第一章 三角形的证明（单元重点综合测试B卷，北师大版）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（陕西专用）

第一章 三角形的证明（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的一组是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．，，9 2．已知在中，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 （题3图）（题5图）（题6图） 4．在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 5．如图，在等腰直角三角形中，，是角平分线，点在上，，，则的长为(   ) A．2 B． C． D．4 6．如图，在边长为10的等边中，点M在边的延长线上，点N在边上，且，若，则的长为（   ）     A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交BC于点F，交于点E，过点O作于点D，下列说法中正确的是（    ） A．若，则点E，F分别是的中点 B． C．若，，则 D． 8．如图，在中，，，点M是边的中点，点D、E分别是边上的动点，与相交于点F，且．下列6个结论：（1）图中共有2对全等三角形；（2）是等腰三角形；（3）；（4）；（5）；（6）四边形的面积随点D的运动而变化．其中正确的结论有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 （题7图）（题8图） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．一个等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为 ． 10．如图，的三边、、长分别为40、50、70，其三条角平分线交于点，则 ． 11．如图，在中，平分，于点D，交于点E，若，则 ． 12．如图，在中，，平分，交于点D，点M、N分别为、上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 13．如图，、分别是的高线和角平分线，交于点F，的面积是10，，则线段的长度为 ． （题10图） （题11图） （题12图） （题13图） 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）如图，是边的延长线上一点，．求证：点在的垂直平分线上． 15．（5分）如图，在中，点D是的中点，于点E，于点F，且．求证：． 16．（5分）如图①是某文化小镇平面图，小明据此构造出一个数学模型如图②所示，其中，，，，，请根据图②求该小镇的面积．      17．（5分）如图，在中，，是边上的高．请用尺规作图法，在上求作一点P使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18．（5分）如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结，若，试判断的形状，并说明理由． 19．（6分）如图，正方形网格的每个小方格边长均为，的顶点在格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求边上的高． 20．（7分）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交于点．    (1)求的长； (2)若，求的面积． 21．（7分）如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 22．（8分）综合与实践 如图，在中，，，，点P在线段（不含端点）上运动，点D在线段（不含端点）上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)求长． (2)求证：． (3)在点P的运动过程中，是否存在？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由． 23．（8分）如图，在等腰中，，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，作，交边于点E． (1)若时，求证：； (2)在点D的运动过程中，若以为其中一腰长的是等腰三角形时，求出此时的度数． 24．（10分）（1）发现：如图1，点A为线段外一动点，且，．则当点A位于______时，线段的长取得最大值，且最大值是______． （2）应用：点A为线段外一动点，且，，如图2所示，分别以，为边作等边和等边，连接、，求出线段长的最大值并说明理由 （3）拓展：如图3，在点A的正东方向3000米处有一物资补给站B，某园林部门要规划一片牡丹种植园，要求，，且米．为了在点A有最佳的观赏效果，要求线段最长，试求线段长的最大值及此时点C到直线的距离． 25．（10分）【问题背景】 如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． 【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上； 【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？ 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形的证明（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的一组是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．，，9 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、构成三角形的条件 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可． 【详解】解：A、∵， ∴该三角形不存在，故此选项不符合题意； B、∵， ∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴该三角形是直角三角形，故此选项符合题意； D、∵， ∴该三角形不存在，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．已知在中，，，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了三角形的内角和性质以及30度所对的直角边是斜边的一半，先根据，，算出，结合30度所对的直角边是斜边的一半，进行作答即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意证明，可得，根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ 解得： 故选：B． 4．在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解． 【详解】解：、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，要使游戏公平，那么凳子到三个人额距离相等才行， ∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点． 故选：D． 【点睛】本题考线段垂直平分线的性质，正确理解游戏的公平性是解题的关键． 5．如图，在等腰直角三角形中，，是角平分线，点在上，，，则的长为(   ) A．2 B． C． D．4 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定；过点作于点，证明得出，进而证明，根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵等腰直角三角形中，，是角平分线， ∴， 在中， ∴ ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等腰直角三角形中， ∴， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，在边长为10的等边中，点M在边的延长线上，点N在边上，且，若，则的长为（   ）     A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、三线合一 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、和等腰三角形“三线合一”的性质．熟练掌握以上知识，正确作出辅助线是解题的关键．过M点作于D点，由等边三角形的性质得，则．根据“直角三角形中的角所对的边等于斜边的一半” 可得，则可得．由等腰三角形“三线合一”可得． 【详解】 过M点作于D点， 则， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， 中，，， ， ． 故选：B 7．如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交BC于点F，交于点E，过点O作于点D，下列说法中正确的是（    ） A．若，则点E，F分别是的中点 B． C．若，，则 D． 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质、角平分线的定义，根据相关性质逐项判断即可，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：和的平分线相交于点， ，， ，故B正确，符合题意； ， ， ， ， ， 同理， 但不一定等于，故D选项不一定正确，不符题意； 当时，， ，不是，的中点，故A错误，不符题意 作于，如图， 和的平分线相交于点， 点在的平分线上， ， ，故C错误，不符题意， 故选：B． 8．如图，在中，，，点M是边的中点，点D、E分别是边上的动点，与相交于点F，且．下列6个结论：（1）图中共有2对全等三角形；（2）是等腰三角形；（3）；（4）；（5）；（6）四边形的面积随点D的运动而变化．其中正确的结论有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理、三角形面积等知识；由等腰直角三角形的性质得出，，，，得出，，证明；证出，，证明，同理，（1）不正确；由全等三角形的性质得出，是等腰三角形，（2）正确；由等腰直角三角形的性质得出，由三角形的外角性质得出，（3）正确；由全等三角形的性质得出，，得到，（4）正确；由勾股定理得出，得出，（5）正确；证出四边形的面积的面积的面积，（6）不正确；即可得出结论． 【详解】解：，， ， 又是的中点， ，，， ，， 在和中，， ； ， ，， 在与中，， ， 同理：，（1）不正确； ， ， 是等腰三角形，（2）正确； ， 是等腰直角三角形， ， ，， ，（3）正确； ，， ，， ∴，（4）正确； ， ， ，（5）正确； ， 四边形的面积的面积的面积， 即四边形的面积不发生改变，（6）不正确； 正确的结论有4个， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．一个等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角为 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的定义、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的分类讨论问题，解题的关键是能够画出图形，根据数形结合的思想求出答案．根据题意可知等腰三角形需要分类讨论，分为锐角三角形和钝角三角形，画出图形解答即可． 【详解】解：①如图所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意，， 又∵是边上的高， ∴， ∴， ②如图，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意，， ∵是边上的高 ∴， ∴， ∴ 故顶角为：或． 10．如图，的三边、、长分别为40、50、70，其三条角平分线交于点，则 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质定理，过点O作，，分别垂直于，，，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到，进而可得到三个三角形面积的比值． 【详解】解：如图，过点O作，，分别垂直于，，，垂足分别为D，F，E． ∵平分， ∴， 同理， ∴． ∵的三边、、的长分别为40，50，70， ∴ ， 故答案为：． 11．如图，在中，平分，于点D，交于点E，若，则 ． 【答案】3 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等，根据，平分，可证，根据等角对等边可得，根据等角的余角相等求出，根据等角对等边可得，进而可得． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 12．如图，在中，，平分，交于点D，点M、N分别为、上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 【答案】8 【知识点】垂线段最短、三线合一 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等腰三角形的性质，理解“垂线段最短”是解答此题的关键． 首先连接，过点作于点，因为平分，交于点，根据等腰三角形的性质得是线段的垂直平分线，从而得，则，然后根据“垂线段最短”得，据此可得出当点、在线段上时，为最小，最小值为线段的长，最后根据三角形的面积求出即可． 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示， ，平分， 且平分． 即是线段的垂直平分线， ． 根据垂线段最短得， 即当点、在线段上时，为最小，最小值为线段的长， 的面积为，， ， ． ． 的最小值为． 故答案为． 13．如图，、分别是的高线和角平分线，交于点F，的面积是10，，则线段的长度为 ． 【答案】4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形外角和定理和角平分性质，过C作交延长线于H，则，，结合已知可得，则和，进一步求得，有，即可证明，则，利用三角形面积公式即可求得． 【详解】解：过C作交延长线于H，如图， 则，， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， 即， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 解得． 故答案为：4． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）如图，是边的延长线上一点，．求证：点在的垂直平分线上． 【答案】见解析． 【知识点】线段垂直平分线的判定、三角形的外角的定义及性质 【分析】题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定，由三角形的外角性质得到，结合已知推出，得到，即可得到结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴点E在的垂直平分线上． 15．（5分）如图，在中，点D是的中点，于点E，于点F，且．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、三角形全等是解本题的关键．根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可 【详解】证明：为的中点， ， 于点，于点， ， 在与中， ， ， ． 16．（5分）如图①是某文化小镇平面图，小明据此构造出一个数学模型如图②所示，其中，，，，，请根据图②求该小镇的面积．      【答案】该小镇的面积为 【知识点】用勾股定理解三角形、求一个数的算术平方根、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积，能熟记勾股定理的逆定理和勾股定理的内容是解此题的关键． 根据勾股定理求出线段长度，根据勾股定理的逆定理求出，分别求出和的面积即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， ∵，， ， ， ∴四边形的面积 ， 答：该小镇的面积为． 17．（5分）如图，在中，，是边上的高．请用尺规作图法，在上求作一点P使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】详见解析 【知识点】根据三线合一证明、作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查作图一复杂作图，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．根据线段的垂直平分线的作法作线段的垂直平分线，交于点P即可． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，交于点P，则点P即为所求， 则． ∵， ∴为等腰三角形， ∴垂直平分， ∴， 即． 18．（5分）如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结，若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等边三角形；理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，根据线段垂直平分线和角平分线的定义可得，，，然后利用证明，从而可得，再根据等量代换可得，即可解答． 【详解】解：是等边三角形，理由如下： 设交于点O， ∵是的垂直平分线， ∴，， 是的角平分线， ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 19．（6分）如图，正方形网格的每个小方格边长均为，的顶点在格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求边上的高． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析； (2)边上的高为． 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】（）根据勾股定理先求出的值，然后由勾股定理逆定理即可求解， （）设边上的高为，再用等面积法即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理，等面积法，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由： 由题意得，，，， ∴， ∴是直角三角形； （2）设边上的高为， 由（）得：，，， ∴，，， ∴， ∴， 即边上的高为． 20．（7分）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交于点．    (1)求的长； (2)若，求的面积． 【答案】(1)7 (2)6 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等边对等角、三角形的内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据角之间的数量关系，得到，由，，得，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：是边的垂直平分线，是的垂直平分线，， ，， ∴； （2）解：， ， ，， ，， ， 由（1）知，， ∵， ∴， 的面积． 21．（7分）如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)等边三角形，见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得出，，，进而根据，得出，根据等角对等边即可得证； （2）根据是的垂直平分线，得出，根据等边对等角得出，进而得出，可得是等边三角形. 【详解】（1）证明：∵，，是边上的中线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）结论：是等边三角形． ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，，是边上的中线， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 22．（8分）综合与实践 如图，在中，，，，点P在线段（不含端点）上运动，点D在线段（不含端点）上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)求长． (2)求证：． (3)在点P的运动过程中，是否存在？若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，的长为 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质 【分析】此题考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）由等腰三角形的性质和三角形外角得到．由垂直平分线的性质、等腰三角形以及三角形外角的性质的．由，即可得到结论； （3）连接，设的长为x．则，，．证明．在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，则，即可求出的长． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得．， （2）证明：， ． ． ∵是的垂直平分线， ， ， ． ， ， ． （3）存在． 如图，连接，设的长为x． ，，，，． ，，． 由（1）知，， ． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ，即， 解得：， 的长为 23．（8分）如图，在等腰中，，，点在边上运动（点不与点，重合），连接，作，交边于点E． (1)若时，求证：； (2)在点D的运动过程中，若以为其中一腰长的是等腰三角形时，求出此时的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】（1）当时，由“”可证； （2）分，两种情况讨论，由三角形内角和和三角形外角的性质可求的度数． 【详解】（1）证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：分两种情况： ①当时，， ， ， ； ②当时，， ， ， ， ； 综上所述：当是等腰三角形时，的度数为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、分类讨论等知识，熟练掌握三角形内角和定理与三角形外角的性质是解题的关键． 24．（10分）（1）发现：如图1，点A为线段外一动点，且，．则当点A位于______时，线段的长取得最大值，且最大值是______． （2）应用：点A为线段外一动点，且，，如图2所示，分别以，为边作等边和等边，连接、，求出线段长的最大值并说明理由 （3）拓展：如图3，在点A的正东方向3000米处有一物资补给站B，某园林部门要规划一片牡丹种植园，要求，，且米．为了在点A有最佳的观赏效果，要求线段最长，试求线段长的最大值及此时点C到直线的距离． 【答案】（1）延长线上；7；（2）线段长的最大值为7；理由见解析；（3）的最大值为米，点C到直线的距离为米 【知识点】等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、点到直线的距离、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据点A、C、B共线时，线段的长取得最大值，即可得到结论； （2）证明，得出，说明当最大时，最大，根据当点D在延长线时，最大，且最大值为，求出结果即可； （3）过点C作，截取米，连接，，证明，得出，根据当最大时，最大，根据当点E在的延长线上时，最大，且最大值为：米，即可得出的最大值，过点C作于点F，求出米，即可得出点C到的最大值． 【详解】解：（1）当点A位于线段的延长线上时，线段的长取得最大值，且最大值是； （2）∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∵当点D在延长线时，最大，且最大值为， ∴线段长的最大值为7； （3）过点C作，截取米，连接，，如图所示： 根据作图可知，为等腰直角三角形， ∴米， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当点E在的延长线上时，最大，且最大值为：米， 即的最大值为米， 此时过点C作于点F， ∵， ∴米， 即此时点C到直线的距离为米． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 25．（10分）【问题背景】 如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点． 【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上； 【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系； 【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？ 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作的垂线段，分别交于点，证明即可解答； （2）过点作的垂线段，交的延长线于点，可得，证明，可得，即可解答； （3）过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点，同（2）中原理可得平分，可得即可解答。 【详解】（1）证明：如图，过点作的垂线段，分别交于点， ，是的角平分线， ， 点在的角平分线上（到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上）； （2），理由如下： 如图，过点作的垂线段，交的延长线于点， 是的角平分线，， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点， 根据（2）中原理可得， 是的平分线， ， ， 平分，，， ． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$