为0求出m、n的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项， ∴， ∴， ∴． 20．（6分）如图，这是某学校操场的一角，在长为米，宽为米的长方形场地中间，有两个并排大小一样的篮球场，两个篮球场中间以及篮球场与长方形场地边沿的距离都为b米． (1)求这两个篮球场的总占地面积． (2)若篮球场每平方米的造价为200元，其余场地每平方米的造价50元，求整个长方形场地的造价． 【答案】(1)这两个篮球场的总占地面积是平方米 (2)整个长方形场地的造价为元 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查列代数式，能正确根据题意列出代数式是解此题的关键． （1）把篮球场平移为一个长方形，求出这个长方形的长和宽，即可求出面积； （2）根据篮球场每平方米的造价为200元，其余场地每平方米的造价50元，列出代数式即可． 【详解】（1）解： 平方米． 答：这两个篮球场的总占地面积是平方米． （2）平方米， 平方米， 元． 答：整个长方形场地的造价为元． 21．（6分）小明在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴． ∴． (1)若，，求的值． (2)请同学们根据上面的解题思路与方法，结合几何图形解决下列问题：如图，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形，设，两个正方形的面积和为52，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了根据完全平方公式变形求解等知识． （1）先根据题意得到，进一步得到，根据整体思想即可求出； （2）设，由题意得，求出，根据三角形面积公式即可求出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（7分）若一个正整数x能表示成 （a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”． ∵ （其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． (1)判断：48是否是“优美数”，如果是，请写出48的所有平方差分解；如果不是，说明理由． (2)已知 （x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【答案】(1)48是“优美数”，13与11，8与4，7与1都是48的平方差分解 (2)当时，N为“优美数” 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）根据“优美数”的定义进行解答即可； （2）将化简为：，根据N是“优美数”得出，求出k的值即可． 【详解】（1）解：48是“优美数” ∵， ， ， ∴48是“优美数”，13与11，8与4，7与1都是48的平方差分解； （2）解：∵， ∴当时，为“优美数”，此时， 故当时，N为“优美数”． 23．（7分）对于任意有理数a，b，c，d，我们规定． (1)填空：对于有理数x，k，若，则_______； (2)对于有理数x，y，若，． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，点E在边上，连接，．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)①20；②94 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，完全平方式的含义，利用完全平方公式的变形求值，理解新定义运算的含义是解本题的关键； （1）由新定义可得，从而可得答案； （2）①由新定义可得：，结合可得，从而可得答案；②先表示；把，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）①由题意知． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ②由图可知，； ∵， ∴． 24．（7分）图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图②拼成一个正方形． (1)观察图①，请直接写出，，之间的等量关系； (2)根据（1）中的等量关系，若，，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)6 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查的是完全平方公式的灵活应用，熟练的利用等面积法推导乘法公式是解本题的关键． （1）由等面积法建立公式即可； （2）把，代入即可得到答案； （3）设，，可得，，再结合公式可得答案． 【详解】（1）解：由等面积法可得：； （2）由（1）可得， ， ， ； （3）设，， 则，， ， 的值为6 25．（8分）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：，，是的三种不同形式的配方． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)将按三种不同的形式配方； (2)将配方至少两种形式； (3)已知，求的值． 【答案】(1)；；； (2)；；； (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的逆写，熟练掌握完全平方式的结构是解题关键． （1）仿照例题，利用完全平方公式即可求解； （2）仿照例题，利用完全平方公式即可求解； （3）利用完全平方公式，将等式化为，进而求出，，，再代入求值即可． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：； ； （3）解： ， ， ，，， ，，， 26．（10分）探究与实践 问题发现： （1）用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形，由此可以得到、、的等量关系是______； 问题探究： （2）如图②，将边长为a的正方形和边长为b正方形拼在一起，使得A、P、B共线，点E落在上，连接，若，的面积为，求的长度； 问题解决： （3）如图③，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中、为两条互相垂直的道路，且，，四边形与四边形为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了25万元，请你通过计算说明该物业筹集的资金是否够用？（道路的宽度均不计） 【答案】（1）；（2）；（3）该物业筹集的资金不够用，说明见解析 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用： （1）根据正方形的面积等于边长乘以边长，又等于四个长为a、宽为b的长方形面积加上一个边长为的正方形面积即可得到结论； （2）设，则，，即，由（1）的结论可得，则（负值舍去），； （3）设，由题意得，，两个三角形区域的面积之和，两个长方形区域的面积之和，则一共需要的资金 元，求出，则一共需要的资金 元，根据，得到， 则，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：（1）正方形的面积可以表示为，正方形的面积又可以表示为四个长为a、宽为b的长方形面积加上一个边长为的正方形面积，即， ∴， 故答案为：； （2）设， ∴， ∵的面积为， ∴，即， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； （3）该物业筹集的资金不够用，说明如下： 设， 由题意得，， 两个三角形区域的面积之和， 两个长方形区域的面积之和， ∴一共需要的资金 元， ∵， ∴， ∴一共需要的资金 元， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该物业筹集的资金不够用． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 整式的乘除（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．计算（   ） A．3 B． C． D． 4．石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长．将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 5．若，则的值为（    ） A．6 B．8 C．12 D．32 6．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（    ） A． B． C． D． 7．若式子的计算结果中不含的一次项，则的值为（   ） A．0 B．3 C． D． 8．如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．计算： ． 10．，则 ． 11．若代数式是完全平方式，则 ． 12．若，，则的值为 ． 13．如图所示，长方形ABCD中放置两个边长都为4cm的正方形AEFG与正方形CHIJ，若如图阴影部分的面积之和记为S1，长方形ABCD的面积记为S2，已知：3S2－S1=96，则长方形ABCD的周长为 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）计算 (1) (2) 15．（5分）利用乘法公式计算：． 16．（5分）先化简，再求值：，其中． 17．（5分）已知：，求的值． 18．（5分）已知，．求的值． 19．（5分）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 20．（6分）如图，这是某学校操场的一角，在长为米，宽为米的长方形场地中间，有两个并排大小一样的篮球场，两个篮球场中间以及篮球场与长方形场地边沿的距离都为b米． (1)求这两个篮球场的总占地面积． (2)若篮球场每平方米的造价为200元，其余场地每平方米的造价50元，求整个长方形场地的造价． 21．（6分）小明在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴． ∴． (1)若，，求的值． (2)请同学们根据上面的解题思路与方法，结合几何图形解决下列问题：如图，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形，设，两个正方形的面积和为52，求的面积． 22．（7分）若一个正整数x能表示成 （a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”． ∵ （其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． (1)判断：48是否是“优美数”，如果是，请写出48的所有平方差分解；如果不是，说明理由． (2)已知 （x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 23．（7分）对于任意有理数a，b，c，d，我们规定． (1)填空：对于有理数x，k，若，则_______； (2)对于有理数x，y，若，． ①求的值； ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，点E在边上，连接，．若，，，，求图中阴影部分的面积． 24．（7分）图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图②拼成一个正方形． (1)观察图①，请直接写出，，之间的等量关系； (2)根据（1）中的等量关系，若，，求的值； (3)已知，求的值． 25．（8分）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：，，是的三种不同形式的配方． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)将按三种不同的形式配方； (2)将配方至少两种形式； (3)已知，求的值． 26．（10分）探究与实践 问题发现： （1）用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形，由此可以得到、、的等量关系是______； 问题探究： （2）如图②，将边长为a的正方形和边长为b正方形拼在一起，使得A、P、B共线，点E落在上，连接，若，的面积为，求的长度； 问题解决： （3）如图③，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中、为两条互相垂直的道路，且，，四边形与四边形为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了25万元，请你通过计算说明该物业筹集的资金是否够用？（道路的宽度均不计） 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$