预习专题04 一次函数的应用（2知识点+5考点+2易错+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪教版）

专题04 一次函数的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.通过探求实际问题的函数关系,体验一次函数知识的应用，能确定简单实际问题的一次函数解析式及函数定义域 2.学会运用一次函数知识分析和解决问题,初步掌握通过建立函数模型作出预测和决策的基本方法 利用一次函数解决简单问题 在实际问题中,首先分析题意并探究实际问题中的有关信息,然后在此基础上建立一次函数模型,从而解决问题 根据实际问题列一次函数解析式的步骤 (1)找等量关系; (2)把已知的条件代入,变化的两个量用变量x,y来表示 (3)求定义域:既要根据解析式又要根据实际意义求定义域 【结构特征】(1)等量关系有且只有两个变化的量;(2)定义域既要满足函数解析式,又要使实际问题有意义 （23-24八年级上·上海金山·期末）小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间. 从山脚出发后小明所走路程s（米）和所用时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空.    (1)小明中途休息用了 分钟； (2)小明休息后爬山的平均速度是 米/分钟； (3)小明休息前所走的路程s与时间t之间的函数关系式是 （无需写出定义域）． 某中学的小聪同学帮妈妈开的了圣书店采购文具，计划从批发店购进甲、乙两种圆珠笔，已知甲种圆珠笔每盆进价比乙种圆珠笔多5元，若购进甲种圆珠笔20盒，乙种圆珠笔30盒，则费用为600元． (1)求甲、乙两种圆珠笔的每盒进价分别是多少元？ (2)甲、乙两种圆珠笔每盆售价分别为25元和18元．妈妈计划购进这两种圆珠笔总费用不超过2200元且甲种圆珠笔不低于20盒，若购进的甲、乙两种圆珠笔共200盒，且全部售出，则甲种圆珠笔为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？ 利用一次函数的性质解决决策问题 利用一次函数解决决策问题的方法: (1)根据题意建立函数解析式; (2)根据解析式画出函数图像;(3)根据图像作出决策 分配方案问题(一次函数的实际应用) 例1 （23-24八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 【变式1-1】（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 【变式1-2】某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中①有月租费，②无月租费，两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系图象均为直线，如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）当通讯时间为500分钟时，①方式收费 　 　元， ②方式收费 　 　元； （2）②收费方式中y与x之间的函数关系式是 　 　； （3）如果某用户每月的通讯时间少于200分钟，那么此用户应该选择收费方式是 　 　（填①或②）． 【变式1-3】某人因需要经常去复印资料，甲复印社按A4纸每10页2元计费，乙复印社则按A4纸每10页0.8元计费，但需按月付一定数额的承包费.两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）乙复印社要求客户每月支付的承包费是_______元； （2）当每月复印_______页时，两复印社实际收费相同； （3）如果每月复印200页时，应选择_______复印社？ 最大利润问题(一次函数的实际应用) 例2 学校计划在总费用2800元的限额内，租用客车接送204名师生（其中包括6名教师）到校外参加活动，要求师生都有座位，且每辆客车上至少要有1名教师．现有标准型和舒适型两种客车，它们的载客量和租金如表： 标准型 舒适性 载客量（单位：人/辆） 40 28 租金（单位：元/辆） 500 350 （1）求一共需租多少辆客车？说明理由； （2）设租用x辆标准型车，求租车的总费用y（单位：元）关于x的函数关系式及x的取值范围，并说明最省钱的租车方案及租金． 【变式2-1】随着我国防疫形势进一步好转，各景区陆续开始对游客开放．某景区对团体门票采用灵活的售票方法，设团体人数为人，非节假日购票款为（元），节假日购票款为（元），与之间的函数图像如图所示． （1）非节假日门票定价是 元/人； （2）当时，与之间的函数关系式_ （3）某导游于10月1日（节假日）带团，10月12日（非节假日）带团到该景区，共付门票款元，两个团队游客合计人（且两团游客人数均超过人）．求两个团队游客各有多少人？ 【变式2-2】两地盛产柑桔，地有柑桔200吨，地有柑桔300吨．现将这些柑桔运到C、D两个冷藏仓库，已知仓库可储存240吨，仓库可储存260吨；从地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从地运往仓库的柑桔重量为x吨，A、B两地运往两仓库的柑桔运输费用分别为yA元和yB元． （1）请填写下表后分别求出yA，yB之间的函数关系式，并写出定义域； C D 总计 A x吨 200吨 B 300吨 总计 240吨 260吨 500吨 （2）试讨论A,B两地中，哪个运费较少； 总计 吨 吨 200吨 吨 吨 300吨 总计 240吨 260吨 500吨 【变式2-3】某年，埃博拉病毒在非洲肆虐，某制药厂研制出一种提高免疫力的药品，为赶制这批紧销药品投放市场，立即组织100名工人进行生产，已知生产这种药品有两道工序：一是由原材料生产半产品，二是由半产品生产出药品．由于半产品不易保存，剩余半成品当天必须卖给附近大厂，每名工人每天可生产半成品30千克或由半成品生产药品4千克（两项选一项），每2千克半成品只能生产1千克药品．若药品出厂价为30元/千克，半成品价格为3元/千克． (1)设厂长每天安排x名工人生产半成品，销售药品收入y1元，请用x的代数式表示销售药品收入y1；设当天剩余半成品全部卖出收入为y2元，请用x的代数式表示y2，并求出这个问题中x的取值范围． (2)为了使每天收益最大，请你帮厂长策划：每天安排多少名工人生产半产品？并求出这个最大收益． 【变式2-4】为提高农民收入，某区一水果公园引进一种新型蟠桃，蟠桃进价为每公斤40元．上市后通过一段时间的试营销发现：当蟠桃销售单价在每公斤40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量（公斤）与销售单价（元/公斤）之间的关系可近似地看作一次函数，其图像如图所示． （1）求与的函数解析式，并写出定义域； （2）如果想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤多少元？ 【变式2-5】疫情期间，甲厂欲购买某种无纺布生产口罩，A、B两家无纺布公司各自给出了该种无纺布的销售方案． A公司方案：无纺布的价格y（万元）与其重量x（吨）是如图所示的函数关系； B公司方案：无纺布不超过30吨时，每吨收费2万元；超过30吨时，超过的部分每吨收费1.9万元． （1）求如图所示的y与x的函数解析式；（不要求写出定义域） （2）如果甲厂所需购买的无纺布是40吨，试通过计算说明选择哪家公司费用较少． 行程问题(一次函数的实际应用) 例3 （23-24八年级下·上海奉贤·期中）如图是某辆汽车加满油后，油箱剩油量y（升）关于已行驶路程x（千米）的函数图像（由两条线段构成）． (1)根据图像，当油箱剩油量为26升时，汽车已行驶的路程为________千米；当时，消耗一升油汽车能行驶的路程为________千米． (2)当时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶300千米时油箱的剩油量． 【变式3-1】（23-24八年级下·上海金山·期中）小明和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以米/分的速度到达图书馆，小明始终以同一速度骑行，两人行驶的路程（米）与时间（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)___________分，___________分，___________米/分： (2)若小明的速度是120米/分，小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是___________分，此时距图书馆的距离是___________米： (3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是___________分． 【变式3-2】（23-24八年级下·上海闵行·期中）甲、乙两位同学一次晨跑的路程S（米）与时间t（分）的关系如图所示．已知他们从同一地点出发，跑步的路线和总路程（1500米）也相同，其中甲先出发，途中由于鞋子问题耽误了一些时间．图中．根据图形所提供的信息，回答下列问题： (1)甲在途中耽误了______分钟； (2)乙跑步的速度是______米/分； (3)如果甲想与乙同时到达终点，那么他在解决鞋子问题后速度应提高到______米/分． 【变式3-3】已知A，B两地之间的距离为400千米，甲、乙两车同时从A城出发沿着一公路驶向B城，已知甲车去的时候平均速度是100千米/时，甲车到达B城1小时后沿原路返回，如图是两车离A城的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象.    (1)图中________________，________________. (2)甲车返回过程中y与x之间的函数解析式是________________________________. (3)若乙车行驶6小时与返回的甲车相遇，则点C的坐标是________________，乙车到达B地共用了________________小时. 【变式3-4】（22-23八年级下·上海宝山·期中）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．根据图中信息，解答下列问题：    (1)当______时，两车相遇； (2)求线段所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离； (3)已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t小时，求t的值． 【变式3-5】甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车同时从甲地出发驶向乙地，如图：线段表示货车离甲地的距离与时间之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离与之间的函数关系．请根据图象解答下列问题． (1)当时，轿车行驶速度为______千米小时； (2)轿车到达乙地后，货车距乙地______千米； (3)直接写出线段对应的函数表达式及定义域______； (4)出发后经过______小时轿车可以追上货车． 【变式3-6】（23-24八年级下·上海·期末）小杰、小明两人在一段笔直的滨江步道上同起点、同终点、同方向匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知小杰先出发分钟，在整个步行过程中，小杰、小明两人间的距离（米）与小杰出发的时间（分）之间的关系如图中折线 所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)求小明的步行速度； (3)求小明比小杰早几分钟到达终点? 【变式3-7】（2024·上海杨浦·一模）寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6∶00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图像． 根据图像提供的信息回答下列问题： (1)图中的_______，______； (2)求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）； (3)她们能否在中午12∶30之前到达目的地？请说明理由． 【变式3-8】（23-24八年级上·上海松江·期末）龟兔赛跑是同学们熟悉的寓言故事，乌龟和兔子在比赛过程中的路程与时间（min）的函数关系如图所示．请根据图像完成下列问题： (1)兔子在比赛中睡觉的时间为______分钟； (2)已知兔子在段和段的速度保持一致，则兔子完成比赛共用时______分钟； (3)在（2）的条件下，已知乌龟比兔子提前1分钟到达终点，求乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式． 【解题技巧总结】 从图像中获取信息，可以从四个方面去分析图像:(1)从函数图像中确定自变量的取值范围;(2)根据x轴、y轴的实际意义理解图像上点的实际意义，通过观察特殊点的位置去寻找所需要的信息内容;(3)通过比较图像位置的高低，判断在自变量相同的取值范围内对应的函数值的大小;(4)两图像是否有交点. 一次函数与几何综合(一次函数的实际应用) 例4 （23-24八年级上·上海松江·期中）如图，已知正比例函数的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且的面积为8．    (1)求正比例函数的解析式； (2)若点P是该正比例函数图像上一点，且使得的面积是面积的两倍，求点P的坐标； (3)已知，在直线上（除O点外）是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【变式4-1】（22-23八年级下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于直线． (1)若这条直线经过点，求的值； (2)求由直线、直线与轴围成的三角形的面积． 【变式4-2】（22-23八年级下·上海黄浦·期中）已知：点、在反比例函数的图象上，直线经过点、，且与轴，轴的交点分别为、两点．    (1)求直线的表达式； (2)为坐标原点，在直线上且满足，点在坐标平面内，顺次联接点、、、的四边形满足：，，求点坐标． 【变式4-3】（22-23八年级下·上海黄浦·期中）如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【变式4-4】（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 【变式4-5】（22-23八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与y轴交于点，点是的中点．    (1)求直线的函数解析式； (2)求点到直线的距离； (3)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标． 【变式4-6】（22-23八年级下·上海松江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴、y轴分别相交于点A、B，直线DE与x轴交于点，与直线相交于点E，点E在第二象限，已知的面积为18    (1)求直线的表达式； (2)点P是直线上一点，点Q是y轴上一点，如果以B、C、P、Q为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点P、Q的坐标． 【解题技巧总结】 1.求三角形面积2种不同方法： ①与坐标轴平行（或垂直）→切割三角形，分成小三角形面积相加； ②与坐标轴不平行（或垂直）→作铅锤高、水平高，可以切割成共底（或共高）的小三角形面积相加或组合成四边形减其他多余部分图形面积求解. 2.面积和差倍问题：将不同的三角形通过平行线或平移转化成平行线问题，根据等底等高或对称去求解. 3.等腰三角形的存在性问题： 所需工具：直尺和圆规 要知道等腰三角形实际是垂直平分线与对称图形的产物，找等腰三角形的点问题，题目一般会给出2个确定点和一个动点，遵循“先易后难”原则： 先易：先讨论两个顶点分别是顶点时，即以一个顶点为圆心，另一个顶点到该顶点的长度为半径画圆，其弧与题目所涉及的问题（某直线、某轴、某象限等）相交的点就是所求的动点. 后难：动点为顶点时候，我们一般结合垂直平分线的性质，即把已知2点作为线段，作垂直平分线，其垂直平分线与题目所涉及的问题（某直线、某轴、某象限等）相交的点就是所求的动点. 其他问题(一次函数的实际应用) 例5 （23-24八年级上·上海长宁·期中）小李在一网上购物平台购物，恰逢周年庆，平台推出优惠活动，如图广告所示： 三重惊喜！！！ ♢免运费！ ♢全部商品七折 ♢购物金额（折后）满56元减10元 (1)请写出小李的实付金额y（元）关于购物的商品总价x（元）的函数解析式及其定义域； (2)小李和好朋友小于拼单购物，小李和小于所购商品的总价分别为60元和40元，那么小李和小于应如何分配实付金额？请写出你的理由． 【变式5-1】（22-23八年级下·上海静安·期中）某次园艺会的门票分为个人票和团体票两大类，其中个人票设置有三种： 票得种类 夜票（A） 平日普通票（B） 指定日普通票（C） 单价（元/张） 60 100 150 某社区居委会为奖励“和谐家庭”，欲购买个人票100张，其中B种票张数是A种票张数的3倍还多8张，设需购买A种票张数为x，C种票张数为y (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)设购票总费用为w元，求出W（元）与x（张）之间的函数关系式； (3)若每种票至少购买1张，其中购买A种票不少于20张，则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时，购买A，B，C三种票的张数． 【变式5-2】某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物．这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量yA（千克）与时间x（时）的函数图象，线段EF表示B种机器人的搬运量yB（千克）与时间x（时）的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）P点的含义是　 　； （2）求yB关于x的函数解析式； （3）如果A、B两种机器人连续运5小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？ 【变式5-3】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如果购买某一种水果所付金额y（元）与购买数量x（千克）之间的函数图象由线段与射线组成（如图所示），那么购买3千克这种水果需要付 元． 【变式5-4】（22-23八年级下·上海长宁·期末）已知汽车装满油之后，油箱里的剩余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的函数图象如图所示．为了行驶安全，油箱中的油量不能少于（升），那么这辆汽车装满油后至多行驶 （千米）后需要再次加油．    【变式5-5】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）我们知道，海拔高度每上升1千米，温度下降，某时刻，上海地面温度为，设高出地面千米处的温度为． (1)写出与之间的函数关系式，并写出函数定义域； (2)有一架飞机飞过浦东上空，如果机舱内仪表显示飞机外面的温度为，求此刻飞机离地面的高度为多少千米？ 【变式5-6】（2023·上海浦东新·二模）某市全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见下表： 分档 户年用水量 （立方米） 自来水单价 （元/立方米） 污水处理单价 （元/立方米） 第一阶梯 0~220（含220） 2.25 1.8 第二阶梯 220~300（含300） 4 第三阶梯 300以上 6.99 注：应缴的水费＝户年用水量×（自来水单价＋污水处理单价） 仔细阅读上述材料，请解答下面的问题： (1)如果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？ (2)居民应缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关系如图所示，求第二阶梯（线段）的表达式； (3)如果小明家全年缴纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？ 【例1】某市为鼓励市民节约用水和加强对节水的管理，制定了以下每月每户用水的收费标准： ①用水量不超过80立方米时，每立方米收费1元，并加收每立方米1元的污水处理费； ②用水量超过80立方米时，在①的基础上，超过80立方米的部分，每立方米收费1.5元，并加收每立方米1.5元的污水处理费． 设某户一个月的用水最为x立方米，应交水费y元． (1)请分别对①、②两种情况，写出y关于x的函数关系式，指出函数的定义域． (2)若小李家4月共支付水费220元，求小李家4月用水量． 【防错警示】 实际问题中的一次函数,其自变量的取值范围既要使解析式有意义,又要使实际问题有意义,因此自变量的取值范围一般不是全体实数,解题时容易忽视自变量的取值范围而导致错误. 【例2】用纸复印文件．在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过时，每页收费元；一次复印页数超过时，超过部分每页收费元． 设在同一家复印店一次复印文件的页数为（为非负整数）． (1)根据题意，填写下表： 一次复印页数（页） 5 10 20 100 … 甲复印店收费（元） 0.5 2 … 乙复印店收费（元） 0.6 2.4 … (2)列式表示分别在甲、乙复印店，复印x张文件的费用． (3)复印多少页在两家复印店消费相同？ 【防错警示】 利用一次函数知识,结合函数图像解决实际问题时,要正确理解函数图像的意义,才能很好地解决问题,否则容易出现错误. 1．（22-23八年级下·上海虹口·期末）甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，甲乙二人距离地面的高度y（米）关于甲出发时间x（分钟）的函数图像如图所示，已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶，乙始终保持匀速前进．根据图像判断，以下说法正确的有几个？（    ）    （1）山的高度为340米 （2）甲乙二人不同时出发 （3）甲登顶的时间为自己出发后7分钟 （4）乙出发分钟后登顶 （5）甲出发5分钟后追上乙 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（22-23八年级下·上海宝山·期末）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个数学问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”它的大意是∶“良马每天行里，劣马每天行里，劣马先行天，良马需要多少天才能追上劣马？”如图，是良马与驽马行走路程(单位∶里)关于行走时间(单位∶日)的函数图象． (1)射线记为，射线记为，那么良马行走路程关于行走时间的函数图象是____________；(填或) (2)两图象交点的坐标是____________； (3)求良马行走路程关于行走时间的函数解析式． 3．（22-23八年级下·上海青浦·期末）已知甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车先以75千米/时的速度匀速行驶150千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．甲、乙两车各自距A地的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．    (1)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式； (2)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 4．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图中的图像（折线）描述了一汽车在某一直线的行驶过程中，汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，填空： (1)汽车共行驶了___________千米； (2)汽车在行驶途中停留了___________小时； (3)汽车自出发后4点到小时之间行驶的速度是___________千米/小时；求出此时汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数关系式（写出解题过程） 5．（22-23八年级下·上海·期末）甲乙两车分别从地将一批货物运送到地，乙车再返回地．如图表示两车离地的路程（千米）随时间（时）变化的图像．已知甲车出发1.5小时后，乙车出发，且乙车到达地，停留半小时卸货后，马上按原路原速返回，请根据图像所提供的信息回答： (1)写出甲车离开地将一批货物送到地对应图像的函数解析式：__________； (2)甲车出发________小时后被乙车追上； (3)甲车与乙车迎面相遇时，离地距离为__________千米． 6．为了进一步提高企业的经济效益，某织布厂决定增加制衣项目．为此要将织布厂原有的100名工人分成两部分．一部分继续织布，一部分制衣．已知每人每天能织布30米，或利用所织布制衣4件，制衣一件需用布1.5米．将布直接销售，每米布可获利2元；将布制成衣后销售，每件可获利25元．（若规定每名工人一天只能做一项工作，且不计其他因素） (1)若一天中生产的布除制衣所用外，剩下的布直接销售要获利1320元，则安排多少名工人织布？ (2)当安排多少名工人制衣时，该厂一天中所获总利润W（元）最大？最大利润为多少元？ 7．（22-23八年级下·贵州六盘水·期中）六盘水市2023年初中毕业生体育考试实行综合性结构评价，总分50分．其中，过程性评价10分，目标效果测试40分．目标效果测试项目为：第一类：立定跳远（男、女），分值15分；第二类：台阶试验（男、女），分值15分；第三类：篮球、足球、排球、跳绳、跳远（五选一），分值10分，某学校为了提高同学们的中考体育成绩，开学初分两次购进A，B两种跳绳供同学们练习，第一次购进A种跳绳40根，B种跳绳30根，共花费1100元；第二次购进A种跳绳20根，B种跳绳10根，共花费500元．（两次购进的A，B两种跳绳各自的单价均不变） (1)求A，B两种跳绳每根的价格分别是多少元？ (2)若购买A，B两种跳绳共120根，总费用为W元，设购买A种跳绳m根，B种跳绳的数量不超过A种跳绳数量的2倍．求W与m的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 8.如图，在平面直角坐标系中，点，射线轴，直线交线段于点B，交x轴于点A，D是射线上一点．若存在点D，使得恰为等腰直角三角形，则b的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一次函数的应用 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.通过探求实际问题的函数关系,体验一次函数知识的应用，能确定简单实际问题的一次函数解析式及函数定义域 2.学会运用一次函数知识分析和解决问题,初步掌握通过建立函数模型作出预测和决策的基本方法 利用一次函数解决简单问题 在实际问题中,首先分析题意并探究实际问题中的有关信息,然后在此基础上建立一次函数模型,从而解决问题 根据实际问题列一次函数解析式的步骤 (1)找等量关系; (2)把已知的条件代入,变化的两个量用变量x,y来表示 (3)求定义域:既要根据解析式又要根据实际意义求定义域 【结构特征】(1)等量关系有且只有两个变化的量;(2)定义域既要满足函数解析式,又要使实际问题有意义 （23-24八年级上·上海金山·期末）小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间. 从山脚出发后小明所走路程s（米）和所用时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息填空.    (1)小明中途休息用了 分钟； (2)小明休息后爬山的平均速度是 米/分钟； (3)小明休息前所走的路程s与时间t之间的函数关系式是 （无需写出定义域）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的实际应用、平均速度的计算方法： （1）根据图像可得小明休息的时间； （2）根据图像得到小明休息后所用的时间以及路程，即可得到平均速度； （3）根据图像得到小明休息前所用的时间以及路程，然后求得平均速度，即可得到关系式； 数形结合，熟练掌握是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得在段为小明休息的时间， 此时时间为分钟， 故答案为：5； （2）解：由图可得小明休息后爬上的阶段为段， 这段所走的路程为：米， 这段所用的时间为：分钟， ∴平均速度为：米/分钟， 故答案为：； （3）解：由图可得小明休息前所走的路程为：米， 小明休息前所走路程所用的时间为：分钟， ∴小明休息前的平均速度为：米/分钟， ∴根据路程=速度时间可得：小明休息前所走的路程s与时间t之间的函数关系式是， 故答案为：． 某中学的小聪同学帮妈妈开的了圣书店采购文具，计划从批发店购进甲、乙两种圆珠笔，已知甲种圆珠笔每盆进价比乙种圆珠笔多5元，若购进甲种圆珠笔20盒，乙种圆珠笔30盒，则费用为600元． (1)求甲、乙两种圆珠笔的每盒进价分别是多少元？ (2)甲、乙两种圆珠笔每盆售价分别为25元和18元．妈妈计划购进这两种圆珠笔总费用不超过2200元且甲种圆珠笔不低于20盒，若购进的甲、乙两种圆珠笔共200盒，且全部售出，则甲种圆珠笔为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)甲类圆珠笔每盒进价是15元，乙类圆珠笔每盒进价是10元 (2)当甲类圆珠笔为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数的性质， （1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）首先根据题意列出一元一次不等式方程组，结合利润公式列出一元一次函数，根据函数的性质求得最大值． 【详解】（1）解：设甲类圆珠笔每盒进价是元，乙类圆珠笔每盒进价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲类圆珠笔每盒进价是15元，乙类圆珠笔每盒进价是10元； （2）解：设购进甲类圆珠笔盒，则购进乙类圆珠笔盒， 根据题意得：， 解得：． 设购进的甲、乙两类圆珠笔全部售出后获得的总利润为元，则 即， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值． 答：当甲类圆珠笔为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元． 利用一次函数的性质解决决策问题 利用一次函数解决决策问题的方法: (1)根据题意建立函数解析式; (2)根据解析式画出函数图像;(3)根据图像作出决策 分配方案问题(一次函数的实际应用) 例1 （23-24八年级下·上海普陀·期中）某快递公司送货员每月的工资由底薪加计件工资两部分组成，计件工资与送货件数成正比例．有甲、乙两种薪资方案，如果送货量为x（件）时，方案甲的月工资是（元），方案乙的月工资是（元），其中计件工资部分，方案甲每送一件货物所得比方案乙高2元．如图所示，已知方案甲的每月底薪是1600元． (1)根据图中信息，分别求出和关于x的函数解析式；（不必写自变量的取值范围） (2)比较甲、乙两种薪资方案，如果你是应聘人员，你认为应该怎样选择方案？ 【答案】(1)； (2)当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式： （1）由图可设关于x的函数解析式为，利用待定系数法求得，再根据每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元，则可得每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元，则可设，利用待定系数法即可求解； （2）由图知，分三种情况：当送货量小于200件时，；当送货量为200件时，；当送货量大于200件时，，进而可求解； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为； ∵每送一件货物，甲所得的工资比乙高2元，而每送一件货物，甲所得的工资是12元， ∴每送一件货物，乙所得的工资比乙高10元． 可设关于x的函数解析式为，将代入， 得：， 解得：， 关于x的函数解析式为． （2）由图知： 当送货量小于200件时，，则选择乙方案； 当送货量为200件时，，则两种方案都可以； 当送货量大于200件时，，则选择甲方案． 【变式1-1】（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 【答案】(1) (2)共有种租车方案 (3)租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元 【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆；根据题意列函数关系式即可； （2）根据租车总费用不超过元，师生共有人可得 ，又为整数,解不等式组即可得到租车方案； （3）结合（1）（2），利用一次函数性质租金最少的方案即可解题． 【详解】（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆， ； （2）∵租车总费用不超过元，师生共有人, ， 解得 ， ∵为整数, ∴可取, ∴一共有种租车方案； （3）在中，随的增大而增大, 又可取, ∴当时，取最小值，最小值为(元), ∴租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元． 【变式1-2】某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中①有月租费，②无月租费，两种收费方式的通讯时间x（分钟）与收费y（元）之间的函数关系图象均为直线，如图所示．请根据图象回答下列问题： （1）当通讯时间为500分钟时，①方式收费 　 　元， ②方式收费 　 　元； （2）②收费方式中y与x之间的函数关系式是 　 　； （3）如果某用户每月的通讯时间少于200分钟，那么此用户应该选择收费方式是 　 　（填①或②）． 【答案】（1）80，100；（2）y2＝0.2x；（3）② 【分析】（1）根据题意由函数图象就可以得出①②收费； （2）根据题意设②中y与x的关系式为y2＝k2x，由待定系数法求出k2值即可； （3）根据题意设①中y与x的关系式为y1＝k1x+b，再讨论当y1＞y2，y1＝y2，y1＜y2时求出x的取值就可以得出结论． 【详解】解：（1）由函数图象，得： ①方式收费80元，②方式收费100元， 故答案为：80，100； （2）设②中y与x的关系式为y2＝k2x，由题意，得 100＝500k2， ∴k＝0.2， ∴函数解析式为：y2＝0.2x； （3）设①中y与x的关系式为y1＝k1x+b，由函数图象，得： ， 解得：， ∴y1＝0.1x+30， 当y1＞y2时，0.1x+30＞0.2x， 解得：x＜300， 当y1＝y2时，0.1x+30＝0.2x， 解得：x＝300， 当y1＜y2时，0.1x+30＜0.2x， x＞300， ∵200＜300， ∴方式②省钱． 故答案为：②． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式的运用，分类讨论思想的运用，设计方案的运用，解答时认真分析函数图象的意义是解题的关键． 【变式1-3】某人因需要经常去复印资料，甲复印社按A4纸每10页2元计费，乙复印社则按A4纸每10页0.8元计费，但需按月付一定数额的承包费.两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）乙复印社要求客户每月支付的承包费是_______元； （2）当每月复印_______页时，两复印社实际收费相同； （3）如果每月复印200页时，应选择_______复印社？ 【答案】（1）18；（2）150；（3）乙． 【分析】（1）根据图象，与y轴的交点的函数值即为每月支付的承包费； （2）先求出两函数的解析式，再联立求解即可； （3）结合（2）求得的结论解答即可． 【详解】（1）由图可知，x=0时，y=18， 所以，乙复印社要求客户每月支付的承包费是18元； （2）设y甲=kx，把x=50，y=10代入得 50k=10， 解得 k=， ∴y甲=x． 设y乙=mx+n，把x=50，y=10和x=0，y=22代入得 ， 解得 m=，n=18， ∴y乙=x+18， 解，得 ， ∴两函数图象的交点为(150，30)， ∴当每月复印150页时，两复印社实际收费相同； （3）选择乙． 理由是：当复印页少于150页时，甲的收费较低， 当复印页等于150页时，两复印社收费相同， 当复印页超过150页时，乙的收费较低， ∵200＞150， ∴如果每月复印200页时，乙的收费较低． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，观察图象并准确得到提供的信息是解题的关键，难度一般． 最大利润问题(一次函数的实际应用) 例2 学校计划在总费用2800元的限额内，租用客车接送204名师生（其中包括6名教师）到校外参加活动，要求师生都有座位，且每辆客车上至少要有1名教师．现有标准型和舒适型两种客车，它们的载客量和租金如表： 标准型 舒适性 载客量（单位：人/辆） 40 28 租金（单位：元/辆） 500 350 （1）求一共需租多少辆客车？说明理由； （2）设租用x辆标准型车，求租车的总费用y（单位：元）关于x的函数关系式及x的取值范围，并说明最省钱的租车方案及租金． 【答案】（1）6辆．理由见解析；（2）y=150x+2100，3≤x≤，租标准型客车3辆，舒适型客车3辆最省钱，租金2550元 【分析】（1）由师生总数为204名，根据“所需租车数=人数÷载客量”算出租载客量最大的客车所需辆数，再结合每辆车上至少要有1名教师，即可得出结论； （2）设租用x辆标准型车，则舒适型客车（6-x）辆，根据师生总数为204人以及租车总费用不超过2800元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式即可得出x的值，再设租车的总费用为y元，根据“总费用=租标准型客车所需费用+租舒适型客车所需费用”即可得出y关于x的函数关系式，根据一次函数的性质结合x的值即可解决最值问题． 【详解】解：（1）∵204÷40=5（辆）…4（人）， ∴保证204名师生都有车坐，汽车总数不能小于6； ∵只有6名教师， ∴要使每辆汽车上至少要有1名教师，汽车总数不能大于6； 综上可知：共需租6辆汽车． （2）设租用x辆标准型车，则舒适型客车（6-x）辆， 由题意得：y=500x+350（6-x）=150x+2100， ∵学校计划在总费用2800元的限额内，师生总数为204人， ∴， 解得：3≤x≤， ∵x为整数， ∴x=3，4， ∴共有2种租车方案，方案1：租标准型客车3辆，舒适型客车3辆；方案2：租标准型客车4辆，舒适型客车2辆， 方案1所需费用=500×3+350×3=2550（元）， 方案2所需费用=500×4+350×2=2700（元）． ∵2700＞2550， ∴方案1租标准型客车3辆，舒适型客车3辆最省钱，租金2550元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式组已经一次函数的性质，解题的关键是：（1）根据数量关系确定租车数；（2）找出y关于x的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数关系式（不等式或不等式组）是关键． 【变式2-1】随着我国防疫形势进一步好转，各景区陆续开始对游客开放．某景区对团体门票采用灵活的售票方法，设团体人数为人，非节假日购票款为（元），节假日购票款为（元），与之间的函数图像如图所示． （1）非节假日门票定价是 元/人； （2）当时，与之间的函数关系式_ （3）某导游于10月1日（节假日）带团，10月12日（非节假日）带团到该景区，共付门票款元，两个团队游客合计人（且两团游客人数均超过人）．求两个团队游客各有多少人？ 【答案】（1）30；（2）；（3）团人，团人 【分析】（1）由图象可得y1与x之间为正比例函数，x=15时，y1=450，即可得非节假日门票的定价； （2）利用待定系数法即可求解； （3）设A团有n人，表示出B团的人数为（50-n）人，根据（2）的函数关系式列出方程求解即可． 【详解】解：（1）由图象可得y1与x之间为正比例函数，x=15时，y1=450， 450÷15=30（元）， 故答案为：30； （2）当x＞15时，设y2=kx+b， ∵函数图象经过点（15，750）和（30，1350）， ∴， ∴， ∴y2=40x+150（x＞15）， 故答案为：y2=40x+150（x＞15）； （3）设A团有n人，表示出B团的人数为（50-n）人， 当n＞15时，（40n+150）+30（50-n）=1900， 解得n=25， ∴50-n=50-25=25（人）， 答：A团有25人，B团有25人． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，准确识图获取必要的信息是解题的关键． 【变式2-2】两地盛产柑桔，地有柑桔200吨，地有柑桔300吨．现将这些柑桔运到C、D两个冷藏仓库，已知仓库可储存240吨，仓库可储存260吨；从地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和25元，从地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从地运往仓库的柑桔重量为x吨，A、B两地运往两仓库的柑桔运输费用分别为yA元和yB元． （1）请填写下表后分别求出yA，yB之间的函数关系式，并写出定义域； C D 总计 A x吨 200吨 B 300吨 总计 240吨 260吨 500吨 （2）试讨论A,B两地中，哪个运费较少； 【答案】（1）见解析；（2）当时，即两地运费相等；当时，即地运费较少；当时，即地费用较少． 【详解】解：（1） 总计 吨 吨 200吨 吨 吨 300吨 总计 240吨 260吨 500吨 ， ． (2)当时，； 当时，； 当时，． 当时，即两地运费相等； 当时，，即地运费较少； 当时，，即地费用较少． 【变式2-3】某年，埃博拉病毒在非洲肆虐，某制药厂研制出一种提高免疫力的药品，为赶制这批紧销药品投放市场，立即组织100名工人进行生产，已知生产这种药品有两道工序：一是由原材料生产半产品，二是由半产品生产出药品．由于半产品不易保存，剩余半成品当天必须卖给附近大厂，每名工人每天可生产半成品30千克或由半成品生产药品4千克（两项选一项），每2千克半成品只能生产1千克药品．若药品出厂价为30元/千克，半成品价格为3元/千克． (1)设厂长每天安排x名工人生产半成品，销售药品收入y1元，请用x的代数式表示销售药品收入y1；设当天剩余半成品全部卖出收入为y2元，请用x的代数式表示y2，并求出这个问题中x的取值范围． (2)为了使每天收益最大，请你帮厂长策划：每天安排多少名工人生产半产品？并求出这个最大收益． 【答案】(1)y1＝﹣120x＋12000，y2＝114x﹣2400，≤x≤100且x为整数 (2)22名，9468元 【分析】（1）根据题意构建一次函数y1、y2，构建不等式求出自变量的取值范围即可； （2）设每天的收入为w元，则有w＝y1＋y2＝﹣120x＋12000＋114x﹣2400＝﹣6x＋9600，因为k＝﹣6＜0，所以w随x的增大而减小，推出x＝22时，w有最大值，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意得： y1＝（100﹣x）×4×30＝﹣120x＋12000， y2＝[30x﹣（100﹣x）×4×2]×3＝114x﹣2400， ∵， ∴≤x≤100且x为整数； （2）设每天的收入为w元， 由题意得：w＝y1＋y2＝﹣120x＋12000＋114x﹣2400＝﹣6x＋9600， ∵k＝﹣6＜0， ∴w随x的增大而减小， ∵≤x≤100且x为整数， ∴当x＝22时，w有最大值，最大值为9468元， 答：每天安排22名工人生产半产品，最大收益为9468元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型． 【变式2-4】为提高农民收入，某区一水果公园引进一种新型蟠桃，蟠桃进价为每公斤40元．上市后通过一段时间的试营销发现：当蟠桃销售单价在每公斤40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量（公斤）与销售单价（元/公斤）之间的关系可近似地看作一次函数，其图像如图所示． （1）求与的函数解析式，并写出定义域； （2）如果想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤多少元？ 【答案】（1）；（2）销售单价应定为60元或70元 【分析】（1）利用图象上的点的坐标，由待定系数法求一次函数解析式即可得出答案； （2）由每一件的利润×销售量＝2400列出方程求出x的值即可． 【详解】解：（1）设与的函数解析式为： 由题意得  解得 ∴ （2）由题意得，， 解得， 答：销售单价应定为60元或70元． 【点睛】此题主要考查了一次函数的实际应用，根据已知图象上点的坐标得出直线解析式是解题关键． 【变式2-5】疫情期间，甲厂欲购买某种无纺布生产口罩，A、B两家无纺布公司各自给出了该种无纺布的销售方案． A公司方案：无纺布的价格y（万元）与其重量x（吨）是如图所示的函数关系； B公司方案：无纺布不超过30吨时，每吨收费2万元；超过30吨时，超过的部分每吨收费1.9万元． （1）求如图所示的y与x的函数解析式；（不要求写出定义域） （2）如果甲厂所需购买的无纺布是40吨，试通过计算说明选择哪家公司费用较少． 【答案】（1）y＝1.95x+0.8；（2）在A公司购买费用较少． 【分析】（1）运用待定系数法解答即可； （2）把x＝40代入（1）的结论以及公司方案，分别求出每家公司所需的费用，再进行比较即可． 【详解】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b(k、b为常数，k≠0)， 由一次函数的图象可知，其经过点(0，0.8)、(10，20.3)， 代入得， 解得， ∴这个一次函数的解析式为y＝1.95x+0.8． （2）如果在A公司购买，所需的费用为：y＝1.95×40+0.8＝78.8万元； 如果在B公司购买，所需的费用为：2×30+1.9×(40﹣30)＝79万元； ∵78.8＜79， ∴在A公司购买费用较少． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，属于中考常考题型． 行程问题(一次函数的实际应用) 例3 （23-24八年级下·上海奉贤·期中）如图是某辆汽车加满油后，油箱剩油量y（升）关于已行驶路程x（千米）的函数图像（由两条线段构成）． (1)根据图像，当油箱剩油量为26升时，汽车已行驶的路程为________千米；当时，消耗一升油汽车能行驶的路程为________千米． (2)当时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶300千米时油箱的剩油量． 【答案】(1)240；10 (2)，21升 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求关系式是解题的关键． （1）根据图象可得汽车已行驶的路程，根据50升时行程为0千米和26升时程为240千米可得汽车的耗油量． （2）利用待定系数法得到函数关系式，再把代入可剩余量． 【详解】（1）由图象可得，当油箱剩油量为26升时汽车已行驶的路程为240千米， ∵（千米/升）， ∴消耗一升油汽车能行驶的路程为10千米． （2）设，把和代入可得， ， 解得， ∴函数表达式为， 当时，． 答：y关于x的函数表达式为，当汽车已行驶300千米时油箱的剩油量是21升． 【变式3-1】（23-24八年级下·上海金山·期中）小明和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以米/分的速度到达图书馆，小明始终以同一速度骑行，两人行驶的路程（米）与时间（分）的关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)___________分，___________分，___________米/分： (2)若小明的速度是120米/分，小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是___________分，此时距图书馆的距离是___________米： (3)在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是___________分． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，函数图象获取信息，一元一次方程的应用，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据速度路程时间，求出的值，进而求出的值，再根据速度路程时间，求出的值即可； （2）由图象可知，小明在途中与爸爸第二次相遇在段，分别求出段和段的关系时，求出路程相等时的值，进而求出行驶的路程，即可求解； （3）分两种情况讨论：①当爸爸和小明第二次相遇前相距米；②当爸爸和小明第二次相遇后相距米，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，折线为爸爸行驶的路程与时间的关系图，线段为小明行驶的路程与时间的关系图， 分钟， 分钟， 米/分， 故答案为：，，； （2）解：由图象可知，小明在途中与爸爸第二次相遇在段， 设段的关系式为， 将点和代入，得： ，解得：， 段的解析式为， 小明的速度是120米/分， 段的关系式为， ，即， 解得：，即小明在途中与爸爸第二次相遇的时间是分， 此时行驶的路程， 距图书馆的距离是米， 故答案为：，； （3）解：①当爸爸和小明第二次相遇前相距米， 则， 解得：； ②当爸爸和小明第二次相遇后相距米， 则， 解得：， 即爸爸自第二次出发至到达图书馆前，与小明相距100米的时间是或分， 故答案为：或 【变式3-2】（23-24八年级下·上海闵行·期中）甲、乙两位同学一次晨跑的路程S（米）与时间t（分）的关系如图所示．已知他们从同一地点出发，跑步的路线和总路程（1500米）也相同，其中甲先出发，途中由于鞋子问题耽误了一些时间．图中．根据图形所提供的信息，回答下列问题： (1)甲在途中耽误了______分钟； (2)乙跑步的速度是______米/分； (3)如果甲想与乙同时到达终点，那么他在解决鞋子问题后速度应提高到______米/分． 【答案】(1)10 (2)75 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和速度的相关知识解答即可． （1）根据函数图像的数据可以得到答案； （2）先求出的表达式，再利用求出的值，求出的表达式，从而求出点的坐标，最后利用速度路程时间求出速度即可； （3）分别求出甲到达终点要用的时间和需要走的路程，最后用速度路程时间求出速度即可． 【详解】（1）解：由图像可知甲是从，所以是耽误的时间， (分钟) （2）由图像可知是正比例函数， 设的表达式是， 将点代入得：，解得， ， 设的表达式为， 将点代入得：，解得， ， 当时，代入解得， ， 乙的速度为：(米/分) （3）(分钟) (米) (米/分) 【变式3-3】已知A，B两地之间的距离为400千米，甲、乙两车同时从A城出发沿着一公路驶向B城，已知甲车去的时候平均速度是100千米/时，甲车到达B城1小时后沿原路返回，如图是两车离A城的路程y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象.    (1)图中________________，________________. (2)甲车返回过程中y与x之间的函数解析式是________________________________. (3)若乙车行驶6小时与返回的甲车相遇，则点C的坐标是________________，乙车到达B地共用了________________小时. 【答案】(1)4，5 (2) (3)，7.5 【分析】（1）由图知，甲车至B城用时（小时），于是，． （2）运用待定系数法，图象经过，代入一次解析式构建方程组求解； （3）时，，得．求得乙的速度（千米/时），进而求得到达B地共用时小时． 【详解】（1）解：甲车到达B城用时：（小时） ∴． 停留1小时，． （2）解：如图，设函数关系式为，图象经过两点，得，解得， ∴． （3）解：时，， ∴． 乙的速度（千米/时） ∴乙车到达B地共用时（小时）． 【点睛】本题考查函数图象，行程问题，待定系数法确定函数解析式；由函数图象获取信息是解题的关键． 【变式3-4】（22-23八年级下·上海宝山·期中）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．根据图中信息，解答下列问题：    (1)当______时，两车相遇； (2)求线段所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离； (3)已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t小时，求t的值． 【答案】(1)2 (2)甲乙两地距离为280千米 (3) 【分析】（1）当时，即表示两车相遇，观察图象解答即可； （2）根据，两点坐标即可求线段所在直线的函数解析式，根据解析式可得点A坐标，其纵坐标表示未出发时两车距离，即甲乙两地之间的距离； （3）设快车的速度为m千米/时，慢车的速度为n千米/时，根据“时，两车相遇”和“两车相遇时快车比慢车多行驶40千米”列出方程组求解，最后根据甲乙两地之间的距离快车速度计算即可． 【详解】（1）两车之间的距离为y（千米），当时，即表示两车相遇，观察图象中的点可知当时，两车相遇， 故答案为：2； （2）解：设线段所在直线的表达式为 将，代入，得： ∴ ∴线段所在的直线表达式为： ∴ ∴甲乙两地距离为280千米. （3）设快车的速度为m千米/时，慢车的速度为n千米/时， ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用以及二元一次方程组的应用，根据已知利用图象得出正确信息计算解答是解题关键． 【变式3-5】甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车同时从甲地出发驶向乙地，如图：线段表示货车离甲地的距离与时间之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离与之间的函数关系．请根据图象解答下列问题． (1)当时，轿车行驶速度为______千米小时； (2)轿车到达乙地后，货车距乙地______千米； (3)直接写出线段对应的函数表达式及定义域______； (4)出发后经过______小时轿车可以追上货车． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据速度路程时间，即可得到答案； 根据函数图象中的数据，可以计算出货车的速度，然后即可计算出轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米； 根据函数图象中的数据，可以计算出线段对应的函数表达式，写出定义域； 根据函数图象中的数据，可以计算出段对应的函数解析式，然后令段对应的函数值等于段对应的函数值，求出相应的的值即可． 【详解】（1）解：千米小时； 故答案为：； （2）由图象可得，货车的速度为， 千米， 即轿车到达乙地后，货车距乙地千米， 故答案为：50； （3）设线段对应的函数表达式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即线段对应的函数表达式是； 故答案为：； （4）设段对应的函数解析式为， 点在该函数图象上， ，得， 段对应的函数解析式为， 段对应的函数解析式为， 令， 解得， 答：轿车在货车出发后经过小时可以追上货车， 故答案为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【变式3-6】（23-24八年级下·上海·期末）小杰、小明两人在一段笔直的滨江步道上同起点、同终点、同方向匀速步行 米，先到终点的人原地休息．已知小杰先出发分钟，在整个步行过程中，小杰、小明两人间的距离（米）与小杰出发的时间（分）之间的关系如图中折线 所示． (1)求线段的表达式，并写出自变量的取值范围； (2)求小明的步行速度； (3)求小明比小杰早几分钟到达终点? 【答案】(1) (2)小明的步行速度为米/分 (3)小明比小杰早分钟到达终点 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据图示，设线段的表达式为：，把，代入得到关于，的二元一次方程组，解之，即可得到答案， （2）根据线段，求出甲的速度，根据图示可知：乙在点处追上甲，根据速度路程时间，计算求值即可， （3）根据图示，求出二者相遇时与出发点的距离，进而求出与终点的距离，结合（2）的结果，分别计算出相遇后，到达终点二者所用的时间，二者的时间差即可所求答案． 【详解】（1）设线段的表达式为： ， 把，代入得： ，解得：， 即线段的表达式为： ， （2）由线段可知：小杰的速度为：(米/分)， 小明的步行速度为：(米/分)， 答：小明的步行速度为米/分， （3）在处小杰、小明相遇时，与出发点的距离为：米)， 与终点的距离为：(米)， 相遇后，到达终点小杰所用的时间为：(分)， 相遇后，到达终点小明所用的时间为：(分)， (分)， 答：小明比小杰早分钟到达终点． 【变式3-7】（2024·上海杨浦·一模）寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6∶00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图像． 根据图像提供的信息回答下列问题： (1)图中的_______，______； (2)求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）； (3)她们能否在中午12∶30之前到达目的地？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)提速后y关于x的函数解析式为． (3)能．理由见解析 【分析】（1）根据图象求出a的值，根据“离目的地的路程=家与目的地之间的距离-行驶的路程”可计算b的数值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）当时求出对应x的值，计算出到达目的地的时间，从而作出判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ． （2）设提速后y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标和代入， 得 ， 解得 ， ∴提速后y关于x的函数解析式为． （3）能．理由如下： 当她们到达目的地时，， 得， 解得， 小时=6时12分， ∴她们于12：12分到达目的地． 【变式3-8】（23-24八年级上·上海松江·期末）龟兔赛跑是同学们熟悉的寓言故事，乌龟和兔子在比赛过程中的路程与时间（min）的函数关系如图所示．请根据图像完成下列问题： (1)兔子在比赛中睡觉的时间为______分钟； (2)已知兔子在段和段的速度保持一致，则兔子完成比赛共用时______分钟； (3)在（2）的条件下，已知乌龟比兔子提前1分钟到达终点，求乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式． 【答案】(1)6 (2)11 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数的表达式是本题的关键． （1）计算点C和B的横坐标之差即可； （2）利用速度，求出段的速度，再利用时间，求出段所用的时间，进而求出完成比赛一共用的时间； （3）根据题意，求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：兔子在比赛中睡觉的时间为， 故答案为：6． （2）兔子的速度为， 段用时为， ∴兔子完成比赛共用时， 故答案为：11； （3）解：由题意可知，乌龟完成比赛用时， ∴点A的坐标为． 当时，设乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式为， 将坐标代入， 得， 解得， ∴乌龟在比赛过程中路程与时间的函数关系式． 【解题技巧总结】 从图像中获取信息，可以从四个方面去分析图像:(1)从函数图像中确定自变量的取值范围;(2)根据x轴、y轴的实际意义理解图像上点的实际意义，通过观察特殊点的位置去寻找所需要的信息内容;(3)通过比较图像位置的高低，判断在自变量相同的取值范围内对应的函数值的大小;(4)两图像是否有交点. 一次函数与几何综合(一次函数的实际应用) 例4 （23-24八年级上·上海松江·期中）如图，已知正比例函数的图像经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且的面积为8．    (1)求正比例函数的解析式； (2)若点P是该正比例函数图像上一点，且使得的面积是面积的两倍，求点P的坐标； (3)已知，在直线上（除O点外）是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)的长为或或 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为4，， ∴点A的纵坐标为， ∴点A的坐标为， ∵正比例函数的图像经过点A， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：存在， ∵， ∴， 设点P的坐标为， ∵的面积是面积的两倍， ∴， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为或． （3）解：当，点M在点A的上方时，； 点M在点A的下方时，；    当时，∵， ∴点M与点O重合， ∴此时点M不符合题意；    当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；    综上分析可知，的长为或或． 【分析】（1）先利用三角形面积公式得到A点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式； （2）设点P的坐标为，根据三角形面积公式得出，求出或，即可求出点P的坐标； （3）分三种情况进行讨论，当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【点睛】本题考查了正比例函数图像的性质、待定系数法求正比例函数的解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，画出图形，注意进行分类讨论． 【变式4-1】（22-23八年级下·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，直线经过点，且平行于直线． (1)若这条直线经过点，求的值； (2)求由直线、直线与轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)三角形的面积为 【分析】（1）根据直线平行，可得，把点代入可求解解析式，再把代入即可求解； （2）图形结合，作轴，根据直线与坐标轴的交点算出点的坐标，再根据几何图形的面积计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵直线平行于， ∴， ∵直线经过点， ∴， ∴直线解析式为：， ∵直线经过点， ∴，解得，， ∴的坐标为． （2）解：如图所示，作轴，    ∵， ∴， ∵点是与轴的交点，令，则， ∴， ∴， ∴， ， ∴三角形的面积为． 【点睛】本题主要考查一次函数图像的性质，掌握待定系数法求解析式，图像与坐标轴交点的计算方法，几何图形面积的计算方法是解题的关键． 【变式4-2】（22-23八年级下·上海黄浦·期中）已知：点、在反比例函数的图象上，直线经过点、，且与轴，轴的交点分别为、两点．    (1)求直线的表达式； (2)为坐标原点，在直线上且满足，点在坐标平面内，顺次联接点、、、的四边形满足：，，求点坐标． 【答案】(1) (2)点坐标是或 【分析】（1）把、的坐标代入反比例函数解析式可求得、的值，再把、坐标代入直线解析式可求得、的值； （2）结合（1）可先求得、坐标，可求得点坐标，再由条件可求得直线的解析式，由可求得点坐标． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 把代入，得， ， 将，代入得， 解得， 即直线的表达式为； （2）解：由（1）知， ，， 点在直线上， 设， 由得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 直线且过原点， 直线解析式为， 可设， 由得， 解得或， 满足条件的点坐标是或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，函数图象的交点，勾股定理，掌握函数图象的交点坐标满足每一个函数解析式是解题的关键． 【变式4-3】（22-23八年级下·上海黄浦·期中）如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】令，可得，令，可得，利用勾股定理求出，可得，分两种情况考虑：①点在轴正半轴；②点在轴负半轴．分别计算出、度数，两个角的和差即为所求度数． 【详解】解：直线：交轴负半轴于点，交轴于点， 令，则，解得， ， 令，则， ， ， ， ， ， ，． ，， ， ， 如图，分两种情况考虑： ①当点在轴正半轴上时，， ； ②当点在轴负半轴上时，， ．    故选：D． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、含度角的直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质以及坐标与图形性质．分类讨论思想的运用是解题的关键． 【变式4-4】（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像与坐标轴交于、点（如图），平分，交轴于点． (1)求点的坐标和点的坐标； (2)求直线的表达式； (3)过点作，垂足为，交轴于点，连接，试判断的形状并证明你的结论． (4)若将已知条件“平分，交轴于点”改变为“点是线段上的一个动点（点不与点、重合）”，过点作，垂足为．设，，试求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域． 【答案】(1)点B的坐标为，点E的坐标为 (2) (3)是等腰三角形 (4)，定义域为 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合，勾股定理，三角形的面积，掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用勾股定理求出长，再利用解题即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）设点F的坐标为，利用勾股定理得到，求出点F的坐标，然后判断三角形的形状即可； （4）先利用勾股定理得到长，然后根据解题计算即可． 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴点B的坐标为， 当时，， ∴点A的坐标为， ∴， 过点E作于点H， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为； （2）设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； （3）设点F的坐标为， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴点F的坐标为， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）解：由勾股定理可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵点是线段上的一个动点， ∴． 【变式4-5】（22-23八年级上·上海青浦·期末）已知：如图，反比例函数的图象与直线相交于点，直线与轴交于点，与y轴交于点，点是的中点．    (1)求直线的函数解析式； (2)求点到直线的距离； (3)若点是直线上一点，且是直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)，或， 【分析】（1）根据中点坐标公式求出点的横坐标，进而求出点坐标，即可求出答案； （2）利用三角形的面积建立方程求解，即可求出答案； （3）设出点的坐标，分三种情况利用勾股定理建立方程求解，即可求出答案． 【详解】（1）解：设点的坐标为， 点是的中点， ， ， ， 点在直线上， ， ， 直线的解析式为； （2）解：由（1）知，点， ， 点， 设点到直线的距离为， 则， ， 即点到直线的距离为； （3）解：由（1）知，直线的解析式为， 设点， ，， ，，， 是直角三角形， ①当时，， ， ， ，， ②当时，， ， （不符合题意，舍去）， ③当时，， ， （不符合题意，舍去）或， ，， 即，或，． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数，三角形的面积公式，勾股定理等知识。根据勾股定理求点的坐标，待定系数法求一次函数的解析式，利用三角形的面积公式求距离是本题的关键． 【变式4-6】（22-23八年级下·上海松江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴、y轴分别相交于点A、B，直线DE与x轴交于点，与直线相交于点E，点E在第二象限，已知的面积为18    (1)求直线的表达式； (2)点P是直线上一点，点Q是y轴上一点，如果以B、C、P、Q为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点P、Q的坐标． 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）把点代入可得直线的表达式，可得B点坐标，根据的面积为18可求出E点坐标，根据D，E坐标即可求出直线的表达式； （2）根据点P是直线上一点，点Q是y轴上一点，设出P，Q点坐标，根据以B、C、P、Q为顶点的四边形是等腰梯形，进行分类讨论，分为两类：①当且时，轴，求出P点坐标，根据求出Q点坐标；②当且时，轴，求出P点坐标，根据求出Q点坐标即可解答； 【详解】（1）把点代入得， 解得  ， ∴直线的表达式为：，   ，   ，， 设， ，解得，点， 设直线的表达式为， 把代入上式得解得， ∴直线的表达式为； （2）点P是直线上一点，点Q是y轴上一点，P是直线上一点， 设 ， ， ∴直线的表达式为：， ， 以B、C、P、Q为顶点的四边形是等腰梯形， ①当且时，轴， P 点纵坐标为1， 代入直线的表达式得， ， ， ， ； ②当且时，轴， P点横坐标为1， 代入直线的表达式得， ， ， ， ， ； 综上所述或，． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的特征，一次函数解析式求解以及一次函数与等腰梯形相结合的存在性问题，该题解题的关键是根据等腰梯形腰相等以及上下两底互相平行的性质结合图像进行分类讨论并合理转化． 【解题技巧总结】 1.求三角形面积2种不同方法： ①与坐标轴平行（或垂直）→切割三角形，分成小三角形面积相加； ②与坐标轴不平行（或垂直）→作铅锤高、水平高，可以切割成共底（或共高）的小三角形面积相加或组合成四边形减其他多余部分图形面积求解. 2.面积和差倍问题：将不同的三角形通过平行线或平移转化成平行线问题，根据等底等高或对称去求解. 3.等腰三角形的存在性问题： 所需工具：直尺和圆规 要知道等腰三角形实际是垂直平分线与对称图形的产物，找等腰三角形的点问题，题目一般会给出2个确定点和一个动点，遵循“先易后难”原则： 先易：先讨论两个顶点分别是顶点时，即以一个顶点为圆心，另一个顶点到该顶点的长度为半径画圆，其弧与题目所涉及的问题（某直线、某轴、某象限等）相交的点就是所求的动点. 后难：动点为顶点时候，我们一般结合垂直平分线的性质，即把已知2点作为线段，作垂直平分线，其垂直平分线与题目所涉及的问题（某直线、某轴、某象限等）相交的点就是所求的动点. 其他问题(一次函数的实际应用) 例5 （23-24八年级上·上海长宁·期中）小李在一网上购物平台购物，恰逢周年庆，平台推出优惠活动，如图广告所示： 三重惊喜！！！ ♢免运费！ ♢全部商品七折 ♢购物金额（折后）满56元减10元 (1)请写出小李的实付金额y（元）关于购物的商品总价x（元）的函数解析式及其定义域； (2)小李和好朋友小于拼单购物，小李和小于所购商品的总价分别为60元和40元，那么小李和小于应如何分配实付金额？请写出你的理由． 【答案】(1) (2)小李和小于分别应实付金额36元和24元． 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用， （1）分情况：当商品总价折后小于56元时可以求得实付金额；当商品总价折后大于等于56元时可以求得实付金额； （2）判断小李和小于拼单购物商品总价，根据第一问的函数解析式算的拼单后实付金额，再按比例求得每人所付实际金额； 【详解】（1）解：根据题意得：商品总价打折之后为，且满56减10 ，根据情况分类得： 当，得，实付金额； 当，得，实付金额； 则． （2）小李和小于所购商品的总价分别为60元和40元，商品总价为100元． 因为商品总价大于80，代入：，则， 则小李应实付（元），小于应实付（元）． 【变式5-1】（22-23八年级下·上海静安·期中）某次园艺会的门票分为个人票和团体票两大类，其中个人票设置有三种： 票得种类 夜票（A） 平日普通票（B） 指定日普通票（C） 单价（元/张） 60 100 150 某社区居委会为奖励“和谐家庭”，欲购买个人票100张，其中B种票张数是A种票张数的3倍还多8张，设需购买A种票张数为x，C种票张数为y (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)设购票总费用为w元，求出W（元）与x（张）之间的函数关系式； (3)若每种票至少购买1张，其中购买A种票不少于20张，则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时，购买A，B，C三种票的张数． 【答案】(1) (2) (3)共有3种购票方案；购票总费用最少时，购买A、B、C三种票的张数分别为：22、74、4 【分析】（1）根据A、B、C三种票的数量关系列出y与x的函数关系； （2）根据三种票的张数、价格分别算出每种票的费用，再算出总数w，即可求出购票总费用W（元）与x（张）之间的函数关系式； （3）根据题意求出x的取值范围，根据取值可以确定有三种方案购票，再从函数关系式分析w随x的增大而减小从而求出最值，即购票的费用最少． 【详解】（1）解：由题意得，B种票数为：，则， 化简得：， 即y与x之间的函数关系式为：； （2）解：由题意得，， 化简得，， 即购票总费用W（元）与x（张）之间的函数关系式为：； （3）解：由题意得，， 解得：， ∵x是正整数， ∴x可取20、21、22，即共有3种购票方案， 从函数关系式， ∵， ∴w随x的增大而减小， 当时，w的值最小，即当A票购买22张时，购票的总费用最少， ∴购票总费用最少时，购买A、B、C三种票的张数分别为：22、74、4． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，根据一次函数的性质和自变量的取值范围确定最值是解题的关键． 【变式5-2】某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物．这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量yA（千克）与时间x（时）的函数图象，线段EF表示B种机器人的搬运量yB（千克）与时间x（时）的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）P点的含义是　 　； （2）求yB关于x的函数解析式； （3）如果A、B两种机器人连续运5小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？ 【答案】（1）A种机器人搬运3小时时，A、B两种机器人的搬运量相等，且都为180千克；（2）y＝90x﹣90（1≤x≤6）；（3）如果A、B两种机器人连续运5小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了150千克 【分析】（1）观察函数图象，根据点P为线段OG、EF的交点结合题意即可找出点P的含义； （2）根据点E、P的坐标利用待定系数法即可求出yB关于x的函数解析式； （3）根据工作总量＝工作效率×工作时间，分别求出A、B两种机器人连续运5小时的云货量，二者做差即可得出结论． 【详解】解：（1）P点的含义是：A种机器人搬运3小时时，A、B两种机器人的搬运量相等，且都为180千克． 故答案为：A种机器人搬运3小时时，A、B两种机器人的搬运量相等，且都为180千克． （2）设yB关于x的函数解析式为yB＝kx+b， 将（1，0）、（3，180）代入yB＝kx+b， ，解得：， ∴yB关于x的函数解析式为y＝90x﹣90（1≤x≤6）． （3）连续工作5小时，A种机器人的搬运量为（180÷3）×5＝300（千克）， 连续工作5小时，B种机器人的搬运量为[180÷（3﹣1）]×5＝450（千克）， B种机器人比A种机器人多搬运了450﹣300＝150（千克）． 答：如果A、B两种机器人连续运5小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了150千克． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、函数图象以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）结合函数图象找出点P的含义；（2）根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）根据工作总量=工作效率×工作时间列式计算． 【变式5-3】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）如果购买某一种水果所付金额y（元）与购买数量x（千克）之间的函数图象由线段与射线组成（如图所示），那么购买3千克这种水果需要付 元． 【答案】56 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，先求出的函数解析式为，再求出时的函数值，即可解答． 【详解】解：设的函数解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴的函数解析式为， 当时，， ∴购买3千克这种水果需要付56元， 故答案为：56． 【变式5-4】（22-23八年级下·上海长宁·期末）已知汽车装满油之后，油箱里的剩余油量y（升）与汽车行驶路程x（千米）之间的函数图象如图所示．为了行驶安全，油箱中的油量不能少于（升），那么这辆汽车装满油后至多行驶 （千米）后需要再次加油．    【答案】 【分析】根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为升时行驶的路程，此题得解． 【详解】解：设该一次函数解析式为，将，，，代入得 ， 解得， 该一次函数解析式为． 当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键． 【变式5-5】（22-23八年级下·上海浦东新·期末）我们知道，海拔高度每上升1千米，温度下降，某时刻，上海地面温度为，设高出地面千米处的温度为． (1)写出与之间的函数关系式，并写出函数定义域； (2)有一架飞机飞过浦东上空，如果机舱内仪表显示飞机外面的温度为，求此刻飞机离地面的高度为多少千米？ 【答案】(1) (2)6千米 【分析】（1）根据高出的温度＝地面温度－上升后降低的温度，列式即可得到答案； （2）把代入函数关系式进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：海拔高度每上升1千米，温度下降，上海地面温度为， ， 与之间的函数关系式为：； （2）解：根据题意可得： 当时，， 解得：， 此刻飞机离地面的高度为6千米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，根据高出的温度＝地面温度－上升后降低的温度，得出函数关系式，是解题的关键． 【变式5-6】（2023·上海浦东新·二模）某市全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见下表： 分档 户年用水量 （立方米） 自来水单价 （元/立方米） 污水处理单价 （元/立方米） 第一阶梯 0~220（含220） 2.25 1.8 第二阶梯 220~300（含300） 4 第三阶梯 300以上 6.99 注：应缴的水费＝户年用水量×（自来水单价＋污水处理单价） 仔细阅读上述材料，请解答下面的问题： (1)如果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？ (2)居民应缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关系如图所示，求第二阶梯（线段）的表达式； (3)如果小明家全年缴纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？ 【答案】(1)她家全年应缴纳水费891元 (2) (3)他家全年用水量是270立方米 【分析】（1）根据题意列出算式计算即可； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据缴纳的水费1181元得出用水量在第二阶梯范围内，然后将代入（2）中求出的函数解析式进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， 答：她家全年应缴纳水费891元． （2）解：设线段的表达式为，把，代入得： ， 解得：， ∴线段的表达式为． （3）解：∵， ∴小明家全年用水量处于第二阶梯， 把代入得：， 解得：， 答：他家全年用水量是270立方米． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法，数形结合． 【例1】某市为鼓励市民节约用水和加强对节水的管理，制定了以下每月每户用水的收费标准： ①用水量不超过80立方米时，每立方米收费1元，并加收每立方米1元的污水处理费； ②用水量超过80立方米时，在①的基础上，超过80立方米的部分，每立方米收费1.5元，并加收每立方米1.5元的污水处理费． 设某户一个月的用水最为x立方米，应交水费y元． (1)请分别对①、②两种情况，写出y关于x的函数关系式，指出函数的定义域． (2)若小李家4月共支付水费220元，求小李家4月用水量． 【答案】(1)， (2)100 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据得出水费应有两部分组成是解题关键． （1）由题意列出y关于x的函数解析式，根据限制条件写出函数定义域． （2）由交费可知说明该户用水量已超过80立方米，把数值代入函数关系式． 【详解】（1）解：情况①：即 情况②：， 即所求的函数解析式为； （2）解：∵ 即当该户一个月应交水费为220元时，说明该户用水量已超过80立方米， 则， 解得． 答：该户一个月的用水量为立方米． 【防错警示】 实际问题中的一次函数,其自变量的取值范围既要使解析式有意义,又要使实际问题有意义,因此自变量的取值范围一般不是全体实数,解题时容易忽视自变量的取值范围而导致错误. 【例2】用纸复印文件．在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过时，每页收费元；一次复印页数超过时，超过部分每页收费元． 设在同一家复印店一次复印文件的页数为（为非负整数）． (1)根据题意，填写下表： 一次复印页数（页） 5 10 20 100 … 甲复印店收费（元） 0.5 2 … 乙复印店收费（元） 0.6 2.4 … (2)列式表示分别在甲、乙复印店，复印x张文件的费用． (3)复印多少页在两家复印店消费相同？ 【答案】(1)1，1.2；10，9.6 (2)到甲店复印的费用为元；当x不超过20页时，到乙店复印的费用为元；当x超过20页时，到乙店复印的费用为元； (3)当一次复印60页时，两家复印店所收费用相同． 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以将表格补充完整； （2）根据总价=单价×数量，对乙的收费方式进行分类讨论即可； （3）由两家复印店所收费用相同，分两种情况列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可得， 一次复印页数（页） 5 10 20 100 … 甲复印店收费（元） 0.5 1 2 10 … 乙复印店收费（元） 0.6 1.2 2.4 9.6 … 故答案为：1，1.2；10，9.6； （2）解：到甲店复印的费用为元； 当时，到乙店复印的费用为元； 当时，到乙店复印的费用为元． （3）解：当时，； 当时，， 解得． 答：当一次复印60页时，两家复印店所收费用相同． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【防错警示】 利用一次函数知识,结合函数图像解决实际问题时,要正确理解函数图像的意义,才能很好地解决问题,否则容易出现错误. 1．（22-23八年级下·上海虹口·期末）甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，甲乙二人距离地面的高度y（米）关于甲出发时间x（分钟）的函数图像如图所示，已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶，乙始终保持匀速前进．根据图像判断，以下说法正确的有几个？（    ）    （1）山的高度为340米 （2）甲乙二人不同时出发 （3）甲登顶的时间为自己出发后7分钟 （4）乙出发分钟后登顶 （5）甲出发5分钟后追上乙 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】（1）由函数图象可直接判断； （2）由两函数图象与y轴的交点坐标作出判断； （3）由山的高度及甲的登山速度分析求解； （4）由函数图像分析乙的登山速度，从而求出其登山时间； （5）通过求函数解析式的交点坐标进行分析计算． 【详解】解：（1）由函数图象可得山的高度为340米，故此说法正确，符合题意； （2）由题意，甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，    由图象可得，， ∴甲出发时，乙已经距离地面米，即甲乙二人不同时出发，故此说法正确，符合题意； （3）由图象可得甲出发1分钟时，距离地面米， ∴甲在出发2分钟内的登山速度为米/分， 又∵已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶， ∴甲在出发2分钟后的登山速度为米/分， （分钟）， （分钟）， ∴甲登顶的时间为自己出发后7分钟，故此说法正确，符合题意； （4）由图象可得乙的登山速度为米/分 ∴乙的登山时间为（分），即乙出发42.5分钟后登顶，故此说法正确，符合题意； （5）设直线的函数解析式为，把，代入， ，解得， ∴直线的函数解析式为， 设直线的函数解析式为，把，代入， ，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得 ∴甲出发5分钟后追上乙，故此说法正确，符合题意， 正确的有5个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，关键是准确识图． 2．（22-23八年级下·上海宝山·期末）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个数学问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”它的大意是∶“良马每天行里，劣马每天行里，劣马先行天，良马需要多少天才能追上劣马？”如图，是良马与驽马行走路程(单位∶里)关于行走时间(单位∶日)的函数图象． (1)射线记为，射线记为，那么良马行走路程关于行走时间的函数图象是____________；(填或) (2)两图象交点的坐标是____________； (3)求良马行走路程关于行走时间的函数解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据良马行走的速度大于劣马，即单位时间内的路程大，反映在函数图象上是与轴夹角较大的射线，据此即可求解； （2）根据题意，列出方程，解方程即可求解； （3）设，将点，代入，根据待定系数法求解析式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可得良马行走的速度大于劣马， 则良马行走路程关于行走时间的函数图象是， 故答案为：． （2）根据题意可得：， 解得：， ∴良马行走了（天） ∴的纵坐标为 （3）解：设，将点，代入得， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 3．（22-23八年级下·上海青浦·期末）已知甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车先以75千米/时的速度匀速行驶150千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．甲、乙两车各自距A地的路程y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．    (1)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式； (2)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 【答案】(1) (2)当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为250千米 【分析】（1）首先根据图像和题意求出，，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据题意求出乙车行完全程用时为小时，然后将代入求解即可． 【详解】（1）如图所示，    根据题意得，两人相遇的时间为， ∴， ∵甲车先以75千米/时的速度匀速行驶150千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地 ∴ ∴ 设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为 则有：， 解得， 甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； （2）甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为千米， ∴乙车的速度为：（千米/时） ∴乙车行完全程用时为：（时） ∵ ∴当时，千米， ∴当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为250千米 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象，求出函数解析式是解答本题的关键． 4．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图中的图像（折线）描述了一汽车在某一直线的行驶过程中，汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，填空： (1)汽车共行驶了___________千米； (2)汽车在行驶途中停留了___________小时； (3)汽车自出发后4点到小时之间行驶的速度是___________千米/小时；求出此时汽车离出发地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数关系式（写出解题过程） 【答案】(1) (2) (3)80， 【分析】（1）由，可得汽车一共行驶的路程； （2）由，可得：汽车在行驶途中停留时间； （3）由，可得汽车行驶速度，再利用待定系数法求解函数解析式即可． 【详解】（1）解：由，可得： 汽车共行驶了（千米）； （2）由，可得： 汽车在行驶途中停留了（小时）； （3）由，可得： 行驶速度为每小时： （千米）； 设， ∴， 解得： ， ∴． 【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，利用待定系数法求解一次函数的解析式，理解题意，明确坐标含义是解本题的关键． 5．（22-23八年级下·上海·期末）甲乙两车分别从地将一批货物运送到地，乙车再返回地．如图表示两车离地的路程（千米）随时间（时）变化的图像．已知甲车出发1.5小时后，乙车出发，且乙车到达地，停留半小时卸货后，马上按原路原速返回，请根据图像所提供的信息回答： (1)写出甲车离开地将一批货物送到地对应图像的函数解析式：__________； (2)甲车出发________小时后被乙车追上； (3)甲车与乙车迎面相遇时，离地距离为__________千米． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，两直线交点问题，数形结合是解题的关键． （1）根据函数图像可得，甲车出发后，到达离A地的B地，可以求出甲车的速度，然后表示函数关系式即可； （2）根据点M的意义即可求得答案； （3）先求得停留半小时后的坐标，根据返回时的速度相等，列方程即可求得答案． 【详解】（1）解：甲车离开地将一批货物送到地对应图像的函数解析式为：， 故答案为：； （2）解：令，则， 解得：， 故答案为：； （3）解：乙车的速度为千米/时， 则， 解得：， ∴距离地距离为千米， 故答案为：． 6．为了进一步提高企业的经济效益，某织布厂决定增加制衣项目．为此要将织布厂原有的100名工人分成两部分．一部分继续织布，一部分制衣．已知每人每天能织布30米，或利用所织布制衣4件，制衣一件需用布1.5米．将布直接销售，每米布可获利2元；将布制成衣后销售，每件可获利25元．（若规定每名工人一天只能做一项工作，且不计其他因素） (1)若一天中生产的布除制衣所用外，剩下的布直接销售要获利1320元，则安排多少名工人织布？ (2)当安排多少名工人制衣时，该厂一天中所获总利润W（元）最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)安排35名工人织布 (2)当安排83名工人制衣时，该厂一天中所获总利润W（元）最大，最大利润为8324元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出方程和不等式，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答． （1）设安排名工人织布，则安排名工人制衣，然后根据题目中的数据和一天中生产的布除制衣所用外，剩下的布直接销售要获利1320元，可以列出相应的方程，然后求解节课； （2）根据题意和题目中的数据，可以得到利润和制衣工人人数之间的函数关系式，再根据题意，可以得到制衣人数的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可求得当安排多少名工人制衣时，该厂一天中所获总利润（元最大，最大利润为多少元． 【详解】（1）解：设安排名工人织布，则安排名工人制衣， 由题意可得，， 解得， 答：安排35名工人织布； （2）解：设安排名工人制衣，总利润为元， 由题意可得，， 随的增大而增大， ， 解得， 为整数， 当时，取得最大值，此时， 答：当安排83名工人制衣时，该厂一天中所获总利润（元最大，最大利润为8324元． 7．（22-23八年级下·贵州六盘水·期中）六盘水市2023年初中毕业生体育考试实行综合性结构评价，总分50分．其中，过程性评价10分，目标效果测试40分．目标效果测试项目为：第一类：立定跳远（男、女），分值15分；第二类：台阶试验（男、女），分值15分；第三类：篮球、足球、排球、跳绳、跳远（五选一），分值10分，某学校为了提高同学们的中考体育成绩，开学初分两次购进A，B两种跳绳供同学们练习，第一次购进A种跳绳40根，B种跳绳30根，共花费1100元；第二次购进A种跳绳20根，B种跳绳10根，共花费500元．（两次购进的A，B两种跳绳各自的单价均不变） (1)求A，B两种跳绳每根的价格分别是多少元？ (2)若购买A，B两种跳绳共120根，总费用为W元，设购买A种跳绳m根，B种跳绳的数量不超过A种跳绳数量的2倍．求W与m的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用． 【答案】(1)种跳绳每根的价格是20元，B种跳绳每根的价格是10元； (2)，购买A种跳绳40根，B种跳绳80根最省钱，此时总费用为1600元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． （1）设A种跳绳每根的价格是x元，B种跳绳每根的价格是y元，根据第一次购进A种跳绳40根，B种跳绳30根，共花费1100元；第二次购进A种跳绳20根，B种跳绳10根，共花费500元得：，即可解得答案； （2）由B种跳绳的数量不超过A种跳绳数量的2倍，可解得，而，由一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设A种跳绳每根的价格是x元，B种跳绳每根的价格是y元， 根据题意得：， 解得， 种跳绳每根的价格是20元，B种跳绳每根的价格是10元； （2）解：种跳绳的数量不超过A种跳绳数量的2倍， ， 解得， 根据题意得：， 与m的函数关系式为； ， 随m的增大而增大， 当时，W取最小值， 此时， 购买A种跳绳40根，B种跳绳80根最省钱，此时总费用为1600元． 8.如图，在平面直角坐标系中，点，射线轴，直线交线段于点B，交x轴于点A，D是射线上一点．若存在点D，使得恰为等腰直角三角形，则b的值为 ． 【答案】或或2 【分析】分三种情况讨论：①当∠ABD=90°时，证得△DBC≌△BAO，得出BC=OA，即4-b=2b，求得b=；②当∠ADB=90°时，作AF⊥CE于F，同理证得△BDC≌△DAF，得出BC=DF，即2b-4=4-b，求得b=；③当∠DAB=90°时，作DF⊥OA于F，同理证得△AOB≌△DFA，得出OA=DF，即2b=4，解得b=2． 【详解】解：①当∠ABD=90°时，如图1，则∠DBC+∠ABO=90°， ∴∠DBC=∠BAO， 由直线交线段OC于点B，交x轴于点A可知OB=b，OA=2b， ∵点C（0，4）， ∴OC=4， ∴BC=4-b， 在△DBC和△BAO中， ， ∴△DBC≌△BAO（AAS）， ∴BC=OA， 即4-b=2b， ∴b=， ②当∠ADB=90°时，如图2，作AF⊥CE于F， 同理证得△BDC≌△DAF， ∴CD=AF=4，BC=DF， ∵OB=b，OA=2b， ∴BC=DF=2b-4， ∵BC=4-b， ∴2b-4=4-b， ∴b=； ③当∠DAB=90°时，如图3，作DF⊥OA于F， 同理证得△AOB≌△DFA， ∴OA=DF， ∴2b=4， ∴b=2； 综上，b的值为或或2， 故答案为：或或2． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助性构建求得三角形上解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$