精品解析：甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

西北师大附中 2024-2025学年度第二学期开学考试试卷 高三数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（　 　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知函数的定义域为，且当时，，则的值域为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，以下方程对应的曲线，绕原点旋转一定角度之后，可以成为函数图象的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，随机变量，若，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 6. 设椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数有两个极值点，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则经过函数的图象的对称中心的直线被圆截得的最短弦长为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表： 学校 人数 平均运动时间 方差 甲校 2000 10 3 乙校 3000 8 2 记这两个学校学生一周运动的总平均时间为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知正方体，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD所成的角为 11. 已知函数，下列结论中正确的是 A. 函数在时，取得极小值 B. 对于，恒成立 C. 若，则 D. 若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则的值为______. 13. 陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺.如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面半径为1，圆锥与圆柱的高均为1，若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成，则球形材料体积的最小值为____________. 14. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，，，点D为的中点，连接并延长到点E，使. （1）若，求的余弦值； （2）若，求线段的长. 16. 为数列的前项和，已知，. （1）求证：数列为等差数列； （2）设，求数列的前n项和. 17. 某公司为了解所开发APP使用情况，随机调查了100名用户.根据这100名用户的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），...，[90，100]. （1）求频率分布直方图中的值； （2）若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在[40，60），[60，80），[80，100）的中抽取20人，则评分在[40，60）内的顾客应抽取多少人？ （3）用每组数据的中点值代替该组数据，试估计用户对该APP评分的平均分. 18. 如图所示，在多面体中，底面为矩形，且底面∥. （1）证明：∥平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）判断极值点个数，并说明理由； （3）解不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西北师大附中 2024-2025学年度第二学期开学考试试卷 高三数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得集合B，再求A与B的交集即可得解. 【详解】解不等式得， 于是得， 而， 所以. 故选：B 2. 已知i为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（　 　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出复数即可判断得解. 【详解】依题意， 因此复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B 3. 已知函数的定义域为，且当时，，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由的定义域得出的定义域，再将代入，由的范围求出值域即可． 【详解】由的定义域为，， 则，即， 所以， 因为，所以函数在上单调递增， 当，当， 故函数的值域为. 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，以下方程对应的曲线，绕原点旋转一定角度之后，可以成为函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别分析各个方程所对应的曲线即可判断. 【详解】对于A项，因为，所以， 所以方程对应的曲线为椭圆， 所以当椭圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故A项不成立； 对于B项，因为，所以， 所以方程对应的曲线为双曲线， 其渐近线为， 所以当其绕原点旋转后，其一定是函数图象，故B项成立； 对于C项，因为，所以方程对应的曲线为圆， 所以当圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故C项不成立； 对于D项，因为，所以方程对应的曲线为圆， 所以当圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故D项不成立. 故选：B. 5. 已知随机变量，随机变量，若，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】C 【解析】 【分析】由求出，进而，由此求出. 【详解】因为，，， 所以， 解得或（舍）， 由，则， 所以. 故选：C. 6. 设椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆的定义和余弦定理可表示出，从而可得，再利用换元法将转化为二次函数的形式，求出二次函数的最小值即可 【详解】设，令，则，， 所以，所以， 在中，，则由余弦定理得 ， 所以， 所以， 令，由，可得，则 ， 所以当，即时，取得最小值， 所以的最小值为 故选：A 7. 若函数有两个极值点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由极值点定义确定的关系，化简，由此求的范围. 【详解】因为函数有两个极值点， 又函数的定义域为，导函数为， 所以方程由两个不同的正根，且为其根， 所以，，， 所以， 则 ， 又，即，可得， 所以或（舍去）， 故选：C. 8. 已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则经过函数的图象的对称中心的直线被圆截得的最短弦长为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明为奇函数，结合奇函数的性质求，从而求出的表达式，可得的对称中心，然后转化为点到圆心的距离. 【详解】因为，所以， 设，， 因为函数的定义域关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数，由已知可得函数的最大值为，最小值为， 所以，故， 所以， 因为是奇函数，关于原点对称， 所以关于中心对称， 因为 则点在圆 的内部， 因为点到坐标原点的距离为， 所以所求最短弦长为 . 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号召，提出“保证中小学生每天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运动时间统计如下表： 学校 人数 平均运动时间 方差 甲校 2000 10 3 乙校 3000 8 2 记这两个学校学生一周运动的总平均时间为，方差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平均数和方差的计算公式求解. 【详解】依题意，总平均时间为， 方差为. 故选：BC 10. 已知正方体，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD所成的角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可. 【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确； 连接，因为平面，平面，则， 因为，，所以平面， 又平面，所以，故B正确； 连接，设，连接， 因为平面，平面，则， 因为，，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 设正方体棱长为，则，，， 所以，直线与平面所成的角为，故C错误； 因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，下列结论中正确的是 A. 函数在时，取得极小值 B. 对于，恒成立 C. 若，则 D. 若，对于恒成立，则的最大值为，的最小值为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】先对函数求导，根据，排除A；再由导数的方法研究函数单调性，判断出B选项；构造函数，由导数的方法研究其单调性，即可判断C选项；根据的单调性，先得到，再令，根据导数的方法研究其单调性，得到，即可判断D选项. 【详解】因为，所以， 所以，所以不是函数的极值点，故A错； 若，则，所以函数在区间上单调递减；因此，故B正确； 令，则， 因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 因此函数在上单调递减； 又，所以，即，所以，故C正确； 因为函数在上单调递减； 所以时，函数也单调递减， 因此在上恒成立； 令，，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 因此，即在上恒成立； 综上，在上恒成立，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的方法研究函数的极值，单调性等，属于常考题型. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则的值为______. 【答案】7 【解析】 【分析】根据函数的解析式，代入，逐次计算，即可求解. 【详解】由题意，函数， 则. 故答案为：. 13. 陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺.如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面半径为1，圆锥与圆柱的高均为1，若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成，则球形材料体积的最小值为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据该陀螺中圆锥的顶点及圆柱的下底面圆周都在球形材料表面上时，球形材料体积的最小求解. 【详解】解：依题意当该陀螺中圆锥的顶点及圆柱的下底面圆周都在球形材料表面上时，球形材料体积的最小， 设此时球形材料的半径为，如图所示： 由题意得， 解得， 所以球形材料的体积最小值为. 故答案为： 14. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合正弦函数的图象和性质即可求解. 【详解】由题意，当时，不能满足在上极值点比零点多， 当时，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点， 由的部分图象如下图所示： 则，解得，即， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，，，点D为的中点，连接并延长到点E，使. （1）若，求的余弦值； （2）若，求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由结合余弦定理求解即可求出，在中，由余弦定理即可求出答案. （2）在中，由余弦定理求出，在中，由余弦定理求出，连接，在中，由余弦定理即可求出线段的长. 【小问1详解】 因为，，所以， 因为，所以， 设，则，即， 解得，所以， 在中，由余弦定理知，. 【小问2详解】 在中，由余弦定理知，， 所以，化简得，解得， 因为是的中点，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以， 因为，所以， 在中，由余弦定理知， ， 连接，在中，由余弦定理知， ， 所以. 16. 为数列的前项和，已知，. （1）求证：数列为等差数列； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） 由，可知 两式相减得， 即， ∵，∴， ∵当时，，∴（舍）或， 则是首项为，公差的等差数列， ∴的通项公式； （2） 【解析】 【分析】（1）利用，作差得到是首项为，公差的等差数列，从而求出其通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴数列的前项和 . 17. 某公司为了解所开发APP使用情况，随机调查了100名用户.根据这100名用户的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），...，[90，100]. （1）求频率分布直方图中的值； （2）若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在[40，60），[60，80），[80，100）的中抽取20人，则评分在[40，60）内的顾客应抽取多少人？ （3）用每组数据的中点值代替该组数据，试估计用户对该APP评分的平均分. 【答案】（1） （2）2 （3）76.2 【解析】 【分析】（1）根据题意，由频率值和等于，可求频率分布直方图中的值； （2）由频率分布直方图可知评分在内的顾客人数之比，进而求出评分在[40，60）内的顾客应抽取多少人； （3）根据频率分布直方图中的数据，利用平均数的求法公式即可求出结果. 【小问1详解】 由，解得 【小问2详解】 由频率分布直方图可知， 评分在内的顾客人数之比为： ， 所以评分在内的顾客应抽取（人） 【小问3详解】 用户对该APP评分的平均分为： . 18. 如图所示，在多面体中，底面为矩形，且底面∥. （1）证明：∥平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，连接，则利用三角形中位线定理结合已知条件可得四边形是平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由题意可得，所以以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 证明：取线段的中点，连接， 因为四边形是矩形，且， 所以且 因为且且， 所以且， 所以且 所以四边形是平行四边形，则， 因为平面平面，所以平面 【小问2详解】 因为底面平面，所以， 因为 所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 设平面的法向量为，则 ，令，则， 故平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 由，取，则， 故平面的一个法向量， 则. 设平面与平面的夹角为，则. 19. 已知． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）判断极值点个数，并说明理由； （3）解不等式． 【答案】（1）； （2） 设，则， 令，可得，又为上的增函数， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，，， 所以存在使得， 当时，，即，函数在上单调递增， 当时，，即，函数在上单调递减， 当时，，即，函数在上单调递增， 所以为函数的极大值点，为函数的极小值点， 所以函数有两个极值点； （3）不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线的斜率，利用点斜式求切线方程； （2）利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理求零点，并判断其两侧的导数值的正负，由此确定函数的极值点的个数； （3）根据函数的单调性，极值及确定不等式的解集. 【小问1详解】 函数的定义域为，导函数， 所以，， 所以曲线在点处的切线斜率为1， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为函数在上单调递增，，， 所以当时，不等式的解为， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上的最小值为， 因为，， 所以， 所以当时，不等式的解为， 所以不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $