精品解析： 辽宁省抚顺市新抚区2024-2025学年上学期九年级 期末数学试题

2024—2025学年度（上）学期教学质量检测 九年级数学试卷（二） （本试卷共23道题，满分120分，考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在“石头、剪刀、布”游戏中，对方出“剪刀”．这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定性事件 3. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. B. 18 C. D. 2 4. 某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据： 抽奖次数n 100 150 200 800 1000 抽到“中奖”卡片的次数m 38 56 69 241 299 中奖的平率 0.38 0.373 0.345 0.301 0.299 根据频率稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的半径为，圆心到直线的距离．则直线与的公共点的个数为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某厂家2024年月份销售的电车数量如图所示．设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A，B，C在上，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当的长为半径画弧，分别交线段，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，交于点F；③连接并延长，交于点G，并连接，，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数图象上的三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，，，点E，F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连接，则面积的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围______． 12. 2025年元旦即将来临，小聪同学用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形“小丑”帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形“小丑”帽子的底面半径为．那么这张扇形纸板的面积是______． 13. 如图，正方形和正三角形都内接于半径为2的，则的长为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若的面积为2，则k的值为____________． 15. 如图，正方形的边长为．将正方形绕点顺时针旋转得到正方形．连接，．当为直角三角形时，的长度是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球．分别标有数字1，2，3，4．另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图所示）．小真从口袋中任意摸出一个小球，记下数字，小帅自由转动圆盘，记下指针拼向的数字，然后计算摸出的小球和转出圆盘上的两个数的积． （1）请你用列表或画树状图的方法，求出这两个数的积为6的概率； （2）小真和小帅想通过这个游戏来决定谁代表班级参加元旦歌咏比赛，他们约定；若这两个数的积为奇数，小真赢，否则，小帅赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平． 17. 如图，为的直径，，点为圆上一点，为的中点，连接，过点作交于点，过点作，垂足为，． （1）求长； （2）求的长． 18. 某小区有一块长24米，宽10米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为108平方米，人行通道的宽度应是多少米？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点A，与x轴相交于点C．已知点A的坐标分别为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 20. 某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于．市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示： （1）根据图象，请求出y与x的函数关系式； （2）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 21. 如图，在中，是对角线，．以点A为圆心，的长为半径作，交边于点E，连接． （1）求证：与相切； （2）若，．求的面积． 22. 如图，四边形是正方形，等腰直角三角形，，绕点逆时针旋转，连接，点E是的中点，连接． （1）如图，当点在边上时，求证：，； （2）如图，当点不在边上时，（1）中结论是否还成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （3）若正方形的边长为，的长为，等腰直角绕点旋转一周，当点，，三点在一条直线上时．连接，请直接写出的面积． 23 如图，直线与坐标轴交于，两点．抛物线经过，两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上一点，过点作交于点，连接，，，求的最大值； （3）如图，只将图中的抛物线向右平移两个单位长度得到新抛物线，与轴正半轴的交点为，连接，点是抛物线第二象限上的一点，连接，若，请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度（上）学期教学质量检测 九年级数学试卷（二） （本试卷共23道题，满分120分，考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 在“石头、剪刀、布”游戏中，对方出“剪刀”．这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 随机事件 C. 不可能事件 D. 确定性事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：对方出“剪刀”．这个事件是是随机事件， 故选：B． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. B. 18 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 直接把点代入，然后求出k即可． 【详解】解：把点代得：，． 故选：A． 4. 某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据： 抽奖次数n 100 150 200 800 1000 抽到“中奖”卡片的次数m 38 56 69 241 299 中奖的平率 0.38 0.373 0.345 0.301 0.299 根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率；利用频率估计概率求解即可． 【详解】根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是， 故选：C． 5. 已知的半径为，圆心到直线的距离．则直线与的公共点的个数为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆位置关系，熟练掌握根据圆心到直线的距离与半径的大小关系是判段点的个数的关键． 若圆心到直线的距离，圆的半径， 当时，直线与圆相离，此时直线与圆没有公共点； 当时，直线与圆相切，此时直线与圆有一个公共点； 当时，直线与圆相交，此时直线与圆有两个公共点． 【详解】解：的半径为， 圆心到直线的距离， 直线与圆相切，此时直线与圆有一个公共点， 故选：B． 6. 如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接，证明，，可得，从而可得． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点B， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴； 故选C 【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握基本图形的性质是解本题的关键． 7. 某厂家2024年月份销售的电车数量如图所示．设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】解：设从2月份到4月份，该厂家电车销售的平均月增长率为x， 根据题意可得方程：． 故选：D． 8. 如图，点A，B，C在上，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当的长为半径画弧，分别交线段，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，交于点F；③连接并延长，交于点G，并连接，，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，圆内接四边形角度的求解，圆周角定理，先根据“圆内接四边形的对角互补”求出，再根据圆周角与圆心角的关系求解即可． 【详解】解：点A，B，C在上，， ， 由作图得：平分， ， ． 故选：D． 9. 已知二次函数图象上的三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线的性质，解题的关键将所有点转换在对称轴的同一侧．先算出对称轴，将所有点转换在一边，结合二次函数的性质判断即可得到答案． 详解】解：∵， ∴二次函数图象的对称轴为， ∴A点关于对称轴的对称点是：， ∵， ∴在二次函数对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：B． 10. 如图，中，，，，点E，F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连接，则面积的最小值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，垂线段最短，三边关系，先求出，运用等面积法求出，结合斜边上的中线等于斜边的一半，得，结合三点共线，垂线段最短，即可作答． 【详解】解：过点作，连接，，如图所示： ∵，，， ∴， 则， ∴ ∵， ∵点G是的中点，， ∴， 则， 当三点共线时，， 此时面积取最小值，且为， 故选：C 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，由一元二次方程的二次项系数不能为0得，由方程有两个不相等的实数根可得，由此可解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得且， 故答案为：且． 12. 2025年元旦即将来临，小聪同学用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形“小丑”帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形“小丑”帽子的底面半径为．那么这张扇形纸板的面积是______． 【答案】##平方厘米 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【详解】解：这张扇形纸板的面积是． 故答案为：． 13. 如图，正方形和正三角形都内接于半径为2的，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，连接、、，根据正多边形的中心角的计算公式求出、，计算求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接、、， ∵正方形和等边三角形都内接于， ∴，， ∴， ∴的长， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若的面积为2，则k的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形面积公式和反比例函数，熟练掌握三角形面积公式和反比例函数是解题的关键． 根据题意设点为，由题目中的图可知，则可得到答案. 【详解】解：设A点的坐标为， 则x，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，正方形的边长为．将正方形绕点顺时针旋转得到正方形．连接，．当为直角三角形时，的长度是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论，当为直角顶点时，与重合，可得；当为直角顶点时，过作于，可得结合旋转性质可得，用可判定，得到，可推出，在中用勾股定理即可求得；当为直角顶点时，共线，可得，在即可求得． 【详解】解：（1）当为直角顶点时，与重合，如图： 此时； （2）当为直角顶点时，过作于，如图： 由旋转性质可得， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ③当为直角顶点时，如图： 此时共线， ， 在中， 综上所述：的长为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查正方形的性质、旋转的性质，三角形全等的判定、勾股定理，分情况讨论是解题关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球．分别标有数字1，2，3，4．另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图所示）．小真从口袋中任意摸出一个小球，记下数字，小帅自由转动圆盘，记下指针拼向的数字，然后计算摸出的小球和转出圆盘上的两个数的积． （1）请你用列表或画树状图的方法，求出这两个数的积为6的概率； （2）小真和小帅想通过这个游戏来决定谁代表班级参加元旦歌咏比赛，他们约定；若这两个数的积为奇数，小真赢，否则，小帅赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平． 【答案】（1）； （2）游戏不公平，理由见解析，游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查游戏的公平性及概率的计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平． （1）列表列出所有等可能结果，根据概率公式解答即可； （2）由积为偶数有8种情况，而积为奇数的有4种情况，即可判断． 【小问1详解】 列表如下： 小真 小帅 1 2 3 4 1 2 3 由表可知共有12种可能结果，且每种结果出现可能性相同，其中积为6的有2种，为，，∴P（积为6）； 【小问2详解】 游戏不公平． 因为积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况． P（积为奇数），P（积为偶数），，所以不公平 游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢． 或改为：积为奇数小真得2分，否则小帅得1分，多次试验，累计得分多者为胜．（答案不唯一，修改规则只要合理即可得分） 注：这道题列这种表不扣分 小真 小帅 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 6 8 3 3 6 9 12 由表可知共有12种可能结果，且每种结果出现的可能性相同， 其中积为6的有2种，为，， ∴P（积为6）； （3）游戏不公平． 因为积为偶数的有8种情况，而积为奇数的有4种情况． P（积为奇数），P（积为偶数），， 所以不公平． 游戏规则可改为：若积是3的整数倍，小真赢，否则，小帅赢． 或改为：积为奇数小真得2分，否则小帅得1分，多次试验，累计得分多者为胜．（答案不唯一，修改规则只要合理即可得分） 17. 如图，为的直径，，点为圆上一点，为的中点，连接，过点作交于点，过点作，垂足为，． （1）求的长； （2）求长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂径定理得，根据勾股定理求解即可； （2）根据题意得，，可证明，得到，计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点是弦的中点， ∴，， ∵直径， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ∴， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ． 18. 某小区有一块长24米，宽10米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为108平方米，人行通道的宽度应是多少米？ 【答案】人行道的宽度为2米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系． 人行道的宽度为x米，根据两块绿地的面积之和为108平方米，列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 整理得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：人行通道的宽度是2米． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点A，与x轴相交于点C．已知点A的坐标分别为． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数综合，掌握利用待定系数法求函数解析式和数形结合的思想是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，从而可求出，进而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入直线得， 解得：， 一次函数的解析式为； 把点代入得， ， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入，得：， ∴点的坐标为， ． ， ， ． 当代入，得， 当代入，得 ∴点的纵坐标为，则， 点的坐标为或． 20. 某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于．市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示： （1）根据图象，请求出y与x的函数关系式； （2）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润是3150元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设与的函数关系式为，利用待定系数法可求出函数解析式，再根据销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于求出的取值范围，由此即可得； （2）设该公司每天获得的利润为元，根据利润（销售单价成本单价）销售量可得关于的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 把和代入得：， 解得， ∵销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于， ∴， 解得， 所以与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设该公司每天获得的利润为元， 由题意得：， ∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：销售单价为85元时，每天获得的利润最大，最大利润是3150元． 21. 如图，在中，是对角线，．以点A为圆心，的长为半径作，交边于点E，连接． （1）求证：与相切； （2）若，．求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）120 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接，根据平行四边形的性质得到，，得到，根据全等三角形的性质得到，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）由已知得，根据勾股定理得到，，再根据可得答案． 【小问1详解】 证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 22. 如图，四边形是正方形，等腰直角三角形，，绕点逆时针旋转，连接，点E是的中点，连接． （1）如图，当点在边上时，求证：，； （2）如图，当点不在边上时，（1）中结论是否还成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； （3）若正方形的边长为，的长为，等腰直角绕点旋转一周，当点，，三点在一条直线上时．连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）见详解； （2）成立，见详解； （3）或． 【解析】 【分析】（1）延长交于点，可证得，从而，根据直角三角形的性质得出，从而得出，，即可得出结论； （2）连接，并延长至，使，可证得，从而，从而，进而证得，从而，，从而，即可得出结论； （3）分为两种情形：当在上时，作于，作，作于V，可求得，进而得出，在和中可得出，从而求得的值，进而得出的值，进一步得出结果；同样方法得出当F在的延长线上时的结果． 【小问1详解】 延长交于点，如下图， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 成立 证明：连接，并延长至，使，如下图 又∵， 是的中位线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（1）中结论仍然成立． 【小问3详解】 如下图，当在上时， 作于，作，作于， ， 在正方形和等腰直角三角形中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图4 当在的延长线上时， 作于，作，作于， 由上知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述：的面积为：或． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定、解直角三角形，熟练掌握相关性质并分情况讨论是解题的关键． 23. 如图，直线与坐标轴交于，两点．抛物线经过，两点，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一点，过点作交于点，连接，，，求的最大值； （3）如图，只将图中的抛物线向右平移两个单位长度得到新抛物线，与轴正半轴的交点为，连接，点是抛物线第二象限上的一点，连接，若，请求出点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）由求出点，，然后利用待定系数法即可求解； （）连接，则，故有，过点作轴于点交于点，设，则则，然后利用面积公式和二次函数的性质即可求解； （）得出，设交于点，当时，可证明，则，设直线的解析式为，则直线的解析式为，联立，然后求解即可． 【小问1详解】 解：把，，分别代入中，得，， 把，代入中， 即，解得， ∴； 【小问2详解】 连接， 解：∵， ∴， ∴， 过点作轴于点交于点， 设，则则， ∴ ， ∵，抛物线开口向下， ∴当，最大值； 【小问3详解】 解：当时可得， 由题可知， 当时可得， ∴， ∴， 如图，设交于点，当时， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把和分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， 解得：，（不合题意，舍去） ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$