精品解析：山东省潍坊市临朐县第一中学2024-2025学年高一下学期开学检测数学试题

高一开学检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的学校､姓名､班级､座号､考号填涂在相应位置. 2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时可用2B铅笔作答，字体工整､笔迹清楚. 3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.保持卡面清洁､不折叠､不破损. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，．若，则 (　 　) A. B. C. D. 2. 若，则的最小值为 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 3. 若,且,则四边形是 A. 平行四边形 B. 菱形 C. 等腰梯形 D. 非等腰梯形 4. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 5. 生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A. B. C. D. 6. 某社区通过公益讲座以普及社区居民垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则（ ） A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 7. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为R，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于任意一个四边形，下列式子能化简为的是（ ） A. B. C D. 10. 下列函数中是偶函数，且满足“对任意，当时，都有”的是（ ） A. B. C. D. 11. (多选)已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是（ ） A. 且 B. 存在相异实数λ，μ，使 C x＋y＝(其中实数x，y满足x＋y＝0) D. 已知梯形ABCD，其中＝，＝ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 在甲盒内的200个螺栓中有160个是型，在乙盒内的240个螺母中有180个是型．若从甲，乙两盒内各取一个，则型螺栓与型螺母能配成套的概率为______． 14. 已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围_______． 四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. （1）求的最大值； （2）求＋的最小值． 16. 在△中，延长到，使，在上取点，使与交于，设，用表示向量及向量. 17. 计算下列各题： （1）； （2）. 18. 若函数的定义域为当时，求的最值及相应的x的值． 19. 为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：元度“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下： 第一档 第二档 第三档 每户每月用电量单位：度 电价单位：元度 例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费元，若采用阶梯电价收费标准，应交电费元． 为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量单位：度为：88、268、370、140、440、420、520、320、230、380． （1）在答题卡中完成频率分布表，并绘制频率分布直方图； 根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量同一组数据用该区间的中点值作代表； 设某用户11月用电量为x度，按照合表电价收费标准应交元，按照阶梯电价收费标准应交元，请用x表示和，并求当时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于的用户带来实惠？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一开学检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的学校､姓名､班级､座号､考号填涂在相应位置. 2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时可用2B铅笔作答，字体工整､笔迹清楚. 3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.保持卡面清洁､不折叠､不破损. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，．若，则 (　 　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵ 集合，， ∴是方程的解，即 ∴ ∴，故选C 2. 若，则的最小值为 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】分析： 利用对数运算法则，得，从而有，再利用基本不等式得，化简可得，从而得所求最小值． 详解： ∵，∴，∴， ∵，∴，，当且仅当时取等号． 故选C． 点睛： 在用基本不等式求最值时，要注意其三个条件缺一不可，一正，二定，三相等，在求最值时，如果几次用到不等式进行放缩，那么一定要探索每个不等号中等号成立的条件是否是同一个，否则最后的等号不能取到． 3. 若,且,则四边形是 A. 平行四边形 B. 菱形 C. 等腰梯形 D. 非等腰梯形 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意可知，且，而对角线，由此可知四边形为等腰梯形． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴四边形是等腰梯形， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平面向量共线定理的应用，属于基础题． 4. 设函数在区间上单调递减，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 5. 生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D 6. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则（ ） A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D. 讲座后问卷答题正确率的极差大于讲座前正确率的极差 【答案】B 【解析】 【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解. 【详解】讲座前中位数为,所以错； 讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,所以B对； 讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错； 讲座后问卷答题的正确率的极差为， 讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错. 故选:B. 7. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A选项，该组数据的平均数为， 方差为； 对于B选项，该组数据的平均数为， 方差为； 对于C选项，该组数据的平均数为， 方差为； 对于D选项，该组数据平均数为， 方差为. 因此，B选项这一组的标准差最大. 故选：B. 【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 8. 已知函数的定义域为R，且，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于任意一个四边形，下列式子能化简为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量加法的运算法则即可得到答案. 【详解】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D，. 故选：ABD. 10. 下列函数中是偶函数，且满足“对任意，当时，都有”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用函数单调性定义确定单调性，再结合偶函数逐项判断即可. 【详解】函数满足“对任意，当时，都有”， 则函数在上单调递增， 对于A，的定义域为，，它是奇函数，A不是； 对于B，的定义域为，，它是偶函数； 当时，是增函数，B是； 对于C，函数在上单调递减，C不是； 对于D，的定义域为R，，它是偶函数；当时，是增函数，D是. 故选：BC 11. (多选)已知向量是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使共线的是（ ） A. 且 B. 存在相异实数λ，μ，使 C. x＋y＝(其中实数x，y满足x＋y＝0) D. 已知梯形ABCD，其中＝，＝ 【答案】AB 【解析】 【分析】由向量共线定理即可判断AB符合条件，C中存在x＝y＝0的情况，D中可能不是梯形上下底. 【详解】对于A，因为向量是两个非零向量， 且，解得：，， 此时，所以共线，故A正确； 对于B，由共线定理知，存在相异实数λ，μ，即λ，μ不全为0， 使λ－μ＝，则非零向量是共线向量，故B正确； 对于C，x＋y＝ (其中实数x，y满足x＋y＝0)， 如果x＝y＝0，则不能保证共线，故C不正确； 对于D，已知梯形ABCD中，＝，＝，不一定是梯形的上、下底，故D错误． 故选：AB 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法即可得到函数解析式. 【详解】令，因为，则， ，，， 则. 故答案为：. 13. 在甲盒内的200个螺栓中有160个是型，在乙盒内的240个螺母中有180个是型．若从甲，乙两盒内各取一个，则型螺栓与型螺母能配成套的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】从甲盒内取一个型螺栓记为事件，从乙盒内取一个型螺母记为事件，根据事件和事件相互独立即可得出，从而求出答案. 【详解】从甲盒内取一个型螺栓记为事件，从乙盒内取一个型螺母记为事件， 则事件，相互独立，且， 所以型螺栓与型螺母能配成套的概率． 故答案为：. 14. 已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 则取值的范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. （1）求的最大值； （2）求＋的最小值． 【答案】（1）1；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式求得，结合对数运算求得的最大值. （2）利用“”的代换的方法，结合基本不等式求得＋的最小值. 【详解】(1)∵x>0，y>0， ∴由基本不等式，得. ∵2x＋5y＝20，∴，xy≤10， 当且仅当2x＝5y时，等号成立． 因此有解得此时xy有最大值10. ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. ∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1. (2)∵x>0，y>0， ∴ ， 由解得 当且仅当x＝，y＝时，等号成立． ∴的最小值为. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 16. 在△中，延长到，使，在上取点，使与交于，设，用表示向量及向量. 【答案】； 【解析】 【分析】用平面基底向量表示向量，结合平面向量的线性运算求解. 【详解】∵A是的中点，则， 故， ， 故. 17. 计算下列各题： （1）； （2）. 【答案】（1）1 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算法则计算即可； （2）根据对数的性质及对数的运算法则可得； 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式 . 18. 若函数的定义域为当时，求的最值及相应的x的值． 【答案】当时，取到最大值为，无最小值． 【解析】 【分析】先求出定义域M，然后通过变形以及换元法转化为，求出t=的值域，再结合二次函数的性质求函数最值，以及最值所对应的x的值. 详解】已知，，解得或，，或， ．令，则 或，或． ∵ 由二次函数性质可知： 当时， 当时，单调递减，取值范围为 ，无法取最值， 故当，即时，． 综上可知：当时，取到最大值为，无最小值． 【点睛】本题考查了对数函数的定义域，考查了指数函数在区间内的值域，考查了二次函数在区间上的最值，体现了转化思想在解题中的运用，是一道综合题． 19. 为提倡节能减排，同时减轻居民负担，广州市积极推进“一户一表”工程非一户一表用户电费采用“合表电价”收费标准：元度“一户一表”用户电费采用阶梯电价收取，其11月到次年4月起执行非夏季标准如下： 第一档 第二档 第三档 每户每月用电量单位：度 电价单位：元度 例如：某用户11月用电410度，采用合表电价收费标准，应交电费元，若采用阶梯电价收费标准，应交电费元． 为调查阶梯电价是否能取到“减轻居民负担”的效果，随机调查了该市100户的11月用电量，工作人员已经将90户的月用电量填在下面的频率分布表中，最后10户的月用电量单位：度为：88、268、370、140、440、420、520、320、230、380． （1）在答题卡中完成频率分布表，并绘制频率分布直方图； 根据已有信息，试估计全市住户11月的平均用电量同一组数据用该区间的中点值作代表； 设某用户11月用电量为x度，按照合表电价收费标准应交元，按照阶梯电价收费标准应交元，请用x表示和，并求当时，x的最大值，同时根据频率分布直方图估计“阶梯电价”能否给不低于的用户带来实惠？ 【答案】（1）见解析（2）324度 （3）的最大值为423，估计“阶梯电价”能给不低于的用户带来实惠． 【解析】 【分析】（1）根据题意写出频率分布表，画出频率分布直方图即可； （2）根据数据，同一组数据用该区间的中间值代表，计算11月的平均用电量即可； (3)可得，，由题列不等式，计算可得x的取值范围及x的最大值，同时可得时的频率，比较可得答案. 【详解】解：频率分布表如下： 组别 月用电量 频数 频率 4 12 24 30 26 4 合计 100 1 频率分布直方图如下： 该100户用户11月的平均用电量： 度 所以估计全市住户11月的平均用电量为324度． ， ， 由，得或或， 解得， ，的最大值为423． 根据频率分布直方图，时的频率为： ， 故估计“阶梯电价”能给不低于的用户带来实惠． 【点睛】本题主要考查频率分布表、频率分布直方图的相关知识及不等式的相关计算，综合性大，注意运算的准确性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$