20.4 一次函数的性质与应用 讲义 2024--2025学年沪教版八年级数学下册

2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第2讲 20.4 一次函数的性质与应用 目录 1、 【进门测试】共6题； 2、 【知识精讲】共3个知识点； 3、 【典例解析】共4例题； 4、 【过关演练】共12题； 5、 【拓展进阶】共8题； 6、 【温故知新】共12题：A组3题，B组4题，C组5题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 一．选择题 1．下列函数中，是一次函数的是（　　） A．y＝1﹣x B．y＝ C．y＝kx+1 D．y＝x2+1 2．如果函数y＝（2﹣k）x+5是关于x的一次函数，且y随x的值增大而减小，那么k的取值范围是（　　） A．k≠0 B．k＜2 C．k＞2 D．k≠2 3．下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） A．y＝ B．y＝﹣x2+3 C．y＝ D．y＝2（1﹣x）+2x 4．若k＜0，b＞0，则y＝kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．如图，一次函数y＝2x+3与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，在直线AB上取一点P（点P不与A，B重合），过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，连接PO，若△PQO的面积恰好为，则满足条件的P点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．对于一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），表中给出5组自变量及其对应的函数值， X ⋯ ﹣2 ﹣1 0 1 2 ⋯ y ⋯ 7 5 4 1 ﹣1 ⋯ 其中只有1个函数值有误，则这个错误的函数值是（　　） A．7 B．5 C．4 D．1 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一、一次函数的增减性： 一般地，一次函数（为常数，）具有以下性质： 当时，函数值随自变量的值增大而增大，图像为上升； 当时，函数值随自变量的值增大而减小，图像为下降． 二、一次函数与不等式的关系 1、 一元一次方程与一次函数 （1） 对于一次函数，由它的函数值就得到关于的一元一次方程，解这个方程得，于是可以知道一次函数的图像与轴的交点坐标为． （2） 若已知一次函数的图像与轴的交点坐标，也可以知道这个交点的横坐标，其就是一元一次方程的根． 2、 一元一次不等式与一次函数 （1） 由一次函数的函数值大于0（或小于0），就得到关于的一元一次不等式（或）的解集． （2） 在一次函数的图像上且位于轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式（或）的解集． 三、一次函数的应用 1.根据实际问题建立一次函数解析式的方法 （1） 找等量关系； （2） 把已知条件代入，变化的两个量用变量x,y来表示； （3） 求定义域。（根据解析式和实际意义求定义域） 2.利用一次函数解决决策问题的方法 1. 先根据题意建立函数解析式； 2. （2）再根据解析式画出函数图像； 3. （3）最后根据图像作出决策。 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 考点一：判断一次函数的增减性 【例题1】在函数y＝kx（k＞0）的图象上有三点A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中正确的是（ ） A．y1＜0＜y3 B．y3＜0＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 【变式训练1】已知一次函数的图像不经过第三象限,那么函数值y随自变量x的值增大而________(填“增大”或“减小”). 【变式训练2】在直线上且位于轴下方的点的横坐标的取值范围是______． 【变式训练3】已知一次函数的图象经过点(1，-2)，且不经过第三象限，那么关于的不等式的解集是_______ 考点二：一次函数与不等式的关系 【例题1】如图所示，一次函数的图像经过A（0，2）、B（4，0）两点，则不等式kx+b>0的解集是______________． 【变式训练1】已知一次函数， （1） 如果函数的图象在x轴的上方，这时x应满足的条件是_______； （2） 如果函数的图像在y轴的左侧，此时x的取值范围是__________． 【变式训练2】如图所示，直线经过A（，2）和B（，0）两点，则不等式组的解集是什么? 【变式训练3】直线与直线在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，求关于x的不等式的解集． 【变式训练4】如图已知函数和的图像交于点P（-2，-5），根据图像，求不等式的解集． 考点三：一次函数的应用 【例题3】某人因需要经常去复印资料，甲复印社按A4纸每10页2元计费，乙复印社则按A4纸每10页0.8元计费，但需按月付一定数额的承包费.两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）乙复印社要求客户每月支付的承包费是_______元； （2）当每月复印_______页时，两复印社实际收费相同； （3）如果每月复印200页时，应选择_______复印社？ 【变式训练1】某边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇追赶（如图1）．图2中、分别表示两船相对于海岸的距离（海里）与追赶时间（分）之间的关系． （1）求、的函数解析式； （2）当逃到离海岸12海里的公海时，将无法对其进行检查．照此速度，能否在逃入公海前将其拦截？若能，请求出此时离海岸的距离；若不能，请说明理由． 【变式训练2】某工厂研制一种新产品并投放市场，根据市场调查的信息得出这种新产品的日销产量y（万件）与销售的天数x（天）的关系如图所示.根据图像按下列要求作出分析： （1）求开始时，不断上升的日销售量y（万件）与销售天数x（天）的函数关系式； （2）已知销售一件产品获利0.9元，求在该产品日销量不变期间的利润有多少万元。 【变式训练3】据医学研究,使用某种抗生素治疗心肌炎,人体内每毫升血液中的含药量不少于4微克时,治疗有效.如果一患者按规定剂量服用这种抗生素,服用后每毫升血液中的含药量(微克)与服用后的时间(小时)之间的函数关系如图所示: (1)如果上午8时服用该药物,到 时该药物的浓度达到最大值 微克/毫升; (2)根据图象求出从服用药物起到药物浓度最高时y与t之间的函数解析式; (3)如果上午8时服用该药物,到 时该药物开始有效，有效时间一共是 小时; 【例题4】如图，在平面直角坐标系中，点，，边上有一点，点，分别在边，上，联结，，联结，，． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2当时，求出点的坐标； （3）在（2）的条件下，点在射线上，，请直接写出点的坐标． 【变式训练】如图，直线y＝x﹣2与x轴交于点A，以OA为斜边在x轴的上方作等腰直角三角形OAB，将△OAB沿x轴向右平移，当点B落在直线y＝x﹣2上时，则线段AB在平移过程中扫过部分的图形面积为_____． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 一．填空题 1．已知y＝m+1是一次函数，则m＝　　． 2．已知函数y＝﹣3x+7，当x＞2时，函数值y的取值范围是　　． 3．如果一次函数y＝kx+2的函数值y随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是　　． 4．我们知道：当x＝2时，不论k取何实数，函数y＝k（x﹣2）+3的值为3，所以直线y＝k（x﹣2）+3一定经过定点（2，3）；同样，直线y＝（k﹣2）x+3k一定经过的定点为　 　． 5．已知一次函数f（x）＝﹣x﹣2，则f（﹣2）＝　　． 6．一次函数y＝﹣4x﹣2的图象在y轴上的截距是　　． 7．把直线y＝x+1向右平移　　个单位可得到直线y＝x﹣2． 8．直线y＝2x﹣3向下平移4个单位可得直线y＝　 　． 二．解答题 1．已知A城与B城相距200千米，一列火车以每小时60千米的速度从A城驶向B城． （1）求火车与B城的距离S（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系式及t（时）的取值范围； （2）画出函数图象． 2．某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示： x（公里） 80 120 180 200 … y（元） 200 300 450 500 … （1）写出y（元）关于x（公里）的函数解析式　 　；（不需写出定义域） （2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式　 　；（不需写出定义域） （3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？ 3．周末，小明骑电动自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地．如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑电动自行车速度的3倍． （1）小明骑电动自行车的速度为 　　千米/小时，在甲地游玩的时间为 　　小时； （2）小明从家出发多少小时的时候被妈妈追上？此时离家多远？ 4．货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A处相距360千米的B处．下表记录的是货车一次加满油后油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（时）之间的关系： 行驶时间x（时） 0 1 2 3 4 余油量y（升） 150 120 90 60 30 （1）如果y关于x的函数是一次函数，求这个函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） （2）在（1）的条件下，如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C处，C的前方12千米的D处有一加油站，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达B处卸货后能顺利返回会D处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内剩余油量应随时不少于10升） 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1.利用函数的图像求不等式：的解集． 2.某工厂有甲、乙两条生产线先后投产，在乙生产线投产以前，甲生产线已生产了200t成品；从乙生产线投产开始，甲、乙两条生产线每天分别生产20t和30t成品． （1）分别求出甲、乙两条生产线投产后，总产量y(t)与从乙开始投产以来所用时间x(天)之间的函数关系式，并求出第几天结束时，甲、乙两条生产线的总产量相同； （2）分别求出第15天和第25天结束时，甲、乙两条生产线的产量是多少，并比较哪条生产线的总产量高． 3.校运动会前，小明和小亮相约晨练跑步．小明比小亮早1分钟离开家门，3分钟后迎面遇到从家跑来的小亮．两人并行跑了2分钟后，决定进行长跑比赛，比赛时小明的速度始终是180米/分，小亮的速度始终是220米/分．下图是两人之间的距离y（米）与小明离开家的时间x（分钟）之间的函数图象，根据图象回答下列问题： （1）请直接写出小明和小亮比赛前的速度； （2）请在图中的（ ）内填上正确的值，并求两人比赛过程中y与x之间的函数关系式．（不用写自变量x的取值范围） （3）若小亮从家出门跑了14分钟后，按原路以比赛时的速度返回，则再经过多少分钟两人相遇? 4.为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备,现有A,B两种型号的设备,其中每台的价格，月处理污水量及年消耗费如下表：   A型 B型 价 格（万元／台） 12 10 处理污水量（吨／月） 240 200 年消耗费（万元／台） 1 1 经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元． （1）求购买设备的资金y万元与购买A型x台的函数关系，并设计该企业有几种购买方案； （2）若企业每月产生的污水量为2040吨，利用函数的知识说明，应选择哪种购买方案； （3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元? (注:企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费)． 5.如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，8），CB=4，D为OA中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒． （1）求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上； （2）动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围； （3）几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分?求出此时点P的坐标? 6.如图，一次函数与坐标轴交于A、B两点，且点P是坐标轴上一点，△ABP为等腰三角形．（1）求∠ABO的大小；（2）求出P点的坐标． 7.直线与轴、轴分别交于点A、点B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC， （1）求△ABC的面积； （2）在x轴上是否存在一点M，使得△MAB是等腰三角形?若存在，请直接写出M的坐标，若不存在，请说明理由． （3）如果在第二象限内有一点P，当△ABP的面积与△ABC的面积相等，求a的值． 8.如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，另已知直线经过点C（1，0），且把△AOB分成两部分． （1）若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值； （2）若△AOB被分成的两部分面积比为1：5，求k和b的值． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 1.某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如下表： 质量x（千克） 1 2 3 4 …… 售价y（元） 3．60+0．20 7．20+0．20 10．80+0．20 14．40+0．2 …… 由上表得y与x之间的关系式是___________． 2．如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点，的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为______． 3．直线在轴上方的点的横坐标的取值范围是______________________. 题组B 能力提升练 1.已知平面上四点，，，，直线将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为________． 2．某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中①有月租费，②无月租费，两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系图象均为直线，如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）当通讯时间为500分钟时，①方式收费 　 　元， ②方式收费 　 　元； （2）②收费方式中y与x之间的函数关系式是 　 　； （3）如果某用户每月的通讯时间少于200分钟，那么此用户应该选择收费方式是 　 　（填①或②）． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0）、点B（0，6），过原点的直线l交直线AB于点P． （1）求∠OAB的度数和△AOB的面积； （2）当直线l的解析式为y＝2x时，求点P的坐标； （3）当时，求直线l的解析式． 4.甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定价20元，乒乓球每盒定价5元．现两家商店搞促销活动，甲店:每买一付球拍赠一盒乒乓球；乙店:按定价的9折优惠．某班级需购球拍4付，乒乓球若干盒(不少于4盒) ． （1）设购买乒乓球盒数为x(盒)，在甲店购买的付款数为y1(元)，在乙店购买的付款为y2 (元)，分别写出在这两家商店购买的付款数与乒乓球盒数x之间的函数关系式； （2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算． 题组C 培优拔尖练 1.为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备,现有A,B两种型号的设备,其中每台的价格，月处理污水量及年消耗费如下表：   A型 B型 价 格（万元／台） 12 10 处理污水量（吨／月） 240 200 年消耗费（万元／台） 1 1 经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元． （1）求购买设备的资金y万元与购买A型x台的函数关系，并设计该企业有几种购买方案； （2）若企业每月产生的污水量为2040吨，利用函数的知识说明，应选择哪种购买方案； （3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元? (注:企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费)． 2.如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，8），CB=4，D为OA中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒． （1）求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上； （2）动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围； （3）几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分?求出此时点P的坐标? 3.A市和B市分别有某种库存机器12台和6台,现决定支援C村10台，D村8台，已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元． （1）设B市运往C村机器x台，求总运费W关于x的函数关系式； （2）若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案? （3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元? 4.如图，直线L：与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． （1）求A、B两点的坐标； （2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； （3）当t何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标． 5.如图，在直角坐标平面内xoy中，点A在x轴上，点C与点E在y轴上，且E为OC中点，BC∥x轴，且BE⊥AE，连接AB． （1）求证：AE平分∠BAO； （2）当OE=6，BC=4时，求直线AB的解析式． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第2讲 20.4 一次函数的性质与应用 目录 1、 【进门测试】共6题； 2、 【知识精讲】共3个知识点； 3、 【典例解析】共4例题； 4、 【过关演练】共12题； 5、 【拓展进阶】共8题； 6、 【温故知新】共12题：A组3题，B组4题，C组5题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 一．选择题（共6小题） 1．下列函数中，是一次函数的是（　　） A．y＝1﹣x B．y＝ C．y＝kx+1 D．y＝x2+1 【考点】一次函数的定义．版权所有 【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【解答】解：A、y＝1﹣x是一次函数，故此选项符合题意； B、y＝是反比例函数，故此选项不符合题意； C、当k＝0时不是一次函数，故此选项不符合题意； D、y＝x2+1是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．如果函数y＝（2﹣k）x+5是关于x的一次函数，且y随x的值增大而减小，那么k的取值范围是（　　） A．k≠0 B．k＜2 C．k＞2 D．k≠2 【考点】一次函数的定义．版权所有 【分析】根据一次函数的性质，如果y随x的增大而减小，则一次项的系数小于0，据此求出k的取值范围． 【解答】解：∵函数y＝（2﹣k）x+5是关于x的一次函数，且y随x的值增大而减小， ∴2﹣k＜0， ∴k＞2． 故选：C． 3．下列函数中，y是x的一次函数的是（　　） A．y＝ B．y＝﹣x2+3 C．y＝ D．y＝2（1﹣x）+2x 【考点】一次函数的定义．版权所有 【分析】一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【解答】解：A、y＝是一次函数，故此选项符合题意； B、y＝﹣x2+3是二次函数，故此选项不符合题意； C、y＝不是一次函数，是反比例函数，故此选项不符合题意； D、y＝2（1﹣x）+2x＝2﹣2x+2x＝2不是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．若k＜0，b＞0，则y＝kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】一次函数的图象．版权所有 【分析】根据一次函数的图象性质即可判断． 【解答】解：∵k＜0，b＞0， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限， 故选：C． 5．如图，一次函数y＝2x+3与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，在直线AB上取一点P（点P不与A，B重合），过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，连接PO，若△PQO的面积恰好为，则满足条件的P点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】由点P在直线AB上，可设P（m，2m+3），再根据△PQO的面积，分三种情况分别讨论，求出m值，进一步求出P点坐标． 【解答】解：∵点P在直线AB上， ∴设P（m，2m+3）， ①当P点在第一象限时， ， ∴2m2+3m＝， 2m2+3m﹣0， Δ＝18＞0， x＝， m1＝，m2＝， ∵P点在第一象限， ∴P（，） ②当P点在第二象限时， ∴S△POQ＝， ∴＝， 2m2+3m+＝0， Δ＝0， m＝﹣＜0， ∴P（﹣，）； ③当P点在第三象限时， ＝， 解得m1＝，m2＝， ∵P点在第三象限， ∴P（，）， 综上所述：P（，）或P（，）或P（﹣，）． 故选：C． 6．对于一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0），表中给出5组自变量及其对应的函数值， X ⋯ ﹣2 ﹣1 0 1 2 ⋯ y ⋯ 7 5 4 1 ﹣1 ⋯ 其中只有1个函数值有误，则这个错误的函数值是（　　） A．7 B．5 C．4 D．1 【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】把（﹣2，7）（﹣1，5）代入y＝kx+b求出k、b，再把（1，1）（﹣1，5）代入y＝kx+b，求出k、b，从而确定一次函数解析式，再把剩余的两组数值代入求出y即可． 【解答】解：把（﹣2，7）（﹣1，5）代入y＝kx+b， 得， 解得，k＝﹣2，b＝3， 把（1，1）（﹣1，5）代入y＝kx+b， 得， 解得k＝﹣2，b＝3， ∴一次函数解析式：y＝﹣2x+3， 把x＝0代入y＝﹣2x+3， y＝3≠4， ∴4这个函数值是错误的， 把x＝2代入y＝﹣2x+3， y＝﹣1，函数值正确， 故选：C． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 一、一次函数的增减性： 一般地，一次函数（为常数，）具有以下性质： 当时，函数值随自变量的值增大而增大，图像为上升； 当时，函数值随自变量的值增大而减小，图像为下降． 二、一次函数与不等式的关系 1、 一元一次方程与一次函数 （1） 对于一次函数，由它的函数值就得到关于的一元一次方程，解这个方程得，于是可以知道一次函数的图像与轴的交点坐标为． （2） 若已知一次函数的图像与轴的交点坐标，也可以知道这个交点的横坐标，其就是一元一次方程的根． 2、 一元一次不等式与一次函数 （1） 由一次函数的函数值大于0（或小于0），就得到关于的一元一次不等式（或）的解集． （2） 在一次函数的图像上且位于轴上方（或下方）的所有点，它们的横坐标的取值范围就是不等式（或）的解集． 三、一次函数的应用 1.根据实际问题建立一次函数解析式的方法 （1） 找等量关系； （2） 把已知条件代入，变化的两个量用变量x,y来表示； （3） 求定义域。（根据解析式和实际意义求定义域） 2.利用一次函数解决决策问题的方法 1. 先根据题意建立函数解析式； 2. （2）再根据解析式画出函数图像； 3. （3）最后根据图像作出决策。 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 考点一：判断一次函数的增减性 【例题1】在函数y＝kx（k＞0）的图象上有三点A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中正确的是（ ） A．y1＜0＜y3 B．y3＜0＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 【答案】A 【分析】根据正比例函数的图象性质. 【详解】k>0,正比例函数，y随x增大而增大. 【点睛】正比例函数y=kx(k图象性质: ，正比例函数图象过一、三象限和原点,y随x增大而增大； ，正比例函数图象过二、四象限和原点,y随x增大而减小. 【变式训练1】已知一次函数的图像不经过第三象限,那么函数值y随自变量x的值增大而________(填“增大”或“减小”). 【答案】减小 【分析】根据题意可得k＜0，再根据一次函数的增减性即可得解. 【详解】解：∵一次函数的图像不经过第三象限， ∴k＜0， ∴函数值y随自变量x的值增大而减小. 故答案为减小. 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，解此题的关键在于熟练掌握根据一次函数经过的象限判断系数的取值范围与一次函数的增减性. 【变式训练2】在直线上且位于轴下方的点的横坐标的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线y=x-1与x轴的交点坐标，再利用一次函数的性质，即可找出直线y=x-1上且位于x轴下方的所有点的横坐标取值范围． 【详解】解：当y=0时，x-1=0， 解得：x=1， ∴直线y=x-1与x轴交于点（1，0）． 又∵k=1＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴直线y=x-1上且位于x轴下方的所有点的横坐标取值范围是x＜1． 故答案为：x＜1． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征求出直线y=4x-8与x轴的交点坐标是解题的关键． 【变式训练3】已知一次函数的图象经过点(1，-2)，且不经过第三象限，那么关于的不等式的解集是_______ 【答案】 【分析】先根据一次函数图象的特点可得，再根据一次函数的性质（增减性）即可得． 【详解】解；一次函数的图象经过点，且不经过第三象限， ， 随的增大而减小， 则关于的不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 考点二：一次函数与不等式的关系 【例题1】如图所示，一次函数的图像经过A（0，2）、B（4，0）两点，则不等式kx+b>0的解集是______________． 【难度】★ 【答案】． 【解析】求对应的图像部分，即取点B的上方部分所对应的的取值范围即． 【总结】考查一次函数与不等式之间的关系． 【变式训练1】已知一次函数， （1） 如果函数的图象在x轴的上方，这时x应满足的条件是_______； （2） 如果函数的图像在y轴的左侧，此时x的取值范围是__________． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）解不等式，得；（2）y轴左侧即x＜0． 【总结】考查一次函数与不等式之间的关系． 【变式训练2】如图所示，直线经过A（，2）和B（，0）两点，则不等式组的解集是什么? 【难度】★★ 【答案】． 【解析】直线解析式为y=x+3，解不等式，得． 【总结】考查一次函数与不等式之间的关系． 【变式训练3】直线与直线在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，求关于x的不等式的解集． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】两条直线的交点坐标为（-1，3），原不等式的解集即交点左侧所对应的的取值范围即． 【总结】考查一次函数与不等式之间的关系． 【变式训练4】如图已知函数和的图像交于点P（-2，-5），根据图像，求不等式的解集． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】两条直线的交点坐标为（-2，-5），原不等式的解集即交点右侧所对应的的取值范围 即． 【总结】考查一次函数与不等式之间的关系． 考点三：一次函数的应用 【例题3】某人因需要经常去复印资料，甲复印社按A4纸每10页2元计费，乙复印社则按A4纸每10页0.8元计费，但需按月付一定数额的承包费.两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）乙复印社要求客户每月支付的承包费是_______元； （2）当每月复印_______页时，两复印社实际收费相同； （3）如果每月复印200页时，应选择_______复印社？ 【答案】（1）18；（2）150；（3）乙． 【分析】（1）根据图象，与y轴的交点的函数值即为每月支付的承包费； （2）先求出两函数的解析式，再联立求解即可；（3）结合（2）求得的结论解答即可． 【详解】（1）由图可知，x=0时，y=18，所以，乙复印社要求客户每月支付的承包费是18元； （2）设y甲=kx，把x=50，y=10代入得50k=10，解得k=，∴y甲=x． 设y乙=mx+n，把x=50，y=10和x=0，y=22代入得， 解得m=，n=18，∴y乙=x+18，解，得， ∴两函数图象的交点为(150，30)， ∴当每月复印150页时，两复印社实际收费相同；（3）选择乙． 理由是：当复印页少于150页时，甲的收费较低，当复印页等于150页时，两复印社收费相同， 当复印页超过150页时，乙的收费较低，∵200＞150， ∴如果每月复印200页时，乙的收费较低． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，观察图象并准确得到提供的信息是解题的关键，难度一般． 【变式训练1】某边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇追赶（如图1）．图2中、分别表示两船相对于海岸的距离（海里）与追赶时间（分）之间的关系． （1）求、的函数解析式； （2）当逃到离海岸12海里的公海时，将无法对其进行检查．照此速度，能否在逃入公海前将其拦截？若能，请求出此时离海岸的距离；若不能，请说明理由． 【答案】（1）A船：，B船：；（2）能追上；此时离海岸的距离为海里． 【分析】（1）根据函数图象中的数据用待定系数法即可求出，的函数关系式； （2）根据（2）中的函数关系式求其函数图象交点可以解答本题． 【详解】解：（1）由题意，设．∵在此函数图像上， ∴，解得，由题意，设． ∵，在此函数图像上，∴． 解得，．∴． （2）由题意，得，解得． ∵，∴能追上．此时离海岸的距离为海里． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答． 【变式训练2】某工厂研制一种新产品并投放市场，根据市场调查的信息得出这种新产品的日销产量y（万件）与销售的天数x（天）的关系如图所示.根据图像按下列要求作出分析： （1）求开始时，不断上升的日销售量y（万件）与销售天数x（天）的函数关系式； （2）已知销售一件产品获利0.9元，求在该产品日销量不变期间的利润有多少万元。 【答案】（1）y=x（0≤x≤60）；（2）1134 【分析】（1）运用待定系数法就可以求出y与x之间的函数关系式； （2）由图象可以得知在该产品日销售量不变期间的销量是每天3万件，共420天，根据总利润=3×（每一件产品的利润×产品的数量）×天数就可以得出结论． 【详解】解：（1）设开始时，不断上升的日销售量y（万件）与销售天数x（天）的函数关系式为y=kx，由图象得：3=60k，解得：k= ， 故y与x之间的函数关系式为：y=x（0≤x≤60）； （2）由图象得日销售量不变期间的销量为：3万件，共480-60=420天． 则总利润=420×3×0.9=1134（万元）． 【点睛】本题是一道一次函数的综合试题，考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，总利润=每一件产品的利润×产品的数量的运用，解答本题时弄懂图象的意义是关键． 【变式训练3】据医学研究,使用某种抗生素治疗心肌炎,人体内每毫升血液中的含药量不少于4微克时,治疗有效.如果一患者按规定剂量服用这种抗生素,服用后每毫升血液中的含药量(微克)与服用后的时间(小时)之间的函数关系如图所示: (1)如果上午8时服用该药物,到 时该药物的浓度达到最大值 微克/毫升; (2)根据图象求出从服用药物起到药物浓度最高时y与t之间的函数解析式; (3)如果上午8时服用该药物,到 时该药物开始有效，有效时间一共是 小时; 【答案】（1）12，8；（2）；（3）10，5. 【分析】（1）根据函数图象可知，当时，取得最大值，且最大值为8，即可求得本问； （2）根据图象可得，从服用药物起到药物浓度最高时，与之间的函数解析式为图象中的正比例函数那段，将图象上代入即可得； （3）由题意，求出时，在正比例函数上的值，即可解；又因时，，所以药物有效时间总共为小时. 【详解】（1）由函数图象可知，当时，取得最大值，且最大值为8 则如果上午8时服用该药物，到时该药物的浓度达到最大值8微克/毫升 故答案为：12，8； （2）根据图象可得，需要求的是时，正比例函数那段， 设，将代入得：，解得： 则所求的与之间的函数解析式为； （3）把，代入题（2）所求的函数解析式得，解得 从图象中可得，时，，由题意得治疗有效 则如果上午8时服用该药物，到时该药物开始有效，有效时间一共是小时，故答案为：10，5. 【点睛】本题考查了一元一次函数的实际应用，看懂图象、理解题意是解题关键. 【例题4】如图，在平面直角坐标系中，点，，边上有一点，点，分别在边，上，联结，，联结，，． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2当时，求出点的坐标； （3）在（2）的条件下，点在射线上，，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）直线AB解析式为y＝x＋9，P点坐标为（-，2）（2）C点坐标为（-2，0）（3）R（2，-6）． 【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式，再把P点坐标代入直线解析式可求得P点坐标； （2）由条件可证明△BPQ≌△CDQ，可证得四边形BDCP为平行四边形，由B、P的坐标可求得BP的长，则可求得CD的长，利用平行线分线段成比例可求得OC的长，则可求得C的坐标； （3）由条件可知AR∥BO，故可先求出直线OB，BC的解析式，再根据直线平行求出AR的解析式，联立直线AR、BC即可求出R点坐标． 【详解】（1）设直线AB解析式为y＝kx＋b， 把A、B两点坐标代入可得，解得，∴直线AB解析式为y＝x＋9， ∵在直线AB上，∴2＝−m＋9，解得m＝-，∴P点坐标为（-，2）； （2）∵，∴∠PBQ＝∠DCQ，在△PBQ和△DCQ中 ∴△PBQ≌△DCQ（ASA），∴BP＝CD，∴四边形BDCP为平行四边形， ∵，（-，2），∴CD＝BP＝， ∵A（-6，0），∴OA＝6，AB＝， ∵CD∥AB，∴△COD∽△AOB ∴，即，解得CO＝2，∴C点坐标为（-2，0）； （3）∵，∴点A和点R到BO的距离相等，∴BO∥AR， 设直线BO的解析式为y=nx，把代入得3=-4n，解得n=-x ∴直线BO的解析式为y=-x，∴设直线AR的解析式为y=-x+e， 把A(-6，0)代入得0=-×（-6）+e，解得e=- ∴直线AR的解析式为y=-x-，设直线BC解析式为y＝px＋q， 把C、B两点坐标代入可得，解得，∴直线AB解析式为y＝-x-3， 联立，解得，∴R（2，-6）． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，解题的关键是熟知待定系数法求出函数解析式． 【变式训练】如图，直线y＝x﹣2与x轴交于点A，以OA为斜边在x轴的上方作等腰直角三角形OAB，将△OAB沿x轴向右平移，当点B落在直线y＝x﹣2上时，则线段AB在平移过程中扫过部分的图形面积为_____． 【答案】12． 【分析】根据等腰直角三角形的性质求得点BC、OC的长度，即点B的纵坐标，表示出B′的坐标，代入函数解析式，即可求出平移的距离，进而根据平行四边形的面积公式即可求得． 【详解】 y＝x﹣2，当y＝0时，x﹣2＝0，解得：x＝4，即OA＝4，过B作BC⊥OA于C， ∵△OAB是以OA为斜边的等腰直角三角形，∴BC＝OC＝AC＝2， 即B点的坐标是（2，2），设平移的距离为a，则B点的对称点B′的坐标为（a+2，2）， 代入y＝x﹣2得：2＝（a+2）﹣2，解得：a＝6，即△OAB平移的距离是6， ∴Rt△OAB扫过的面积为：6×2＝12，故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形，坐标与图形变化-平移. 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 一．填空题 1．已知y＝m+1是一次函数，则m＝　2　． 【考点】一次函数的定义．版权所有 【分析】利用一次函数定义可得m2﹣2m+1＝1，且m≠0，进而可得m的值． 【解答】解：由题意得：m2﹣2m+1＝1，且m≠0， 解得：m＝2， 故答案为：2． 2．已知函数y＝﹣3x+7，当x＞2时，函数值y的取值范围是　y＜1　． 【考点】一次函数的性质．版权所有 【分析】依据k的值得到一次函数的增减性，然后结合自变量的取值范围，得到函数值的取值范围即可． 【解答】解：∵函数y＝﹣3x+7中，k＝﹣3＜0， ∴y随着x的增大而减小， 当x＝2时，y＝﹣3×2+7＝1， ∴当x＞2时，y＜1， 故答案为：y＜1． 3．如果一次函数y＝kx+2的函数值y随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是　k＜0　． 【考点】一次函数图象与系数的关系．版权所有 【分析】根据一次函数的性质，如果y随x的增大而减小，则一次项的系数小于0，据此求出k的取值范围． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+2，函数值y随x的值增大而减小， ∴k＜0． 故答案为：k＜0． 4．我们知道：当x＝2时，不论k取何实数，函数y＝k（x﹣2）+3的值为3，所以直线y＝k（x﹣2）+3一定经过定点（2，3）；同样，直线y＝（k﹣2）x+3k一定经过的定点为　（﹣3，6）　． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】先将y＝（k﹣2）x+3k化为：y＝（x+3）k﹣2x，可得当x＝﹣3时，不论k取何实数，函数y＝（x+3）k﹣2x的值为6，即可得到直线y＝（k﹣2）x+3k一定经过的定点为（﹣3，6）． 【解答】解：根据题意，y＝（k﹣2）x+3k可化为：y＝（x+3）k﹣2x， ∴当x＝﹣3时，不论k取何实数，函数y＝（x+3）k﹣2x的值为6， ∴直线y＝（k﹣2）x+3k一定经过的定点为（﹣3，6）， 故答案为：（﹣3，6）． 5．已知一次函数f（x）＝﹣x﹣2，则f（﹣2）＝　﹣1　． 【考点】函数值；一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】将x＝﹣2代入函数解析式进行计算即可． 【解答】解：∵f（x）＝﹣x﹣2， ∴f（﹣2）＝﹣×（﹣2）﹣2＝﹣1， 故答案为：﹣1． 6．一次函数y＝﹣4x﹣2的图象在y轴上的截距是　﹣2　． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征．版权所有 【分析】在y轴上的截距，求与y轴的交点坐标即可． 【解答】解：在y＝﹣4x﹣2中，令x＝0，可得y＝﹣2， ∴一次函数y＝﹣4x﹣2的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）， ∴一次函数y＝﹣4x﹣2的图象在y轴上的截距为﹣2， 故答案为：﹣2． 7．把直线y＝x+1向右平移　4　个单位可得到直线y＝x﹣2． 【考点】一次函数图象与几何变换．版权所有 【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“左加右减”的原则可知： 直线y＝x+1向右平移n个单位，得到直线的解析式为：y＝（x﹣n）+1， 又∵平移后的直线为y＝x﹣2， ∴（x﹣n）+1＝x﹣2， 解得n＝4， 故答案为：4． 8．直线y＝2x﹣3向下平移4个单位可得直线y＝　2x﹣7　． 【考点】一次函数图象与几何变换．版权所有 【分析】原常数项为﹣3，上下平移直线解析式只改变常数项，让常数项减4即可得到平移后的常数项，也就得到平移后的直线解析式． 【解答】解：∵向下平移4个单位， ∴新函数的k＝2，b＝﹣3﹣4＝﹣7， ∴得到的直线所对应的函数解析式是：y＝2x﹣7． 二．解答题 1．已知A城与B城相距200千米，一列火车以每小时60千米的速度从A城驶向B城． （1）求火车与B城的距离S（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系式及t（时）的取值范围； （2）画出函数图象． 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）依据A城与B城相距200千米，一列火车以每小时60千米的速度从A城驶向B城，即可得到火车与B城的距离S（千米）与行驶的时间（时）的函数关系式及t（时）的取值范围； （2）根据当t＝0时，S＝200；当t＝时，S＝0；即可得到函数图象． 【解答】解：（1）由题可得，S＝200﹣60t， ∵火车以每小时60千米的速度从A城驶向B城需要的时间为200÷60＝小时， ∴t的取值范围是0≤t≤． （2）当t＝0时，S＝200；当t＝时，S＝0； 函数图象如图所示： 2．某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示： x（公里） 80 120 180 200 … y（元） 200 300 450 500 … （1）写出y（元）关于x（公里）的函数解析式　yA＝2.5x　；（不需写出定义域） （2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公里）的函数解析式　yB＝200+0.9x　；（不需写出定义域） （3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家运输队？ 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，所以每公里收费为2.5元，所以yA＝2.5x． （2）根据题意得：yB＝200+0.9x． （3）当x＝500时，yA＝2.5×500＝1250，yB＝2000+0.9×500＝2450，因为yA＞yB，所以选择B运输队． 【解答】解：（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元， ∴每公里收费为2.5元， ∴yA＝2.5x． 故答案为：yA＝2.5x． （2）根据题意得：yB＝200+0.9x． 故答案为：yB＝200+0.9x． （3）当x＝500时，yA＝2.5×500＝1250，yB＝200+0.9×500＝650， ∴yA＞yB， ∴选择B运输队． 3．周末，小明骑电动自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地．如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑电动自行车速度的3倍． （1）小明骑电动自行车的速度为 　20　千米/小时，在甲地游玩的时间为 　0.5　小时； （2）小明从家出发多少小时的时候被妈妈追上？此时离家多远？ 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）根据图象可以求出小明在甲地游玩的时间，由速度＝路程÷时间就可以求出小明骑车的速度； （2）直接运用待定系数法就可以求出直线BC和DE的解析式，再由其解析式建立二元一次方程组，求出点F的坐标就可以求出结论． 【解答】解：（1）由图象得 在甲地游玩的时间是1﹣0.5＝0.5（h）， 小明骑车速度：10÷0.5＝20（km/h）， 故答案为：20，0.5． （2）如图， 妈妈驾车速度：20×3＝60（km/h） 设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）， 则10＝0.5k， 解得：k＝20， 故直线OA的解析式为：y＝20x． ∵小明走OA段与走BC段速度不变， ∴OA∥BC， 设直线BC解析式为y＝20x+b1， 把点B（1，10）代入得b1＝﹣10， ∴y＝20x﹣10， 设直线DE解析式为y＝60x+b2，把点D（，0） 代入得：b2＝﹣80， ∴y＝60x﹣80， ∴， 解得：， ∴F（1.75，25）． 答：小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km． 4．货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A处相距360千米的B处．下表记录的是货车一次加满油后油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（时）之间的关系： 行驶时间x（时） 0 1 2 3 4 余油量y（升） 150 120 90 60 30 （1）如果y关于x的函数是一次函数，求这个函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） （2）在（1）的条件下，如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C处，C的前方12千米的D处有一加油站，那么在D处至少加多少升油，才能使货车到达B处卸货后能顺利返回会D处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内剩余油量应随时不少于10升） 【考点】一次函数的应用．版权所有 【分析】（1）设x与y之间的函数关系式为y＝kx+b，将点（0，150）和（1，120）代入求k和b值； （2）利用路程关系建立在D处加油的一元一次不等式，求在D处至少加油量． 【解答】解：（1）把5组数据在直角坐标系中描出来，这5个点在一条直线上，所以y与x满足一次函数关系， 设y＝kx+b，（k≠0） 则， 解得：， ∴y＝﹣30x+150． （2）设在D处至少加W升油，根据题意得： 150﹣4×30﹣×30+W≥×30×2+10 （3分） 即：150﹣120﹣6+W≥118 解得W≥94， 答：D处至少加94升油，才能使货车到达灾区B地卸物后能顺利返回D处加油． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1.利用函数的图像求不等式：的解集． 【难度】★★★ 【答案】或． 【解析】原不等式可化为，即求一次函数的函数值小于反比例函数的函数值x所对应的取值范围．两函数的交点坐标为（-1，-3）、（，2），第一象限取交点 左侧所对应的的取值范围即，第三象限取交点左侧所对应的的取值范围，即． 【总结】本题中出现反比例函数的图像，注意分两个象限讨论． 2.某工厂有甲、乙两条生产线先后投产，在乙生产线投产以前，甲生产线已生产了200t成品；从乙生产线投产开始，甲、乙两条生产线每天分别生产20t和30t成品． （1）分别求出甲、乙两条生产线投产后，总产量y(t)与从乙开始投产以来所用时间x(天)之间的函数关系式，并求出第几天结束时，甲、乙两条生产线的总产量相同； （2）分别求出第15天和第25天结束时，甲、乙两条生产线的产量是多少，并比较哪条生产线的总产量高． 【难度】★★★ 【答案】（1）甲=20+200，乙=30，20天后甲、乙两条生产线的总产量相同． （2）第15天时，甲的生产量是500，乙的生产量是450，甲的总产量高；第25天时， 甲的生产量是700t，乙的生产量是750t，乙的总产量高． 【解析】（1）甲=20+200，甲=30，令20+200=30，解得:=20； （2）当=15时，甲=300+200=500，乙=30×15=450，甲＞乙； 当=25时，甲=500+200=700，乙=30×25=750，乙＞甲． 【总结】考查一次函数图像在实际问题中的应用． 3.校运动会前，小明和小亮相约晨练跑步．小明比小亮早1分钟离开家门，3分钟后迎面遇到从家跑来的小亮．两人并行跑了2分钟后，决定进行长跑比赛，比赛时小明的速度始终是180米/分，小亮的速度始终是220米/分．下图是两人之间的距离y（米）与小明离开家的时间x（分钟）之间的函数图象，根据图象回答下列问题： （1）请直接写出小明和小亮比赛前的速度； （2）请在图中的（ ）内填上正确的值，并求两人比赛过程中y与x之间的函数关系式．（不用写自变量x的取值范围） （3）若小亮从家出门跑了14分钟后，按原路以比赛时的速度返回，则再经过多少分钟两人相遇? 【难度】★★★ 【答案】（1）小明比赛前的速度100，小亮比赛前的速度120； （2）80，=40-200；（3）再经过1分钟两人相遇． 【解析】（1）小明比赛前的速度=（540-440）÷1=100，由2×（+）=440， 得小亮比赛前的速度=120； （2）7分钟时，两人之间的距离△s=2×（220-180）=80 （米），与之间的函数关系式 为：=（220-180）×（-5），=40-200； （3）设经过分钟两人相遇，当时间=14+1时， =400，180+220=400，解得：=1， 答：再经过1分钟两人相遇． 【总结】考查一次函数图像在实际问题中的应用． 4.为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备,现有A,B两种型号的设备,其中每台的价格，月处理污水量及年消耗费如下表：   A型 B型 价 格（万元／台） 12 10 处理污水量（吨／月） 240 200 年消耗费（万元／台） 1 1 经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元． （1）求购买设备的资金y万元与购买A型x台的函数关系，并设计该企业有几种购买方案； （2）若企业每月产生的污水量为2040吨，利用函数的知识说明，应选择哪种购买方案； （3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元? (注:企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费)． 【难度】★★★ 【答案】（1），有3种购买方案：0台A型，10台B型、1台A型，9台B型、2台A型，8台B型；（2）选择1台A型9台B型；（3）42.8万元． 【解析】（1），由，得，所以0、1、2； （2），得，所以1、2，又因为随着的增大而增大， 故为了节约资金，应取1，即选择1台A型9台B型； （3）10年企业自己处理污水的总资金为：102+10×10=202（万元），若将污水排到污水处 理厂，费用为2040×12×10×10=244.8（万元），所以节约资金为：244.8-202=42.8万元． 【总结】考查一次函数在实际问题中的应用，最优方案的问题，解题时注意分析． 5.如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，8），CB=4，D为OA中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒． （1）求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上； （2）动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围； （3）几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分?求出此时点P的坐标? 【难度】★★★ 【答案】（1）=10，，此时点P在CB边上；（2）（）； （3）（，）、（，）． 【解析】（1）由题意，知，，过点B作OA边上的高，利用勾股定理， 可得=10，由，得，此时点P在CB边上； （2）过作⊥轴，则=，所以； （3）当在线段上时，令=14， 解得：，则=，=，=， 所以（，）； 当在线段上时，令，解得：=， 所以（，）． 【总结】考查一次函数在几何图形中的应用，综合性较强，注意认真分析． 6.如图，一次函数与坐标轴交于A、B两点，且点P是坐标轴上一点，△ABP为等腰三角形．（1）求∠ABO的大小；（2）求出P点的坐标． 【难度】★★★ 【答案】（1）60°；（2）（-，0）、 （3，0）、（0，-3）、 （0，3+2）、（0，3-2）、（0，1）． 【解析】（1）由，可得：（0，3）、（，0），所以=3，=， 所以=2，所以30°，60°； （2）当时，（-，0）、 （3，0）、（0，-3）； 当时，（0，3+2）、（0，3-2）； 当时，（0，1）． 【总结】考查一次函数在几何图形中的简单运用，注意等腰的分类讨论 7.直线与轴、轴分别交于点A、点B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC， （1）求△ABC的面积； （2）在x轴上是否存在一点M，使得△MAB是等腰三角形?若存在，请直接写出M的坐标，若不存在，请说明理由． （3）如果在第二象限内有一点P，当△ABP的面积与△ABC的面积相等，求a的值． 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）（+2，0）、（2，0）、（，0）、 （，0）；（3）． 【解析】（1）由可得（，0）、（0，1），所以=，=1， 勾股得=2，所以； （2）当时，（+2，0）、（-2，0）； 当时，（-，0）；当时，（，0）； （3）过作⊥轴，过作∥轴交于点． 则，所以=， 在中，30°，所以=2， 因为（，）， 所以，即． 【总结】考查一次函数在几何图形中的简单运用，注意对题目条件的认真分析． 8.如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，另已知直线经过点C（1，0），且把△AOB分成两部分． （1）若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值； （2）若△AOB被分成的两部分面积比为1：5，求k和b的值． 【难度】★★★ 【答案】（1）=2，；（2）=，或=2，． 【解析】（1）由可求得（2，0）、（0，2）．因为点C是中点， 所以△和△等底同高，所以直线经过点， 由C（1，0）和（0，2）可求得：， 所以=-2，； （2）∵△被分成的两部分面积比为1：5， 那么直线与轴或交点的纵坐标 就应该是：2×2×＝．当与轴相交时， 交点为（0，），又因为直线经过C（1，0）， 可求得，当与相交时， 交点为（，），又因为直线经过C（1，0）， 可求得：，所以=-，；或=2，． 【总结】考查一次函数在几何图形中的简单运用，注意第（2）问的分类讨论． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 1.某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如下表： 质量x（千克） 1 2 3 4 …… 售价y（元） 3．60+0．20 7．20+0．20 10．80+0．20 14．40+0．2 …… 由上表得y与x之间的关系式是___________． 【难度】★ 【答案】． 【解析】针对每一对y与x的值，找出它们的对应关系． 【总结】考查一次函数在实际问题中的应用． 2．如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点，的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为______． 【答案】16 【分析】先根据勾股定理求出C点的坐标，得到C1的纵坐标为4，与直线 相交，可得C1坐标，由此推出CC1距离，再求出四边形BCC1B1的面积即可． 【详解】解：∵A（1，0），B（4，0） ∴AB=3 ∵，∠CAB=90°， ∴ ∴C（1，4）， ∴C1的纵坐标为4， ∴把代入解得， ∴CC1=4， ∴， 故答案为：16． 【点睛】考查勾股定理及平移的概念，熟练掌握平移口诀为本题的关键． 3．直线在轴上方的点的横坐标的取值范围是______________________. 【答案】x>2． 【分析】根据题意得到，求出即可． 【详解】∵根据题意得：>0， 解得：x>2． 故答案为x>2． 【点睛】本题主要考查对解一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能根据题意得到是解此题的关键． 题组B 能力提升练 1.已知平面上四点，，，，直线将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】直线要经过矩形的对称中心（5，3），所以3=2+2，解得：=． 【总结】考查一次函数在简单几何问题中的应用以及矩形的对称中心的确定． 2．某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中①有月租费，②无月租费，两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系图象均为直线，如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）当通讯时间为500分钟时，①方式收费 　 　元， ②方式收费 　 　元； （2）②收费方式中y与x之间的函数关系式是 　 　； （3）如果某用户每月的通讯时间少于200分钟，那么此用户应该选择收费方式是 　 　（填①或②）． 【答案】（1）80，100；（2）y2＝0.2x；（3）② 【分析】（1）根据题意由函数图象就可以得出①②收费； （2）根据题意设②中y与x的关系式为y2＝k2x，由待定系数法求出k2值即可； （3）根据题意设①中y与x的关系式为y1＝k1x+b，再讨论当y1＞y2，y1＝y2，y1＜y2时求出x的取值就可以得出结论． 【详解】解：（1）由函数图象，得： ①方式收费80元，②方式收费100元， 故答案为：80，100； （2）设②中y与x的关系式为y2＝k2x，由题意，得 100＝500k2， ∴k＝0.2， ∴函数解析式为：y2＝0.2x； （3）设①中y与x的关系式为y1＝k1x+b，由函数图象，得： ， 解得：， ∴y1＝0.1x+30， 当y1＞y2时，0.1x+30＞0.2x， 解得：x＜300， 当y1＝y2时，0.1x+30＝0.2x， 解得：x＝300， 当y1＜y2时，0.1x+30＜0.2x， x＞300， ∵200＜300， ∴方式②省钱． 故答案为：②． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式的运用，分类讨论思想的运用，设计方案的运用，解答时认真分析函数图象的意义是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0）、点B（0，6），过原点的直线l交直线AB于点P． （1）求∠OAB的度数和△AOB的面积； （2）当直线l的解析式为y＝2x时，求点P的坐标； （3）当时，求直线l的解析式． 【答案】（1）45°，18；（2）（2，4）；（3）y＝或y＝﹣x 【分析】（1）可得出OA＝OB，∠AOB＝90°，从而求得结果； （2）求出l的解析式，与y＝2x联立方程组，解得结果； （3）分为点P在BA上和BA的延长线上，当点P在AB上时，作PC⊥OA于C，作PD⊥OB于D，可推出PD＝2PC，代入y＝﹣x＋6求得；当点P在BA的延长线上时，作OE⊥AB于E，作PF⊥OA于F，求得AP＝BP＝6，进而求得结果． 【详解】解：（1）∵A（6，0），B（0，6）， ∴OA＝OB＝6， ∵∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝∠OBA ＝ ＝ ＝45°， S△AOB＝＝＝18； （2）设直线AB的解析式是：y＝kx＋b， ∴， ∴， ∴y＝﹣x＋6， ∴， ∴， ∴P（2，4）； （3）如图1， 设点P（a，b）， 当点P在AB上时， 作PC⊥OA于C，作PD⊥OB于D， ∵， ， ∵OA＝OB， ∴＝， ∴PD＝2PC， ∴a＝2b， 又∵b＝﹣a＋6， ∴a＝4，b＝2， ∴P（4，2）， 设直线l的解析式是y=mx，代入（4，2）得2=4m ∴m= ∴直线l的解析式是：y＝x， 如图2， 当点P在BA的延长线上时， 作OE⊥AB于E，作PF⊥OA于F， ∴∠AFP＝∠AOB＝90°， ∵， ∴＝， ∴AP＝BP， ∴AP＝AB， ∵∠OAB＝∠PAF， ∴△APF≌△ABO（AAS）， ∴AF＝OA＝6，PF＝OB＝6， ∴OF＝12， ∴P（12，﹣6）， 设直线l的解析式是y=nx，代入（12，﹣6）得-6=12n ∴n=- ∴直线l的解析式是：y＝﹣； 综上所述：直线l的解析式是：y＝或y＝﹣x． 【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、一次函数的图像与性质． 4.甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定价20元，乒乓球每盒定价5元．现两家商店搞促销活动，甲店:每买一付球拍赠一盒乒乓球；乙店:按定价的9折优惠．某班级需购球拍4付，乒乓球若干盒(不少于4盒) ． （1）设购买乒乓球盒数为x(盒)，在甲店购买的付款数为y1(元)，在乙店购买的付款为y2 (元)，分别写出在这两家商店购买的付款数与乒乓球盒数x之间的函数关系式； （2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算． 【难度】★★ 【答案】（1）、； （2）当时，去甲商店；当时，取乙商店；当时，去两家皆可． 【解析】（1）、； （2）令，得，此时去甲商店；令，得x>24，此时去乙商店； 当时，得x=24，此时两者皆可． 【总结】本题主要考查一次函数的最优方案问题，注意进行比较． 题组C 培优拔尖练 1.为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备,现有A,B两种型号的设备,其中每台的价格，月处理污水量及年消耗费如下表：   A型 B型 价 格（万元／台） 12 10 处理污水量（吨／月） 240 200 年消耗费（万元／台） 1 1 经预算，该企业购买设备的资金不高于105万元． （1）求购买设备的资金y万元与购买A型x台的函数关系，并设计该企业有几种购买方案； （2）若企业每月产生的污水量为2040吨，利用函数的知识说明，应选择哪种购买方案； （3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元? (注:企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费)． 【难度】★★★ 【答案】（1），有3种购买方案：0台A型，10台B型、1台A型，9台B型、2台A型，8台B型；（2）选择1台A型9台B型；（3）42.8万元． 【解析】（1），由，得，所以0、1、2； （2），得，所以1、2，又因为随着的增大而增大， 故为了节约资金，应取1，即选择1台A型9台B型； （3）10年企业自己处理污水的总资金为：102+10×10=202（万元），若将污水排到污水处 理厂，费用为2040×12×10×10=244.8（万元）， 所以节约资金为：244.8-202=42.8万元． 【总结】考查一次函数在实际问题中的应用，最优方案的问题，解题时注意分析． 2.如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，8），CB=4，D为OA中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒． （1）求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上； （2）动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围； （3）几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3的两部分?求出此时点P的坐标? 【难度】★★★ 【答案】（1）=10，，此时点P在CB边上；（2）（）； （3）（，）、（，）． 【解析】（1）由题意，知，，过点B作OA边上的高，利用勾股定理， 可得=10，由，得，此时点P在CB边上； （2）过作⊥轴，则=，所以； （3）当在线段上时，令=14， 解得：，则=，=，=， 所以（，）； 当在线段上时，令，解得：=， 所以（，）． 【总结】考查一次函数在几何图形中的应用，综合性较强，注意认真分析． 3.A市和B市分别有某种库存机器12台和6台,现决定支援C村10台，D村8台，已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元． （1）设B市运往C村机器x台，求总运费W关于x的函数关系式； （2）若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案? （3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元? 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）3种，=0、1、2时．第一种：A市往C村、D村分别支 援10台、2台，B市往C村、D村分别支援0台、6台；第二种：A市往C村、D村分别支援9台、3台，B市往C村、D村分别支援1台、5台；第三种：A市往C村、D村分别支援8台、4台，B市往C村、D村分别支援2台、4台； （3）=0时，总运费最低，=8600元，调运方案为：A市往C村、D村分别支援10台、 2台，B市往D村支援6台． 【解析】（1），整理得：； （2）解得≤2，所以=0、1、2． （3），随着的增大而增大，所以当最小时最小， 所以=0时，W最低，此时=8600，相应的调运方案为：A市往C村、D村分别支援10台、2台，B市往D村支援6台． 【总结】本题依旧是考查最优方案的选择，注意利用一次函数的性质进行判定． 4.如图，直线L：与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． （1）求A、B两点的坐标； （2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； （3）当t何值时△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标． 【难度】★★★ 【答案】（1）（4，0）、（0，2）；（2）； （3）=2，（2，0），=6，（-2，0）． 【解析】（1），令，得=4，令，得=2，所以（4，0）、（0，2）； （2）当在右侧时，=，； 当在左侧时，=，； （3）当时，△COM≌△AOB，即， 解得：=2，=6，所以（2，0），（-2，0）． 【总结】考查一次函数在几何问题中的应用，注意分类讨论． 5.如图，在直角坐标平面内xoy中，点A在x轴上，点C与点E在y轴上，且E为OC中点，BC∥x轴，且BE⊥AE，连接AB． （1）求证：AE平分∠BAO； （2）当OE=6，BC=4时，求直线AB的解析式． 【难度】★★★ 【答案】（1）略；（2）． 【解析】（1）延长交轴于点，可证△≌△，所以=，再证△≌△，所以∠=∠，即AE平分∠BAO． （2）设=，利用勾股定理，得：，， 在中，由，得52+=（）2， 解得：=9．由（9，0）、（0，12）， 可求得直线的解析式为． 【总结】考查一次函数在几何问题中的应用，注意利用相关性质定理进行求解． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$