黄金卷02（江苏徐州专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（徐州专用） 黄金卷02·参考答案 一、选择题：（本大题共8题，每题3分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 7 8 D B B B B C A B 二、填空题：（本大题共10题，每题3分，共30分.） 9． 10． 11． 12． 13．24 14． 15． 16．或5 17． 18． 三、解答题：（本大题共10题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．（本题10分） 【详解】（1）解：原式…………………………………………4分 ；…………………………………………5分 （2）解：原式…………………………………………8分 …………………………………………9分 ．…………………………………………10分 20．（本题10分） 【详解】（1）解：， 将去分母得：， 化简后为：， 将得到：， 得：， 解得：，…………………………………………3分 把代入得：，…………………………………………4分 该方程组解为；…………………………………………5分 （2）解：， 解不等式①得：，…………………………………………7分 解不等式②得：，…………………………………………9分 该不等式组解为：；…………………………………………10分 21．（本题8分） 【详解】（1）解：初三甲班20名学生的竞赛成绩中，79分出现次数最多，共4次，所以，众数； 初三乙班所抽学生的竞赛成绩中，A组人数为：（人），B组人数为：（人），C组人数为8人，D组人数为：（人）， 最中间的是第10，11个成绩数，即86，87，所以，（分）； ； 故答案为：，，；…………………………………………4分 （2）解：甲班的学生竞赛成绩较好，理由如下： 甲、乙两班的平均数相同，但甲班成绩的中位数比乙班的大，所以甲班的学生竞赛成绩较好；……………………5分 （3）解：用A，B表示初三甲班的一名男生、一名女生，用C，D，E表示初三乙班的两名男生、一名女生， 画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中挑选的两名同学恰好是一名男生一名女生的有10种情况， 所以，挑选的两名同学恰好是一名男生一名女生的概率为．……………………8分 22．（本题8分） 【详解】（1）解：设甲种商品每件进价x元，由甲商品数量等于乙商品数量，可得：， 设甲种商品购进x件，由甲商品进价减去乙商品进价等于2可得：； 故答案为：A，C；……………………2分 （2）解：①， ， ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件．……………………4分 ② 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 所以甲种商品的进价为元/件，乙种商品的进价为元/件 答：甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件．……………………6分 （3）解：设甲商品购进件，则乙商品购进件， ∵商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品， ∴， ∴， 答：至多购进甲种商品12件．……………………8分 23．（本题7分） 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴（）……………………3分 （2）∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，……………………7分 ∴平行四边形的周长． 24．（本题7分） 【详解】（1）解：如图1，高、点即为所求． ……………………3分 （2）如图2，点，，即为所求． ……………………7分 25．（本题8分） 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点N， ∵，， ∴（米）， ∴（米）， ∴， ∵，米， ∴，米， ∴米， 设与地面的交点为G， 则米，四边形是矩形， ∴， ∵米， ∴米， ∴米．……………………4分 （2）解：如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P， 过点O作于点K， 则米，四边形是矩形， ∴米， ∵米， ∴米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， 根据（1）得（米）， ∴此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度为米．……………………8分 26．（本题9分） 【详解】（1）解：把代入得， 解得， 反比例函数的解析式为； 由点D的坐标为，且， ∴点A的坐标为， ∵点C为的中点， ∴点C的坐标为， 将点和点代入，得， 解得，即；……………………3分 （2）解：不等式的解集为：或．……………………5分 （3）解：设点的坐标为 的面积等于8，， ， 即，代入， 得到点或；……………………9分 27．（本题9分） 【详解】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以抛物线的解析式为．……………………2分 （2）设直线AB的解析式为， 将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以直线AB的解析式为． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N． 过点B作BE⊥PM，垂足为E． 所以 ． 因为A（4，0），B（1，4），所以． 因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍， 所以，． 设，则． 所以， 即， 解得，． 所以点P的坐标为或（3，4）．……………………5分 （3） 记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点 ， ， 设 直线AB的解析式为． 设，则 整理得 时，取得最大值，最大值为……………………9分    28．（本题10分） 【详解】（1）①∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；……………………2分 ②连接， ∵G，H分别是中点， ∴， ∴，， 由①知，， ∴， ∴， ∴； ……………………4分 （2）连接， ∵矩形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵ G，H分别是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ……………………7分 （3）连接，延长交于点I，连接， ∵在平行四边形中，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵G、H分别是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点J， 则， ∴， ∴， ∴点I、J重合， ∴． ∴． ……………………10分 8 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（徐州专用） 黄金卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：140分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共8题，每题3分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 下列博物馆（院）图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、文字上方的图案绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2．下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，以及立方根的定义，根据算术平方根的定义和立方根的定义逐项分析即可． 【详解】A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项不正确，不符合题意；； 故选：B． 3．最近较火的一款软件ChatGPT横空出世，仅2024年2月9日当天，其下载量达到了次的峰值，用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：B． 4．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查尺规作图，熟练练的垂直平分线的性质是解答本题的关键． 由图中尺规作图痕迹可知，为的平分线， 为线段 的垂直平分线，结合角平分线的定义和垂直平分线的性质逐项分析即可． 【详解】由图中尺规作图痕迹可知，为的平分线， 为线段 的垂直平分线 由垂直平分线的性质可得， 故A选项不符合题意； ∵为线段的垂直平分线， ， ， 故C选项不符合题意； 为的平分线， ， ， ， ， 故D选项不符合题意； 根据已知条件不能得出， 故B选项符合题意． 故选：B． 5．体育学科越来越得到重视，某中学规定学生的学期体育成绩满分分，其中健康知识考试成绩占，体育技能考试成绩占，小明的这三项成绩（百分制）依次为，则小明这学期的体育成绩为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求加权平均数 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法计算即可，解题的关键是明确加权平均数的计算方法． 【详解】解：由题意可得， 小明这学期的体育成绩为分， 故选：． 6．下列能说明命题“若为无理数，则也是无理数”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数、运用完全平方公式进行运算、二次根式的乘法、举例说明假（真）命题 【分析】本题考查了无理数的概念，完全平方公式，二次根式的运算，根据反例满足条件，但不能得到结论，所以利用此特征可对各选项进行判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，是无理数，不符合题意； 、∵， ∴，是无理数，不符合题意； 、∵， ∴，是有理数，符合题意； 、∵， ∴，是无理数，不符合题意； 故选：． 7．下列事件中，是必然事件的是（   ） A．任意作一个三角形，其内角和为 B．经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯 C．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，全是2点朝上 D．篮球运动员在罚球线投篮时，成功进球 【答案】A 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查事件分类：必然事件、不可能事件、随机事件．必然事件是指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；根据必然事件的定义逐项判定即可得到答案，熟记事件分类及各类事件的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、任意作一个三角形，其内角和为，这是必然事件，符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯，这是随机事件，不是必然事件，不符合题意； C、同时抛掷两枚质地均匀的骰子，全是2点朝上，这是随机事件，不是必然事件，不符合题意； D、篮球运动员在罚球线投篮时，成功进球，这是随机事件，不是必然事件，不符合题意； 故选：A． 8．定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”.已知点，有下列结论： ①点，都是点的“倍增点”； ②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为； ③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； ④若点B是点的“倍增点”，则的最小值是； 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求一次函数自变量或函数值、其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】由“倍增点”的定义得，，即可判断①；可设满足题意得“倍增点”为，由“倍增点”的定义得，解方程，即可判断②；可设抛物线上的“倍增点”为，由“倍增点”的定义得，解方程，即可判断③；设，由“倍增点”的定义得，由勾股定理得，即可判断④． 【详解】解：由题意得 ， ， 点，都是点的“倍增点”， ①正确； 可设满足题意得“倍增点”为， 解得：， ， ∴②错误； 可设抛物线上的“倍增点”为， ， 解得：， ， 此时满足题意的“倍增点”有，个， ∴③错误； 设， ， ， ， 当时，的最小值为， ④正确， 正确的有①④，有个． 故选：B. 二、填空题：（本大题共10题，每题3分，共30分.） 9．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ； 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式以及分式有意义的条件，不等式的解法，解题的关键是熟练掌握以上知识．根据分母不为零，被开方数大于等于零，列不等式，解答即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则 ． 【答案】/130度 【知识点】两直线平行同位角相等、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，先由两直线平行，同位角相等得到，再根据圆内接四边形对角互补进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 11．若是关于x的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得到，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：把代入方程得，即， ∴， 故答案为：． 12．如图是由六个全等的菱形组成的网格图，菱形的顶点称为格点，A、O、B、C均在格点上，当菱形的边长为1且时，则 【答案】 【知识点】求角的正弦值、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】如图，连接．只要证明即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1：）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．问题解决：如图2，点M是矩形的对角线上一点，过点M作分别交，于点E、F，连接，．若，则图中阴影部分的面积和为 ． 【答案】24 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，明确题意、根据已知结论入手进行分析成为解答本题的关键．如图，过点作于，交于，由可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作于H，交于G， ∵四边形是矩形，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴， ∴， ，，，，， ∵， ∴， ∴，即图中阴影部分的面积和为， 故填：． 14．我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 ． 【答案】 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．根据题目中的面积公式，可以将的三条边长代入公式中，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， 三边长为：，，，不妨令，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 15．在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点和，则不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质和解不等式，根据题意，易得，，即可得，再由不等式得，即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点和，，， ∴，， ∴， ∴由得，即， 故答案为：． 16．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为 ． 【答案】或5 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确理解“好点”的定义是解题关键．先求出，设，则，，再分三种情况：①点在上；②点与点重合，③点在上，利用勾股定理求出的值，再根据“好点”的定义求出的值，两者建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ①如图，当点在上时，则， ∴， 在中，， ∵点是边上的“好点”， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴此时； ②如图，当点与点重合时，则， ∴，， ∴，这与点是边上的“好点”矛盾，则的情形不存在； ③如图，当点在上时，则， ∴， 在中，， ∵点是边上的“好点”， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴此时； 综上，线段的长为或5， 故答案为：或5． 17．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，，分别与相切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为 ．（结果保留） 【答案】 【知识点】切线的性质定理、求弧长、多边形内角和问题 【分析】此题考查了圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，连接，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别与相切， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 18．一个较大水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水平桌面平行（，分别为杯底圆和杯口圆的直径），已知水杯底部宽，水杯高为16cm，当杯内水面高为6cm时，水面宽为12cm．如图2，先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图3，当时，杯中水面平行于水平桌面，则此时＝ cm． 【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、其他问题（解直角三角形的应用）、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查二次函数的应用及解直角三角形的应用，理解题意，建立适当的坐标系，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键．依据题意，以的中点为原点，直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，确定点，的坐标，再在坐标系中作出，求出的解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长． 【详解】解：如图，以的中点为原点，直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意得：，，，， 设抛物线的解析式为：， 将，代入， 得，， 解得，， ， 当时，， 解得， ， 根据题意可知，，设与轴的交点坐标，与轴交于点， 在中， ，时， ． ． ． 设直线的解析式为：， 将，，代入， 得，， 解得，， ∴直线的解析式为：． 令， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点的横坐标为． 当时，． ． （）， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共10题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．（本题10分） （）计算： （）化简： 【答案】(1)； (2)． 【知识点】实数的混合运算、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的运算，整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先进行算术平方根，化简绝对值，负整数指数幂，零指数幂运算，然后合并即可； （）先由平方差公式，完全平方公式进行运算，然后去括号，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（本题10分）解方程（不等式）组： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【知识点】加减消元法、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，熟悉解二元一次方程组和解一元一次不等式组的基本过程是解题的关键． （1）方程组整理后，利用加减消元法即可求解； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可求解． 【详解】（1）解：， 将去分母得：， 化简后为：， 将得到：， 得：， 解得：， 把代入得：， 该方程组解为； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 该不等式组解为：； 21．（本题7分）长寿区某校非常重视培养学生的语文核心素养，在学期中段开展了名著知识竞赛，为了解初三学生的名著阅读情况，随机抽查了初三甲、乙两班各20名学生的竞赛成绩（百分制，成绩为整数），将成绩分为四个组进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分，其中：A．；B．；C．；D．．