精品解析：湖北省黄冈市 2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

名师专版•2025年中考模拟考试数学试卷（迎春卷） （满分120分 考试时间：120分钟） 一、精心选一选（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春” “立夏” “白露” “大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义．理解中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义对每个选项进行分析即可判断．中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这么图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A：不是中心对称图形，不符合题意，该选项错误； 选项B：不是中心对称图形，不符合题意，该选项错误； 选项C：不是中心对称图形，不符合题意，该选项错误； 选项B：是中心对称图形，符合题意，该选项正确； 故选D． 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 或1 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，根据一元二次方程的定义得出且，即可求出m的值． 【详解】解：若方程是关于x的一元二次方程， 则， 解得或， ， ， ， 故选：B． 3. 下列说法正确的是（ ） A. “明天会天晴”是随机事件 B. 射击运动员射击一次，命中八环必然事件 C. “翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是不可能事件 D. “太阳从西方升起”是必然事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，必然事件与不可能事件．解题的关键在于明确各名词的含义．依据各选项中事件的可能性进行判断即可． 【详解】解：A．“明天会天晴”是随机事件，故选项正确，符合要求； B．射击运动员射击一次，命中八环是随机事件，故选项错误，不符合要求； C．“翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是随机事件，故选项错误，不符合要求； D．“太阳从西方升起”是不可能事件，故选项错误，不符合要求； 故选：A． 4. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解及一元二次方程的定义，把代入方程可得到关于的方程，解方程可得的值，根据一元二次方程的定义，即可得答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， 且， 解得，． 故选：B． 5. 一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球，它们除颜色外其余均相同．从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用红球的个数除以球的总数即可得解． 【详解】解：∵一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球， ∴从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为， 故选：B． 6. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2025 B. 2023 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，能灵活运用根与系数的关系是本题的关键．先根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ， ∴， 故选：A． 7. 二次函数（为常数，）部分，的对应值如表： … 0 1 3 4 … … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 当时， D. 最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质并结合表格的数据逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由表格可得，该二次函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，故函数图象的开口向上，A错误； 当时，随的增大而增大，B正确； 当时，或，C错误； 当时，取得最小值，这个最小值小于，D错误； 故选：B． 8. 如图，，，将绕点A逆时针旋转到，连接，若点D，C，B在同一条直线上，则度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转性质，等腰三角形性质，三角形外角和内角和定理．根据题意可得，利用旋转性质得，继而可知，利用三角形内角和定理得，继而得到本题答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，C、D是以线段为直径的上两点（位于AB两侧），，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆和三角形的知识，解题的关键是熟练掌握圆周角、等腰三角形的性质；根据直径所对圆周角的性质，得；再根据直角三角形两锐角互余、圆周角的性质，得，再根据等腰三角形、三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 如图，二次函数的图象与x轴的正半轴交于点，，与y轴的负半轴交于点B，对称轴为直线．下列结论中，其中判断正确的是（ ） ①；②若点，在图象上，则；③；④若点，在图象上，则． A. ①②③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，根据二次函数开口方向和递增性质，推导得、，再结合对称轴的性质推导得、，即可完成求解． 【详解】由条件可知， ，， ，， ∴结合函数图象可知，当时，抛物线上的点在A点右侧，一定在x轴的上方， ∴当时，，即， 将代入，可得，故选项①正确； 由条件可知关于对称轴直线对称点的坐标为， ∴点和都在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ， ， ，故选项②正确； 将代入可得，，，，，即，故选项③正确， ， ，在抛物线上关于对称轴对称， ， ， ，， 抛物线顶点坐标的纵坐标小于或等于，当时，， 将代入可得，， ，，故选项④错误， 故选：C． 二、细心填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.请将结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出，的值是解题关键．直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，进而得出，的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：点关于原点对称的点为， ，， 则． 故答案为：． 12. 若a是方程的根，则代数式的值是__________． 【答案】2021 【解析】 【分析】本题考查方程的解和代数式求值等．根据题意可知，继而得到，代数式整理后代入即可． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2021． 13. 写出一个图像过点且其对称轴右侧y 的值随着x 值增大而减小的二次函数表达式______ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数解析式，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意设二次函数为，根据题意得出，，取值即可解答． 【详解】解：设二次函数为， ∵对称轴右侧y 的值随着x 值增大而减小， ∴， ∵图像过点， ∴， 取， 则二次函数为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 如图是某设备的局部设计电路图，随机闭合三个开关，，中的两个，则灯泡亮起来的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了树状图法或列表法求解概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件，先画出树状图，得到所有的等可能的结果数，再找到能让灯泡发光的结果数，最后依据概率计算公式求解即可，正确画出树状图是解题的关键． 【详解】解：画出树状图， 一共有种等可能得结果，灯泡亮起来的有，，，，共种， ∴灯泡亮起来的概率是， 故答案为：． 15. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，弧是以O为圆心，为半径的圆弧，点C是弦的中点，，D在弧上．“会圆术”给出弧的弧长的近似值s的计算公式：．当，时，__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等．根据题意连接，继而得，设圆的半径为r，则，再利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接，如图： ， 是的弦中点，， ， ，D，O共线， ， ， 设圆的半径为r，则， 在中，根据勾股定理，得， 即，解得， ， ． 故答案为：． 三、专心解一解（本大题共9小题，共75分.请认真读题，冷静思考.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解-因式分解的方法和配方法，解决此题的关键是熟练掌握一元二次方程解法的各种方法． （1）运用因式分解的方法即可； （2）因为一元二次方程的最简形式时，一次项系数是偶数，所以运用配方法解此题． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴， 【小问2详解】 解：， ， ， ∴ ∴，． 17. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于点O成中心对称的； （2）写出坐标：________，________． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称，正确得出对应点位置是解题关键． （1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置，连线即可得出答案； （2）根据关于原点对称的性质得出对应点坐标即可． 【小问1详解】 解：关于点成中心对称的，如图即为所求； 【小问2详解】 解：关于点成中心对称的，，， ，． 故答案为：，． 18. 某校为了解学生对“A：古诗词，B：国画，C：川剧，D：书法”等中国传统文化项目的最喜爱情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查（每人限选一项），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图，根据图中的信息解答下列问题： （1）这次调查中，一共调查了 名学生，并把条形统计图补充完整． （2）如果该校共有3200名学生，请估计该校最喜爱项目的学生有多少人？ （3）项目A中有2男2女特别优秀，准备在项目A中选2名选手参加区级古诗词比赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选中2名男生的概率． 【答案】（1）200；补全图形见解析 （2）800人 （3） 【解析】 【分析】（1）由C项目人数及其所占百分比可得总人数，根据各项目人数之和等于总人数求出B对应人数，从而补全图形； （2）用总人数乘以样本中D项目人数所占比例即可； （3）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可． 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：在这次调查中，一共调查的总人数（人）； 项目人数为（人）， 补全图形如下： ； 故答案为：200； 【小问2详解】 解：（人）， 该校最喜爱项目A的学生约有800人； 【小问3详解】 解：若用A1，A2表示2名男生，用B1，B2表示2名女生，列表得： 由列表可见，所有可能出现的结果共有12种，并且这些结果出现的可能性相等，其中恰好选中2名男生的结果有2种， （恰好选中2名男生）． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和B两点． （1）求k的值； （2）点P为反比例函数图象上位于第四象限内一点，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若的面积为4，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2）点Q的坐标为或或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）先把点A代入一次函数解析式，求出m的值，得出点A的坐标，然后代入反比例函数解析式求出k的值即可； （2）设点Q的坐标为，则，根据，得出，解关于t的方程即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：设点Q的坐标为，则， ， ， ， ， 解得：负值舍去，，， 点Q的坐标为或或． 20. 取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器．某商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台A型取暖器的售价比每台B型取暖器售价少40元，顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等． （1）每台A型取暖器与每台B型取暖器的售价分别为多少元？ （2）每台B型取暖器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型取暖器60台，新年前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，若商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元，则每台B型取暖器应降价多少元？ 【答案】（1）A型号取暖器的售价为200元，则B型号取暖器的售价为240元 （2）每台B型取暖器应降价40元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设A型号取暖器的售价为x元，则B型号取暖器的售价为元，根据顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设每台B型取暖器应降价m元，根据“每台B型取暖器的进价为140元，商场每月卖出B型取暖器60台．为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元”，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设A型号取暖器的售价为x元，则B型号取暖器的售价为元． 根据题意得：， 解得：， 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 则B型号取暖器的售价为． 答：A型号取暖器的售价为200元，则B型号取暖器的售价为240元． 【小问2详解】 设每台B型取暖器应降价m元． 根据题意有： 整理得： 解得：， ∵为了尽快减少库存 ∴ 答：每台B型取暖器应降价40元． 21. 如图，以的边为直径的交边于点D，交的延长线于点E，且． （1）求证：． （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理及推论和扇形的面积公式是解题的关键， （1）连接，利用圆周角定理可得，，从而可推出，证得为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得； （2）连接、，由圆周角定理的推论可得，从得到，，再根据（1）中等腰三角形的性质可得，利用三角形外角的性质得，进而可证得是等边三角形，故可得，再利用代入即可算出阴影部分的面积． 【小问1详解】 证明：连接， 是的直径， ， ， 又，， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接、， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， . 22. 某生物兴趣小组为研究某种生长素对植物生长的作用，利用黄瓜苗进行了相关实验，如图，一根使用了生长素的黄瓜藤在圈的支撑下，其形状近似呈抛物线形，黄瓜藤的藤根O在地面上，藤梢位于点M处，矩形是钢圈的支架（O、A、B三点共线），以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的竖直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，支架的顶点C、D均在抛物线上，点P为抛物线的顶点，经测量，，顶点P到x轴、y轴的距离依次为、．已知图中所有的点都在同一平面内． （1）求抛物线的函数解析式和支架的高度； （2）已知藤梢M到x轴的距离为，求藤梢M到y轴的距离． 【答案】（1）；支架的高度为 （2）藤梢M到y轴的距离7米 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，将代入表达式求出支架的高度即可； （2）求出当时的对应的x值，根据题意进行解答即可． 【小问1详解】 解：顶点P到x轴、y轴的距离依次为、， 顶点， 设抛物线表达式为， 把代入，， 解得：， 抛物线表达式为； ， 把代入，， 故支架的高度为； 【小问2详解】 解：由题意得：当时，， 解得：（不合题意，舍去）， 故藤梢M到y轴的距离7米． 23. （1）如图1，在四边形中，，点E是中点，若是的平分线，可判断：之间的等量关系是__________； （2）如图2，在四边形中，，，点E是边的中点，，，，求的长； （3）如图3，在四边形中，，点N是延长线上一点，连接，点M是的中点，且平分，试探究之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，角平分线定义，平行线性质等． （1）延长AE交DC的延长线于点F，证明，再利用角平分线定义即可得到； （2）延长交的延长线于点F，由平行线性质得，，再证明，继而可得本题答案； （3）延长相交于点P，同（1）得，再利用平行线性质得，继而得到本题答案． 【详解】解：（1）延长AE交DC的延长线于点F， ， ，， 点E是的中点， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， 故答案为：； （2）延长交的延长线于点F， ， ，， 点E是的中点， ， ， ，， ，， ， ，， ； （3）．证明如下： 延长相交于点P， ∴， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ． 24. 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． （1）求抛物线的表达式和对称轴； （2）设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； （3）已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），抛物线的对称轴为直线； （2），的最大值为 （3）存在，点M的坐标为或．理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用两点式写出函数解析式，再根据对称轴计算公式进行求解即可； （2）先求出直线的表达式，再设点，求出，最后利用二次函数的性质即可求出的最大值； （3）当四边形是菱形时，，设点，可列方程，求出m的值，即得答案． 【小问1详解】 解：设抛物线表达式为， 因为抛物线与x轴交于点，， 所以，则抛物线的对称轴为直线． 【小问2详解】 解：由抛物线表达式得：C点坐标为， 设直线的表达式为，将点B的坐标代入上式得， 故直线表达式为， 设点，则点， 则， ，故有最大值，当时，的最大值为． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 当时，点， 设点，而点； 四边形是菱形，则， 即，解得：， 即点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的交点式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、菱形的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象及性质及菱形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名师专版•2025年中考模拟考试数学试卷（迎春卷） （满分120分 考试时间：120分钟） 一、精心选一选（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春” “立夏” “白露” “大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ） A. 或1 B. 1 C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. “明天会天晴”是随机事件 B. 射击运动员射击一次，命中八环是必然事件 C. “翻开九年上册数学课本，恰好是第38页”是不可能事件 D. “太阳从西方升起”是必然事件 4. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为( ) A. B. C. D. 5. 一个箱子里有7个白球，2个红球，1个黑球，它们除颜色外其余均相同．从箱子里任意摸出一个球是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 若，是一元二次方程两个实数根，则的值为（ ） A. 2025 B. 2023 C. D. 7. 二次函数（为常数，）部分，的对应值如表： … 0 1 3 4 … … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 当时， D. 最小值为 8. 如图，，，将绕点A逆时针旋转到，连接，若点D，C，B在同一条直线上，则度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，C、D是以线段为直径的上两点（位于AB两侧），，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与x轴的正半轴交于点，，与y轴的负半轴交于点B，对称轴为直线．下列结论中，其中判断正确的是（ ） ①；②若点，在图象上，则；③；④若点，在图象上，则． A. ①②③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②④ 二、细心填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分.请将结果直接填写在答题卡相应位置上） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则__________． 12. 若a是方程根，则代数式的值是__________． 13. 写出一个图像过点且其对称轴右侧y 的值随着x 值增大而减小的二次函数表达式______ 14. 如图是某设备的局部设计电路图，随机闭合三个开关，，中的两个，则灯泡亮起来的概率是______． 15. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，其主要思路是局部以直代曲，给出一个比较实用的近似公式．如图，弧是以O为圆心，为半径的圆弧，点C是弦的中点，，D在弧上．“会圆术”给出弧的弧长的近似值s的计算公式：．当，时，__________． 三、专心解一解（本大题共9小题，共75分.请认真读题，冷静思考.解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卡相应题号的位置） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于点O成中心对称的； （2）写出坐标：________，________． 18. 某校为了解学生对“A：古诗词，B：国画，C：川剧，D：书法”等中国传统文化项目的最喜爱情况，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查（每人限选一项），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图，根据图中的信息解答下列问题： （1）这次调查中，一共调查了 名学生，并把条形统计图补充完整． （2）如果该校共有3200名学生，请估计该校最喜爱项目的学生有多少人？ （3）项目A中有2男2女特别优秀，准备在项目A中选2名选手参加区级古诗词比赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选中2名男生的概率． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和B两点． （1）求k的值； （2）点P为反比例函数图象上位于第四象限内一点，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点Q，若的面积为4，求点Q的坐标． 20. 取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器．某商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台A型取暖器的售价比每台B型取暖器售价少40元，顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等． （1）每台A型取暖器与每台B型取暖器的售价分别为多少元？ （2）每台B型取暖器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型取暖器60台，新年前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，若商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元，则每台B型取暖器应降价多少元？ 21. 如图，以的边为直径的交边于点D，交的延长线于点E，且． （1）求证：． （2）若，，求阴影部分的面积． 22. 某生物兴趣小组为研究某种生长素对植物生长的作用，利用黄瓜苗进行了相关实验，如图，一根使用了生长素的黄瓜藤在圈的支撑下，其形状近似呈抛物线形，黄瓜藤的藤根O在地面上，藤梢位于点M处，矩形是钢圈的支架（O、A、B三点共线），以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的竖直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，支架的顶点C、D均在抛物线上，点P为抛物线的顶点，经测量，，顶点P到x轴、y轴的距离依次为、．已知图中所有的点都在同一平面内． （1）求抛物线函数解析式和支架的高度； （2）已知藤梢M到x轴的距离为，求藤梢M到y轴的距离． 23. （1）如图1，在四边形中，，点E是中点，若是的平分线，可判断：之间的等量关系是__________； （2）如图2，在四边形中，，，点E是边的中点，，，，求的长； （3）如图3，在四边形中，，点N是延长线上一点，连接，点M是的中点，且平分，试探究之间的数量关系，并证明你的结论． 24. 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． （1）求抛物线表达式和对称轴； （2）设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； （3）已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $