黄金卷01（江苏徐州专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（徐州专用） 黄金卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：140分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共8题，每题3分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线 C．科克曲线 D．阿基米德曲线 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．二次根式中字母的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其俯视图是（   ）    A．  B．   C．   D．   5．下列说法错误的是（    ） A．年月 日晚，杭州第届亚运会开幕式在浙江省杭州市隆重举行，国家主席习近平出席开幕式．为了解开幕式盛况的收视率，应采取抽样调查方式 B．五一期间，某超市举行了抽奖活动，中奖率为，小明购买了张彩票，则一定有张中奖 C．甲、乙两组数据的平均数相等，若方差，则甲组数据波动较小，说明该组数据较稳定 D．“外角和与内角和相等的多边形一定是四边形”是必然事件 6．“强国有我”源自天安门广场庆典上青年学子的庄严宣誓，彰显了新时代中国青年的志气、骨气、底气，以下网格被分成了“”四块，每块，每行，每列四个空格中均有“强”“国”“有”“我”四个汉字，则在★处应填的汉字是（    ） A．强 B．国 C．有 D．我 第6题 第7题 7．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 8．如图，为半圆所在的直径，弦为定长且小于的半径（点与点不重合），交于点，交于点，为半圆弧上的中点．当点在上运动时，设的长为，．则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（　　） A．B．C． D． 二、填空题：（本大题共10题，每题3分，共30分.） 9．2024年9月25日，我国火箭军宣布发射东风洲际战略导弹，该导弹约经过米的飞行后准确落入预定海域，数据用科学记数法表示为 ． 10．如图，正五边形内接于，点P是劣弧上一点（不与点C重合），则的度数为 ． 第10题 第12题 11．已知，，，满足关系式，，则的值为 ． 12．在中，，是的角平分线，过点作交边于点E．若，，则图中阴影部分的面积是 ． 13．对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，．把横、纵坐标均为偶数的点称为偶点．若双曲线L：将矩形内（不包含边界）的偶点平均分布在其两侧，则k的整数值有 个． 第14题 15．已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ． 16．若菱形的一条对角线长为3，另一条对角线的长是方程的一个根，则菱形的周长为 ． 17．二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），将该函数图象向右平移个单位后与轴交于点（在的左侧），平移前后的函数图象相交于点，若，则的值为 ． 18．如图，是半圆O的直径，，点A（靠近点M）是半圆O的三等分点，点B是弧上一动点，交于点C，当点B从A运动至点N时，点C运动的路径长是 ． 第18题 三、解答题：（本大题共10题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．（本题10分）（）计算： （）化简： 20．（本题10分）（1）解方程组； （2）解不等式组：． 21．（本题7分）中国有着悠久的历史文化，一个个非物质文化遗产被国家和世界所肯定，在娱乐匮乏的古代社会，中国的民间文学类非物质文化遗产无不表达人们对美好生活的期盼．为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．嫦娥奔月、B．牛郎织女、C．三顾茅庐、D．武松打虎”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解．      (1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是________； (2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都抽取到神话故事的概率． 22．（本题8分）年是中国农历蛇年，关于蛇的玩偶十分畅销，凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店决定以每件元的价格购进一款玩偶，以每件元的价格出售．经统计，年月份的销售量为件，年月份的销售量为件． (1)求该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该玩偶每件每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加件．当该玩偶的售价为多少元时，月销售利润达元？ 23．（本题8分）如图，是等腰三角形，，，线段与相交于点，点在边上，线段绕着点按顺时针方向旋转后能与重合． (1)试判断与的数量关系； (2)若，求的度数． 24．（本题7分）年月日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，标志着我国航天事业的又一重大里程碑，不仅展示了我国在航天技术方面的实力，也体现了对航天员训练和保障体系的不断完善．实验中学为了解本校学生对“航空航天”知识的掌握情况，对全体学生进行了测试（满分分），并随机抽取了部分学生的测试成绩进行整理，如下图表所示．（注：中不含分，以此类推） (1)随机抽查了______名学生的成绩，并补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中，成绩为“”所对应的扇形圆心角的度数为______； (3)若该校共有名学生参加此次测试，且测试成绩为“”的为优秀，请估计该校参加测试学生中成绩为优秀的学生人数． 25．（本题8分）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； (2)某公园有一秋千如图2所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，两次位置的高度差．当米时，请求出该秋千的长度（参考数据：，，结果精确到米）． 26．（本题9分）图1是某跳水运动员平时的一次跳水训练，起跳后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图2所示建立平面直角坐标系，起跳点，入水点的水平距离，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． (1)求出与的函数关系式； (2)这次训练，该运动员跳水的最大竖直高度为______米； (3)比赛当天的某一次跳水中，这位运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，请问比赛当天这次跳水入水点的水平距离比训练时入水点的水平距离是近还是远？请说明理由． 27．（本题9分）量化分析是解决数学问题的重要策略．在初中几何学习的历程中，借助量化去分析图形特征往往更能直击问题本质，是一种大道至简的思路． 【量化构形】 (1)如图①，已知线段，用无刻度直尺和圆规求作线段，使得．(不写作法，保留作图痕迹) 【量化解数】 顶角为的等㙘三角形称为“锐角黄金三角形”． (2)如图②，和都是锐角黄金三角形．求证：．   【量化作图】 (3)如图③，已知，用无刻度直尺和圆规作的内接“锐角黄金三角形”．(保留作图痕迹，并写出必要的文字说明)    28．（本题10分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（徐州专用） 黄金卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：140分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共8题，每题3分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．赵爽弦图 B．笛卡尔心形线 C．科克曲线 D．阿基米德曲线 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A．图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； D．图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意， 故选：C． 2．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、积的乘方运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】由合并同类项可判断A，由同底数幂的乘法可判断B，由积的乘方运算可判断C，由幂的乘方运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：A、，计算错误，故A选项不符合题意； B、，计算错误，故B选项不符合题意； C、，计算正确，故C选项符合题意； D、，计算错误，故D选项不符合题意； 故选：C． 3．二次根式中字母的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据二次根式的意义：被开方数大于等于，列不等式求解． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故选：B． 4．榫卯是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，被誉为“ 中华民族千年非遗瑰宝 ”． 如下右图是其中一种卯，其俯视图是（   ）    A．  B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】判断简单组合体的三视图 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握组合体的三视图是解题的关键．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有2条纵向的实线和2条纵向的虚线．2条实线在2条虚线之间，即    故选：D． 5．下列说法错误的是（    ） A．年月 日晚，杭州第届亚运会开幕式在浙江省杭州市隆重举行，国家主席习近平出席开幕式．为了解开幕式盛况的收视率，应采取抽样调查方式 B．五一期间，某超市举行了抽奖活动，中奖率为，小明购买了张彩票，则一定有张中奖 C．甲、乙两组数据的平均数相等，若方差，则甲组数据波动较小，说明该组数据较稳定 D．“外角和与内角和相等的多边形一定是四边形”是必然事件 【答案】B 【知识点】根据方差判断稳定性、概率的意义理解、判断全面调查与抽样调查、事件的分类 【分析】本题考查数据的收集、整理与分析的应用，根据概率的意义、全面调查与抽样调查的概念、方差的意义、随机事件的定义进行解题即可．熟练掌握概率意义、方差的运用、随机事件、全面调查与抽样调查的定义是解题关键． 【详解】解：A．年月 日晚，杭州第届亚运会开幕式在浙江省杭州市隆重举行，国家主席习近平出席开幕式．为了解开幕式盛况的收视率，应采取抽样调查方式，原说法正确，故此选项不符合题意； B．五一期间，某超市举行了抽奖活动，中奖率为，小明购买了张彩票，则不一定会中奖，原说法不正确，故此选项符合题意； C．甲、乙两组数据的平均数相等，若方差，则甲组数据波动较小，说明该组数据较稳定，原说法正确，故此选项不符合题意； D．设该多边形的边数为， 依题意，得：， 解得：， ∴此多边形一定是四边形， ∴“外角和与内角和相等的多边形一定是四边形”是必然事件，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 6．“强国有我”源自天安门广场庆典上青年学子的庄严宣誓，彰显了新时代中国青年的志气、骨气、底气，以下网格被分成了“”四块，每块，每行，每列四个空格中均有“强”“国”“有”“我”四个汉字，则在★处应填的汉字是（    ） A．强 B．国 C．有 D．我 【答案】B 【知识点】归纳与类比、猜想与证明、逻辑推理问题，反证法 【分析】本题考查了“数独”填字游戏，主要使用了：①唯一候选数法；②唯一数法；③排除法；④摒除法等技巧．解题的关键是综合运用这些技巧来填字． 【详解】根据题意处应填的汉字是“国”．如下图．    故选：B． 7．无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演．它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果．如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（   ）种灯光组合． A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】A 【知识点】列举随机实验的所有可能结果 【分析】本题主要考查了列举法求随机事件所有出现的结果等知识点，利用已知条件，通过分类求解即可，熟练掌握用列举法求随机事件所有出现的结果是解决此题的关键． 【详解】解：设无人机三种颜色为A，B，C， 由题意知，编号1至5号的无人机颜色和编号7、8号的无人机颜色之间可以相同，但编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同， ∴可画树状图如下， ∴共有12种． 故选：A． 8．如图，为半圆所在的直径，弦为定长且小于的半径（点与点不重合），交于点，交于点，为半圆弧上的中点．当点在上运动时，设的长为，．则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、利用垂径定理求值、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了动点问题的函数图象及圆的性质，平行四边形的判定和性质，垂径定理，熟练掌握函数图象和性质是解题的关键； 作于点，连接，过O作于点Q，交延长线于点P，得到，再由矩形的性质和判定得到进而得到，再证明得到，推出，由弦长为定值，推出为定值，由函数图象问题可解． 【详解】解：作于点，连接，过O作于点Q，交延长线于点P， 由题意可知， 为的中点，即 交于，交于，于点Q， ∴四边形为矩形， 同理可知四边形和四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 弦为定长， ， ， ，为定值， 为定值， 故选：B 二、填空题：（本大题共10题，每题3分，共30分.） 9．2024年9月25日，我国火箭军宣布发射东风洲际战略导弹，该导弹约经过米的飞行后准确落入预定海域，数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的运用，掌握科学记数法的表示方法，正确确定的值是解题的关键． 根据科学记数法的表示数的方法，当原数的绝对值于等于10时，n的值为所有整数位减；当原数的绝对值小于时，n的值为小数点向右移动的位数的相反数． 【详解】解：， 故答案为： ． 10．如图，正五边形内接于，点P是劣弧上一点（不与点C重合），则的度数为 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出圆心角的度数．连接．求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 11．已知，，，满足关系式，，则的值为 ． 【答案】74 【知识点】因式分解的应用、运用完全平方公式进行运算、分组分解法 【分析】本题主要考查了化简求值．熟练掌握完全平方公式，提公因式分解因式，是解题的关键． 将，这两式两边平方，再两边分别相加，提取公因式分解因式，可得，即可. 【详解】由题意得，①， ②， 得③， 得④， 得， ， ． 故答案为：74． 12．在中，，是的角平分线，过点作交边于点E．若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质与判定求面积、由平行截线求相关线段的长或比值、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】过点D作于点F，于点G，证明四边形是正方形，是等腰直角三角形，得到，则，，设，则，，，在中，，解得，得到，，，即可求出答案． 【详解】如解图，过点D作于点F，于点G， ∵，是的角平分线， ∴，， ∴四边形是正方形，是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 设，则，，， 在中，， ∴， 解得， 则，，， 则． 故答案为：4 13．对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、解分式方程 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、解分式方程，根据新运算的法则，列出分式方程求解即可． 【详解】解：∵，方程， ∴， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴方程的解是， 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，．把横、纵坐标均为偶数的点称为偶点．若双曲线L：将矩形内（不包含边界）的偶点平均分布在其两侧，则k的整数值有 个． 【答案】3 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象及性质、矩形的性质、坐标与图形等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质、矩形的性质是解题的关键． 先得出点，然后根据偶点的定义可得偶点的坐标分别为、、、、、，再计算出双曲线L经过各偶点是的k值，然后根据偶点平均分布在其两侧，每侧各3个点，据此确定k的取值范围即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，为，， ∴， ∴偶点的坐标分别为、、、、、， ∴矩形（不包含边界）内的偶点的个数为6， 当双曲线L经过点时，k的值为4， 双曲线L经过点、时，k的值为8， 双曲线L经过点时，k的值为16， 双曲线L经过点时，k的值为12， 双曲线L经过点时，k的值为24， ∵双曲线L将矩形（不包含边界）内的偶点平均分布在其两侧，每侧各3个点， ∴， ∴k的整数值为9，10，11， ∴k的整数值有3个． 故答案为：3． 15．已知函数，，当时，函数的最大值为，函数的最小值为，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出与的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与的关系，进而得出答案． 【详解】解：函数，当时，函数的最大值为， 时，， ，当时，函数的最小值为， 当时，， ， 故， 解得：． 故答案为：2． 16．若菱形的一条对角线长为3，另一条对角线的长是方程的一个根，则菱形的周长为 ． 【答案】或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握菱形的性质． 另一条对角线的长是方程的一个根，解方程求得的值，根据菱形的一条对角线长为3，根据勾股定理可得出菱形的边长，即可求得菱形的周长． 【详解】解：解方程得：或4， ∵是菱形， ∴， 当时，菱形的边长． ∴菱形的周长是． 当时，菱形的边长． ∴菱形的周长是． 故答案为：或． 17．二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），将该函数图象向右平移个单位后与轴交于点（在的左侧），平移前后的函数图象相交于点，若，则的值为 ． 【答案】2或6 【知识点】二次函数图象的平移、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与性质，由题意先求出，再求出，根据对称性表示出点E坐标并代入表达式计算即可，注意分情况讨论． 【详解】解：由题意，令， ， ， 将该图象向右平移个单位后与轴交于点（在的左侧）， ， 由题意得，平移前后的函数图象相交于点，若， 当点E在x轴上方时，如下图： 由对称性得：， 点纵坐标为，横坐标为， 点在二次函数的图象上， ， 解得：（不合题意舍去）； 当点E在x轴下方时， 同理：点纵坐标为， ， 解得：（不合题意舍去）； 故答案为：2或6． 18．如图，是半圆O的直径，，点A（靠近点M）是半圆O的三等分点，点B是弧上一动点，交于点C，当点B从A运动至点N时，点C运动的路径长是 ． 【答案】 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】根据题意得，利用圆周角定理求得，则，可确定点C的轨迹为圆弧，过点A和M分别作和的垂线相交于点G，过点G作于点H，则，且点G为的圆心，有，，结合已知得，，结合勾股定理求得，利用弧长公式即可求得其路径长． 【详解】解：连接和，如图， ∵点A（靠近点M）是半圆O的三等分点， ∴， ∵点B是弧上一动点， ∴， ∴， 则点C的轨迹为圆弧， 过点A和M分别作和的垂线相交于点G，过点G作于点H，则，且点G为的圆心， 那么，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则点C运动的路径长是，且， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共10题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．（本题10分）（）计算： （）化简： 【答案】（）；（） 【知识点】实数的混合运算、分式加减乘除混合运算、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了实数和分式的混合运算、特殊角的三角函数，掌握实数和分式的运算法则是解题的关键． （）利用负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值计算即可； （）根据分式的性质和混合运算法则计算即可； 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ． 20．（本题10分）（1）解方程组； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】加减消元法、求不等式组的解集 【分析】此题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1） 将①代入②得， 解得 将代入①得，， ∴方程组的解为：； （2） 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：． 21．（本题7分）中国有着悠久的历史文化，一个个非物质文化遗产被国家和世界所肯定，在娱乐匮乏的古代社会，中国的民间文学类非物质文化遗产无不表达人们对美好生活的期盼．为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．嫦娥奔月、B．牛郎织女、C．三顾茅庐、D．武松打虎”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解．      (1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是________； (2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都抽取到神话故事的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得解； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是； （2）解：所有可能出现的结果列表如下： （甲，乙） 由表格可知共有12种可能出现的结果，它们出现的可能性相等，其中两张卡片都是神话故事的有，两种， 抽出的两张卡片都是神话故事的概率为：． 22．（本题8分）年是中国农历蛇年，关于蛇的玩偶十分畅销，凭借时尚可爱的形象“圈粉”无数．某商店决定以每件元的价格购进一款玩偶，以每件元的价格出售．经统计，年月份的销售量为件，年月份的销售量为件． (1)求该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该玩偶每件每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加件．当该玩偶的售价为多少元时，月销售利润达元？ 【答案】(1)该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率 (2)当该玩偶的售价为元时，月销售利润达元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． （1）设该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该款玩偶售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为只，利用月销售利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 所以该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款玩偶售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为只， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 所以当该玩偶的售价为元时，月销售利润达元． 23．（本题8分）如图，是等腰三角形，，，线段与相交于点，点在边上，线段绕着点按顺时针方向旋转后能与重合． (1)试判断与的数量关系； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】（1）由旋转的性质可得，，再证明，再证明 ，从而可得结论； （2）利用，，得出，再由，利用三角形外角性质求出，由，即可求出． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵线段绕着点按顺时针方向旋转后能与重合， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴． 24．（本题7分）年月日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，标志着我国航天事业的又一重大里程碑，不仅展示了我国在航天技术方面的实力，也体现了对航天员训练和保障体系的不断完善．实验中学为了解本校学生对“航空航天”知识的掌握情况，对全体学生进行了测试（满分分），并随机抽取了部分学生的测试成绩进行整理，如下图表所示．（注：中不含分，以此类推） (1)随机抽查了______名学生的成绩，并补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中，成绩为“”所对应的扇形圆心角的度数为______； (3)若该校共有名学生参加此次测试，且测试成绩为“”的为优秀，请估计该校参加测试学生中成绩为优秀的学生人数． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)名 【知识点】频数分布直方图、由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，理解频数分布直方图、扇形统计图中的相关信息，掌握运用样本百分比估算总体数量是解题的关键． （1）将各部分的人数相加可得到随机抽查的人数，再根据表格补全频数分布直方图即可； （2）先求出成绩为“”的百分比，再用其百分比即可求解； （3）用乘成绩为“”的百分比即可求解． 【详解】（1）解：随机抽查的学生有（名）， 故答案为：， 补全频数分布直方图如图所示： （2）成绩为“”的百分比为， 成绩为“”所对应的扇形圆心角为， 故答案为：； （3）（名）， 故该校参加测试学生中成绩为优秀的学生有名． 25．（本题8分）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； (2)某公园有一秋千如图2所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，两次位置的高度差．当米时，请求出该秋千的长度（参考数据：，，结果精确到米）． 【答案】(1)秋千绳索的长度为尺； (2)该秋千的长度约为米． 【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用等知识点， (1)设绳索有尺长，由勾股定理得出方程，解方程即可； (2)在和中，解直角三角形得到,代入计算即可求得答案； 熟练掌握其性质并把实际问题转化为直角三角形问题是解决此题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设秋千绳索的长度为尺， 由题可知，尺，尺，尺， 尺， 在中，由勾股定理得：, ,解得， 答：秋千绳索的长度为尺； （2）解：由题可知，， 在中，, , 同理，, , , , ， 答：该秋千的长度约为米． 26．（本题9分）图1是某跳水运动员平时的一次跳水训练，起跳后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图2所示建立平面直角坐标系，起跳点，入水点的水平距离，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． (1)求出与的函数关系式； (2)这次训练，该运动员跳水的最大竖直高度为______米； (3)比赛当天的某一次跳水中，这位运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，请问比赛当天这次跳水入水点的水平距离比训练时入水点的水平距离是近还是远？请说明理由． 【答案】(1) (2)米 (3)远 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、把y=ax²+bx+c化成顶点式、待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）将点，代入根据待定系数法求出解析式，即可求解； （2）将（1）中解析式化为顶点式，求出顶点纵坐标即可求解． （3）求出中，当时，x的值，进行比较即可． 【详解】（1）解：将点，代入 可得：， 解得：， 故与的函数关系式为． （2）解：∵， ∴当时，， 故这次训练，该运动员跳水的最大竖直高度为米． （3）解：在中， 令，则， 解得：（舍去）， ， ∴比赛当天这次跳水入水点的水平距离比训练时入水点的水平距离是远． 27．（本题9分）量化分析是解决数学问题的重要策略．在初中几何学习的历程中，借助量化去分析图形特征往往更能直击问题本质，是一种大道至简的思路． 【量化构形】 (1)如图①，已知线段，用无刻度直尺和圆规求作线段，使得．(不写作法，保留作图痕迹) 【量化解数】 顶角为的等㙘三角形称为“锐角黄金三角形”． (2)如图②，和都是锐角黄金三角形．求证：．   【量化作图】 (3)如图③，已知，用无刻度直尺和圆规作的内接“锐角黄金三角形”．(保留作图痕迹，并写出必要的文字说明) 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】尺规作图——正多边形、作垂线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）作线段，过点作，截取，则，以为端点，在的延长线上截取，则线段，则； （2）证明，可得，根据等腰三角形的性质可得，进而可得，解方程即可求解； （3）将圆五等份，得出五边形是正五边形，进而即可求解． 【详解】（1）如图所示，作线段，过点作，截取，则，以为端点，在的延长线上截取，则线段，则，    （2）∵和都是锐角黄金三角形， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 即 设，， 则 解得： ，即； （3）如图所示，先作圆的直径，作的直径的垂直平分线交于点， 作的垂直平分线交于点， 连接，，以为圆心的长为半径， 作弧交于点，则，然后以为圆心的长为半径在圆上依次画弧交于点， 连接，则即为所求    ∴五边形是正五边形，则， 则即为所求．    28．（本题10分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的值为；（2）；（3）直角三角形的面积为4或16或12或． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据，，．证明，，继而得到，即，再证明，得到． （2）连接，延长交于点Q，根据(1)得，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，得证矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可． （3）运用分类思想解答即可． 【详解】（1）∵，，． ∴， ∴，， ∴即， ∵ ∴， ∴． （2）连接，延长交于点Q，根据（1）得， ∴， ∵是中线 ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． （3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 故． 综上，直角三角形的面积为4或16或12或． 15 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（徐州专用） 黄金卷01·参考答案 一、选择题：（本大题共8题，每题3分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B D B B A B 二、填空题：（本大题共10题，每题3分，共30分.） 9． 10． 11．74 12．4 13． 14．3 15．2 16．或10 17．2或6 18． 三、解答题：（本大题共10题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．（本题10分） 【详解】解：（）原式…………………………………………3分 …………………………………………4分 ；…………………………………………5分 （）原式…………………………………………8分 ．…………………………………………10分 20．（本题10分） 【详解】解：（1） 将①代入②得，…………………………………………2分 解得…………………………………………3分 将代入①得，，…………………………………………4分 ∴方程组的解为：；…………………………………………5分 （2） 解不等式①得，，…………………………………………7分 解不等式②得，，…………………………………………9分 ∴不等式组的解集为：．…………………………………………10分 21．（本题7分） 【详解】（1）解：甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是；…………………2分 （2）解：所有可能出现的结果列表如下： （甲，乙） 由表格可知共有12种可能出现的结果，它们出现的可能性相等，其中两张卡片都是神话故事的有，两种，…………………6分 抽出的两张卡片都是神话故事的概率为：．…………………7分 22．（本题8分） 【详解】（1）解：设该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：，…………………2分 解得：，（不符合题意，舍去），…………………3分 所以该款玩偶月份到月份销售量的月平均增长率为；…………………4分 （2）解：设该款玩偶售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为只， 根据题意得：，…………………6分 解得：，（不符合题意，舍去），…………………7分 所以当该玩偶的售价为元时，月销售利润达元．…………………8分 23．（本题8分） 【详解】（1）解：，理由如下： ∵线段绕着点按顺时针方向旋转后能与重合， ∴，，…………………1分 ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，…………………3分 又∵，， ∴， ∴；…………………4分 （2）解：∵，， ∴，…………………5分 ∵， ∴，…………………7分 由（1）知， ∴．…………………8分 24．（本题7分） 【详解】（1）解：随机抽查的学生有（名）， 故答案为：，…………………1分 补全频数分布直方图如图所示： …………………3分 （2）成绩为“”的百分比为， 成绩为“”所对应的扇形圆心角为， 故答案为：；…………………5分 （3）（名），…………………6分 故该校参加测试学生中成绩为优秀的学生有名．…………………7分 25．（本题8分） 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设秋千绳索的长度为尺， 由题可知，尺，尺，尺， 尺，…………………1分 在中，由勾股定理得：, ,…………………2分 解得，…………………3分 答：秋千绳索的长度为尺；…………………4分 （2）解：由题可知，， 在中，, ,…………………6分 同理，, , , , ，…………………7分 答：该秋千的长度约为米．…………………8分 26．（本题9分） 【详解】（1）解：将点，代入 可得：，…………………1分 解得：，…………………2分 故与的函数关系式为．…………………3分 （2）解：∵， ∴当时，，…………………4分 故这次训练，该运动员跳水的最大竖直高度为米．…………………5分 （3）解：在中， 令，则， …………………6分 解得：（舍去），…………………7分 ，…………………8分 ∴比赛当天这次跳水入水点的水平距离比训练时入水点的水平距离是远．…………………9分 27．（本题9分） 【详解】（1）如图所示，作线段，过点作，截取，则，以为端点，在的延长线上截取，则线段，则，   …………………2分 （2）∵和都是锐角黄金三角形， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 即 设，， 则 解得： ，即；…………………5分 （3）如图所示，先作圆的直径，作的直径的垂直平分线交于点， 作的垂直平分线交于点， 连接，，以为圆心的长为半径， 作弧交于点，则，然后以为圆心的长为半径在圆上依次画弧交于点， 连接，则即为所求    ∴五边形是正五边形，则， 则即为所求．…………………9分    28．（本题10分） 【详解】（1）∵，，． ∴， ∴，， ∴即， ∵ ∴， ∴．…………………3分 （2）连接，延长交于点Q，根据（1）得， ∴， ∵是中线 ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得．…………………6分 （3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 故． 综上，直角三角形的面积为4或16或12或．…………………10分 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$