下面给出了部分信息： 初三甲班20名学生的竞赛成绩为： 61，62，76，79，79，79，79，83，84，88，88，89，90，90，91，92，94，96，100，100． 初三乙班20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：82，86，86，86，87，88，89，89． 初三甲、乙两班所抽学生的竞赛成绩统计表 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，扇形统计图中圆心角的度数是______； (2)根据以上数据分析，你认为该校初三甲、乙两班中哪个班级学生的名著知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校准备在甲、乙两班抽查的学生中，各挑选1名名著知识竞赛成绩优异（）的学生，进行读书心得分享，其中初三甲班成绩优异的两名学生是一名男生、一名女生，初三乙班成绩优异的三名学生是一名男生、两名女生，请用树状图或列表法求出挑选的两名同学恰好是一名男生一名女生的概率． 【答案】(1)，， (2)甲班的学生竞赛成绩较好，理由见解析． (3) 【知识点】求扇形统计图的圆心角、列表法或树状图法求概率、求中位数、求众数 【分析】本题考查了列表法与树状图法、用样本估计总体、频数分布直方图、频数分布表的意义，理解中位数的意义、掌握中位数的求法是正确解答的前提． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据中位数和众数的意义求解即可； （3）根据树状图即可求恰好选到一名男生与一名女姓的概率． 【详解】（1）解：初三甲班20名学生的竞赛成绩中，79分出现次数最多，共4次，所以，众数； 初三乙班所抽学生的竞赛成绩中，A组人数为：（人），B组人数为：（人），C组人数为8人，D组人数为：（人）， 最中间的是第10，11个成绩数，即86，87，所以，（分）； ； 故答案为：，，； （2）解：甲班的学生竞赛成绩较好，理由如下： 甲、乙两班的平均数相同，但甲班成绩的中位数比乙班的大，所以甲班的学生竞赛成绩较好； （3）解：用A，B表示初三甲班的一名男生、一名女生，用C，D，E表示初三乙班的两名男生、一名女生， 画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中挑选的两名同学恰好是一名男生一名女生的有10种情况， 所以，挑选的两名同学恰好是一名男生一名女生的概率为． 22．（本题8分）下面是小花学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…等量关系：甲商品进价一乙商品进价=2 (1)解法一所列方程中的x表示 ，解法二所列方程中的x表示 ． A、甲种商品每件进价x元   B．乙种商品每件进价x元   C．甲种商品购进x件 (2)根据以上解法分别求出甲、乙两种商品的进价． (3)若商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲种商品多少件？ 【答案】(1)A，C (2)甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件 (3)至多购进甲种商品12件 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题 【分析】题主要考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）分别按照解分式方程的步骤求解； （3）设甲商品购进a件，则乙商品购进件，利用商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品，求解的范围，可得答案． 【详解】（1）解：设甲种商品每件进价x元，由甲商品数量等于乙商品数量，可得：， 设甲种商品购进x件，由甲商品进价减去乙商品进价等于2可得：； 故答案为：A，C； （2）解：①， ， ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件． ② 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 所以甲种商品的进价为元/件，乙种商品的进价为元/件 答：甲种商品的进价为5元/件，乙种商品的进价为3元/件． （3）解：设甲商品购进件，则乙商品购进件， ∵商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品， ∴， ∴， 答：至多购进甲种商品12件． 23．（本题8分）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，且． (1)求证：； (2)连接，若平分，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)26 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，结合，证明即可； （2）全等的性质得到，角平分线结合平行线的性质，推出，进而求出的长，再根据平行四边形的对边相等，求出周长即可． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴（） （2）∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长． 24．（本题7分）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，按要求作图并保留作图痕迹． (1)在图1中作出边上的高；再在边上找点E，使得； (2)在图2的边上作点F，使得，再过作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、已知正切值求边长、相似三角形的判定与性质综合、格点作图题 【分析】（1）取格点，连接，与交于点，则即为所求．取格点，，连接，交于点，则，可得，即． （2）取格点，连接，交网格线于点，此时，，，即，再连接，交于点，可得．延长交网格线于点R，连接并延长交网格线于点S，则P是中点，取点T是与网格线的一个交点，连接，交网格线于点Q，即Q是中点，连接，由三角形中位线性质可知. 本题考查了格点作图、涉及了三角形的高、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形中位线性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图1，高、点即为所求． （2）如图2，点，，即为所求． 25．（本题8分）桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图所示，线段代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米． (1)当水桶C的位置低于地面米（如图1所示），支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度； (2)向上提水桶C上升到地面上方米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 【答案】(1)米 (2)米 【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）过点A作于点N，利用余切函数的定义，平行线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，余弦函数，解直角三角形的即可． （2）如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P，过点O作于点K，则米，四边形是矩形，解直角三角形解答即可． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点N， ∵，， ∴（米）， ∴（米）， ∴， ∵，米， ∴，米， ∴米， 设与地面的交点为G， 则米，四边形是矩形， ∴， ∵米， ∴米， ∴米． （2）解：如图2，过点A作于点Q，过点C作于点P， 过点O作于点K， 则米，四边形是矩形， ∴米， ∵米， ∴米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， 根据（1）得（米）， ∴此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度为米． 26．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴、垂足为点，反比例函数的图象经过的中点、且与相交于点经过、两点的一次函数解析式为，若点的坐标为且． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请观察图象直接写出不等式的解集． (3)若在直线上有一点，的面积等于求满足条件的点的坐标； 【答案】(1)， (2)或 (3)点或 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】（1）把代入，利用待定系数法即可求得，利用中点坐标公式求出，点C的坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）根据图象求得即可； （3）根据三角形的面积求得点的纵坐标，代入直线解析式即可求得横坐标． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求得点的坐标． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， 反比例函数的解析式为； 由点D的坐标为，且， ∴点A的坐标为， ∵点C为的中点， ∴点C的坐标为， 将点和点代入，得， 解得，即； （2）解：不等式的解集为：或． （3）解：设点的坐标为 的面积等于8，， ， 即，代入， 得到点或； 27．（本题9分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． (1)求抛物线的解析式； (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； (3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或（3，4） (3)存在， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解； （3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值． 【详解】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以抛物线的解析式为． （2）设直线AB的解析式为， 将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以直线AB的解析式为． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N． 过点B作BE⊥PM，垂足为E． 所以 ． 因为A（4，0），B（1，4），所以． 因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍， 所以，． 设，则． 所以， 即， 解得，． 所以点P的坐标为或（3，4）． （3） 记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点 ， ， 设 直线AB的解析式为． 设，则 整理得 时，取得最大值，最大值为 28．（本题10分）（1）如图1， 在正方形中， E为边上一点， F为延长线上一点， 且， ①与之间的数量关系为 ． ② G，H分别是中点，连接，请证明：． （2）如图2，在矩形中，，E为边上一点，F为延长线上一点， ，G，H分别是中点，连接，已知，求的长． （3）如图3，在平行四边形中，，E为边上一点，F为延长线上一点，且，G，H分别是中点，连接，当 时，请直接写出的长． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①根据正方形的边角性质，结合，证明，即得；②连接，根据直角三角形斜边中线性质，结合①结果可得，证明，即得； （2）连接，根据矩形边角性质，结合，证明，得，，根据直角三角形斜边中线性质和等腰三角形性质证明 ，得,结合，得； （3）连接，延长交于点I，连接，过点C作于点J，根据平行四边形性质和等腰三角形性质证明，结合，得，得，得，结合中点性质得，得，得，得，证明，得，得， ,证明，可得,根据,得，得点I、J重合，即得 【详解】（1）①∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； ②连接， ∵G，H分别是中点， ∴， ∴，， 由①知，， ∴， ∴， ∴； （2）连接， ∵矩形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵ G，H分别是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）连接，延长交于点I，连接， ∵在平行四边形中，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵G、H分别是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点J， 则， ∴， ∴， ∴点I、J重合， ∴． ∴． 35 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（徐州专用） 黄金卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：140分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共8题，每题3分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 下列博物馆（院）图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．最近较火的一款软件ChatGPT横空出世，仅2024年2月9日当天，其下载量达到了次的峰值，用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 5．体育学科越来越得到重视，某中学规定学生的学期体育成绩满分分，其中健康知识考试成绩占，体育技能考试成绩占，小明的这三项成绩（百分制）依次为，则小明这学期的体育成绩为（    ） A． B． C． D． 6．下列能说明命题“若为无理数，则也是无理数”是假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 7．下列事件中，是必然事件的是（   ） A．任意作一个三角形，其内角和为 B．经过有交通信号灯的路口，遇到黄灯 C．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，全是2点朝上 D．篮球运动员在罚球线投篮时，成功进球 8．定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”.已知点，有下列结论： ①点，都是点的“倍增点”； ②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点A的坐标为； ③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”； ④若点B是点的“倍增点”，则的最小值是； 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：（本大题共10题，每题3分，共30分.） 9．若代数式有意义，则实数的取值范围是 ； 10．如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则 ． 第10题 第12题 11．若是关于x的方程的解，则的值为 ． 12．如图是由六个全等的菱形组成的网格图，菱形的顶点称为格点，A、O、B、C均在格点上，当菱形的边长为1且时，则 . 13．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1：）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．问题解决：如图2，点M是矩形的对角线上一点，过点M作分别交，于点E、F，连接，．若，则图中阴影部分的面积和为 ． 第13题 第16题 14．我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 ． 15．在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点和，则不等式的解集是 ． 16．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为 ． 17．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，，分别与相切于点，，延长，交于点．若，的半径为，则图中的长为 ．（结果保留） 第17题 18．一个较大水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水平桌面平行（，分别为杯底圆和杯口圆的直径），已知水杯底部宽，水杯高为16cm，当杯内水面高为6cm时，水面宽为12cm．如图2，先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图3，当时，杯中水面平行于水平桌面，则此时＝ cm． 三、解答题：（本大题共10题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．（本题10分） （）计算： （）化简： 20．（本题10分）解方程（不等式）组： (1)； (2)． 21．（本题7分）长寿区某校非常重视培养学生的语文核心素养，在学期中段开展了名著知识竞赛，为了解初三学生的名著阅读情况，随机抽查了初三甲、乙两班各20名学生的竞赛成绩（百分制，成绩为整数），将成绩分为四个组进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分，其中：A．；B．；C．；D．．下面给出了部分信息： 初三甲班20名学生的竞赛成绩为： 61，62，76，79，79，79，79，83，84，88，88，89，90，90，91，92，94，96，100，100． 初三乙班20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：82，86，86，86，87，88，89，89． 初三甲、乙两班所抽学生的竞赛成绩统计表 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，扇形统计图中圆心角的度数是______； (2)根据以上数据分析，你认为该校初三甲、乙两班中哪个班级学生的名著知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校准备在甲、乙两班抽查的学生中，各挑选1名名著知识竞赛成绩优异（）的学生，进行读书心得分享，其中初三甲班成绩优异的两名学生是一名男生、一名女生，初三乙班成绩优异的三名学生是一名男生、两名女生，请用树状图或列表法求出挑选的两名同学恰好是一名男生一名女生的概率． 22．（本题8分）下面是小花学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 题目：元旦义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多2元，用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…等量关系：甲商品进价一乙商品进价=2 (1)解法一所列方程中的x表示 ，解法二所列方程中的x表示 ． A、甲种商品每件进价x元   B．乙种商品每件进价x元   C．甲种商品购进x件 (2)根据以上解法分别求出甲、乙两种商品的进价． (3)若商店计划用不超过144元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲种商品多少件？ 23．（本题8分）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，且． (1)求证：； (2)连接，若平分，，求平行四边形的周长． 24．（本题7分）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，按要求作图并保留作图痕迹． (1)在图1中作出边上的高；再在边上找点E，使得； (2)在图2的边上作点F，使得，再过作的平行线． 25．（本题8分）桔槔是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图所示，线段代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段是无弹力、固定长度的麻绳，绳长米，木质杠杆米． (1)当水桶C的位置低于地面米（如图1所示），支架与绳子之间的距离是米，且，求这个桔槔支架的高度； (2)向上提水桶C上升到地面上方米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 26．（本题9分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴、垂足为点，反比例函数的图象经过的中点、且与相交于点经过、两点的一次函数解析式为，若点的坐标为且． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)请观察图象直接写出不等式的解集． (3)若在直线上有一点，的面积等于求满足条件的点的坐标； 27．（本题9分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． (1)求抛物线的解析式； (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； (3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 28．（本题10分）（1）如图1， 在正方形中， E为边上一点， F为延长线上一点， 且， ①与之间的数量关系为 ． ② G，H分别是中点，连接，请证明：． （2）如图2，在矩形中，，E为边上一点，F为延长线上一点， ，G，H分别是中点，连接，已知，求的长． （3）如图3，在平行四边形中，，E为边上一点，F为延长线上一点，且，G，H分别是中点，连接，当 时，请直接写出的长． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$