精品解析：宁夏银川市第二中学2024-2025学年高一上学期月考二数学试题

银川二中2024—2025学年第一学期高一年级月考二 数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 2. “”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 是第四象限角 B. 锐角一定是第一象限角 C. 第二象限角大于第一象限的角 D. 若角为第二象限角，那么为第一象限角 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的定义域为 C. 的单调递增区间为 D. 的单调递减区间为 11. 设函数，则下列判断错误的是（ ） A. 方程的实数根为-2，0，，2 B. 若方程有3个互不相等的实数根，则的取值范围为 C. 若方程有4个互不相等的实数根，则的取值范围为 D. 若方程有3个互不相等的实数根，则的取值范围为 三､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 13. 如图，分别以正五边形的顶点C、D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，的长为，则扇形的面积为______． 14. 若，，且，则的最小值为__________． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 函数，. （1）当时，求函数在上的最大值； （2）如果函数在区间上只有一个零点，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）证明：若，则. （2）求的值. 17. 已知函数（且）为奇函数. （1）求函数的定义域及解析式； （2）若，函数的最大值比最小值大2，求的值. 18. 金骏眉是红茶代表，产于建宁县，色泽红艳，香气馥郁，口感甜美，营养价值高.在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②；③. （1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间； （3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.（参考数据：） 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数.类似的有双曲正弦函数，也可以定义双曲正切函数.已知函数和具有如下性质：①定义域为，且在上是增函数；②是奇函数，是偶函数；③.（常数是自然对数的底数，） （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； （2）试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川二中2024—2025学年第一学期高一年级月考二 数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】A 【解析】 【分析】根据终边相同角的概念可求解. 【详解】， 与终边相同，所以是第一象限角． 故选：A. 2. “”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数在上是减函数,可得，由此求出的值，由充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立； 若幂函数在上是减函数， 则，解得或，故必要性不成立， 因此""是"幂函数在上是减函数"的一个充分不必要条件. 故选：B 3. 在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分、讨论，结合图象可得答案. 【详解】当时，是单调递增函数，图象恒过点， 是单调递减函数，图象恒过点； 当时，是单调递减函数，图象恒过点， 是单调递增函数，图象恒过点； 所以满足条件的图象为D. 故选：D. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理进行求解. 【详解】由已知，可知为增函数， 且， ， 根据零点存在定理，函数在有零点，且零点是唯一的. 故选：B 5. 已知，，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论. 【详解】，即. 故选：C. 6. 已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性及其部分解析式，求出函数的解析式画出其图象即可求得不等式的解集. 【详解】根据题意可知，当时，， 利用函数奇偶性可得，即， 即，画出函数的图象如下图所示： 由图象可知的解集为. 故选：C 7. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意求得的值，然后再求的值. 【详解】因为， 所以 ， 所以， 故选：D. 8. 已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到不等式，求出答案. 【详解】显然在上单调递减， 要想在R上单调递减， 则，解得. 故选：D 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 是第四象限角 B. 锐角一定是第一象限角 C. 第二象限角大于第一象限的角 D. 若角为第二象限角，那么为第一象限角 【答案】AB 【解析】 【分析】结合象限角的定义逐一分析即可得. 【详解】，故是第四象限角，选项A正确； 锐角是第一象限角，故B正确； 第二象限角为， 第一象限角为， 故第二象限角不一定大于第一象限的角，故C错误； 若角为第二象限角，则， 故， 即可能为第一象限角也可能为第三象限角，故D错误. 故选：AB. 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的定义域为 C. 的单调递增区间为 D. 的单调递减区间为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零即可求出函数的定义域，根据符合函数的单调性结合对数函数的单调性即可求出函数的单调区间. 【详解】由， 得，解得或， 所以的定义域为，故A错误，B正确； 令，其在上单调递增，在上单调递减， 又函数在定义域内为增函数， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，故C错误，D正确. 故选：BD. 11. 设函数，则下列判断错误的是（ ） A. 方程的实数根为-2，0，，2 B. 若方程有3个互不相等的实数根，则的取值范围为 C. 若方程有4个互不相等的实数根，则的取值范围为 D. 若方程有3个互不相等的实数根，则的取值范围为 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据分段函数求解方程的实数根，判断A； 首先画出函数的图象，利用函数与的交点个数，结合图象，判断BCD选项； 【详解】A.当时，，得或， 当时，，解得：或， 所以方程的实数根为-2，0，，2，故A正确； B.如图，若方程有3个互不相等的实数根，则与有3个交点，则，故B正确； C.如图，根据对称性可知，，即 ，则， 则，由的实数根并结合函数的图象，可知，函数在上单调递增，所以，所以的取值范围为，故C正确； D.如图，由C的说明可知，，，若方程有3个互不相等的实数根，则，当时，，所以时，，则的取值范围为，故D错误. 故选：D 三､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据自变量取值所属区间代入对应函数解析式，由内而外逐层求解即可. 【详解】由题意，， 又， 所以. 故答案为：. 13. 如图，分别以正五边形的顶点C、D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，的长为，则扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易知△为等边三角形，若正五边形边长为且各内角为，利用弧长公式、扇形面积公式求结果. 【详解】如下图，△为等边三角形，若正五边形边长为，且各内角为， 所以，则，故， 所以，故扇形的面积为. 故答案为： 14. 若，，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：由对数运算和换底公式，求得 的关系为，根据基本不等式确定 详解：因为， 所以 ，所以 ，即 所以 当且仅当，即，此时时取等号 所以最小值为 点睛：本题考查了对数的运算和对数换底公式的综合应用，根据“1”的代换联系基本不等式求最值，综合性强，属于中档题． 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 函数，. （1）当时，求函数在上的最大值； （2）如果函数在区间上只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）结合对称轴与区间关系，求二次函数在闭区间上的最值即得； （2）以二次项系数与判别式为主，结合二次函数的开口方向、对称轴、端点处的函数值符号分类讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，则， 因为，所以时，； 【小问2详解】 ， 当时， ，令，得， 所以函数在上有一个零点, 故时成立 当时，令，得方程， 因为函数在区间上只有一个零点， 则, 解得，或（）， ①当, 即，或时. 当时，， 由，解得，满足题意； 当 时,．由，得，. 所以当 时, 均恰有一个零点在上 ②当, 即，或，或时， 当时，二次函数图象开口向下， 对称轴，由，则， 故在单调递增，在单调递减； 又，又，即， 故此时函数在有两个零点，不满足题意； 当时，二次函数图象开口向下， 对称轴，由，则，故在单调递增， 又， 由零点存在性定理可知， 此时函数在有且仅有一个零点，满足题意； 当时，二次函数图象开口向上，对称轴， 若， 则，故在单调递增； 又，且图象开口向上， 则在至少有一个零点，在至少有一个零点. 由二次函数至多两个零点， 故函数在有且仅有一个零点，此时满足题意； 若，则，由， 解得，所以函数在有两个零点，不合题意； 若，二次函数图象开口向上， 对称轴，由，则， 故在单调递减，在单调递增； 又，又，即， 所以函数在与各有一个零点，即在有两个零点，不合题意； 综上所述，函数在区间上存在零点，实数的取值范围是或. 16. 已知函数. （1）证明：若，则. （2）求的值. 【答案】（1） . 若，则. 故. （2）5 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式，化简整理即可证明； （2）利用（1）中的结论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知. 又因为， 所以. 17. 已知函数（且）为奇函数. （1）求函数的定义域及解析式； （2）若，函数的最大值比最小值大2，求的值. 【答案】（1）定义域为， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的定义域、函数的奇偶性 （2）对进行分类讨论，结合函数的单调性以及最值求得. 【小问1详解】 要使函数有意义，则，可得：， 因为为奇函数，所以，即，所以的定义域为， 由可得：，所以， 此时，是奇函数，符合题意. 【小问2详解】 ， ①当时，函数单调递减， 所以， ， 所以， 解得. ②当时，函数单调递增， 所以，， 所以， 解得. 综上，或. 18. 金骏眉是红茶代表，产于建宁县，色泽红艳，香气馥郁，口感甜美，营养价值高.在饮用中发现，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型：①；②；③. （1）从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间； （3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少.（参考数据：） 【答案】（1）选模型②，且； （2）6.5min； （3）. 【解析】 【分析】（1）通过表格数据，发现水温随着时间变化逐渐降低，且降低的速度逐渐变慢，所以是第②个函数模型，只需将具体数值代入，即可求得解析式； （2）最佳饮用口感温度为，代入解析式，利用对数式求得； （3）求出的最小值，即为答案. 【小问1详解】 由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，即，可得， 所以且. 【小问2详解】 令，则. 所以泡好的白茶达到最佳饮用口感的放置时间为6.5min. 【小问3详解】 由，即，所以进行实验时的室温约为. 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数.类似的有双曲正弦函数，也可以定义双曲正切函数.已知函数和具有如下性质：①定义域为，且在上是增函数；②是奇函数，是偶函数；③.（常数是自然对数的底数，） （1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式； （2）试判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 函数在上为增函数，证明如下： 任取、且，则，， 所以， ，即， 所以，函数在上为增函数. （3） 【解析】 【分析】（1）由函数奇偶性的定义可得出，与联立方程组，即可解出、的解析式； （2）判断出函数在上为增函数，然后任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； （3）分析函数的单调性与奇偶性，可将所求不等式变形为，令，可得出对任意的恒成立，令，其中，对实数的取值进行分类讨论，根据可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为函数为上的奇函数，为上的偶函数，且， 所以， 即，解得，， 因为函数，均为上的增函数，故函数为上的增函数，合乎题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，该函数的定义域为， ，故函数为奇函数， 又因为， 因为内层函数在上为增函数，且， 外层函数在上为增函数，所以函数在上为增函数， 由， 所以，即， 即， 因为函数在上是增函数， 令，则函数在上是增函数， 当时，，且，则， 于是有，即对任意的恒成立， 令，其中， 当时，即当时，函数在上单调递增， 则，解得，此时，； 当时，即当时，只需， 解得，此时，； 当时，即当时，函数在上单调递减， 则，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值作差变形定号下结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $