精品解析：广东省深圳市南山区2024-2025学年上学期九年级期末数学试题

2024-2025学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学试题 试卷类型：A 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的姓名、班级、学校，并把条形码粘贴在指定位置． 2．请按照要求答题，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用涂改液．不按以上要求作答，视为无效． 3．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图所示是一个收藏于深圳市博物馆的钧瓷月白釉碗，它具有很高的历史价值和艺术价值．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图的定义求解即可． 【详解】这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选：B． 2. 如图，矩形对角线与相交于点O，，已知，则该矩形的面积是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，含的直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 根据矩形的性质可知，，，三角形为等边三角形，进而可求，含的直角三角形中，，再通过矩形面积公式计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为：， 故选：C． 3. 若是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 8 B. 6 C. −4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，． 首先根据一元二次方程的根与系数的关系得到，，然后把前面的值代入即可求出其值． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴，， ∴ 故选：A． 4. 电影《志愿军：雄兵出击》于2024年国庆档上映，该电影讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，一上映就获得全国人民的追捧．某地首周累计票房约1.56亿元，第三周累计票房约3.24亿元．若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程，设增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设增长率为x，则根据题意可列方程为， 故选：C． 5. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，则的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 连接，首先求出，，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∴，， ∵轴， ∴． 故选：A． 6. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的有关计算，根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可得到答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，相似比为．已知位似中心点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两个图形的位似知识，熟练掌握基础知识是解题关键； 先将图形往下平移2个单位，位似中心为O点，进而求出，再求出点即可． 【详解】解：先将图形往下平移2个单位，此时位似中心为O点， 同时， ∵相似比为 ∴此时与位似的点， ∴ 故选：B． 8. 如图，正方形的一条边与等腰的一条边在同一直线上，分别交于点G，．已知，，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过E作于M，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，，，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理得到 【详解】解：过E作于M， ， ， ， 四边形是正方形， ，， 在与中， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：A 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，求_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质,熟练掌握基本性质是解题关键； 设，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴． 故答案为： ． 10. 调查全班50个人生日相同的概率，记录其中有无2个人的生日相同，每选取50个被调查人的生日为一次试验，重复尽可能多次试验，并将数据记录表中： 试验总次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 “有2个人的生日相同”的次数 480 900 1320 1920 2350 2910 3400 “有2个人的生日相同”的频率 0.96 0.90 0.88 0.96 0.94 0.97 0.97 根据上表中的数据，估计“50个人中有2个人生日相同”的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 发现当实验总次数越多的时候，频率会逐渐稳定在，据此回答即可． 【详解】解：发现当实验总次数越多的时候，频率会逐渐稳定在， ∴估计“50个人中有2个人生日相同”的概率为， 故答案为： ． 11. 长尾夹是我们日常学习、办公经常用到的一种文具．某品牌的长尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，经测量知，，，则在图2闭合状态下点之间的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可得，且，则有，则有，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴，， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 12. 一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元/吨的价格售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元，那么储藏________个星期再出售这批农产品可获利122000元． 【答案】15 【解析】 【分析】等量关系式：总收入成本支付各种费用，据此列方程，即可求解． 【详解】解：设储藏个星期再出售这批农产品可获利122000元，由题意得 农产品的成本：(元/吨)， ， 整理得：， 解得：； 故答案为：15． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． 13. 如图，等边中，点D，E分别在边，上，且交于P，平分交于点，若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】过C点作交的延长线于，在上截取，连接，先证得，得到，再可证得，进而再证，得到，再通过，列出比例式，即可求出，进而可求解． 【详解】解：过C点作交的延长线于，在上截取，连接，如图： ∵为等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍）， ∴ 故答案为：3． 【点睛】本题考查了等边三角形性质，全等三角形证明及性质，相似三角形证明及性质，角平分线性质等知识点，综合程度比较大，能够正确做出辅助线是解题关键． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 小颖在解方程时出现了错误，解答过程如图所示： 解方程： 解：，…‥① ，．．．．．② ，…．．③ ，．．．．．．④ ，．．．．．．⑤ ．．．．．⑥ （1）小颖的解答过程从第__________________步开始出错，其错误的原因是_________________； （2）请你写出此题正确的解题过程． 【答案】（1）②，等式右边没有除以2 （2） 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，正确计算是解题关键； （1）发现第二步等式右边没有除以2； （2）直接利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：②，等式右边没有除以2； 【小问2详解】 解： ， ， ， ， 15. 为了解某区八年级学生体质测试情况，该区从全区八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试，把测试结果分为四个等级：级（优秀）、级（良好）、级（及格）、级（不及格），并将测试结果绘成了两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是_______________人； （2）图1中A级所在区域圆心角是_____________度，并把图2条形统计图补充完整； （3）该区八年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格人数为_______________人： （4）测试老师想从4位同学（分别记为E，F，G，H，其中为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率． 【答案】（1）60 （2）；条形图见解析 （3）525 （4） 【解析】 【分析】本题考查数据的分析和整理，用样本估计总体，扇形统计图与条形统计图信息相关联，列表法或树状图求概率；熟练掌握扇形统计图基础及其应用，由部分求整体，根据扇形圆心角，利用树状图求概率是解题的关键． （1）用级的人数除以所占的百分比求出总人数； （2）用乘以级别所占的百分比圆心角的度数，再用总人数减去级的人数，求出级的人数，从而补全统计图； （3）用八年级所有学生数乘以不及格人数所占的百分比求出不及格的人数； （4）根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：本次抽样检测的学生人数是：（人）， 故答案为：60． 【小问2详解】 解：根据题意得：图1中A级所在区域圆心角是， 故答案为：36． 级的人数是：（人）， 把图2条形统计图补充完整如图： 【小问3详解】 解：根据题意得：(人)， 答：不及格的人数为525人； 故答案为：525． 【小问4详解】 解：根据题意画树形图如下： 共有12种情况，选中小明的有6种， 则选中小明． 16. 小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．类比反比例函数的研究方法，过程如下： （1）列表：下表是与的几组对应值，其中______________； .... −6 −4 −3 −2 2 3 4 6 .... .... 2 3 6 6 4 3 2 .... 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，下图画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）下列关于函数的说法，正确的有_____________． ①函数图象分别位于一、三象限；②当时，随的增大而减小； ③函数图象关于轴对称；④函数值始终大于0； （3）已知直线与图象的交点坐标为_____________，则不等式的解集为_____________． 【答案】（1）4；图像见解析 （2）③④ （3），或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）直接将代入函数求解即可，再通过表格中的数，在第二象限描点然后作图即可； （2）根据函数图象直接进行判断即可； （3）画出一次函数图象，求出两个函数交点，再数形结合可得到答案． 【小问1详解】 解：时，， 故答案为：4； 补充图象如图： 【小问2详解】 解：发现函数图象位于第一、二象限，故①错误； 当时，随的增大而增大，故②错误； 函数图象关于轴对称，故③正确； 函数值始终大于0，故④正确； 故答案为：③④ 【小问3详解】 解：在方格纸中画出直线如图： 有图象可知：交点坐标为：， 不等式的解集为：或． 故答案为：，或． 17. 春节期间，九（1）班全体同学通过视频电话的方式互相拜年，如果该班共有45名同学，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，那么全班同学共通过多少次视频电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题． 用点分别表示第1名同学，第2名同学，第3名同学…．第45名同学，把通话次数与该班级人数之间的关系用以下图表表示： （1）填写图中第四个图中的值为_____________，第五个图中的值为_____________． 通过探索发现，通话次数与该班级人数之间的关系式为____________． （2）若九（1）班全体女生相互之间共通话300次，该班共有多少名女生？ 【答案】（1）10；15； （2）该班共有25名女生 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用、解一元二次方程，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键． （1）观察图形即可得到答案；根据前五个图的数据得出规律，列出通电话次数y与该班级人数x之间的关系式； （2）把通话次数300代入函数关系式，解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15； ∵，，，，， ∴； 【小问2详解】 依题意，得：， 化简，得：， ， 或， （不合题意，舍去） 答：该班共有25名女生． 18. 如图，是的角平分线，过点作，交于点，在上取一点，连接，使得． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求的长度和四边形面积． 【答案】（1）见解析 （2）；四边形面积为 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键． （1）根据平行线的判定定理得到，推出四边形是平行四边形，根据角平分线的定义得到 ，根据平行线的性质得，求得，得到，根据菱形的判定定理得出结论即可； （2）根据菱形的性质得到，设菱形的边长为，则，根据相似三角形的性质得到，连接，交于点O，根据勾股定理得到，求得，根据菱形的面积公式得到菱形的面积即可． 【小问1详解】 证朋：， 四边形是平行四边形 是的角平分线， ． 又 ． ． ． 四边形菱形 【小问2详解】 解：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ， 设菱形的边长为，则， ， ， ， 解得或， 经检验，是原方程的解， ，即菱形的边长为10， 在菱形中，， ， ， ． 19. 【问题提出】两个数学小组为了研究数轴上的两个数与他们乘积所对应的点的位置关系，做了以下尝试： （1）如图，数轴上A，B分别表示的数为a，b，点表示在数轴上对应的点，则应该在___________（填写序号）； ①点的左边； ②A、B两点之间； ③点B的右边． （2）点D在数轴上具体位置能否通过作图确定呢？两个小组进行了深入的探究． 【问题探究】第一小组同学发现1，a，b，这四个数成比例，即，那么已知1，a，b的长度，就可以通过“平行线分线段成比例定理”确定长度，进而确定点在数轴上的位置．设O表示的点为，过任意画一条直线如图，请在下图中通过尺规作图来构造比例线段，在数轴上找到所表示的点，并保留作图痕迹． 【问题拓展】第二小组思将能否利用函数来解决这个问题，因此他们构建了如图所示的平面直角坐标系，已知点，请你构造一个函数，在数轴上确定所表示的点．（作图工具不限，作出必要的图示或说明） 【答案】（1）②；（2）见解析；【问题拓展】见解析 【解析】 【分析】（1）根据符号进而判断出的符号即可； （2）【问题探究】通过相似三角形的关系，做出一个角与已知角相等即可； 【问题拓展】思路1：做出一次函数，再利用一次函数的性质，即画出D点； 思路2：做出一次函数，再利用一次函数的性质，即画出D点； 思路3：做出反比例函数，再利用反比例函数的性质，即画出D点． 详解】（1）由数轴可知，，， ∴， 故在点D在A、B两点之间； 故答案为：② （2）【问题探究】 作图思路1：在直线上截取，连接，作，交直线于，在轴上截取，则即是所求作的点： 作图思路2：在直线上截取，连接，作，交直线于，在轴上截取，则即是所求作的点； 【问题拓展】 作图思路1：在y轴上截取，过C，M分别作轴，轴的垂线，交于点则的坐标为，作直线，则直线的函数关系式为，过作轴垂线交直线于点，过作垂直轴于，在轴上截取，则就是所求作的点． 作图思路2：在轴上截取，过C，M分别作轴，轴的垂线，交于点，则的坐标为，作直线，则直线的函数关系式为，过A作轴垂线交直线于点，过作垂直轴于，在轴上截取，则就是所求作的点． 作图思路3：在轴上截取，过B，F分别作轴，轴的垂线，交于点，则的坐标为，过A，E分别作轴，轴的垂线，交于点N则的坐标为，作出过M，N的反比例函数草图，过C作轴垂线交反比例函数图象于，过作轴交轴于点，在轴上截取，则就是所求作的点． 【点睛】本题考查作图，关于一次函数，反比例函数和相似三角形的基本性质，整体难度较大，需要对知识点灵活运用． 20. 如图1，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点B、C重合），点E在上，满足，延长交于点． （1）求的度数： （2）连接， ①如图2，当时，求的长， ②当是以为腰的等腰三角形时，直接写出此时的面积． 【答案】（1） （2）①；②的面积为或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得，，则，所以，，则，所以； （2）①作于点，先证得，作于点，再通过平行线的比例关系和正切关系可得到，进而可得到结果； ②分两种情况，当是等腰三角形，且，或是等腰三角形，且，分别计算即可． 【小问1详解】 解：四边形是正方形，， ，， ， ，， ， ， ， ． 【小问2详解】 ①如图1，作于点，则， ， ， ， ， ， ， 作于点，则， ， ， ， ， ， ， 又 . ②图如2，是等腰三角形，且，则， ， ， ， ， 作于点，则， ， ， ， ， 是等边三角形， 如图3，是等腰三角形，且，则， ， ， ， ， 点在正方形的对角线上，  ， ， 作于点，则 综上，的面积为或 【点睛】本题考查了正方形基本性质，全等三角形证明及性质，等边三角形性质，相似三角形证明及性质等知识点，综合程度比较大，能够正确做出辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学试题 试卷类型：A 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的姓名、班级、学校，并把条形码粘贴在指定位置． 2．请按照要求答题，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用涂改液．不按以上要求作答，视为无效． 3．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图所示是一个收藏于深圳市博物馆钧瓷月白釉碗，它具有很高的历史价值和艺术价值．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 2. 如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则该矩形的面积是（ ） A B. 2 C. D. 3 3. 若是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 8 B. 6 C. −4 D. 4 4. 电影《志愿军：雄兵出击》于2024年国庆档上映，该电影讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，一上映就获得全国人民的追捧．某地首周累计票房约1.56亿元，第三周累计票房约3.24亿元．若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点在双曲线上，点在双曲线上，轴，点是轴上一点，连接，则的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 6. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，相似比为．已知位似中心点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的一条边与等腰的一条边在同一直线上，分别交于点G，．已知，，则的长为（    ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知，求_______． 10. 调查全班50个人生日相同的概率，记录其中有无2个人的生日相同，每选取50个被调查人的生日为一次试验，重复尽可能多次试验，并将数据记录表中： 试验总次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 “有2个人的生日相同”的次数 480 900 1320 1920 2350 2910 3400 “有2个人的生日相同”的频率 0.96 0.90 0.88 0.96 0.94 0.97 097 根据上表中的数据，估计“50个人中有2个人生日相同”的概率为________． 11. 长尾夹是我们日常学习、办公经常用到的一种文具．某品牌的长尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，经测量知，，，则在图2闭合状态下点之间的距离是______． 12. 一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元/吨的价格售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元，那么储藏________个星期再出售这批农产品可获利122000元． 13. 如图，等边中，点D，E分别在边，上，且交于P，平分交于点，若，则________． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 小颖在解方程时出现了错误，解答过程如图所示： 解方程： 解：，…‥① ，．．．．．② ，…．．③ ，．．．．．．④ ，．．．．．．⑤ ．．．．．⑥ （1）小颖的解答过程从第__________________步开始出错，其错误的原因是_________________； （2）请你写出此题正确的解题过程． 15. 为了解某区八年级学生体质测试情况，该区从全区八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试，把测试结果分为四个等级：级（优秀）、级（良好）、级（及格）、级（不及格），并将测试结果绘成了两幅不完整的统计图． 请根据统计图中信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是_______________人； （2）图1中A级所在区域圆心角是_____________度，并把图2条形统计图补充完整； （3）该区八年级有学生3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为_______________人： （4）测试老师想从4位同学（分别记为E，F，G，H，其中为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率． 16. 小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．类比反比例函数的研究方法，过程如下： （1）列表：下表是与的几组对应值，其中______________； .... −6 −4 −3 −2 2 3 4 6 .... ... 2 3 6 6 4 3 2 .... 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，下图画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）下列关于函数的说法，正确的有_____________． ①函数图象分别位于一、三象限；②当时，随的增大而减小； ③函数图象关于轴对称；④函数值始终大于0； （3）已知直线与图象的交点坐标为_____________，则不等式的解集为_____________． 17. 春节期间，九（1）班全体同学通过视频电话的方式互相拜年，如果该班共有45名同学，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，那么全班同学共通过多少次视频电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题． 用点分别表示第1名同学，第2名同学，第3名同学…．第45名同学，把通话次数与该班级人数之间的关系用以下图表表示： （1）填写图中第四个图中的值为_____________，第五个图中的值为_____________． 通过探索发现，通话次数与该班级人数之间的关系式为____________． （2）若九（1）班全体女生相互之间共通话300次，该班共有多少名女生？ 18. 如图，是的角平分线，过点作，交于点，在上取一点，连接，使得． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，求的长度和四边形面积． 19. 【问题提出】两个数学小组为了研究数轴上的两个数与他们乘积所对应的点的位置关系，做了以下尝试： （1）如图，数轴上A，B分别表示的数为a，b，点表示在数轴上对应的点，则应该在___________（填写序号）； ①点的左边； ②A、B两点之间； ③点B的右边． （2）点D在数轴上具体位置能否通过作图确定呢？两个小组进行了深入的探究． 【问题探究】第一小组同学发现1，a，b，这四个数成比例，即，那么已知1，a，b的长度，就可以通过“平行线分线段成比例定理”确定长度，进而确定点在数轴上的位置．设O表示的点为，过任意画一条直线如图，请在下图中通过尺规作图来构造比例线段，在数轴上找到所表示的点，并保留作图痕迹． 【问题拓展】第二小组思将能否利用函数来解决这个问题，因此他们构建了如图所示的平面直角坐标系，已知点，请你构造一个函数，在数轴上确定所表示的点．（作图工具不限，作出必要的图示或说明） 20. 如图1，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点B、C重合），点E在上，满足，延长交于点． （1）求的度数： （2）连接， ①如图2，当时，求的长， ②当是以为腰的等腰三角形时，直接写出此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$