精品解析：湖南省岳阳县第一中学2024-2025学年高三下学期入学考试数学试题

岳阳县一中2022级高三年级第二学期入学考试 数学 考试时量：120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ） A. B. C. D. 3. 在以下4幅散点图中，对于图中的y和x之间的关系判断不正确的是（ ） A. 图（2）（3）（4）中的y和x之间存在相关关系 B. 图（2）（4）中的y和x之间呈现正相关关系 C. 图（2）（3）中的y和x之间呈现线性相关关系且（2）的相关性一定比（3）强 D. 图（4）中的y和x之间呈现非线性相关关系 4. 在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为起始光功率（单位：W），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：km）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由km变到km时，光功率由变到，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的关系为（ ） A. B. C. D. 8. 在直四棱柱中，底面为菱形且，，，．平面过点、且与平行，点在平面上且满足，则点的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线一部分 D. 抛物线一部分 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆台的上，下底面半径分别为1，3，母线长为4，则下列正确的有（ ） A. 圆台的侧面积为 B. 圆台的体积为 C. 母线与底面所成角为 D. 存在相互垂直的母线 10. 已知某人掷骰子5次，并记录每次骰子出现的点数，统计数据为：，若成等差数列，则由下列说法可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 该组数据的中位数为4，众数是4 B. 该组数据的平均数为3，分位数是5 C. 该组数据的平均数为3，方差小于3 D. 该组数据极差为5，方差大于3 11. 已知，函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若为奇数，则是的极小值点 B. 若为奇数，则是的极大值点 C. 若为偶数，则是的极小值点 D. 若为偶数，则是的极大值点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_______． 13. 在中，为上一点，，则的面积为_________． 14. 已知函数，若，则最大值为______ 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，平面，、分别为、中点，. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的大小. 16. 已知函数，从条件①、条件②、条件③中选择两个作一组已知条件，使得函数存在且唯一，并完成下列两问. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的最大值. 条件①：； 条件②：函数图象的两条相邻对称轴间的距离为； 条件③：函数的一个零点为. 注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立. （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为95%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 18. 已知抛物线焦点在直线上，是上的三个点. （1）求方程； （2）已知，且直线经过点，，求直线的方程； （3）已知在轴的两侧，过点分别作抛物线的切线，且与交于点，直线与和分别交于点，求面积的最小值. 19. 记数列的前项的最小值为，称数列为的“数列”. （1）若，求由数列的“数列”的所有项组成的集合； （2）若数列都只有4项，是的“数列”，满足，且存在，使得，求符合条件的数列的个数； （3）若的“数列”为，记，从， 中任取3个，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 岳阳县一中2022级高三年级第二学期入学考试 数学 考试时量：120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求两个集合，再求交集. 【详解】，， ． 故选：C 2. 下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各项双曲线方程确定焦点位置并写出渐近线方程，即可得答案. 【详解】由、的焦点在轴上，A、B错； 由的焦点在轴上且渐近线方程为，C对； 由的焦点在轴上且渐近线方程为，D错. 故选：C 3. 在以下4幅散点图中，对于图中的y和x之间的关系判断不正确的是（ ） A. 图（2）（3）（4）中的y和x之间存在相关关系 B. 图（2）（4）中的y和x之间呈现正相关关系 C. 图（2）（3）中的y和x之间呈现线性相关关系且（2）的相关性一定比（3）强 D. 图（4）中的y和x之间呈现非线性相关关系 【答案】C 【解析】 【分析】根据散点图中点集的分布变化趋势判断正负相关性、是否为线性关系，但从点的分布密度无法判断（2）（3）的相关性强弱，即可得答案. 【详解】由题图，（1）中点没有明显的变化趋势， （2）中点有从左下向右上的线性变化趋势，y和x之间呈现正相关且为线性关系， （3）中点有从左上向右下的线性变化趋势，y和x之间呈现负相关且为线性关系， （4）中点有从左下向右上的非线性变化趋势，y和x之间呈现正相关且为非线性关系， 但（2）（3）相关性强弱不能从图中点的分布密度直接分析得出，故（2）的相关性不一定比（3）强， 综上，A、B、D对，C错. 故选：C 4. 在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为起始光功率（单位：W），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：km）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由km变到km时，光功率由变到，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的函数模型，代入列式，利用指数运算化简得答案. 【详解】依题意，，则， 由、，得， 所以. 故选：A 5. 已知实数，函数的图象经过点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件可知，将代入，化为二次函数利用配方法求最小值即可. 【详解】因为函数的图象经过点，所以，则, 所以， 所以当时，的最小值为. 故选：D 6. 的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式的通项分三种情况逐个求解，然后将系数加起来即可. 【详解】由题知，的展开式的通项为， 又的展开式的通项为，， 所以的展开式的通项为， 令，则， 所以含的项的系数为， 令，则， 所以含的项的系数为， 令，则， 所以含的项的系数为， 综上，的展开式中所有二次项的系数和为. 故选：A. 7. 已知，则的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，结合两角和的正弦公式可得结果. 【详解】∵， ， ， ∴， ∴，即， ∴ 故选：C. 8. 在直四棱柱中，底面为菱形且，，，．平面过点、且与平行，点在平面上且满足，则点的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线一部分 D. 抛物线一部分 【答案】B 【解析】 【分析】根据得点在为旋转轴，为半径的圆锥的侧面上，再由平面过点、且与平行，点在平面上得点的轨迹为平面与圆锥的侧面的交线上可得答案. 【详解】在直四棱柱中，因为底面为菱形，， 且，所以， 由余弦定理得， 所以，又因为，所以， 因为，又因为， 点在为旋转轴，为半径的圆锥的侧面上， 因为平面过点、且与平行，点在平面上， 所以点的轨迹为平面与圆锥的侧面的交线上， 由于，所以平面不与圆锥垂直， 所以点的轨迹为椭圆. 故选：B． 【点睛】关键点点睛：解题关键点是根据得点在为旋转轴，为半径的圆锥的侧面上. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆台的上，下底面半径分别为1，3，母线长为4，则下列正确的有（ ） A. 圆台的侧面积为 B. 圆台的体积为 C. 母线与底面所成角为 D. 存在相互垂直的母线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用圆台的侧面积公式即可得到选项A正确；利用圆台的体积公式得到选项B错误；用轴截面的即可得到选项C正确和选项D错误. 【详解】设上下半径和母线长分别为：， 对于选项A：利用圆台的侧面积公式，故选项A正确； 对于选项B：圆台的高， 再由圆台的体积公式，故B错误. 对于选项C：设母线与底面所成角为，则，所以， 故C正确. 对于选项D：由选项C可知，母线与底面所成角为，因为圆台是绕着轴截面等腰梯形的对称轴旋转得到的，所以任意两条母线与底面所成角都相等，若两条母线垂直，则母线与底面所成角为，与前面所求的矛盾，所以不存在互相垂直的母线， 故D错误 故选：AC 10. 已知某人掷骰子5次，并记录每次骰子出现的点数，统计数据为：，若成等差数列，则由下列说法可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 该组数据的中位数为4，众数是4 B. 该组数据的平均数为3，分位数是5 C. 该组数据的平均数为3，方差小于3 D. 该组数据的极差为5，方差大于3 【答案】AC 【解析】 【分析】根据选项条件和成等差数列，判断的数值，进而可得. 【详解】选项A：因数据的众数是4，故至少有两个4，又成等差数列， 故，满足中位数为4，数据中没有点数6，故A正确； 选项B： 因成等差数列，不妨设， 因数据的平均数为3，故，得，故， 因，故，故将5个数从小到大排列为， ，故分位数是第4个数和第5个数的平均数，故， 故，故数据中有点数6，故B正确； 选项C：当数据的平均数为3，由B可知，， 数据的方差为， 由题意可知可能取值为， 当时，方差为；当时，方差为；当时，方差为； 故当方差小于3时，数据中没有点数6，故C正确； 选项D：因数据的极差为5，数据最小值为，故数据中有点数6，D错误， 故选：AC 11. 已知，函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若为奇数，则是的极小值点 B. 若为奇数，则是的极大值点 C. 若为偶数，则是的极小值点 D. 若为偶数，则是的极大值点 【答案】BC 【解析】 【分析】先求导函数再分奇数偶数判断导函数正负得出函数的单调性进而得出极值点即可. 【详解】由题可得. 当为奇数时，，令， 且当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以是的极大值点，B正确； 当为偶数时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以是的极小值点，C正确. 故选：BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】为使函数在R上单调递增，则函数分别在，上递增，且满足在函数值的大小比较即可求解； 【详解】由函数在上单调递增， 可得：，解得：， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 13. 在中，为上一点，，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等面积法可得，结合余弦定理解三角形求得，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】在中，为上一点，， 则 记的内角的对边分别为，， 因为，所以. 由余弦定理可知， 可得， 因为，所以，所以， 则的面积为. 故答案为：. 14. 已知函数，若，则最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意函数，根据得，即，令，通过导数求的最大值即可. 【详解】由题意，， 注意到，， 当时，令，解得或， 令，解得，不满足,， 当时，令，解得或， 令，解得，不满足，， 当时，函数成立，符合条件， 所以，即. 令，则， 令，则， 令，则， 所以在单调递增，在单调递减， 所以 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了导数判断函数的单调性并求最值，本题解题的关键是由得，然后结合导数求解待求表达式最大值即可. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 如图，在三棱柱中，平面，、分别为、的中点，. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的大小. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，则且， 因为且，为的中点，则且， 所以，且，则四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，所以，平面. 【小问2详解】 因为平面，平面，则， 因为，，、平面， 所以，平面， 因为平面，所以，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 则，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 所以，， 由图可知，二面角的平面角为锐角， 故二面角的大小为. 16. 已知函数，从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件，使得函数存在且唯一，并完成下列两问. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递减，求实数最大值. 条件①：； 条件②：函数图象的两条相邻对称轴间的距离为； 条件③：函数的一个零点为. 注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由分析求解可知，要使得函数存在且唯一，需选择条件①②,或选择条件②③, 选择其中一组解答即可，由正弦函数的图象和性质求出，可得函数的解析式； （2）求出函数的单调递减区间，由是其子集，即可求得实数的最大值. 【小问1详解】 若选择条件①③, 由,得，即，，则， 又函数的一个零点为，则， 则不能确定，所以函数不唯一，所以不能选择条件①③. 选择条件①②, 由,得，即，，则， 因为函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，所以函数的最小正周期， 因为，则， 所以. 选择条件②③, 因为函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，所以函数的最小正周期， 因为，则， 因为函数的一个零点为，即， 所以，则， 又，则， 所以. 【小问2详解】 因为函数的单调递减区间为， 所以， 则， 所以是的一个单调递减区间， 若函数在区间上单调递减， 则， 所以实数的最大值为. 17. 某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立. （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为95%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）不可信. 【解析】 【分析】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品，然后求出，，由条件概率求得； （2）（i）由二项分布期望和方差公式求得，，由二项分布随机变量的概率的性质得到，然后由切比雪夫不等式得到结果； （ii）假设厂家关于产品合格率的说法成立，随机抽取100件产品中合格品的件数为，则，再由期望和方差公式求得，，由由切比雪夫不等式求出，然后由小概率原理做出判断. 【小问1详解】 记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品， ， ， . 小问2详解】 （i）由题：若，则， 又， 所以. 由切比雪夫不等式可知， 所以 （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为95%的说法成立，则，所以， 由切比雪夫不等式知， 即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信. 18. 已知抛物线的焦点在直线上，是上的三个点. （1）求的方程； （2）已知，且直线经过点，，求直线的方程； （3）已知在轴的两侧，过点分别作抛物线的切线，且与交于点，直线与和分别交于点，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据焦点在直线上求解即可； （2）求出点的坐标，设，直线的方程为，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理结合求解即可； （3）设出直线的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和判别式得到，利用导数分别求出点和点处的切线方程，求出点，，的坐标，得到面积的表达式，令，则，利用导数判断函数的单调性，进而求出最小值. 【小问1详解】 由题可知，所以，解得， 所以的方程为； 【小问2详解】 设，由题可知， 依题意知直线的斜率必存在，设直线的方程为. 由整理得， 则，， ，， 因为，所以， 所以，， 解得，所以直线的方程为； 【小问3详解】 设， 因为在轴的两侧，所以直线的斜率一定存在， 不妨设，直线的方程为， 由整理得， 则，， 由得. 设切线的斜率分别为， 又，所以，则，， 所以的方程为，即， 同理可得的方程为. 由解得即. 令，可得，， . 点到直线的距离为， 故的面积为，（当时，等号成立） 令，记，则， 令，则，所以在上单调递增； 令，则，在上单调递减， 所以， 故面积的最小值为. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键点之一在于利用导数求出抛物线在点，处的切线，进而得到面积的表达式，关键点之二在于利用得到，再利用换元法转化为求函数的最小值，利用导数求解即可. 19. 记数列的前项的最小值为，称数列为的“数列”. （1）若，求由数列的“数列”的所有项组成的集合； （2）若数列都只有4项，是的“数列”，满足，且存在，使得，求符合条件的数列的个数； （3）若的“数列”为，记，从， 中任取3个，记其中能被2整除且不能被4整除的个数为，求. 【答案】（1）； （2）20个. （3） 【解析】 【分析】（1）判断出数列的单调性，结合新定义可得答案； （2）分、且、且讨论可得答案； （3）求出、，及、、，，可得中能被2整除，但不能被4整除的有个，再求，可得. 【小问1详解】 因为， 所以， 当时，，当时，， 所以， 所以，当时，， 所以数列的“数列”所有项组成的集合为； 【小问2详解】 ①若，则有1个， ②若且，则有种可能，有3个， ③若且，则两者相同有种， 两者不同，则共有种，所以共有种可能，有6个. ④若均不为1，则三者全相同， 共有种，三者有2个相同，因为顺序确定， 共有种，三者全不相同，因为顺序确定， 有种，共有种可能，有10个， 综上，符合条件的共有，综上得符合条件的有20个； 【小问3详解】 由题意得， 所以， 所以，， 所以，能被4整除， ，为奇数，不能被2整除， ， 能被2整除，不能被4整除， ，不能被2整除， 所以中能被2整除，但不能被4整除的有个， ， . 【点睛】方法点睛：数列新定义问题，应该根据定义得到新数列的形成过程，将该过程与数列常见性质（如单调性等）结合在一起，另外数列的最值或诸项之间的大小关系往往和数列的单调性相关. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$