精品解析：河北省衡水市河北郑口中学2024-2025学年高二下学期2月质检考试数学试题

郑口中学高二年级质检考试 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程可得，结合同角三角关系运算求解. 【详解】由题意可知：直线的斜率， 则，可得，且， 又因为，可得， 由可知，所以. 故选：C. 2. 已知直线，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用两条直线平行的条件得到得到或再判断即可得到结果 【详解】由直线，，当两条直线平行时，解得或， 当时，， 当时， 所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 3. 若两个非零向量的夹角为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，再根据向量的数量积运算律和夹角公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选:A. 4. 已知双曲线的顶点为椭圆的焦点，的离心率与的离心率之积为1，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出椭圆的焦点坐标和离心率，结合题意求出双曲线的a、b，即可求解. 【详解】由题意知，对于椭圆， 焦点为和，离心率为. 设双曲线的标准方程为， 又双曲线的离心率与椭圆的离心率之积为1， 所以双曲线的离心率为，即， 又，所以，， 所以双曲线的标准方程为. 故选：B 5. 已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的焦半径公式可得，即可求得，从而求解. 【详解】由题意，得，即， 所以抛物线方程为. 故选：D. 6. 已知某数列的通项，则（ ） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 【答案】D 【解析】 【分析】令函数，，所以，由倒序相加法求和即可. 【详解】令函数， 则， 所以． 所以，令，则， 则有，所以． 故选：D． 7. 如图，已知正方体的棱长为1，点为上一动点，现有以下四个结论，其中不正确的结论是 A. 平面 B 平面 C. 当为的中点时，的周长取得最小值 D. 三棱锥的体积不是定值 【答案】D 【解析】 【分析】逐项分析各选项即可. 【详解】平面是始终成立的，故选项A正确；选项B显然正确；平面展开到平面在同一个平面，则当为的中点时，最小，故选项C正确；，故选项D不正确. 【点睛】本题主要考查了线面平行，线面垂直，三棱锥的体积，属于中档题. 8. 已知点分别为椭圆的左､右焦点，，若经过的弦AB满足，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可得，由，根据余弦定理可得，再由离心率公式求解即可. 【详解】由题可知， 所以，解得， 因为，即， 整理得，所以. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆O： ()与圆M：，则下列说法正确的有（        ） A 若，则两圆外切 B. 若，直线为两圆的公切线 C. 若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D. 若，则两圆外离 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两圆外切的条件可判断A，根据切线定义判断B，根据两圆的公共弦的求法判断C，根据两圆外离条件判断D. 【详解】若r＝1，两圆心间距离为，即两圆心间距离等于两圆半径之和，故A对； 若r＝1，则两圆心到距离分别为，，即两圆心到距离分别为圆的半径，故B对； 若，则，，两式相减得两圆的公共弦所在直线方程为，故C错； 两圆心间距离为，因为两圆外离，所以，即，故D对 故选：ABD 10. 设函数，则（ ） A. 当时，的图象关于点对称 B. 当时，方程有个实根 C. 当时，是的极大值点 D. 存在实数，恒成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数对称性定义可判断A选项；利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断B选项；当时，利用导数分析函数的单调性，可判断CD选项. 【详解】对于A选项，当时，， 因为，所以，， 所以的图象关于点对称，故A正确； 对于B选项，当时，，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 所以，，又因为，如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象由三个交点， 即时，方程有个实根，故B正确； 对于C选项，， 当时，，此时函数在上单调递增，故C错误； 对于D选项，当时，函数在上单调递增，此时恒成立，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若的纵坐标为2，则 B. 若，则直线恒过定点 C. 若直线过点，则的最小值为4 D. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用焦半径公式判断A；利用向量数量积公式，结合韦达定理求出直线方程即可判断B；利用过焦点的弦长公式求出弦长，结合不等式的性质求解最小值即可判断C；求出四条边的长即可判断D. 【详解】由得，，准线方程. A.由A的纵坐标为2得，故，选项A正确. B.如图，设直线方程为：， 由得，， 则， ，解得， 直线方程为：，恒过定点，选项B错误. C.如图，设直线方程为：， 由得，， ，当时，，选项C正确. D.如图，设点在第四象限.由题意得，，则. 由准线方程为得，，故， 则 四边形的周长为，选项D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，，E为PC的中点，则直线PC与平面BDE所成角的正弦值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量公式即可求解. 【详解】由题意知，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，,,,,,,, 设平面的法向量为， ，即，取 设直线PC与平面BDE所成角为 . 故答案为：. 13. 若直线（为常数）与曲线，曲线均相切，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出切点，求导，根据点斜式求解切线方程，根据两直线相等，列方程可得，进而代入在直线上，求解. 【详解】因为，所以， 设直线与的切点为，则切线方程为，即， 又因为，所以解得，所以切线方程为， 因为，所以， 设直线与的切点为，所以①， 又因为切点在直线上，所以②， 由①和②可得，所以，解得. 故答案为： 14. 在数列中，.设数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用递推关系式证得是等差数列，从而求得，再利用裂项相消法求得，根据恒成立求得的范围. 【详解】由，得，即. 因为，所以，则， 则. 要使恒成立，则，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C与x轴相切于B点，与y轴相切于A点，圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）P是圆C上一动点，M为AP的中点，若的面积为2，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由题意确定圆心的位置，联立方程求得圆心，可得答案； （2）根据三角形的面积与面积公式，可得动点所在直线的位置，由题意，利用圆的方程与中点坐标，可得其轨迹方程，联立方程，可得答案. 【小问1详解】 由题意知所求圆的圆心是直线和直线的交点，则， 解得，即圆C的圆心坐标，易知圆C的半径为2， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 因为的面积为2，而，所以M到直线的距离为， 又直线的方程为， 设与直线平行且距离为的直线的方程为， 令，得或. 设，，由题意知P是圆C上一动点， 则，，即，， 所以，解得点M的轨迹方程为， 由方程，可得圆心，半径， 当时，圆心到直线的距离； 当时，圆心到直线的距离. 所以直线l与点M的轨迹有交点，则， 联立方程组，解得或， 由与，则直线方程为； 由与，则直线方程为，整理可得. 所以直线AP的方程为或. 16. 已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式. （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由可得，再由时，与条件作差可得，从而利用等差数列求通项公式即可； （2）由利用裂项相消求和即可. 【详解】（1）∵， ∴，解得， 当时，由①可得， ②， ①－②：， ∵，∴，∴， 即∴， ∴是以为首项，以为公差的等差数列， ∴ 综上所述，结论是：. （2）由（1）可得 ∴ ， 综上所述，. 17. 如图所示，直三棱柱的体积为2，的面积为. （1）求 到平面的距离； （2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合，列出方程，即可求得点到平面的距离； （2）连接，根据题意证得平面，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设点到平面的距离为，且直三棱柱的体积为， 因为，则，解得， 所以点到平面的距离为. 【小问2详解】 解：连接，在直三棱柱中，因为， 可得四边形为正方形，所以， 又相交，平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为且平面，平面， 所以平面， 以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， 所以，解得， 所以， 则， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 又由图形可知，二面角的平面角为钝角，可得， 则，所以二面角的正切值为. 18. 设函数. （1）讨论的单调性； （2）若函数存在两个零点，证明：. 【答案】（1）当时，在区间上单调递减； 当时区间上单调递减，在区间上单调递增 （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论a的取值范围，根据导数的正负，即可得答案; （2）利用函数零点可得，，整理变形可得，换元令，得，结合，需证明，由此构造函数，利用导数即可证明结论. 【小问1详解】 由于，则定义域为 ， 可得：， 当时，∵，∴，故在区间上单调递减； 当时，∵，∴由可得，由得， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 证明：∵，，，不妨设， 则有，， 两式相加得，相减得， 消去得：， 令，则， 要证，即证，也就是要证，即证， 令， ∵ ∴在上为增函数，，即成立，故. 【点睛】关键点点睛：利用导数证明关于函数零点的不等式问题，关键在于正确地变式消去参数，进而构造函数，本题中利用，，将两式相加减，进而消去a，可得，换元令，得，进而根据，需证，从而构造函数，解决问题. 19. 已知抛物线：上任意一点到焦点的距离比到轴的距离大1． （1）求抛物线的方程； （2）直线，满足，，交于，两点，交于，两点．求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2）32 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义可得准线到轴的距离为，从而求出； （2）依题意直线，的斜率均存在，且不为0，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可表示出，同理可得，再由及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 抛物线：的焦点为，准线为， 由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离， 再由到焦点的距离比到轴的距离大1，可得准线到轴的距离为， 即，可得， 抛物线的方程为：． 【小问2详解】 由（1）可得焦点， 由题意直线，的斜率均存在，且不为0， 设直线方程为，，， 联立整理得， 可得，， 由抛物线的性质可得， 同理可得， ， 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 郑口中学高二年级质检考试 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若两个非零向量的夹角为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的顶点为椭圆的焦点，的离心率与的离心率之积为1，则的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某数列的通项，则（ ） A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 7. 如图，已知正方体的棱长为1，点为上一动点，现有以下四个结论，其中不正确的结论是 A. 平面 B. 平面 C. 当为的中点时，的周长取得最小值 D. 三棱锥的体积不是定值 8. 已知点分别为椭圆的左､右焦点，，若经过的弦AB满足，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆O： ()与圆M：，则下列说法正确的有（        ） A. 若，则两圆外切 B. 若，直线为两圆的公切线 C. 若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D. 若，则两圆外离 10. 设函数，则（ ） A. 当时，的图象关于点对称 B. 当时，方程有个实根 C. 当时，是极大值点 D. 存在实数，恒成立 11. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 若的纵坐标为2，则 B. 若，则直线恒过定点 C. 若直线过点，则最小值为4 D. 若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，，E为PC的中点，则直线PC与平面BDE所成角的正弦值为___________． 13. 若直线（为常数）与曲线，曲线均相切，则__________. 14. 在数列中，.设数列的前项和为，若恒成立，则的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C与x轴相切于B点，与y轴相切于A点，圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）P是圆C上一动点，M为AP的中点，若的面积为2，求直线的方程. 16. 已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式. （2）设，求数列的前项和. 17. 如图所示，直三棱柱的体积为2，的面积为. （1）求 到平面的距离； （2）设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值. 18 设函数. （1）讨论单调性； （2）若函数存在两个零点，证明：. 19. 已知抛物线：上任意一点到焦点的距离比到轴的距离大1． （1）求抛物线方程； （2）直线，满足，，交于，两点，交于，两点．求四边形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$