第03讲 一次函数的应用（2个知识清单+5类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（沪教版）

第03讲 一次函数的应用 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01分配方案问题(一次函数的实际应用)..............................................................................................................................2 题型02最大利润问题(一次函数的实际应用)..............................................................................................................................6 题型03行程问题(一次函数的实际应用)......................................................................................................................................9 题型04一次函数与几何综合........................................................................................................................................................14 题型05其他问题(一次函数的实际应用).....................................................................................................................................20 分层练习.........................................................................................................................................................................................24 夯实基础.........................................................................................................................................................................................24 能力提升.........................................................................................................................................................................................48 知识点1．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点2．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 题型01分配方案问题(一次函数的实际应用) 1．小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 【答案】B 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，用x将y表示出来，进行判断即可． 【详解】解：设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，根据题意得： ， ∵， ∴， ∴当时，y最小，最小值为： （元）， 即李老板最少要花掉租金16000元，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键． 2．单位组织职工观看某场足球比赛，球票的原价为每张100元．在购买门票时，体育场给出了两种不同的团体购票方案．方案一：单位赞助10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；方案二：不交赞助费，当购买票数不超过100张时，按原价收费，超过100张时，超出部分每张80元，设某单位购票x张，总费用为y元． （1）若该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为 ； （2）若该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为 ，当时，y与x之间的函数关系式为 ； （3）若甲、乙两单位共购买了本场足球赛门票700张（每个单位都至少购买了10张），共付费58000元，且甲单位付费较多，则甲单位采用方案 （填“一”或“二”）购票 张，乙单位采用方案 （填“一”或“二”）购票 张． 【答案】 一 500 二 200 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可； （2）根据题意列出函数关系式即可； （3）根据函数关系式和题目给出的数量关系判断计算即可． 【详解】解：（1）该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为：； 故答案为：； （2）该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为； 当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝80（x－100）+100×10000=80x+2000； 故答案为：， （3）若两单位都采用方案一，则总票款应为，矛盾． 若两单位都采用方案二，则至少一个单位购票超过100张，若是一个超过100张另一个不超过100张，设购票较少的买了x张， 则有， 解得，与已知矛盾； 若两个单位购票都超过100张，则总票款应为，矛盾． 故只能是一个单位采用方案一，另一个单位采用方案二． 此时设采用方案一的购票x张，若采用方案二的购票不超过100张，则有， 解得，但此时，矛盾； 若采用方案二的购票超过100张，则有， 解得，此时，符合题意， 再由甲单位付费较多可知采用方案一的是甲，采用方案二的是乙． 故答案为：一、500，二、200． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是根据题意列出函数关系式，运用函数知识解决问题． 3．（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 【答案】(1) (2)共有种租车方案 (3)租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆；根据题意列函数关系式即可； （2）根据租车总费用不超过元，师生共有人可得 ，又为整数,解不等式组即可得到租车方案； （3）结合（1）（2），利用一次函数性质租金最少的方案即可解题． 【详解】（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆， ； （2）∵租车总费用不超过元，师生共有人, ， 解得 ， ∵为整数, ∴可取, ∴一共有种租车方案； （3）在中，随的增大而增大, 又可取, ∴当时，取最小值，最小值为(元), ∴租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元． 题型02最大利润问题(一次函数的实际应用) 4．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（　　） A．第20天的日销售利润是750元 B．第30天的日销售量为150件 C．第24天的日销售量为200件 D．第30天的日销售利润是750元 【答案】A 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】根据函数图象信息，逐项分析解题即可． 【详解】解：当0≤t≤24时，设y＝kt+b， ， 解得，， 即当0≤t≤24时，， 当t＝20时，， 则第20天的日销售利润约为183×5＝915（元），故选项A错误； 第30天的日销售量为150件，故选项B正确； 第24天的日销售量为200件，故选项C正确； 第30天的日销售利润是150×5＝750（元），故选项D正确； 故选：A． 【点睛】本题考查函数图象、一次函数的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5．某商场为了抓住夏季来临，衬衫热销的契机，决定用46000元购进A、B、C三种品牌的衬衫共300件，并且购进的每一种衬衫的数量都不少于90件．三种品牌的衬衫的进价和售价如下表所示： 型号 A B C 进价（元/件） 100 200 150 售价（元/件） 200 350 300 如果该商场能够将购进的衬衫全部售出，但在销售这些衬衫的过程中还需要另外支出各种费用共计1000元，那么商场能够获得的最大利润是 元． 【答案】39500． 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】设购进A种品牌衬衫a件，B种品牌衬衫b件，则C种品牌衬衫为（300﹣a﹣b）件，根据商场所获利润=A种衬衫的利润+B种衬衫的利润+C种衬衫的利润-1000，列出方程，然后根据一次函数的性质可求解. 【详解】解：设购进A种品牌衬衫a件，B种品牌衬衫b件，则C种品牌衬衫为（300﹣a﹣b）件，获得的总利润为y元， y＝（200﹣100）a+（350﹣200）b+（300﹣150）（300﹣a﹣b）﹣1000＝﹣50a+44000， ∵购进的每一种衬衫的数量都不少于90件， ∴a≥90， ∴当a＝90时，y取得最大值，此时y＝﹣50×90+44000＝39500， 故答案为39500． 【点睛】一次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意列出解析式是解题的关键. 6．（八年级下·上海浦东新·期中）旅客乘乘车按规定可以随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需购买行李票，设行李票y（元）是行李质量x（千克）的一次函数．其图象如图所示． （1）当旅客需要购买行李票时，求出y与x之间的函数关系式； （2）当旅客不愿意购买行李票时，最多可以携带多少行李？ 【答案】（1）；（2）当旅客不愿意购买行李票时，最多可以携带30千克行李. 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据题意设一次函数关系式为y=kx+b，把图上的点（60，5），（90，10）代入关系式利用待定系数法可求得函数关系式． （2）令y=0，解方程x-5=0即可求解． 【详解】（1）设（1） 将 ， 代入 解得： 得： （2）当时 ， 解得 答：当旅客不愿意购买行李票时，最多可以携带30千克行李 【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值． 题型03行程问题(一次函数的实际应用) 7．（八年级下·上海崇明·期末）小张、小王两个人从甲地出发，去8千米外的乙地，图中线段OA、PB分别反映了小张、小王步行所走的路程S（千米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，小王比小张早到乙地的时间是__________分钟． A．4 B．6 C．16 D．10 【答案】B 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】由函数图象求出、解析式，再把代入解析式就可以求出小张、小王所用时间． 【详解】解：由图象可知： 设的解析式为：， 经过点， ， 得， 函数解析式为：①， 把代入①得：， 解得：， 小张到达乙地所用时间为96（分钟）； 设的解析式为：， ， 解得：， 的解析式为：②， 把代入②得：， 解得：， 则小王到达乙地的时间为小张出发后90（分钟）， 小王比小张早到（分钟）， 故选：B． 【点睛】本题考查的一次函数的应用，关键是由图象求函数解析式． 8．（2021·上海金山·二模）小张、小王两个人从甲地出发，去8千米外的乙地，图中线段OA、PB分别反映了小张、小王步行所走的路程S（千米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，小王比小张早到乙地的时间是 分钟． 【答案】6 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据图象所给信息，利用待定系数法即可求出小王和小张路程的函数解析式，再把路程=8代入即可求出小王和小张行走8千米的时间，作差即可． 【详解】解：由图像可知： 设OA的解析式为：y＝kx， ∵OA经过点（60，5）， ∴5＝60k，得k＝， ∴OA函数解析式为：y＝x， 把y＝8代入y＝x得：8＝x， 解得：x＝96， ∴小张到达乙地所用时间为96（分钟）； 设PB的解析式为：y＝mx+n， ∴， 解得：， ∴PB的解析式为：y＝x﹣1， 把y＝8代入y＝x﹣1得：8＝x﹣1， 解得：x＝90， 则小王到达乙地时间为小张出发后90（分钟）， ∴小王比小张早到96﹣90＝6（分钟）． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟悉掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． 9．（2024·上海黄浦·三模）在一条笔直的公路上有两地，小明骑自行车从地去地，小刚骑电动车从地去地，然后立即原路返回到地，如图是两人离地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数图像．请根据图像回答下列问题： (1)求小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式； (2)若两人间的距离不超过千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？ 【答案】(1)； (2)小时． 【知识点】求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】（）根据题意列出函数解析式即可； （）求出两人途中相遇的时间，可求出小刚此时距地的距离，再算出相遇后两人相距千米的时间，求出此时小刚距的距离，进而求出小刚到达地的时间，然后求出小刚从地返回地与小明相距的时间，把两个时间相加即为两人无法用无线对讲机保持联系的总时间； 本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，小明骑自行车的速度为千米小时， ∴小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式为； （2）解：由图可得，小刚骑电动车的速度为千米小时， 当两人在途中相遇时，有， ∴， 此时，小刚距地千米， 相遇后设小时两人相距千米，则， ∴， 此时，小刚距地千米，到达需要的时间为， 设小刚从地返回地小时与小明相距千米， 则， 解得， ∴两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间为小时． 题型04一次函数与几何综合 10．（八年级下·上海黄浦·期中）一次函数y=x+1的图象交x轴于点A，交y轴于点B．点C在x轴上，且使得△ABC是等腰三角形，符合题意的点C有(   )个． A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】首先根据一次函数关系式求出与坐标轴的两个交点，再画出图象，可分三种情况：①以A为圆心，AB长为半径画弧，②以B为圆心，AB长为半径画弧，③作AB的垂直平分线，解答出即可． 【详解】解：一次函数y=x+1的图象与x轴的交点A(-1，0)，与y轴交点B(0，1)， 如图所示：①以A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴于C1，C3两点， ②以B为圆心，AB长为半径画弧，交x轴于C4点， ③作AB的垂直平分线，与x轴交于一点C2， 符合题意的点C有4个， 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形， 11．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）已知：如图所示，直线交轴于点，交轴于点．若点从点出发，沿射线作匀速运动，点从点出发，沿射线作匀速运动，两点同时出发，运动速度也相同，当为直角三角形时，则点的坐标为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，根据题意表示出的三边长， 分 ，，三种情况，根据勾股定理计算即可求出点的坐标，灵活运用分情况讨论思想、掌握两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】由直线得： 当时，即， 解得， 当时，， ∴，， 由勾股定理得， 设，运动的速度为，时间为，则，， 则点的坐标为：，点的坐标为：， ∴ 当时，有，即， 解得，， 当，点与重合，舍去 ∴点的坐标为， 当 时，，即， 解得（舍去），，则点的坐标为， 当时，，即 解得，，点与重合，不符合题意， 综上所示，点的坐标为 或 故答案为：或 ． 12．（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 【答案】(1)点B的坐标为，点E的坐标为 (2) (3)是等腰三角形 (4)，定义域为 【知识点】角平分线的有关计算、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合，勾股定理，三角形的面积，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用勾股定理求出长，再利用解题即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）设点F的坐标为，利用勾股定理得到，求出点F的坐标，然后判断三角形的形状即可； （4）先利用勾股定理得到长，然后根据解题计算即可． 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴点B的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∴， 过点E作于点H， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为； （2）设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （3）设点F的坐标为， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴点F的坐标为， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）解：由勾股定理可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵点是线段上的一个动点， ∴． 题型05其他问题(一次函数的实际应用) 13．（八年级下·上海嘉定·阶段练习）已知弹簧在弹性限度内，它的长度y(厘米)与所挂重物质量x(千克)是一次函数关系．如果经过测量，不挂重物时弹簧长度是6厘米，挂上2千克重物时弹簧长度是7.2厘米，那么挂上1千克重物时弹簧长度是(    ) 厘米． A．3.6 B．6.6 C．6.8 D．7 【答案】B 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】设函数解析式为y＝kx＋b（k≠0），根据题意可得b＝6，再将（2，7.2）代入求出k的值，继而得出函数解析式，然后再求x＝1时y的值即可． 【详解】解：设函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）， 由题意得：b＝6， ∵挂上2千克的重物时弹簧长度为7.2厘米， ∴7.2＝2x＋6， 解得：k＝，即y＝x＋6， 当x＝1时，y＝x＋6＝6.6， 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 14．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如果购买某一种水果所付金额y（元）与购买数量x（千克）之间的函数图象由线段与射线组成（如图所示），那么购买3千克这种水果需要付 元． 【答案】56 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，先求出的函数解析式为，再求出时的函数值，即可解答． 【详解】解：设的函数解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， 当时，， ∴购买3千克这种水果需要付56元， 故答案为：56． 15．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图1，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具．某校八年级综合实践小组用甲、乙两个透明的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图2）．在甲容器里加满水，此时水面高度为．若由于装置的原因，甲容器内的水无法全部流出，当水面高度刚好是时，停止流水，此时停止计时．上午8:00开始放水后，甲容器的水面高度和流水时间的部分数据如表： 记录时间 8:00 8:10 8:25 8:30 8:40 流水时间 0 10 25 30 40 水面高度 30 28 25 24 22 (1)综合实践小组在平面直角坐标系中描出了以表中各组对应值为坐标的点，并用光滑的曲线（包括直线）把描出的点连接起来（如图3），发现可以用一次函数近似地刻画甲容器的水面高度与流水时间的关系，根据以上信息，求y关于x的函数解析式（不用写定义域）． (2)当时间正好是9:10时，甲容器的水面高度是多少厘米? (3)刚好停止流水时是几时几分? 【答案】(1) (2)甲容器中水面的高度是16厘米 (3)刚好停止流水时是10:25 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法； （1）设函数解析式是，把、代入解析式，即可求解； （2）从8:00到9:10共70分钟，，代入解析式，即可求解； （3）当时，求出时间，即可求解； 掌握待定系数法，理解、表示的实际意义是解题的关键. 【详解】（1）解：设函数解析式是， 把、代入， 得， ， ； （2）解：从8:00到9:10共70分钟， ， ， 答：甲容器中水面的高度是16厘米． （3）解：当时， ， 解得：， 答：刚好停止流水时是10:25． 夯实基础 一、单选题 1．若点A（m,n）在y=x+b的图像上，且2m-3n＞6，则b的取值范围为（　　） A．b＞2 B．b＞-2 C．b＜2 D．b＜-2 【答案】D 【分析】由点A的坐标结合一次函数图象上点的坐标特征，可得出m+b=n，2m-3n= -3b再由2m-3n＞6，，即可得出b的取值范围． 【详解】∵点A（m,n）在y=x+b的图像上， ∴m+b=n，2m-3n= -3b， ∵2m-3n＞6， ∴-3b＞6  解得b＜-2. 故选D. 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系. 2．，两地相距120km，甲、乙两人分别从两地出发相向而行，甲先出发，如图，，分别表示两人离地的距离（km）与时间（h）之间的关系，则当甲到达地时，乙距离地（    ） A．56km B．60km C．80km D．40km 【答案】B 【分析】先求出直线的解析式，从而求出当时，，由此即可求出直线的解析式，进而求出甲到达目的地的时间，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，甲，乙的函数图象分别为，． ∵经过点和， ∴：，当时，， ∴由，得：， 令，解得，将代入，得． ∴当甲到达地时，乙距离地60km． 故选B． 【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数的应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 3．一条公路旁依次有、、三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从村、村同时出发前往村，甲乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，下列结论中错误的是（    ） A．甲每小时比乙多骑行 B．出发后两人相遇 C．，两村相距 D．相遇后，乙又骑了或时两人相距 【答案】D 【分析】根据图象与纵轴的交点可得出A、B两地的距离，而s=0时，即为甲、乙相遇的时候，同理根据图象的拐点情况解答即可． 【详解】解：A、根据题意得：甲每小时比乙多骑行km，故本选项正确，不符合题意； B、观察图象得在时，两人相距0km，即出发后两人相遇，故本选项正确，不符合题意； C、观察图象得，两村相距，故本选项正确，不符合题意； D、当时，图象过点（1.25，0），（2，6）， 设该图象解析式为， ∴， 解得：， ∴该函数解析式为， 当时，， 解得：， ∵1.5-1.25=0.25h， 即乙又骑了，两人相距； 当时，图象过点（2.5，0），（2，6）， 同理得：该函数解析式为， 当时，， 解得：， ∵， 即乙又骑了，两人相距； ∴相遇后，乙又骑了或时两人相距，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是读懂图象，根据图象的数据进行解题是解题的关键． 4．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在OB上，若将△ABC沿AC折叠，使点B恰好落在x轴上的点D处，则C点的坐标为（　　） A．（4，0） B．（0，2） C．（0，1.5） D．（0，3） 【答案】C 【分析】先根据一次函数求出A、B两点坐标，并求出AB的长，再利用对称可得AD=AB，BC=CD，故可求出OD，设点C（0，m），则CD=4－m，最后在Rt△OCD中，利用勾股定理列方程即可求出m. 【详解】解：直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点， 则点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，4），则AB＝5， 将△ABC沿AC折叠，使点B恰好落在x轴上的点D处，则AD＝AB＝5， 故点D（2，0）， 设点C（0，m），则CD＝BC=4－m， 在Rt△OCD中，OC2＋OD2=CD2 即， 解得：m＝， 故点C（0，1.5）， 故选C． 【点睛】此题考查的是一次函数求交点、折叠问题和勾股定理，利用折叠问题找到相等线段和勾股定理列方程是解决此题的关键. 5．如图，在中，，点A的坐标为，P是OA上一动点，将点P绕点逆时针旋转，当点P的对应点落在AB边上时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作的垂线交于点，通过证明，即可得出的坐标． 【详解】解：过点作的垂线交于点，如下图： 由题意， 为等腰直角三角形，，， ， ， 设直线的方程为， 将，代入中， ， 解得：，， ， 设， ， ，， ，， ， 根据旋转的性质有， 又， ， ， 即， 则有， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质，一次函数以及性质的性质，解题的关键是：添加辅助线，证明三角形全等，得到对应边相等，即可求出坐标． 二、填空题 6．解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为 ，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型． 【答案】自变量 【解析】略 7．某商店销售每台型电脑的利润为100元，销售每台型电脑的利润为150元，该商店计划一次购进，两种型号的电脑共100台，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，则与的函数关系式 【答案】 【分析】根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式． 【详解】解：根据题意， y=100x+150（100-x）=-50x+15000； 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据总利润与销售数量的数量关系列出关系式． 8．如图是甲、乙两人同一地点出发后，路程随时间变化的图象． （1）甲的速度 乙的速度．（大于、等于、小于） （2）甲乙二人在 时相遇； （3）路程为150千米时，甲行驶了 小时，乙行驶了 小时． 【答案】 小于 6； 9 4 【详解】试题分析：根据图像可得：甲的速度小于乙的速度；两人在6时相遇；甲行驶了9小时，乙行驶了4小时. 考点：函数图像的应用 9．已知等腰三角形的周长为40，则它的底边长y关于腰长x的函数解析式为 ，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得：40=2x+y ∴可得：y=-2x+40， 根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：y＜2x，2x＜40 ∴可得10＜x＜20 故答案为：y=-2x+40， 10．某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米时，两车之间的距离（千米）与货车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论： ①快递车从甲地到乙地的速度为100千米时； ②甲、乙两地之间的距离为120千米： ③图中点的坐标为； ④快递车从乙地返回时的速度为90千米时． 以上4个结论中正确的是 （填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查一次函数的应用．根据和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的结论是否正确，从而可以判断哪个选项是正确的． 【详解】解：由图象可得， 快递车从甲地到乙地的速度为：（千米小时），故①正确，符合题意； 甲、乙两地之间的距离为：（千米），故②错误，不符合题意； 图中点的横坐标为：，纵坐标为：， 则图中点的坐标为，故③正确，符合题意； 快递车从乙地返回时的速度为：（千米小时），故④正确，符合题意； 综上，①③④正确， 故答案为：①③④． 11．某公司新产品上市天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元；已知当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，则第天的日销售利润为 元．    【答案】 【分析】设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为，把代入得，解得，则，再求出的b值，然后把代入算得，根据日销售利润＝单件产品的利润×销售量进行计算即可． 【详解】解：由题图①知，当天数天时，市场日销售量达到最大件， 由题图②知，当天数天时，每件产品销售利润达到最大元， 所以当天数天时，市场的日销售利润最大，最大利润为元； 设日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为， 把代入得， 解得， ∴日销售量y与上市时间t之间的函数关系式为， 将点代人， 解得， 所以当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为， 当时，， 将时， ∴此时日销售利润为（元）． 故答案为：，． 【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是读懂图中信息，利用函数的性质进行解答． 12．已知小明与小亮两人在同一地点，若小明向北直走160 m，再向东直走80 m，可到购物中心，则小亮向西直走 m后，他与购物中心的距离为340 m. 【答案】220 【分析】设小亮向西直走xm后，他与购物中心的距离为340 m.依题意得： 1602+（x+80）2=3402. 【详解】设小亮向西直走xm后，他与购物中心的距离为340 m.依题意得： 1602+（x+80）2=3402, 解得：x1=220,x2=-380(舍去). 故答案为220 【点睛】本题考核知识点：一元二次方程应用. 解题关键点：理解题意列出方程. 13．如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动．设点P出发xs时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】 当P点到AD的中点时，Q到B点，此时，△PAQ的面积最大. 设正方形的边长为acm，表示出△APQ的面积即可得到直线EF对应的函数关系式． 【详解】 ∵点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动， ∴当P点到AD的中点时，Q到B点，此时，△PAQ的面积最大. 设正方形的边长为acm， ∵从图②可以看出当Q点到B点时的面积为9， ∴，解得，即正方形的边长为6. 当Q点在BC上时，AP=6﹣x，△APQ的高为AB， ∴． ∴线段EF所在的直线对应的函数关系式为． 故答案为：y=-3x+18 【点睛】本题考查了双动点问题的函数图象；正方形的性质；由实际问题列函数关系式；分类思想和数形结合思想的应用． 14．如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于A，B两点点D，E分别是OB，AB上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】作点C关于OB的对称点 ，作点C关于AB的对称点，连接，交AB于点E，交OB于点D，此时周长最小，可以证明这个最小值就是线段，根据勾股定理可求周长的最小值． 【详解】如图，作点C关于OB的对称点，作点C关于AB的对称点，连接，交AB于点E，交OB于点D， 直线与两坐标轴分别交于A，B两点 点，点 ，且， ， 点C关于OB的对称点， ∴, 点C关于AB的对称点， ∴AC=，∠BAO=∠=45°， ∴=90°， 点 由轴对称的性质，可得CE=，CD=D， 当点，点E，点D，点共线时，的周长=CD+CE+DE=+DE+D=， 此时的周长最小， 在Rt△中，. 的周长最小值为 故答案为 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是利用对称性找到点D、点E位置，属于中考常考题型． 15．如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A和点B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，则点C的坐标为 ． 【答案】（5，3） 【分析】先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再作CD⊥x轴于点D，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAD，由全等三角形的性质可知OA＝CD，故可得出C点坐标． 【详解】解：在一次函数中， 令x＝0得：y＝2， 令y＝0，解得x＝3， 则B的坐标是（0，2），A的坐标是（3，0）， 如图，作CD⊥x轴于点D， ∵∠BAC＝90°， ∴∠OAB＋∠CAD＝90°， 又∵∠CAD＋∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝∠BAO， 在△ABO与△CAD中， ∴△ABO≌△CAD（AAS）， ∴OB＝AD＝2，OA＝CD＝3， ∴OD＝OA＋AD＝5， 则C的坐标是（5，3）． 故答案是：（5，3）． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 三、解答题 16．图中两个时针的指针分别表示同一时刻的北京时间和东京时间．设北京时间为t（时），东京时间为y（时），就的范围，分别求y关于t的函数表达式，并填写下表（同一时刻的两地时间）． 北京时间 8：30 4：30 东京时间 12：10 【答案】，见解析． 【分析】由图可得：同一时刻，东京时间比北京时间多1小时，然后可得y关于t的函数表达式，再根据函数表达式填表即可． 【详解】解：由图可得：同一时刻，东京时间比北京时间多1小时， 设北京时间为t（时），东京时间为y（时）， 故y关于t的函数表达式为， 填表为： 北京时间 8：30 11：10 4：30 东京时间 9：30 12：10 5：30 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键． 17．西安市某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的函数关系如图所示，其中当x＜6时，y是x的正比例函数，当时，y是x的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)求当x≥6时，y与x的函数关系式． (2)求点A的坐标． (3)药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于1.5mg的时间超过30分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？ 【答案】(1) (2) (3)是有效消毒 【分析】（1）设与的函数关系式为，根据点，利用待定系数法即可得； （2）根据（1）的结果，求出时，的值，由此即可得； （3）先利用待定系数法求出所在直线的表达式，再求出时的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 将点代入得：， 解得， 则当时，与的函数关系式为． （2）解：对于反比例函数， 当时，， 则点的坐标为． （3）解：设所在直线的表达式为， 将点代入得：，解得， 则所在直线的表达式为， 将代入得：，解得， 将代入得：，解得， 因为， 所以本题中的消毒是有效消毒． 【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 18．如图，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图像交于点． (1)求点的坐标和一次函数的表达式； (2)直接写出方程组的解； (3)直接写出当时的取值范围； (4)函数在第一象限的图像上是否存在点，使得的面积比的面积大3？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) (4)存在， 【分析】对于（1），将点C的坐标代入正比例函数的关系式求出n，在将点C的坐标代入一次函数关系式可得答案； 对于（2），方程组的解即为两直线交点的坐标； 对于（3），要求的解集，先确定两直线的交点，及直线在直线的上方，可得答案； 对于（4），先求出AO，BO，再根据列出方程，求出解即可． 【详解】（1）因为点C（2，n）在正比例函数y=2x的图像上， 所以n=4， 所以点C（2，4）． 因为点C（2，4）在一次函数y=-x+b的图像上， 所以4=-2+b， 解得b=6， 所以一次函数的关系式为y=-x+6； （2）方程组的解是两直线的交点坐标，即． （3）当时，； （4）存在． 设， 把代入得， ∴． 把代入得， ∴． 根据题意，得， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】这是一道关于一次函数的综合问题，考查了求一次函数关系式，一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，关于三角形的面积问题等． 19．学校准备购置一批教师办公桌椅，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2 000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元． (1)一套A型桌椅和一套B型桌椅的售价各是多少元？ (2)学校准备购进这两种型号的办公桌椅200套，平均每套桌椅需要运费10元，并且A型桌椅的套数不多于B型桌椅的套数的3倍．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)一套A型桌椅的售价是600元，一套B型桌椅的售价是800元 (2)当购进A型桌椅150套、B型桌椅50套时，总费用最少，最少费用为132000元 【分析】 （1）设一套A型桌椅的售价是x元，一套B型桌椅的售价是y元，根据2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2 000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元列二元一次方程组解答； （2）设购进A型桌椅m套，则购进B型桌椅套．根据A型桌椅的套数不多于B型桌椅的套数的3倍列不等式求出m的取值范围，设总费用为w元，列出函数关系式，根据函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设一套A型桌椅的售价是x元，一套B型桌椅的售价是y元． 依题意，得 解得 答：一套A型桌椅的售价是600元，一套B型桌椅的售价是800元． （2）解：设购进A型桌椅m套，则购进B型桌椅套． 依题意，得，解得， 设总费用为w元． 依题意，得， ∵， ∴w值随着m值的增大而减小． ∴当时，w有最小值，最小值为， ∴当购进A型桌椅150套、B型桌椅50套时，总费用最少，最少费用为132000元． 【点睛】 此题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列得方程、不等式及函数关系式是解题的关键． 20．由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．蓄水量V(万米3) 与干旱持续时间t(天)的关系如下图所示，回答下列问题： (1)水库干旱前的蓄水量是多少？ (2)干旱持续10天后，蓄水量为多少？连续干旱23天后呢？ (3)蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报．干旱多少天后将发出严重干旱警报？ (4)按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？ 【答案】(1)1200万米3 (2)约为1000万米3，约为740万米3 (3)40天 (4)60天 【详解】解：观察图象可知： （1）当t＝0，v＝1 200，因此水库干旱前的蓄水量是1 200万米3． （2）当t为10时，蓄水量V约为1 000万米3．同理可知当t为23时，蓄水量V约为740万米3． （3）当V等于400万米3时，对应的t的值约为40天，因此干旱40天后将发生严重警告． （4）当V为0时，对应的t的值约为60，所以预计干旱60天水库将干涸． 21．某商场计划购进、两种新型节能台灯共盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型 价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 30 45 B型 50 70 （1）若商场预计进货款为元，则这两种台灯各购进多少盏？ （2）若商场规定型台灯的进货数量不超过型台灯数量的倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 【答案】（1）购进型台灯盏，型台灯25盏； （2）当商场购进型台灯盏时，商场获利最大，此时获利为元． 【分析】（1）设商场应购进A型台灯x盏，然后根据关系：商场预计进货款为3500元，列方程可解决问题； （2）设商场销售完这批台灯可获利y元，然后求出y与x的函数关系式，然后根据一次函数的性质和自变量的取值范围可确定获利最多时的方案． 【详解】解：（1）设商场应购进A型台灯x盏，则B型台灯为（100﹣x）盏， 根据题意得，30x+50（100﹣x）=3500， 解得x=75， 所以，100﹣75=25， 答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏； （2）设商场销售完这批台灯可获利y元， 则y=（45﹣30）x+（70﹣50）（100﹣x）， =15x+2000﹣20x， =﹣5x+2000， ∵B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍， ∴100﹣x≤3x， ∴x≥25， ∵k=﹣5＜0， ∴x=25时，y取得最大值，为﹣5×25+2000=1875（元） 答：商场购进A型台灯25盏，B型台灯75盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1875元． 【点睛】考点：1．一元一次方程的应用；2．一次函数的应用． 22．如图所示，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的一条边OB在x轴的正半轴上，点A在双曲线y＝（k≠0）上，其中点B为（2，0）． （1）求k的值及点A的坐标 （2）△OAB沿直线OA平移，当点B恰好在双曲线上时，求平移后点A的对应点A’的坐标． 【答案】（1）A（1，）；k＝；（2）点A′的坐标为（，）或（﹣，﹣）． 【分析】（1）解直角三角形即可求得A点的坐标，根据反比例函数系数k的几何意义，即可求得k； （2）求得直线OA的解析式，然后求得BB′解析式，联立方程解方程即可求得B′的坐标，进而求得A′的坐标． 【详解】（1）过A点作AC⊥OB于C， ∵△OAB是等边三角形，点B为（2，0）， ∴OA＝AB＝OB＝2， ∴OC＝1，AC＝， ∴A（1，）， ∴k＝1×＝， （2）∵A（1，）， ∴直线OA为y＝x ∵△OAB沿直线OA平移， ∴BB′∥OA，设直线BB′解析式为y＝x+b， 把B（2，0）代入得，0＝2+b， ∴b＝﹣2， ∴直线BB′解析式为y＝x﹣2， 解方程组得或， ∴平移后的点A′的坐标为（，）或（﹣，﹣）． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，图形的平移问题，如何求一次函数和反比例函数的交点． 能力提升 一、单选题 23．如图，四边形的顶点坐标分别为，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，直线所表示的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知点可求四边形ABCD分成面积；求出CD的直线解析式为y=-x+3，设过B的直线l为y=kx+b，并求出两条直线的交点，直线l与x轴的交点坐标，根据面积有，即可求k． 【详解】解：由， ∴， ∴四边形分成面积， 可求的直线解析式为， 设过的直线为， 将点代入解析式得， ∴直线与该直线的交点为， 直线与轴的交点为， ∴， ∴或， ∴， ∴直线解析式为； 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的解析式求法；掌握平面内点的坐标与四边形面积的关系，熟练待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴交于 两点， 于点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由点的运动确定的运动轨迹是与轴垂直的一段线段 ，当线段与垂直时，线段的值最小； 【详解】解：将绕点 逆时针旋转 得到 ，则点 在线段上；如图： 两点是直线与坐标轴的交点 ∴ ∴ 是等腰直角三角形 ∵ ∴ ， ， 所在的直线为： 的最小值为点到的距离： 故选：B． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系动点问题，找出点的运动轨迹是解题的关键． 25．如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y于点B，点P在线段上（不与点A、B重合），过点P分别作和的垂线，垂足为C、D，若矩形的面积为1时，则点P的坐标为 ．    【答案】或 【分析】先根据一次函数的解析式求出点和点B的坐标，再设点P的坐标为，从而可得，然后根据矩形的面积公式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得得到答案． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∵点P在线段上（不与点A、B重合） ∴可设点P的坐标为， ∵， ∴， ∵矩形的面积为1， ∴， ∴， 解得或，均符合题意， 当时，，则， 当时，，则， 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、一元二次方程的应用，正确设出点P的坐标，进而表示出的长，进一步根据矩形的面积公式建立一元二次方程是解题关键． 26．表中给出A，B，C三种上宽带网的收费方式． 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 选取哪种方式能节省上网费？ 分析：在方式A，B中，上网时间是影响上网费的变量；在方式C中，上网费是常量． 设月上网时间为，则方案A，B的收费金额，都是x的函数．要比较它们，需在的条件下，考虑何时（1），（2），（3）．利用函数解析式，通过方程、不等式或函数图象能够解答上述问题．在此基础上，再用其中省钱的方式与方式C进行比较，则容易对收费方式作出选择． 在方式A中，月使用费30元与包时上网时间是常量．考虑收费金额时，要把上网时间分为以内和超过两种情况，得到的是如下的函数 化简，得 ， 这个函数的图象如图所示． 类似地，可以得出方式B，C的收费金额关于上网时间x的函数解析式． 在如图中画出的图象，结合函数图象与解析式，填空： 当上网时间_______时，选择方式A最省钱； 当上网时间_______时，选择方式B最省钱； 当上网时间_______时，选择方式C最省钱． 【答案】画图见解析；；；． 【分析】从题意可知，本题中的一次函数又是分段函数，关键是理清楚自变量的取值范围，由取值来确定函数值，从而作出函数图象． 【详解】解：收费方式A：， 化简，得： ， 收费方式B：， 化简，得： ， 收费方式C： 函数图像如图： ①3，解得，当 时，结合函数图象可知，A种方式能节省上网费用， 故答案为：； ②，解得：，结合函数图象可知，当时，B种方式能节省上网费用， 故答案为：； ③时，结合函数图象可知，C种方式能节省上网费用， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分段一次函数的应用，根据单价乘以数量得出函数关系式是解题关键，又利用了不等式的应用． 27．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标是. （1）判断的形状，并求其面积； （2）过点O作，交AB于点D，求点D的坐标.（提示；，，若，则） 【答案】（1）是等腰直角三角形，.（2）点D坐标为 【分析】（1）求出线段AO和OB的长度，即可判定△AOB的形状，运用三角形面积公式求解即可． （2）求出直线OD的解析式为yx，和y=x+4组成一个方程组解出点D的坐标． 【详解】（1）直线y=x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C（﹣2，0）， ∴A（﹣4，0），B（0，4）， ∴AO=4，BO=4， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴S△AOB=AO×OB÷2=4×4÷2=8． （2）设经过点B，C的直线为， 代入（0，4），（﹣2，0），得：， 解得：， 所以． ∵OD⊥BC， ∴直线OD的解析式为yx． 解得：， 所以点D的坐标为：（，）． 【点睛】本题考查了一次函数的应用以及一次函数与二元一次方程组的关系．解题的关键是求出直线OD的解析式． 28．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数．下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d（cm） 20 21 22 23 身高h（cm） 160 169 178 187 （1）求出h与d之间的函数关系式；（不要求写出自变量d的取值范围） （2）某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少？ 【答案】(1)h=9d-20；(2)24 【详解】试题分析：（1）根据题意设h与d之间的函数关系式为：h=kd+b，利用待定系数法从表格中取两组数据，利用待定系数法，求得函数关系式； （2）把h=196代入函数解析式即可求得． 试题解析：（1）设h与d之间的函数关系式为：h=kd+b． 把d=20，h=160；d=21，h=169，分别代入得，． 解得k=9，b=-20，即h=9d-20； （2）当h=196时，196=9d-20，解得d=24cm． 考点：一次函数的应用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一次函数的应用 目 录 题型归纳..........................................................................................................................................................................................1 题型01分配方案问题(一次函数的实际应用)..............................................................................................................................2 题型02最大利润问题(一次函数的实际应用)..............................................................................................................................6 题型03行程问题(一次函数的实际应用)......................................................................................................................................9 题型04一次函数与几何综合........................................................................................................................................................14 题型05其他问题(一次函数的实际应用).....................................................................................................................................20 分层练习.........................................................................................................................................................................................24 夯实基础.........................................................................................................................................................................................24 能力提升.........................................................................................................................................................................................48 知识点1．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点2．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 题型01分配方案问题(一次函数的实际应用) 1．小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示： 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆） 25 20 租金（元/辆） 2000 1800 请问：李老板最少要花掉租金（    ）． A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元 2．单位组织职工观看某场足球比赛，球票的原价为每张100元．在购买门票时，体育场给出了两种不同的团体购票方案．方案一：单位赞助10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；方案二：不交赞助费，当购买票数不超过100张时，按原价收费，超过100张时，超出部分每张80元，设某单位购票x张，总费用为y元． （1）若该单位采用方案一购票，则y与x之间的函数关系式为 ； （2）若该单位采用方案二购票，则当时，y与x之间的函数关系式为 ，当时，y与x之间的函数关系式为 ； （3）若甲、乙两单位共购买了本场足球赛门票700张（每个单位都至少购买了10张），共付费58000元，且甲单位付费较多，则甲单位采用方案 （填“一”或“二”）购票 张，乙单位采用方案 （填“一”或“二”）购票 张． 3．（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 题型02最大利润问题(一次函数的实际应用) 4．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（　　） A．第20天的日销售利润是750元 B．第30天的日销售量为150件 C．第24天的日销售量为200件 D．第30天的日销售利润是750元 5．某商场为了抓住夏季来临，衬衫热销的契机，决定用46000元购进A、B、C三种品牌的衬衫共300件，并且购进的每一种衬衫的数量都不少于90件．三种品牌的衬衫的进价和售价如下表所示： 型号 A B C 进价（元/件） 100 200 150 售价（元/件） 200 350 300 如果该商场能够将购进的衬衫全部售出，但在销售这些衬衫的过程中还需要另外支出各种费用共计1000元，那么商场能够获得的最大利润是 元． 6．（八年级下·上海浦东新·期中）旅客乘乘车按规定可以随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需购买行李票，设行李票y（元）是行李质量x（千克）的一次函数．其图象如图所示． （1）当旅客需要购买行李票时，求出y与x之间的函数关系式； （2）当旅客不愿意购买行李票时，最多可以携带多少行李？ 题型03行程问题(一次函数的实际应用) 7．（八年级下·上海崇明·期末）小张、小王两个人从甲地出发，去8千米外的乙地，图中线段OA、PB分别反映了小张、小王步行所走的路程S（千米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，小王比小张早到乙地的时间是__________分钟． A．4 B．6 C．16 D．10 8．（2021·上海金山·二模）小张、小王两个人从甲地出发，去8千米外的乙地，图中线段OA、PB分别反映了小张、小王步行所走的路程S（千米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，小王比小张早到乙地的时间是 分钟． 9．（2024·上海黄浦·三模）在一条笔直的公路上有两地，小明骑自行车从地去地，小刚骑电动车从地去地，然后立即原路返回到地，如图是两人离地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数图像．请根据图像回答下列问题： (1)求小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式； (2)若两人间的距离不超过千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？ 题型04一次函数与几何综合 10．（八年级下·上海黄浦·期中）一次函数y=x+1的图象交x轴于点A，交y轴于点B．点C在x轴上，且使得△ABC是等腰三角形，符合题意的点C有(   )个． A．2 B．3 C．4 D． 11．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）已知：如图所示，直线交轴于点，交轴于点．若点从点出发，沿射线作匀速运动，点从点出发，沿射线作匀速运动，两点同时出发，运动速度也相同，当为直角三角形时，则点的坐标为 ． 12．（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 题型05其他问题(一次函数的实际应用) 13．（八年级下·上海嘉定·阶段练习）已知弹簧在弹性限度内，它的长度y(厘米)与所挂重物质量x(千克)是一次函数关系．如果经过测量，不挂重物时弹簧长度是6厘米，挂上2千克重物时弹簧长度是7.2厘米，那么挂上1千克重物时弹簧长度是(    ) 厘米． A．3.6 B．6.6 C．6.8 D．7 14．（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如果购买某一种水果所付金额y（元）与购买数量x（千克）之间的函数图象由线段与射线组成（如图所示），那么购买3千克这种水果需要付 元． 15．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图1，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具．某校八年级综合实践小组用甲、乙两个透明的圆柱容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图2）．在甲容器里加满水，此时水面高度为．若由于装置的原因，甲容器内的水无法全部流出，当水面高度刚好是时，停止流水，此时停止计时．上午8:00开始放水后，甲容器的水面高度和流水时间的部分数据如表： 记录时间 8:00 8:10 8:25 8:30 8:40 流水时间 0 10 25 30 40 水面高度 30 28 25 24 22 (1)综合实践小组在平面直角坐标系中描出了以表中各组对应值为坐标的点，并用光滑的曲线（包括直线）把描出的点连接起来（如图3），发现可以用一次函数近似地刻画甲容器的水面高度与流水时间的关系，根据以上信息，求y关于x的函数解析式（不用写定义域）． (2)当时间正好是9:10时，甲容器的水面高度是多少厘米? (3)刚好停止流水时是几时几分? 夯实基础 一、单选题 1．若点A（m,n）在y=x+b的图像上，且2m-3n＞6，则b的取值范围为（　　） A．b＞2 B．b＞-2 C．b＜2 D．b＜-2 2．，两地相距120km，甲、乙两人分别从两地出发相向而行，甲先出发，如图，，分别表示两人离地的距离（km）与时间（h）之间的关系，则当甲到达地时，乙距离地（    ） A．56km B．60km C．80km D．40km 3．一条公路旁依次有、、三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从村、村同时出发前往村，甲乙之间的距离与骑行时间之间的函数关系如图所示，下列结论中错误的是（    ） A．甲每小时比乙多骑行 B．出发后两人相遇 C．，两村相距 D．相遇后，乙又骑了或时两人相距 4．如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在OB上，若将△ABC沿AC折叠，使点B恰好落在x轴上的点D处，则C点的坐标为（　　） A．（4，0） B．（0，2） C．（0，1.5） D．（0，3） 5．如图，在中，，点A的坐标为，P是OA上一动点，将点P绕点逆时针旋转，当点P的对应点落在AB边上时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为 ，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型． 7．某商店销售每台型电脑的利润为100元，销售每台型电脑的利润为150元，该商店计划一次购进，两种型号的电脑共100台，设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，则与的函数关系式 8．如图是甲、乙两人同一地点出发后，路程随时间变化的图象． （1）甲的速度 乙的速度．（大于、等于、小于） （2）甲乙二人在 时相遇； （3）路程为150千米时，甲行驶了 小时，乙行驶了 小时． 9．已知等腰三角形的周长为40，则它的底边长y关于腰长x的函数解析式为 ，自变量x的取值范围是 ． 10．某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米时，两车之间的距离（千米）与货车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论： ①快递车从甲地到乙地的速度为100千米时； ②甲、乙两地之间的距离为120千米： ③图中点的坐标为； ④快递车从乙地返回时的速度为90千米时． 以上4个结论中正确的是 （填序号） 11．某公司新产品上市天全部售完，图①表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图②表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是 元；已知当时，单件产品的销售利润w与t之间的函数关系式为，则第天的日销售利润为 元．    12．已知小明与小亮两人在同一地点，若小明向北直走160 m，再向东直走80 m，可到购物中心，则小亮向西直走 m后，他与购物中心的距离为340 m. 13．如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动；同时，点Q沿边AB、BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动．当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动．设点P出发xs时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，则线段EF所在的直线对应的函数关系式为 ． 14．如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于A，B两点点D，E分别是OB，AB上的动点，则周长的最小值是 ． 15．如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A和点B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，则点C的坐标为 ． 三、解答题 16．图中两个时针的指针分别表示同一时刻的北京时间和东京时间．设北京时间为t（时），东京时间为y（时），就的范围，分别求y关于t的函数表达式，并填写下表（同一时刻的两地时间）． 北京时间 8：30 4：30 东京时间 12：10 17．西安市某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的函数关系如图所示，其中当x＜6时，y是x的正比例函数，当时，y是x的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)求当x≥6时，y与x的函数关系式． (2)求点A的坐标． (3)药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于1.5mg的时间超过30分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？ 18．如图，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图像交于点． (1)求点的坐标和一次函数的表达式； (2)直接写出方程组的解； (3)直接写出当时的取值范围； (4)函数在第一象限的图像上是否存在点，使得的面积比的面积大3？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．学校准备购置一批教师办公桌椅，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2 000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元． (1)一套A型桌椅和一套B型桌椅的售价各是多少元？ (2)学校准备购进这两种型号的办公桌椅200套，平均每套桌椅需要运费10元，并且A型桌椅的套数不多于B型桌椅的套数的3倍．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 20．由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．蓄水量V(万米3) 与干旱持续时间t(天)的关系如下图所示，回答下列问题： (1)水库干旱前的蓄水量是多少？ (2)干旱持续10天后，蓄水量为多少？连续干旱23天后呢？ (3)蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报．干旱多少天后将发出严重干旱警报？ (4)按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？ 21．某商场计划购进、两种新型节能台灯共盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 类型 价格 进价（元/盏） 售价（元/盏） A型 30 45 B型 50 70 （1）若商场预计进货款为元，则这两种台灯各购进多少盏？ （2）若商场规定型台灯的进货数量不超过型台灯数量的倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 22．如图所示，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的一条边OB在x轴的正半轴上，点A在双曲线y＝（k≠0）上，其中点B为（2，0）． （1）求k的值及点A的坐标 （2）△OAB沿直线OA平移，当点B恰好在双曲线上时，求平移后点A的对应点A’的坐标． 能力提升 一、单选题 23．如图，四边形的顶点坐标分别为，当过点的直线将四边形分成面积相等的两部分时，直线所表示的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 24．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴交于 两点， 于点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 25．如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y于点B，点P在线段上（不与点A、B重合），过点P分别作和的垂线，垂足为C、D，若矩形的面积为1时，则点P的坐标为 ．    26．表中给出A，B，C三种上宽带网的收费方式． 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/） A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 选取哪种方式能节省上网费？ 分析：在方式A，B中，上网时间是影响上网费的变量；在方式C中，上网费是常量． 设月上网时间为，则方案A，B的收费金额，都是x的函数．要比较它们，需在的条件下，考虑何时（1），（2），（3）．利用函数解析式，通过方程、不等式或函数图象能够解答上述问题．在此基础上，再用其中省钱的方式与方式C进行比较，则容易对收费方式作出选择． 在方式A中，月使用费30元与包时上网时间是常量．考虑收费金额时，要把上网时间分为以内和超过两种情况，得到的是如下的函数 化简，得 ， 这个函数的图象如图所示． 类似地，可以得出方式B，C的收费金额关于上网时间x的函数解析式． 在如图中画出的图象，结合函数图象与解析式，填空： 当上网时间_______时，选择方式A最省钱； 当上网时间_______时，选择方式B最省钱； 当上网时间_______时，选择方式C最省钱． 27．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标是. （1）判断的形状，并求其面积； （2）过点O作，交AB于点D，求点D的坐标.（提示；，，若，则） 28．如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数．下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距d（cm） 20 21 22 23 身高h（cm） 160 169 178 187 （1）求出h与d之间的函数关系式；（不要求写出自变量d的取值范围） （2）某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少 1 学科网（北京）股份有限公司 $$