精品解析：广东省惠州市惠城区光正实验学校2024-2025学年下学期九年级数学开学考试卷

惠州市光正实验学校2024-2025学年度第二学期 九年级数学期初练习 （考试时间：120分钟，满分120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由方程是关于的一元二次方程，可得，再解不等式即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握“一元二次方程的二次项的系数不为0”是解本题的关键． 3. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 水滴石穿 D. 百发百中 【答案】B 【解析】 【分析】根据必然事件就是一定发生的事件逐项判断即可． 【详解】解：A、守株待兔是随机事件，故该选项不符合题意； B、水中捞月是不可能事件，故该选项符合题意； C、水滴石穿是必然事件，故该选项不符合题意； D、百发百中是随机事件，故该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了必然事件的概念，掌握必然事件指在一定条件下一定发生的事件是解答本题的关键． 4. 将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A. y=﹣5（x+1）2﹣1 B. y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C. y=﹣5（x+1）2+3 D. y=﹣5（x﹣1）2+3 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案． 【详解】将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度， 所得到的抛物线为：y=-5（x+1）2-1． 故选A． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 5. 如图，在△ABC中，∠ADE=∠B，DE：BC=2：3，则下列结论正确的是（　　） A. AD：AB=2：3 B. AE：AC=2：5 C. AD：DB=2：3 D. CE：AE=3：2 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：在△ABC中，∠ADE=∠B，∠A是公共角，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，一一求得各选项的答案． 解：∵∠ADE=∠B，∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC， ∴AD：AB=DE：BC=AE：AC=2：3．即A选项正确，B选项错误； ∴AD：BD=2:1，即C选项错误； CE：AE=1：2，即D选项错误. 故选A． 6. 医疗卫生是重大的民生工程，为了减轻百姓的医疗负担，卫检部门要求某制药厂将一种药剂的价格逐年降低．年这种药剂的价格为元，年该药剂的价格为元．设年到年这种药剂的价格的年平均下降率为，则根据以上信息列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设年到年这种药剂的价格的年平均下降率为，根据题意列出一元二次方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设年到年这种药剂的价格的年平均下降率为， 依题意得：， 故选：． 7. 若反比例函数在每个象限内的函数值随的增大而增大，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，k＜0时，在每个象限内y随x增大而增大列不等式求解． 【详解】解：∵反比例函数在每个象限内的函数值y随x增大而增大， ∴k-2＜0，解得k＜2． 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数中k的正负对函数增减性的影响． 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、勾股定理等知识点，正确理解旋转的性质是解答本题的关键． 先根据旋转的性质可知：，，再应用勾股定理求出的长，又由旋转的性质可得，最后再用勾股定理求解即可． 【详解】解：由旋转的性质得到：，， ∴，，， ∵， ∴， 中，根据勾股定理得：， 故选． 9. 如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上两点，且 = = ，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D，垂足为D，若CD=2 ，则⊙O的半径为（   ） A. 2 B. 4 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】连结BC.由AB为直径得∠ACB=90,由= =得∠BOC=60,则∠BAC=30, 新以∠DAC=30, 在Rt△ADC中, 利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=,在Rt△ACB中,根据勾股定理求得AB,进面求得圆O的半径. 【详解】解:连结BC,如图， AB为直径，∠ACB =90. = =，∠BOC==60 ∠BAC=30,∠DAC=30. 在RAADC中.CD-2V3. AC=2CD=. 在Rt△ACB中,. 即: AB=8. 圆O的半径为4. 故选D. 【点睛】本题主要考查圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③若，，是抛物线上三点，则；④；⑤；其中正确的结论有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧妙利用数形结合的思想是解题的关键．根据所给函数图象可得出a、b、c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】解：①∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 即， 故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 而， 且， ∴， 故③错误； 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则， 又∵， ∴， 故④错误； 由函数图象可知， 当时，函数取得最大值， ∴当时的函数值小于时的函数值， 即， ∴， 故⑤正确； 故选：B． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若点关于原点的对称点，那么________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都互为相反数，可得m、n的值，即可解答． 【详解】∵点关于原点的对称点是 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 12. 圆心角为，半径为1的扇形的弧长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．根据弧长的公式进行计算即可． 【详解】解：由题知，扇形的圆心角为, 半径为1， 所以扇形弧长为：. 故答案为：． 13. 若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程计算求出，即可求解． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个根， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，四边形内接于，，延长至，，则的度数为___． 【答案】##65度 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，解题的关键是能熟记圆内接四边形的对角互补． 根据邻补角互补求出，根据圆内接四边形的性质得出，求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：， ， 四边形是内接四边形， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与交于点，与交于点，若，且四边形的面积为，则的值为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握反比例系数与几何图形面积的关系是解题的关键． 如图所示，连接，设，则，，由此得到，，由得到，，，再根据，且，得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，边分别在轴、轴的正半轴上， ∴， 如图所示，连接，设， ∴，， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 解得，， 故答案为：6 ． 16. 如图的圆心A的坐标是，在直角坐标系中，半径为2，P为直线上的动点过P作的切线，切点为Q，则切线长的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，当最小时，最小，当垂直于直线时，最小，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作直线垂线，垂足为P，作的切线，切点为Q， ∵为定值， 当斜边取最小值时，最小，此时切线长最小， ∵A的坐标为， 设直线与x轴，y轴分别交于B，C， ∴B，C， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为；． 【点睛】本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 17. 已知是方程的一个根，求k的值和方程的另一个根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的定义，解一元二次方程是解题的关键．先根据方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入方程即可得到关于的方程，求得的值，然后代入原方程，最后再解方程即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 则原方程可化为， 解得， 所以另一个根为． 18. 如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，先证明，再结合公共角可得结论，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】证明：∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 19. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了______名学生，图2中A所对应的圆心角度数为______； （2）请补全条形统计图； （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）50， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，从统计图中获取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键． （1）由B的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，再由乘以A的占比即可求解圆心角即可解决问题； （2）求出D、C的人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共调查的学生人数为：（名）， ∴图2中A所对应的圆心角度数为：， 故答案为：50，； 【小问2详解】 解：D的人数为：（人） ∴C的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：画树状图如下：     共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为． 三、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 20. 某商场出售一种台灯，成本为每件30元，当售价为每件50元，每月可销售60件．市场调查发现：若这种台灯的售价每降价1元，则每月的销量将增加2件，设每件台灯降价元（为正整数），每月的销量为件． （1）写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）如何定价，才能使每月销售的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）当定价为49元时，每月的利润最大为1178元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用， （1）利用每月的销量每件台灯降价的钱数，可找出y与x之间的函数关系式，结合售价不低于进价，即可确定自变量x的取值范围； （2）设每月的销售利润为w元，利用月销售利润每件的销售利润月销售量，可找出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质及x的取值范围，即可解决最值问题． 熟练掌握根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式和根据各数量之间的关系，找出w关于x的函数关系式是解决此题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∵售价不低于进价， ∴， 解得 ， ∴自变量x的取值范围且为整数； 【小问2详解】 解：设每月销售利润为元， ， ∵ ，抛物线开口向下， ∴当时随x的增大而减小 ， 又∵ 且x为整数， ∴当时，有最大值 ， ， ∴当定价为49元时，每月的利润最大为1178元． 21. 如图， 已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线与x轴的交点C的坐标及的面积； （3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数解析式为： ，一次函数的解析式为：； （2）点C的坐标为：，的面积为6； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）先通过点得到反比例函数解析式，再求出点坐标，再通过两点坐标得到一次函数解析式； （2）令一次函数的函数值等于0，求出的值即可知道与轴的交点坐标，再把的面积拆成的面积与的面积之和即可求解； （3）直接通过函数图象即可得到． 【小问1详解】 解： 在反比例函数 的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为： 把代入 得， 解得， 则A点坐标为． 把，分别代入， 得 解得 ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， ∴点C的坐标为：， ∴的面积=的面积+的面积． 【小问3详解】 由图象可知，当或时，一次函数的值小于反比例函数的值． 22. 如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）直线与相切，理由见解析 （2）图中阴影部分的面积 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：直线与相切， 理由：如图，连接， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； 【小问2详解】 解：如（1）中图， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形 的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键． 五、解答题（三）（共2小题，每小题12分，共24分） 23. 旋转变换是全等变换的一种形式，我们在解题实践中经常用旋转变换的方法来构造全等三角形来解决问题． （1）方法探究：如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在边BC上，∠DAE=45° 试探究线段BD、CE、DE可以组成什么样的三角形．我们可以过点B作BF⊥BC，使BF=EC，连接AF、DF，易得∠AFB=45°进而得到△AFB≌△AEC，相当于把△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB，请接着完成下面的推理过程： ∵△AFB≌△AEC， ∴∠BAF= ，AF=AE， ∵∠BAC=90°，∠DAE=45°， ∴∠BAD+∠CAE= ， ∴∠BAF+∠BAD=45°， ∴∠DAF=45°= ， 在△DAF与△DAE中， AF=AE， ∠DAF=∠DAE， AD=AD， ∴△DAF≌△DAE， ∴DF= ， ∵BD、BF、DF组成直角三角形， ∴BD、CE、DE组成直角三角形. （2）方法运用 ① 如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，点E在边BC上，点F在边CD上，∠EAF=45°试判断线段BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由． ② 如图③，在①的基础上若点E、F分别在BC和CD的延长线，其他条件不变，①中的关系在图③中是否仍然成立？若成立请说明理由；若不成立请写出新的关系，并说明理由． 【答案】（1）∠CAE ， 45°，∠DAE ， DE ；（2）①EF=BE+DF；②①中关系不成立,EF=BE-DF. 【解析】 【分析】(1) 作AF⊥AB，使AF=BE，连接DF，根据SAS证得△CAF≌△CBE和△CDF≌△CDE，再由勾股定理和等量代换即可解答； (2) 延长CD到G，使DG=BE，证得△ABE≌△ADG,可得AE=AG，∠EAB=∠DAG,可得∠EAF=∠GAF,进而可得△AEF≌△AGF,所以得GF=EF得到EF=BE+DF; (3) 延长CD到G，使DG=BE，证得△ABE≌△ADG,可得AE=AG，∠DAG=∠EAB=90°-∠DAE,进而可得△AEF≌△AGF,所以得GF=EF,EF=BE-DF . 【详解】（1）∠CAE ， 45°，∠DAE ， DE ； （2）①EF=BE+D. 理由： 延长CD到G，使DG=BE， 则∠ADG+∠ADC=180°， ∵∠ABC+∠ADC=180° ∴∠ABC=∠ADG， 在△ABE和△ADG中，  DG=BE ∠ABC=∠ADG        AB=AD     ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠EAB=∠DAG, ∴∠EAF=∠GAF=45°, ∴△AEF≌△AGF, ∴GF=EF. ②.①中关系不成立,EF=BE-DF. 理由: 延长CD到G，使DG=BE， 证得△ABE≌△ADG, 可得AE=AG，∠DAG=∠EAB=90°-∠DAE, ∵∠DAF=45°-∠DAE, ∴∠GAF=∠DAG-∠DAF=（90°-∠DAE）-（45°-∠DAE）=45°=∠EAF, ∴△AEF≌△AGF, ∴GF=EF, ∵GF=DG-DF, ∴EF=BE-DF . 【点睛】此题主要考查勾股定理及三角形全等的判定与性质，解答时要充分分析里面的条件与问题之间的联系． 24. 如图1，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点P、Q为直线下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作轴，交于点M，过点Q作轴交于点N，求的最大值及此时点Q的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，且为矩形一边，求出此时所有满足条件的点E的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答； （2）设，则，进而得到；再表示出，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）分两种情况：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作，当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可． 【小问1详解】 解：把和代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线（）与y轴交于点C，令，则， ∴C点的坐标为，设直线的解析式为，把B、C点的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 点P、Q为直线下方抛物线上的两点，设，则， ∴，， ∴，， ∴， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可得：， ∴的对称轴为， ∴抛物线与y轴交于点C． ∴， ∵， ∴，， 当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作，如图所示： ∵D在的对称轴为， ∴， ∴，，即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到； 当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，如图所示： 设的对称轴为与x轴交于F， ∵D在的对称轴为， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 综上分析可知，点E的坐标为：或． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市光正实验学校2024-2025学年度第二学期 九年级数学期初练习 （考试时间：120分钟，满分120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 2. 若方程是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 水滴石穿 D. 百发百中 4. 将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A. y=﹣5（x+1）2﹣1 B. y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C. y=﹣5（x+1）2+3 D. y=﹣5（x﹣1）2+3 5. 如图，在△ABC中，∠ADE=∠B，DE：BC=2：3，则下列结论正确的是（　　） A. AD：AB=2：3 B. AE：AC=2：5 C. AD：DB=2：3 D. CE：AE=3：2 6. 医疗卫生是重大的民生工程，为了减轻百姓的医疗负担，卫检部门要求某制药厂将一种药剂的价格逐年降低．年这种药剂的价格为元，年该药剂的价格为元．设年到年这种药剂的价格的年平均下降率为，则根据以上信息列出的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若反比例函数在每个象限内的函数值随的增大而增大，则（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接．若，，则线段长为（ ） A B. C. D. 9. 如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上两点，且 = = ，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D，垂足为D，若CD=2 ，则⊙O的半径为（   ） A. 2 B. 4 C. 2 D. 4 10. 已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③若，，是抛物线上三点，则；④；⑤；其中正确的结论有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若点关于原点的对称点，那么________． 12. 圆心角为，半径为1的扇形的弧长是______． 13. 若是关于一元二次方程的一个根，则的值为_________． 14. 如图，四边形内接于，，延长至，，则的度数为___． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数的图象与交于点，与交于点，若，且四边形的面积为，则的值为___________． 16. 如图的圆心A的坐标是，在直角坐标系中，半径为2，P为直线上的动点过P作的切线，切点为Q，则切线长的最小值是_____． 三、解答题（一）（共3小题，每小题7分，共21分） 17. 已知是方程的一个根，求k的值和方程的另一个根． 18. 如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 19. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了______名学生，图2中A所对应圆心角度数为______； （2）请补全条形统计图； （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 三、解答题（二）（共3小题，每小题9分，共27分） 20. 某商场出售一种台灯，成本为每件30元，当售价为每件50元，每月可销售60件．市场调查发现：若这种台灯的售价每降价1元，则每月的销量将增加2件，设每件台灯降价元（为正整数），每月的销量为件． （1）写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）如何定价，才能使每月销售的利润最大？最大利润是多少元？ 21. 如图， 已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求直线与x轴的交点C的坐标及的面积； （3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围． 22. 如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求图中阴影部分的面积． 五、解答题（三）（共2小题，每小题12分，共24分） 23. 旋转变换是全等变换的一种形式，我们在解题实践中经常用旋转变换的方法来构造全等三角形来解决问题． （1）方法探究：如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在边BC上，∠DAE=45° 试探究线段BD、CE、DE可以组成什么样的三角形．我们可以过点B作BF⊥BC，使BF=EC，连接AF、DF，易得∠AFB=45°进而得到△AFB≌△AEC，相当于把△AEC绕点A顺时针旋转90°到△AFB，请接着完成下面的推理过程： ∵△AFB≌△AEC， ∴∠BAF= ，AF=AE， ∵∠BAC=90°，∠DAE=45°， ∴∠BAD+∠CAE= ， ∴∠BAF+∠BAD=45°， ∴∠DAF=45°= ， 在△DAF与△DAE中， AF=AE， ∠DAF=∠DAE， AD=AD， ∴△DAF≌△DAE， ∴DF= ， ∵BD、BF、DF组成直角三角形， ∴BD、CE、DE组成直角三角形. （2）方法运用 ① 如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，点E在边BC上，点F在边CD上，∠EAF=45°试判断线段BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由． ② 如图③，在①的基础上若点E、F分别在BC和CD的延长线，其他条件不变，①中的关系在图③中是否仍然成立？若成立请说明理由；若不成立请写出新的关系，并说明理由． 24. 如图1，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C． （1）求抛物线解析式； （2）如图2，点P、Q为直线下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作轴，交于点M，过点Q作轴交于点N，求的最大值及此时点Q的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，且为矩形一边，求出此时所有满足条件的点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $