黄金卷03（天津专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（天津专用） 黄金卷 1、 单选题（本大题共12题，每题3分，共36分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C B D B A C B C B A C 二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分.） 13．2 14．6 15．15 16． 17. ． 18．(1) (2)取格点，连接并延长；取格点，连接并延长，与的延长线相交于点，则点即为所求 三、解答题（本大题共7题，第19-20每题8分，第21-25每题10分，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．(1)解不等式①，得， 故答案为：；（2分） （2）解不等式②，得， 故答案为：；（2分） （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （2分） （4）原不等式组的解集为， 故答案为：．（2分） 20．（1）解：∵A出口的人数为万人，把这些人购买饮料的数量从低到高排列，处在第50000名和第50001名购买的数量分别为2瓶，2瓶， ∴在A出口的被调查游客中，购买瓶装饮料的数量的中位数是2瓶，（1分） ∵在A出口的被调查游客中，购买1瓶的人数最多， ∴在A出口的被调查游客中，购买瓶装饮料的数量的众数是1，（1分） 在A出口的被调查游客中购买瓶装饮料的数量的平均数是瓶，（2分） （2）解：∵一共有50万名游客，其中A、B、C三个出口的游客量比为， ∴A、B、C三个出口的游客量分别为20万名，20万名，10万名， ∴这一天购买的饮料的总数是万瓶；（2分） （3）解：万元， ∴该日需要花费60万元钱处理这些饮料瓶．（2分） 21．（1）证明：如图，连接． ∵直线与相切于点， ∴于点． ∴． ∵于点， ∴． ∴． ∴．（3分） ∴． ∵， ∴． ∴． ∴平分．（2分） （2）解：连接． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． 在中， ∵，， ∴．（2分） 在中， ∵， ∴． ∵，   ∴． ∴．（2分） 在中， ∵， ∴．（1分） 22．（1）解：过点M作于点D，如图， 根据题意可知，（2分） ∵海里， ∴海里． 故小岛M之间的最小距离为海里．（2分） （2）在中，海里． 在中，（2分） ∴， ∴(海里)，（2分） 则 (海里)， 故AB的长为200海里．（2分） 23．（1）解：由图象可知，货车小时，行驶了90千米，轿车从2.5小时到5.2小时行驶了千米， ∴货车的速度为（千米/小时），轿车的速度为：（千米/小时）， ∴，， 故答案为：150，2，100；（3分） （2）由（1）知货车的速度为， ∴，（1分） 当时，， 当时，， 当时，设， 图象过：， ∴，解得：， ∴， 综上：；（3分） （3）当时，，解得， 当时，， 当时，，解得； 综上：或或3．（3分） 24．（1）解：已知直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点， ∴， 解得，， ∴，（1分） 把点代入直线中， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：；（2分） （2）解：如图所示，过点作轴于点， ∵，， ∴，则， ∵直线交轴于点， ∴令，则， ∴，则，（2分） ∴ ， ∴四边形的面积为；（2分） （3）解：根据题意作图如下， ∵将沿轴向下平移（是整数）个单位长度， ∴平移后直线的解析式为：，（1分） ∴如图所述，， 解得，， ∴， ∴的值为．（2分） 25．（1）解：∵抛物线与x轴分别交于点和点， ∴抛物线对称轴为：，（1分） 把点和点代入得：， 解得， ∴二次函数解析式为：，（1分） 故答案为：，； （2）∵抛物线， ∴， 设直线的解析式为；， 把点和点代入得：，解得：， ∴直线解析式为：，（2分） 设平移后函数解析式为：， 建立方程组 整理得：， ∵抛物线与直线始终有交点， ∴， ∴， ∴h的最大值为；（2分） （3）如图，设， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∵G是点E关于x轴的对称点， ∴，（4分） ∵，， ∴． 综上，这个四边形的面积不变，这个四边形的面积为16．（1分） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（天津专用） 黄金卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共12题，每题3分，共36分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．计算的结果是（ ） A．20 B． C．14 D． 2．计算的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 3．估算的值应在（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 4．树叶上有许多气孔，在阳光下，这些气孔一边排出氧气和蒸腾水分，一边吸入二氧化碳.已知一个气孔每秒钟能吸进2500亿个二氧化碳分子，用科学记数法表示2500亿，结果是(   ) A．2.5×1010 B．2.5×104 C．2.5×1012 D．2.5×1011 5．下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（    ） A． B． C． D． 7．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 8．已知是方程的两实根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．9 9．点，，都在反比例函数（为常数）的图象上，若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°. (1)以点C为圆心，以CB的长为半径画弧，交AB于点G，分别以点G，B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交于点K，作射线CK； (2)以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E； (3)过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，连接CF． 根据以上操作过程及所作图形，有如下结论： ①CE=CD； ②BC=BE=BF； ③； ④∠BCF=∠BCE． 所有正确结论的序号为(    ) A．①②③ B．①③ C．②④ D．③④ 11．如图，将绕点C顺时针旋转得到，使点A的对应点D恰好落在边上，点B的对应点为E，连接，下列四个结论：①；②；③；④平分；其中一定正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 12．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是．下列结论：①小球从抛出到落地需要；②小球运动中的高度可以是；③小球落地的水平距离是；④当小球运动的时间是时，小球运动的最大高度是；正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分.） 13．若，，则的值为 ． 14．计算的结果为 ． 15．在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是，则白色棋子的个数为 ． 16．一次函数的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为 ． 17．在数学探究活动中，小梦进行了如下操作：如图，将两张等腰直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°，AC＝BC＝13）和ADE（∠ADE＝90°，AD＝DE＝5）的锐角顶点A重合，AD在AC边上． 请完成下列探究： （1）tan∠ABE的值为 ； （2）将△ADE绕点A顺时针旋转（旋转角为锐角），连接BE，当C，D，E三点在同一条直线上时，取线段BE的中点M，线段CM的长为 ． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均在格点上，∠CAB＝26°，经过A，B，C三点的圆的半径为． (1)线段AC的长等于________； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点M使其满足∠BMC＝38°，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）________________________________________________________． 三、解答题（本大题共7题，第19-20每题8分，第21-25每题10分，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．解不等式组：，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 ． 20．某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料数量的情况，一天，他们分别在A、B、C三个出口处，对离开园区的游客进行调查，其中在A出口调查所得的数据整理后绘成如图所示统计图： 表一： 出口 B C 人均购买饮料数量（瓶） 3 2 (1)在A出口的被调查游客中，购买瓶装饮料的数量的中位数是 瓶、众数是 瓶、平均数是 瓶； (2)已知A、B、C三个出口的游客量比为，用上面图表的人均购买饮料数量计算：这一天景区内若有50万游客，那么这一天购买的饮料的总数是多少？ (3)若每瓶饮料要消耗元处理包装的环保费用，该日需要花费多少钱处理这些饮料瓶？ 21．如图，是的直径，点在上．过点作的切线，过点作于点． (1)求证：平分； (2)连接，若，，求的长． 22．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东方向的B处． (1)求渔船从A处到B处的航行过程中，与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）； (2)求的长（结果精确到1海里，参考数据：，，）． 23．一辆货车和一辆轿车同时从甲地出发，沿同一路线前往乙地，两车出发1.5h，货车出现故障停车，轿车立刻掉头按原路加速返回帮忙修车（掉头的时间忽略不计），货车修好后，轿车与货车均按照各自在货车出现故障前的速度继续开往乙地，两车距甲地的路程y（单位：km）与离开甲地的时间x（单位：h）的函数关系如图所示，请结合图象解决下列问题： (1)图中a的值是________；b的值是________；轿车在货车出现故障前的速度是________km/h； (2)求货车从甲地前往乙地的过程中，货车距甲地的路程y与离开甲地的时间x之间的函数关系式； (3)直接写出轿车在行驶过程中，从甲地出发多长时间与货车相距20km． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点，直线交轴于点． (1)求的值及直线的函数表达式； (2)求四边形的面积； (3)我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，现将沿轴向下平移（是整数）个单位长度，则其与直线、轴围成的三角形（不含边界）中恰好有个整点，请直接写出的值． 25．如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分别交于点和点，与y轴交于点C，P为抛物线上一动点． (1)写出抛物线的对称轴为直线_______，抛物线的函数关系式为______； (2)如图2，连结AC，若P在AC上方，作轴交AC于Q，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线AC始终有交点，求h的最大值； (3)若P在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（天津专用） 黄金卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共12题，每题3分，共36分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．计算的结果是（ ） A．20 B． C．14 D． 【答案】C 【分析】原式先计算乘法运算，再计算加减运算即可得到结果． 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 故选：C． 2．计算的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数值运算，熟记特殊三角函数值是解本题的关键．把三角函数的数值代入原式，进行计算即可得解． 【详解】解：原式， 故选：C． 3．估算的值应在（    ） A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 【答案】B 【分析】被开方数越大，二次根式的值越大，由即可选出答案． 【详解】解：，，， ， ， 在8和9之间， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的估值，解题的关键是要找到离最近的两个能开方的整数，就可以选出答案． 4．树叶上有许多气孔，在阳光下，这些气孔一边排出氧气和蒸腾水分，一边吸入二氧化碳.已知一个气孔每秒钟能吸进2500亿个二氧化碳分子，用科学记数法表示2500亿，结果是(   ) A．2.5×1010 B．2.5×104 C．2.5×1012 D．2.5×1011 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：将2500亿用科学记数法表示为2.5×1011． 故选D． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5．下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的定义，逐一判断选项，即可求解． 【详解】A选项不是轴对称图形，不符合题意， B选项是轴对称图形，符合题意， C选项不是轴对称图形，不符合题意， D选项不是轴对称图形，不符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 6．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图的定义：一般指由物体左边向右做正投影得到的视图，即可得出结论． 【详解】解：根据左视图的定义，A选项为几何体的左视图 故选A． 【点睛】此题考查的是判断几何体的左视图，掌握左视图的定义是解决此题的关键． 7．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把第二个分式变形后根据同分母分式的加减法法则计算． 【详解】解：原式= = = =． 故选C． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要化为最简分式或者整式． 8．已知是方程的两实根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】B 【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2，x1•x2，再变形得x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵是方程的两实根， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=，x1•x2=． 9．点，，都在反比例函数（为常数）的图象上，若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可知，此函数图象在第一、三象限，根据反比例函数的性质即可判定． 【详解】解：， ∴此函数图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， ， ∴点A在第三象限，点B、C在第一象限， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点的特征，反比例函数的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°. (1)以点C为圆心，以CB的长为半径画弧，交AB于点G，分别以点G，B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交于点K，作射线CK； (2)以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E； (3)过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，连接CF． 根据以上操作过程及所作图形，有如下结论： ①CE=CD； ②BC=BE=BF； ③； ④∠BCF=∠BCE． 所有正确结论的序号为(    ) A．①②③ B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】①由作图过程可得，CE是BG的垂直平分线，BD是∠CBF的平分线，可以证明△BCD≌△BFD，根据全等三角形的性质进而可以判断； ②根据BC≠BE，即可判断； ③根据S四边形CDFB=S△BCD+S△BFD即可判断； ④根据△BCE与△BCF不全等，∠BCE≠∠BCF，即可判断． 【详解】如图，连接CF，交BD于点H， 由作图过程可知： CE是BG的垂直平分线，BD是∠CBF的平分线， 设CE与AB交于点Q， ∴∠CQA=∠DFA=90°， ∴CQ∥DF， ∴∠CED=∠FDE， ∵BD是∠CBF的平分线， ∴∠CBD=∠FBD， ∵∠BCD=∠BFD=90°， BD=BD， ∴△BCD≌△BFD（AAS）， ∴∠CDB=∠FDB， ∴∠CDB=∠CED， ∴CE=CD， 所以①正确； ∵△BCD≌△BFD（AAS）， ∴BC=BF， 但是BC≠BE， ∴②不正确； ∵S四边形CDFB=S△BCD+S△BFD =BD•CH+BD•FH =CF•BD． ∴③正确； ∵△BCE与△BCF不全等， ∴∠BCE≠∠BCF， ∴④不正确． 所以正确结论的序号为①③． 故选：B． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法． 11．如图，将绕点C顺时针旋转得到，使点A的对应点D恰好落在边上，点B的对应点为E，连接，下列四个结论：①；②；③；④平分；其中一定正确的是（    ） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据旋转的性质得到，，，故①正确；得到，，根据三角形的内角和得到，，求得，故②正确；由于不一定等于，于是得到不一定等于，故③错误，可求得，故可判定④． 【详解】解：∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，，，，故①正确； ∴，， ∴平分，，故④正确； ∵， ∴， ∴根据三角形内角和定理可知，， ∴，故②正确； ∵不一定等于， 不一定等于，故③错误． 综上，正确的由①②④， 故选：A. 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质、、三角形的内角和定理、角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 12．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是．下列结论：①小球从抛出到落地需要；②小球运动中的高度可以是；③小球落地的水平距离是；④当小球运动的时间是时，小球运动的最大高度是；正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②④；根据解析式不能判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当小球运动的时间是时，小球运动的最大高度是，故④正确； ③小球落地的水平距离无法判断，故③不正确； 故选C． 二、填空题（本大题共6题，每题3分，共18分.） 13．若，，则的值为 ． 【答案】2 【分析】根据同底数幂的除法逆运算计算即可； 【详解】∵，， ∴； 故答案是2． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法应用，准确计算是解题的关键． 14．计算的结果为 ． 【答案】6 【分析】根据平方差公式即可求解． 【详解】=8-2=6 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则． 15．在一个不透明的盒子里装有5个黑色棋子和若干白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是，则白色棋子的个数为 ． 【答案】15 【分析】黑色棋子除以相应概率算出棋子的总数，减去黑色棋子的个数即为白色棋子的个数． 【详解】解：5÷（1﹣）﹣5＝15， ∴白色棋子有15个． 故答案为15． 【点睛】本题考查概率的求法，概率＝所求情况数与总情况数之比． 16．一次函数的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据函数图象的平移法则“上加下减”，即可求出平移后的函数解析式． 【详解】解：一次函数的图象向上平移5个单位长度，所得函数的解析式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象平移的法则：上加下减，左加右减，是解题的关键． 17．在数学探究活动中，小梦进行了如下操作：如图，将两张等腰直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°，AC＝BC＝13）和ADE（∠ADE＝90°，AD＝DE＝5）的锐角顶点A重合，AD在AC边上． 请完成下列探究： （1）tan∠ABE的值为 ； （2）将△ADE绕点A顺时针旋转（旋转角为锐角），连接BE，当C，D，E三点在同一条直线上时，取线段BE的中点M，线段CM的长为 ． 【答案】 ． 【分析】(1) 因为和是等腰直角三角形，可以得到，即可求解； (2) 连接DM并延长至F，使，连接BF，CF，证明得到，进而进行求解． 【详解】(1)由图形可得，和是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， 在中，， (2) 连接DM并延长至F，使，连接BF，CF， 如图所示： ∵M是BE中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ，，， ∴， ，， ， 在中，，， ∴， 过M作于G，MG是中位线， ∴， 在中，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质，正确作出辅助线，读懂题意是解题的关键． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均在格点上，∠CAB＝26°，经过A，B，C三点的圆的半径为． (1)线段AC的长等于________； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点M使其满足∠BMC＝38°，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】(1) (2)取格点，连接并延长；取格点，连接并延长，与的延长线相交于点，则点即为所求，证明见解析 【分析】（1）根据格点的特征及勾股定理即可求解； （2）取格点，连接并延长；取格点，连接并延长，与的延长线相交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：由勾股定理可得，； 故答案为：； （2）解：如图，取格点，连接并延长；取格点，连接并延长，与的延长线相交于点，则点即为所求． 连接OC， ∵， ∴， 在△OEC和△CFD中， ， ∴△OEC≌△CFD（SAS）， ∴∠EOC=∠FCD， ∵∠EOC+∠ECO=90°， ∴∠FCD+∠ECO=90°， ∴∠OCD=90°， ∴． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图，勾股定理，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题，第19-20每题8分，第21-25每题10分，共66分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．解不等式组：，请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得 ； (2)解不等式②，得 ； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为 ． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集等知识点，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】（1）解不等式①，得， 故答案为：； （2）解不等式②，得， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为， 故答案为：． 20．某环保小组为了解世博园的游客在园区内购买瓶装饮料数量的情况，一天，他们分别在A、B、C三个出口处，对离开园区的游客进行调查，其中在A出口调查所得的数据整理后绘成如图所示统计图： 表一： 出口 B C 人均购买饮料数量（瓶） 3 2 (1)在A出口的被调查游客中，购买瓶装饮料的数量的中位数是 瓶、众数是 瓶、平均数是 瓶； (2)已知A、B、C三个出口的游客量比为，用上面图表的人均购买饮料数量计算：这一天景区内若有50万游客，那么这一天购买的饮料的总数是多少？ (3)若每瓶饮料要消耗元处理包装的环保费用，该日需要花费多少钱处理这些饮料瓶？ 【答案】(1)2；1；2 (2)这一天购买的饮料的总数是120万瓶； (3)该日需要花费60万元钱处理这些饮料瓶． 【分析】（1）根据中位数，众数，平均数的定义即可解答； （2）根据题意求得A、B、C三个出口的一天的游客量，再计算这一天购买的饮料的总数即可； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：∵A出口的人数为万人，把这些人购买饮料的数量从低到高排列，处在第50000名和第50001名购买的数量分别为2瓶，2瓶， ∴在A出口的被调查游客中，购买瓶装饮料的数量的中位数是2瓶， ∵在A出口的被调查游客中，购买1瓶的人数最多， ∴在A出口的被调查游客中，购买瓶装饮料的数量的众数是1， 在A出口的被调查游客中购买瓶装饮料的数量的平均数是瓶， 故答案为：2；1；2； （2）解：∵一共有50万名游客，其中A、B、C三个出口的游客量比为， ∴A、B、C三个出口的游客量分别为20万名，20万名，10万名， ∴这一天购买的饮料的总数是万瓶； （3）解：万元， ∴该日需要花费60万元钱处理这些饮料瓶． 【点睛】本题考查的是条形统计图的运用，求平均数，中位数和众数．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 21．如图，是的直径，点在上．过点作的切线，过点作于点． (1)求证：平分； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，求得，得到，即可求得平分． （2）连接，求得，在中，求得；在中，，；在中，利用勾股定理可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵直线与相切于点， ∴于点． ∴． ∵于点， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴平分． （2）解：连接． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． 在中， ∵，， ∴． 在中， ∵， ∴． ∵，   ∴． ∴． 在中， ∵， ∴． 【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了切线的性质、角平分线的判定和和勾股定理，作出恰当的辅助线是解决问题的关键 22．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东方向的B处． (1)求渔船从A处到B处的航行过程中，与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）； (2)求的长（结果精确到1海里，参考数据：，，）． 【答案】(1)海里 (2)200海里 【分析】本题主要考查解直角三角形和方位角的应用， 过点M作于点D，根据题意可知，结合余弦定义可求得即为所求； 分别在直角三角形中求得和，利用即可求得答案． 【详解】（1）解：过点M作于点D，如图， 根据题意可知， ∵海里， ∴海里． 故小岛M之间的最小距离为海里． （2）在中，海里． 在中， ∴， ∴(海里)， 则 (海里)， 故AB的长为200海里． 23．一辆货车和一辆轿车同时从甲地出发，沿同一路线前往乙地，两车出发1.5h，货车出现故障停车，轿车立刻掉头按原路加速返回帮忙修车（掉头的时间忽略不计），货车修好后，轿车与货车均按照各自在货车出现故障前的速度继续开往乙地，两车距甲地的路程y（单位：km）与离开甲地的时间x（单位：h）的函数关系如图所示，请结合图象解决下列问题： (1)图中a的值是________；b的值是________；轿车在货车出现故障前的速度是________km/h； (2)求货车从甲地前往乙地的过程中，货车距甲地的路程y与离开甲地的时间x之间的函数关系式； (3)直接写出轿车在行驶过程中，从甲地出发多长时间与货车相距20km． 【答案】(1)150，2，100； (2)； (3)或或3h． 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键． （1）根据图象分别求出轿车未加速时的速度以及货车的速度，根据路程等于速度乘以时间，逐一进行计算即可； （2）分，，三种情况，进行讨论求解即可． （3）分货车故障前，故障中，故障后，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，货车小时，行驶了90千米，轿车从2.5小时到5.2小时行驶了千米， ∴货车的速度为（千米/小时），轿车的速度为：（千米/小时）， ∴，， 故答案为：150，2，100； （2）由（1）知货车的速度为， ∴， 当时，， 当时，， 当时，设， 图象过：， ∴，解得：， ∴， 综上：； （3）当时，，解得， 当时，， 当时，，解得； 综上：或或3． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点，直线交轴于点． (1)求的值及直线的函数表达式； (2)求四边形的面积； (3)我们把横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，现将沿轴向下平移（是整数）个单位长度，则其与直线、轴围成的三角形（不含边界）中恰好有个整点，请直接写出的值． 【答案】(1)，直线的解析式为： (2)四边形的面积为 (3)的值为 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何图形的结合，图形平移的性质，掌握一次函数图象的性质，几何图形面积的计算，图形与坐标轴的交点的计算方法是解题的关键． （1）把点代入直线可求出的值，再把点代入直线即可求解； （2）如图所示，过点作轴于点，图形结合可得的长，根据即可求解； （3）根据题意作图，结合图形平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：已知直线与轴，轴分别交于点，点，与直线交于点， ∴， 解得，， ∴， 把点代入直线中， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：； （2）解：如图所示，过点作轴于点， ∵，， ∴，则， ∵直线交轴于点， ∴令，则， ∴，则， ∴ ， ∴四边形的面积为； （3）解：根据题意作图如下， ∵将沿轴向下平移（是整数）个单位长度， ∴平移后直线的解析式为：， ∴如图所述，， 解得，， ∴， ∴的值为． 25．如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴分别交于点和点，与y轴交于点C，P为抛物线上一动点． (1)写出抛物线的对称轴为直线_______，抛物线的函数关系式为______； (2)如图2，连结AC，若P在AC上方，作轴交AC于Q，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为，在平移过程中，该抛物线与直线AC始终有交点，求h的最大值； (3)若P在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不变，这个四边形的面积为16 【分析】 （1）根据二次函数图象与x轴的交点坐标即可求得对称轴，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）利用待定系数法求直线的解析式，设平移后函数解析式为：，建立方程组可得，再根据抛物线与直线始终有交点，可得，再进行计算即可； （3）分别求出直线、的解析式，再令，分别求得点F、E、G的坐标，从而求得、的值，即可求得四边形的面积． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于点和点， ∴抛物线对称轴为：， 把点和点代入得：， 解得， ∴二次函数解析式为：， 故答案为：，； （2）∵抛物线， ∴， 设直线的解析式为；， 把点和点代入得：，解得：， ∴直线解析式为：， 设平移后函数解析式为：， 建立方程组 整理得：， ∵抛物线与直线始终有交点， ∴， ∴， ∴h的最大值为； （3）如图，设， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∵G是点E关于x轴的对称点， ∴， ∵，， ∴． 综上，这个四边形的面积不变，这个四边形的面积为16． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与x轴的交点坐标与对称轴的关系、二次函数与一元二次方程、一次函数与二元一次方程组、解二元一次方程，熟练掌握相关知识，利用参数构建方程是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$