精品解析：江西省宜春市丰城市第九中学2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题（A卷）

丰城九中八年级数学期末考试A卷 总分：120分 考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下图表示y是x函数的图象是（ ） A B. C. D. 2. 如果线段能构成直角三角形，则它的比可能是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 4. 对于二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 开口向上 B. 函数图象与x轴没有公共点 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 函数有最小值 5. 如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 8 C. 12 D. 2 6. 我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程：解法的构图是( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 代数式有意义，则x的取值范围为________． 8. 某居民小区开展节约用电活动，对该小区100户家庭的节电量情况进行了统计，4月份与3月份相比，节电情况如下表： 节电量（千瓦时） 20 30 40 50 户 数 10 40 30 20 则4月份这100户节电量的中位数___________． 9. 点是二次函数图象上两个点，则___________（填“”，“”或“”） 10. 关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 11. 在平面直角坐标系中，一次函数（、均为常数，）的图象与正比例函数（为常数，）的图象如图所示，则关于的方程的解为______． 12. 已知正方形的边长为，点在边上，且，动点从点出发，沿正方形的边顺时针运动一周，当是等腰三角形时，线段的长为______． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）已知二次函数的图象经过点．求这个二次函数的表达式． 14. 小明同学参加学生会主席竞选，成绩由笔试、演讲、现场答辩三项按的比例计算．若小明的笔试、演讲和现场答辩的成绩分别是88分、90分、95分，问他的综合成绩是多少？ 15. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为．请观察表格完成下面题目． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 4 11 … （1）抛物线对称轴是直线______； （2）若，则y取值范围是______； （3）若，则x的取值范围是______． 16. 如图，是的中线，E是线段的中点，过点A作交BE的延长线于点F，连接CF． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度为的倍的线段． 17. 线段的端点，在的正方形网格的格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺在网格中按要求作图． （1）在图①中找出格点，并连接，，使； （2）在图②中作出的高，并直接写出的长为________． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 （1）求m取值范围． （2）若，求m的值． 19. 如图，在四边形中，ABDC，，对角线、交于点0，平分，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形 （2）若，，求四边形的面积． 20. 为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”的主题活动，学校随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”问卷调查（问卷中的问题均为单项选择），并分别绘制扇形统计图和条形统计图（条形图每组不包括左端但包括右端数据），在这次调查的学生中，手机使用目的为“玩游戏”的人数是35人． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次活动中被调查的学生共________人；所抽取的学生使用手机时间的数据的中位数落在__________范围内（填写时间段即可）； （2）请通过计算，补全条形统计图； （3）该校有学生4800人，请估算每周使用手机时间超过2小时的人数． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） （1）若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； （2）若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 22. 《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究.研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 （1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； （2）观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的_______函数，请结合表格数据，求出该函数解析式； （3）应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是什么时候？ 六、（本大题共12分） 23. 根据项目素材，探索解决问题． 项目主题 如何剪出直角三角形的完美线？ 项目背景 新课标（2022版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”在学习完特殊的平行四边形后，某校组织了该次项目式学习． 项目素材 在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于此直角三角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”． 问题解决 项目一操作 如图，有一张直角三角形纸片，，图1中的是完美线，请在图2中画出与图1不相同的“完美线”剪法，并标出两个锐角的度数． 项目二操作 如图，在直角三角形纸片中，，过点剪一刀，剪痕与交于点．你发现满足什么条件时，是直角三角形的“完美线”，请说明理由． 项目三操作 在中，，的“完美线”与交于点，将沿“完美线”翻折得到，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰城九中八年级数学期末考试A卷 总分：120分 考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下图表示y是x函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数，熟记函数的定义（一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量，，如果对于任意一个都有唯一确定的一个和它对应，那么就称是自变量，是的函数）是解题关键． 【详解】解：A、不是的函数的图象，此项不符题意； B、是的函数的图象，此项符合题意； C、不是的函数的图象，此项不符题意； D、不是的函数的图象，此项不符题意； 故选：B． 2. 如果线段能构成直角三角形，则它的比可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，得：要能够组成一个直角三角形，则三边应满足：两条较小边的平方和等于最大边的平方． 【详解】解：A、12＋22＝5≠42，故不直角三角形．故选项错误； B、52＋122＝169＝132，故是直角三角形，故选项正确； C、12＋32＝10≠52，故不是直角三角形．故选项错误； D、32＋42＝9＋16＝25≠72，故不是直角三角形．故选项错误． 故选：B． 【点睛】考查了勾股定理的逆定理，要求能够熟练运用勾股定理的逆定理来判定一个三角形是否为直角三角形． 3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据最简二次根式的被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因数或因式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选B． 4. 对于二次函数，下列结论错误的是（ ） A. 开口向上 B. 函数图象与x轴没有公共点 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 函数有最小值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．利用二次函数的图象和性质逐一判断后即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，故选项A正确； 对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，故选项C正确； 当时，函数有最小值0，故选项D正确； ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线与x轴有一个交点， 故选项B错误． 故选：B． 5. 如图，在正方形中，点在边上，连接，于点，于点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 8 C. 12 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由正方形的性质得，，由于点，于点，得，则，即可根据“”证明，得，，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 于点，于点，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故选：A． 6. 我国古代数学家赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程：解法的构图是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用、完全平方公式的几何背景等知识点，通过图形直观得到面积之间的关系并用代数式表示出来是解答本题的关键． 根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系即可解答． 【详解】解：方程，即的拼图如图所示： 中间小正方形的边长，其面积为4， 大正方形的面积：，其边长为6， 因此，B选项所表示的图形符合题意． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 代数式有意义，则x的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数非负是解题的关键．根据被开方数是非负数，可得答案． 【详解】解：依题意，， 解得． 故答案为：． 8. 某居民小区开展节约用电活动，对该小区100户家庭的节电量情况进行了统计，4月份与3月份相比，节电情况如下表： 节电量（千瓦时） 20 30 40 50 户 数 10 40 30 20 则4月份这100户节电量的中位数___________． 【答案】35 【解析】 【详解】中位数=（30+40）=35. 则4月份这100户节电量的中位数为35. 【点睛】主要考查了中位数的概念.要掌握这些基本概念才能熟练解题. 9. 点是二次函数图象上的两个点，则___________（填“”，“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识是解题的关键． 求出二次函数的图象的对称轴，根据二次函数的性质即可判断纵坐标的大小． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该抛物线开口向上，且对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称点为， ∵， ∴， 故答案为：． 10. 关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．根据一元二次方程的定义，列出有关m的方程和不等式，继而解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，一次函数（、均为常数，）的图象与正比例函数（为常数，）的图象如图所示，则关于的方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解．根据函数图象交点的横坐标是关于的方程的解，可得答案． 【详解】解：根据函数图象可得，两直线的交点坐标为， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 12. 已知正方形的边长为，点在边上，且，动点从点出发，沿正方形的边顺时针运动一周，当是等腰三角形时，线段的长为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，分当，当时，时三种情况分析即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 如图，当， 由勾股定理得：， ∴； 如图，当时， ∴； 如图，时， 综上可知：的长为或或． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）已知二次函数的图象经过点．求这个二次函数的表达式． 【答案】（1）0（2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减法和运用待定系数法求二次函数解析式． （1）将二次根式化简后合并即可； （2）运用待定系数法求二次函数解析式即可． 【详解】解：（1） ； （2）把代入得， ， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为． 14. 小明同学参加学生会主席竞选，成绩由笔试、演讲、现场答辩三项按的比例计算．若小明的笔试、演讲和现场答辩的成绩分别是88分、90分、95分，问他的综合成绩是多少？ 【答案】分． 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式解答即可． 本题考查了加权平均数，熟练掌握计算公式是解题关键． 【详解】解：小明的综合成绩（分）． 故他的综合成绩是为分． 15. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的解析式为．请观察表格完成下面题目． x … 0 1 2 3 4 5 … y … 4 11 … （1）抛物线的对称轴是直线______； （2）若，则y的取值范围是______； （3）若，则x的取值范围是______． 【答案】（1） （2）； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先用待定系数法求出函数解析式为，化为顶点式即可作答．． （2）因为，对称轴，且开口方向向上，所以当时，有最小值，且，则越远离对称轴的所对应的函数值越大，因为，则的取值范围是，即可作答． （3）依题意，令，结合开口方向向上以及对称轴，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，把分别代入， 则， ∴， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，对称轴，且开口方向向上， ∴当时，有最小值，且， 则越远离对称轴直线的所对应的函数值越大， ∵， ∴当时，有最大值，且， 当，则的取值范围是． 故答案：． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 即， 令， ∵， ∴开口方向向上，且对称轴， 当时，则， 解得或， ∵开口方向向上， ∴时， 则或． 故答案为：或． 16. 如图，是的中线，E是线段的中点，过点A作交BE的延长线于点F，连接CF． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中长度为的倍的线段． 【答案】（1）见详解 （2），， 【解析】 【分析】（1）先利用平行的性质得到，在利用证明，利用全等的性质得出，最后利用等量代换可得出． （2）先利用等腰直角三角形的性质得出，在利用等量代换得出，再证明四边形是矩形，再利用矩形的性质和勾股定理得出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵E是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，且， ∴四边形平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 同理：， 综上：，． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定以及性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定以及性质，勾股定理的应用，掌握这些判定以及性质是解题的关键． 17. 线段的端点，在的正方形网格的格点（网格线的交点）上，请仅用无刻度的直尺在网格中按要求作图． （1）在图①中找出格点，并连接，，使； （2）在图②中作出的高，并直接写出的长为________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】（1）如图①，由题意知，，，，则，格点，，即为所作； （2）如图②，作，的交点为，证明，则，可求，即为的高，由勾股定理得，，由题意知，，即，计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图①， 由题意知，，，， ∴， ∴格点，，即为所作； 【小问2详解】 解：如图②，作，的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的高， 由勾股定理得，， ∴，即， 解得，． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 （1）求m的取值范围． （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式． （1）根据一元二次方程有两个不相等实数根可得，可得关于m的不等式，求解即可； （2）利用根与系数的关系可得，，再整体代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程中，，，， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得； 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ， ∵， ∴， 解得：， ∵由（1）得， ∴舍去， ∴． 19. 如图，在四边形中，ABDC，，对角线、交于点0，平分，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形 （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)先证，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论； (2)由菱形的性质可得,,由直角三角形的性质和勾股定理可求的长，即可求解. 【小问1详解】 证明：, , 平分, , , , , , 四边形是平行四边形， , 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，, , ,, , ， , (负值舍去), , 菱形的面积. 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的面积公式是解决此题的关键． 20. 为了解学生手机使用情况，某学校开展了“手机伴我健康行”的主题活动，学校随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”问卷调查（问卷中的问题均为单项选择），并分别绘制扇形统计图和条形统计图（条形图每组不包括左端但包括右端数据），在这次调查的学生中，手机使用目的为“玩游戏”的人数是35人． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次活动中被调查的学生共________人；所抽取的学生使用手机时间的数据的中位数落在__________范围内（填写时间段即可）； （2）请通过计算，补全条形统计图； （3）该校有学生4800人，请估算每周使用手机时间超过2小时的人数． 【答案】（1）100；2~3 （2）见解析 （3）3120人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）通过扇形统计图求出“玩游戏”对应的百分比，用“玩游戏”的人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数，在根据中位数的定义即可求解； （2）求出每周使用手机的时间在3小时以上的学生人数，再补全条形统计图即可； （3）由每周使用手机时间在2小时以上的百分比乘以4800即可得到结果． 【小问1详解】 解：“玩游戏”对应的百分比为， 在这次调查中，一共抽取的学生人数为（名）． 所抽取的100名学生使用手机时间的中位数为第50，51名同学的平均数， 即：所抽取的学生使用手机时间的中位数落在2至3小时范围内， 故答案为：100，2至3； 【小问2详解】 每周使用手机的时间在3小时以上的人数为：人， 补全条形统计图，如图所示； 【小问3详解】 估计每周使用手机时间在2小时以上的人数约为：人， 答：每周使用手机时间超过2小时的人数约为3120人． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） （1）若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； （2）若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过7米； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【小问1详解】 解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）可得，车棚面积为： 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：， 自行车车棚的长为：； 【小问3详解】 解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 22. 《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究.研究小组每2h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为），得到如表： 供水时间x（h） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 （1）如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数，描出以表格中数据为坐标的各点，并连线； （2）观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的_______函数，请结合表格数据，求出该函数解析式； （3）应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当箭尺读数为时是什么时候？ 【答案】（1）见解析 （2）一次， （3）下午 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）根据画出的图象特征判断即可，运用待定系数法求出函数解析式； （3）将代入函数解析式，求出的值，并根据本次实验记录的开始时间计算当箭尺读数为时的时间即可． 【小问1详解】 解：描点并连线如图所示： 【小问2详解】 解：观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的一次函数． 故答案为：一次． 设与之间的函数解析式为、为常数，且． 将，和，分别代入， 得， 解得， 与之间的函数解析式为． 【小问3详解】 解：当时，得， 解得， 上午经过12.5小时是，即下午． 答：当箭尺读数为时是下午． 六、（本大题共12分） 23. 根据项目素材，探索解决问题． 项目主题 如何剪出直角三角形的完美线？ 项目背景 新课标（2022版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”在学习完特殊的平行四边形后，某校组织了该次项目式学习． 项目素材 在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于此直角三角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”． 问题解决 项目一操作 如图，有一张直角三角形纸片，，图1中的是完美线，请在图2中画出与图1不相同的“完美线”剪法，并标出两个锐角的度数． 项目二操作 如图，在直角三角形纸片中，，过点剪一刀，剪痕与交于点．你发现满足什么条件时，是直角三角形的“完美线”，请说明理由． 项目三操作 在中，，的“完美线”与交于点，将沿“完美线”翻折得到，求的长度． 【答案】（1）见解析（2）当为斜边上的高时，或为斜边上的中线时，为Rt△ABC的“完美线”（3）或1 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出图形，注意进行分类讨论． （1）根据完美线的定义作图即可； （2）根据完美线的定义，结合直角三角形的性质分两种情况，当为斜边上的高时，当为斜边上的中线时，分别画出图形，进行解答即可； （3）分两种情况，当为斜边上的高时，当为斜边上的中线时，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】解：（1）如图，过点C作， ∵， ∴，， ∴为“完美线”； 如图，作的垂直平分线，交于点E，连接， ∵为直角三角形，为斜边上的中线， ∴， ∴， ∴为的“完美线”； （2）当为斜边上的高时，如图所示： ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴为的“完美线”； 当为斜边上的中线时，如图所示： ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， ∴为的“完美线”； 综上分析可知，当为斜边上的高时，或为斜边上的中线时，为Rt△ABC的“完美线”； （3）∵在中，， ∴，， 当为斜边上的高时，如图所示： ∵， ∴ ∴， 根据折叠可知，，， ∴， ∴三点共线， ∴； 当为斜边上的中线时，如图所示： ∵为斜边上的中线， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 根据折叠可知，为等边三角形， ∴四边形是菱形， ∴， ∴ 综上分析可知，或1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $