精品解析：湖北省黄冈市浠水县第一中学2024-2025学年高二下学期2月质量检测数学试题

浠水一中2025年高二年级下学期2月月考 数学试卷 考试时间：2025年 2月 20日 试卷满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设函数在处的导数存在，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列是等差数列，且，则（ ） A. 0 B. C. D. 3. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 17 4. 设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在双曲线上，到两渐近线的距离分别为，为双曲线的一个焦点，且到双曲线渐近线的距离为，若恒成立，则双曲线的离心率的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 若函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对，使得，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（　　） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 10. 若方程所表示的曲线为C，则（ ） A. 若C为椭圆，则 B. 若C是焦点在x轴上的椭圆，则 C. 若C为双曲线，则或 D. 若C为焦点在y轴上的双曲线，则 11. 唐代诗人罗隐有咏“蜂”诗云：“不论平地与山尖，无限风光尽被占．采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜？”蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房均为正六棱柱状．如图是蜂房的一部分，若一只蜜蜂从蜂房A出发，想爬到第号蜂房，只允许自左向右（不允许往回走），记该蜜蜂爬到第号蜂房的路线数为数列，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一辆汽车做直线运动，位移与时间的关系为，若汽车在时的瞬时速度为8，则实数的值为________. 13. 角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列满足：（m为正整数），①若，则使得至少需要_______步雹程；②若；则m所有可能取值的和为_______． 14. 已知为抛物线上两个不同的动点，且满足，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知曲线在点处的切线方程为，求． （2）已知函数，过点作曲线的切线，求此切线的方程． 16. 设数列的前项和为，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 函数， （1）讨论函数的单调性； （2）若不等式对任意的，恒成立，求的取值范围. 18. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 19. 设椭圆的离心率为，过点且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于点两点． （1）求椭圆的方程； （2）若，求的值： （3）若圆心在椭圆上，半径为的圆，我们称是椭圆的“卫星圆”，过原点作椭圆的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆于两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浠水一中2025年高二年级下学期2月月考 数学试卷 考试时间：2025年 2月 20日 试卷满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设函数在处的导数存在，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据瞬时变化率的定义即可求解. 【详解】． 故选：C 2. 已知数列是等差数列，且，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的公式计算即可. 【详解】由等差数列公式得：， 所以， 所以. 故选：A. 3. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】应用等比数列的基本量运算求出得，再结合等比数列求和公式计算即可. 【详解】等比数列设公比为，因为，所以， 所以，计算得， 所以. 故选：D. 4. 设曲线在点处的切线与直线垂直．求a的值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得曲线在处的切线斜率表达式，再由垂直关系计算可得. 【详解】由可得， 所以在点处的切线斜率为， 又因为切线与直线垂直，即可得， 因此． 故选：A 5. 若函数在上单调递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解即可. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，所以对恒成立， 得到，即对恒成立， 令，则对于恒成立， 当时，由反比例函数性质得在上单调递减， 得到，即，故D正确. 故选：D 6. 已知点在双曲线上，到两渐近线的距离分别为，为双曲线的一个焦点，且到双曲线渐近线的距离为，若恒成立，则双曲线的离心率的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式，即可根据求解. 【详解】设，则双曲线的渐近线方程为， 因此， 故， 由于在双曲线上，故，即， 因此， 由于， 由可得，故，故离心率的最小值为， 故选：B 7. 若函数在上不单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数的导函数，分析单调性求解实数的取值范围即可. 【详解】因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 若函数在上不单调，即，，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 8. 已知函数，若对，使得，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出函数f(x)的值域，运用导函数求出函数g(x)的单调性和值域，再根据已知条件结合得到不等式组，即可得到答案. 【详解】解：因为，所以的值域为，， 当时，在上单调递减. 当时，由时得到， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增.得， 又时，，由题意，得，得. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（　　） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象确定的区间符号，进而判断的区间单调性，即可得答案. 【详解】由图知：上，上， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在、上不单调，在、上分别单调递减、单调递增. 故选：BC 10. 若方程所表示的曲线为C，则（ ） A. 若C为椭圆，则 B. 若C是焦点在x轴上的椭圆，则 C. 若C为双曲线，则或 D. 若C为焦点在y轴上的双曲线，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程的特点，即可求解． 【详解】若C为椭圆，则，解得且，所以A选项错误； 若C是焦点在x轴上的椭圆，则，解得，所以B选项正确； 若C为双曲线，则，解得或，所以C选项正确； 若C为焦点在y轴上的双曲线，则，解得，所以D选项错误． 故选：BC 11. 唐代诗人罗隐有咏“蜂”诗云：“不论平地与山尖，无限风光尽被占．采得百花成蜜后，为谁辛苦为谁甜？”蜜蜂是最令人敬佩的建筑专家，蜂巢的结构十分的精密，其中的蜂房均为正六棱柱状．如图是蜂房的一部分，若一只蜜蜂从蜂房A出发，想爬到第号蜂房，只允许自左向右（不允许往回走），记该蜜蜂爬到第号蜂房的路线数为数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据递推关系可得，即可代入求解ACD，结合，相减即可判断B. 【详解】依题意可知，该蜜蜂爬到第1号蜂房的路线数为1，第2号蜂房的路线数为2，第3号蜂房的路线数为3，第4号蜂房的路线数为5，第5号蜂房的路线数为8，…，第号蜂房的路线数为，即， 所以，，，，，故A正确； 由于，则， 两式相减可得，所以，故B错误； 由于，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：关键在于得到，进而变形计算可解决问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一辆汽车做直线运动，位移与时间的关系为，若汽车在时的瞬时速度为8，则实数的值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据导数的定义可推得，根据导数的意义，即可得出答案. 【详解】根据导数的定义可得，， 根据导数的意义，可知，所以. 故答案为：2. 13. 角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需要经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），已知数列满足：（m为正整数），①若，则使得至少需要_______步雹程；②若；则m所有可能取值的和为_______． 【答案】 ①. 9 ②. 385 【解析】 【分析】根据题目所给的步骤逐步计算即可. 【详解】m=13，依题意， ， 共9共 步骤； 若， ， 或， 若， 若， 的集合为 ，其和为385； 故答案为：9,385. 14. 已知为抛物线上两个不同的动点，且满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点、在抛物线上，化为，设出直线方程，利用韦达定理化简得到一元二次函数，即可求出最小值. 【详解】由在抛物线上可知：， 所以； 同理可得：， 故①， 设直线方程为，直线与抛物线联立，有： 消去整理有：， 由韦达定理有：，又， 故①式化为：，故： 的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：要求的最小值，关键在于结合点在曲线上，化为，再利用韦达定理进一步化简成一元二次函数求最值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知曲线在点处的切线方程为，求． （2）已知函数，过点作曲线的切线，求此切线的方程． 【答案】（1）； （2）函数过点的切线方程为或. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点处的切线方程，由条件列等式可求； （2）设函数的过点的切线的切点为，结合导数几何意义列方程求切点坐标，由此可得结论. 【详解】（1）函数的导函数， 所以， 所以函数在点处的切线斜率为， 所以函数在点处的切线方程为， 由已知， 所以； （2）函数的过点的切线的切点为， 因为，所以， 所以， 所以函数过点的切线斜率为，因为切线过点， 所以，， 所以， 解得或， 当时，，， 此时切线方程为， 当时，，， 此时切线方程为， 所以函数过点的切线方程为或. 16. 设数列的前项和为，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据和等差数列的定义与通项公式计算即可求解； （2）由（1）可得，结合裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由，得， 即，又， 所以数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以数列的前项和为 . 17. 函数， （1）讨论函数的单调性； （2）若不等式对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增 ， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间； （2）若不等式对任意的，恒成立，等价于递增，即恒成立，即，其中，分离参数后利用基本不等式求最值，即可求的取值范围. 【小问1详解】 ， 所以， ， 当时或；， 所以此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时或；， 所以此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时恒成立，所以此时在上单调递增 ， 当时；， 所以此时在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由对，恒成立，不妨设，则整理得： ， 设， 有，所以单调递增，即恒成立， 即，其中， 所以，又，当且仅当时等号成立， 同时时，不是常函数，所以. 【点睛】方法点睛：利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围 18. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）在和之间插入个数，使这个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． （3）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据递推式，写出前项和项的和，进而作差求通项公式即可； （2）根据等差数列性质求得，再应用错位相减法、等比数列前项和公式求和． （3）即得，分为奇数和为偶数两种情况对进行变形，将不等式恒成立问题转化为求最值问题，结合数列的单调性即可解答. 【小问1详解】 ∵①， 当时，②， ①②，得． 所以， 当时，，满足上式， 所以的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知，得， 则③， ④， ③④得， 所以． 【小问3详解】 得， 又因为 当为奇数时，由对任意的恒成立，得 ，即 当为偶数时，由对任意的恒成立，得 ，即， 所以. 19. 设椭圆的离心率为，过点且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于点两点． （1）求椭圆的方程； （2）若，求的值： （3）若圆心在椭圆上，半径为的圆，我们称是椭圆的“卫星圆”，过原点作椭圆的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆于两点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值，定值为16. 【解析】 【分析】（1）椭圆离心率公式结合求出椭圆方程； （2）接着通过联立直线与椭圆方程，利用向量关系求出直线斜率；最后根据圆的切线性质以及椭圆方程判断并计算出相关式子是否为定值. 【小问1详解】 椭圆，其中. 离心率（为半焦距），且，又，即. 由可得，将其代入，得到. 即，解得. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 过点且斜率为的直线方程为. 令，可得，所以. 设，，将代入椭圆方程，得到. 化简得. 由韦达定理可得. 因为，所以，即. 所以，两边同时乘以得. 即，解得. 【小问3详解】 由（1）知，则“卫星圆”半径. 设“卫星圆”方程为，因为圆心在椭圆上，所以，即. 设切线方程为，由圆心到切线的距离等于半径可得. 整理得. 设切线，的斜率分别为，，则，. 将代入椭圆方程得，则，，所以. 同理. 因为，，， 所以 所以是定值16. 【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $