第01讲 一次函数的概念与图像（3个知识清单+10类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年八年级数学下册同步专项训练（沪教版）

第01讲 一次函数的概念与图像 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01正比例函数的定义............................................................................................................................................................3 题型02识别一次函数....................................................................................................................................................................5 题型03根据一次函数的定义求参数.............................................................................................................................................7 题型04求一次函数自变量或函数值............................................................................................................................................8 题型05列一次函数解析式并求值...............................................................................................................................................12 题型06判断一次函数的图象.......................................................................................................................................................13 题型07根据一次函数解析式判断其经过的象限.......................................................................................................................14 题型08已知函数经过的象限求参数范围...................................................................................................................................15 题型09一次函数图象与坐标轴的交点问题................................................................................................................................18 题型10一次函数图象平移问题...................................................................................................................................................23 分层练习.........................................................................................................................................................................................25 夯实基础.........................................................................................................................................................................................25 能力提升........................................................................................................................................................................................42 知识点1．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点2．一次函数的图像 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 知识点3．一次函数图像与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 题型01正比例函数的定义 1．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）下列问题中的两个变量是成反比例的是（　　） A．被除数（不为零）一定，除数与商 B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长 D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间 2．（21-22八年级下·上海闵行·期中）定义为一次函数的特征数，若特征数为的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为 ． 3．（2023八年级下·上海·专题练习）已知y与x成正比例，且当时， (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当时，求y的值． 题型02识别一次函数 4．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）下列函数中，一次函数的是（    ） A． B． C． D．（k为常数） 5．（八年级下·上海·课后作业）下列函数中：①；②；③；④；⑤．是一次函数的有 6．（八年级·全国·假期作业）正方形的面积S是边长x的函数，它的表达式是S＝x2．如果正方形的边长的变化范围很小，例如x从1变到1.08，我们来观察面积S的变化情况： x 1 1.02 1.04 1.06 1.08 S 1 1.040 1.082 1.124 1.166 （1）分别计算x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S增大了多少； （2）根据第（1）题的计算结果，当边长x从1变到1.08时，正方形的面积S可不可以看成边长x的一次函数？由此受到启发，你能做出什么猜测？ 题型03根据一次函数的定义求参数 7．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）函数是一次函数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）当 时，函数是一次函数． 题型04求一次函数自变量或函数值 9．（2024八年级下·上海·专题练习）下列各点中，在一次函数的图象上的是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如果点在一次函数的图象上，那么 ． 11．（21-22八年级下·上海·期中）如图，直线y＝﹣x＋6与x轴交于C，与y轴交于A，过C、A分别作x轴，y轴的垂线交于点B，P是线段BC上的一个动点． (1)求A，C坐标； (2)若点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内，问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由． 题型05列一次函数解析式并求值 12．（23-24八年级下·福建福州·期末）一次函数图象经过点，则的值是（　　） A． B． C． D． 13．（20-21八年级下·上海松江·期中）汽车油箱中现有汽油60升，若每小时耗油10升，则油箱中剩余油量（升）与燃烧的时间（小时）之间的函数关系式是 ． 题型06判断一次函数的图象 14．（21-22八年级下·上海静安·期中）下列命题中正确的是（    ） A．一次函数在y轴上的截距是 B．一次函数的图象与x轴交于点 C．一次函数的图象仅是一条线段 D．一次函数中，y随x的增大而减小 15．（八年级下·上海长宁·期末）我们知道：当时，不论取何实数，函数的值为3，所以直线一定经过定点；同样，直线一定经过的定点为 . 题型07根据一次函数解析式判断其经过的象限 16．（23-24八年级下·上海·期末）下列函数中，其图象不经过第一象限的函数是（　　） A． B． C． D． 17．（2024八年级下·上海·专题练习）在直角坐标系中，直线不经过第 象限． 18．（2022八年级下·上海·专题练习）一次函数的图象能否可以不经过第三象限?为什么? 题型08已知函数经过的象限求参数范围 19．（23-24八年级下·上海宝山·期末）下面是两位同学对于某个一次函数（k、b为常数，且）图象的描述： 同学甲：不经过第三象限； 同学乙：经过点． 根据这两位同学的描述，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25八年级上·上海·阶段练习）函数的图像不经过第一象限，则a的取值范围是 ． 21．（2022八年级下·上海·专题练习）直线与已知直线平行，且不经过第三象限，求的值． 题型09一次函数图象与坐标轴的交点问题 22．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）直线在y轴上的截距是（    ） A． B． C．1 D．2 23．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如果直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 24．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且它们都经过点． (1)求点、点坐标； (2)过点作的平行线交轴于点，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，直线上是否存在一动点，使是等腰三角形？若存在，请直线写出点坐标；若不存在，请说明理由． 题型10一次函数图象平移问题 25．（23-24八年级下·上海·阶段练习）要得到直线的图像，可把直线（    ） A．向下平移个单位 B．向上平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 26．（23-24八年级下·上海·单元测试）将直线向下平移个单位后，所得直线的解析式是 ． 27．（22-23八年级下·上海静安·期中）在直角坐标中，直线与平行，且经过点，将直线向上平移3个单位，得到直线 (1)求这两条直线的解析式； (2)如果直线与x轴、y轴分别交于点A，B，求的面积． 夯实基础 一、单选题 1．下列函数（1），（2） ，（3） ，（4） ，（5） 中，是一次函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．若实数a，b满足ab＜0，且a＜b，则函数y＝ax＋b的图像可能是(　　) A． B． C． D． 3．正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、二象限 4．若一元二次方程x2﹣7x+5=0的两个实数根分别是a、b，则一次函数y=abx+a+b的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知直线y1=kx+1（k＜0）与直线y2=mx（m＞0）的交点坐标为（，m），则不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为（　　） A．x> B．<x< C．x< D．0<x< 二、填空题 6．若是正比例函数，则m的值为 ． 7．将直线向下平移3个单位截距为，则 ． 8．方程的解是x＝ ，则函数在自变量x等于 时的函数值是8 9．已知一次函数与两个坐标轴围成的三角形面积为4，则 . 10．已知与成正比例，且当时，，写出与的函数关系式 11．若直线经过第一、二、三象限，则直线不经过第 象限. 12．一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于5，则该直线的表达式为 ． 13．如图，直线与直线交于点，则方程的解为 ． 14．如图在同一平面直角坐标系中，函数与的图像相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 15．如图，已知直线与直线y＝kx＋6相交于点M，M的横坐标为4，分别交y轴于点A、B，当点P为直线上的一个动点时，将AP绕点A顺时针旋转90°得到AQ，连接．则的最小值为 ． 三、解答题 16．已知． (1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？ (2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？ 17．已知函数 (1)求当时的函数值； (2)当为何值时，函数值为？ 18．写出下列一次函数的一次项系数k和常数项b的值． (1)． (2)． (3)． (4)． 19．画出方程的图象，利用图象写出方程的6组整数解． 20．先列出下列问题中的函数表达式，再指出它们各属于什么函数． 电压为时，电阻与电流的函数关系； 食堂每天用煤，用煤总量与用煤天数（天）的函数关系； 积为常数的两个因数与的函数关系； 杠杆平衡时，阻力为，阻力臂长为，动力与动力臂的函数关系（杠杆本 身所受重力不计）． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx过点B（m，6），过点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A，C，∠AOB=30°．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，动点Q从点B出发．以每秒个单位长度的速度向点C运动．点P，Q同时开始运动，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)求m与k的值； (2)若以点P，Q，B为顶点的三角形是等腰三角形，请求出t的值． 22．某班数学兴趣小组对函数的图象与性质进行了探究，探究过程如下：    (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： 填空：______，______； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象： (3)观察函数图象，写出该函数的两条性质：①______；②______； (4)点是该函数图象上一点，现已知点在直线的下方，且，那么的取值范围是______． 能力提升 一、单选题 23．已知一次函数的图象与轴交于负半轴，且不经过第一象限，则该函数的图象与一次函数的图象的交点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段上的点D到直线的距离长为3，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 25．在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=kx+b交x轴于A（-3，0），交y轴于B，且三角形AOB的面积为6，则k= ． 26．观察下表，知方程的解是 ． 三、解答题 27．已知函数 （1）如果y是x的正比例函数，求m的值； （2）如果y是x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式． 28．如图，直线：y=-2x+b与坐标轴交于A，B两点，点A的坐标是(0，4)． (1)求直线的函数表达式和点B的坐标． (2)若点P的坐标是(4，3)，求△ABP的面积． (3)如图，点P在第一象限，若△ABP是等腰直角三角形且∠ABP=90°，求点P的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 一次函数的概念与图像 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01正比例函数的定义............................................................................................................................................................3 题型02识别一次函数....................................................................................................................................................................5 题型03根据一次函数的定义求参数.............................................................................................................................................7 题型04求一次函数自变量或函数值............................................................................................................................................8 题型05列一次函数解析式并求值...............................................................................................................................................12 题型06判断一次函数的图象.......................................................................................................................................................13 题型07根据一次函数解析式判断其经过的象限.......................................................................................................................14 题型08已知函数经过的象限求参数范围...................................................................................................................................15 题型09一次函数图象与坐标轴的交点问题................................................................................................................................18 题型10一次函数图象平移问题...................................................................................................................................................23 分层练习.........................................................................................................................................................................................25 夯实基础.........................................................................................................................................................................................25 能力提升........................................................................................................................................................................................42 知识点1．一次函数的定义 （1）一次函数的定义： 一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． （2）注意： ①又一次函数的定义可知：函数为一次函数⇔其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式． ②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． ③一般情况下自变量的取值范围是任意实数． ④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数． 知识点2．一次函数的图像 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 知识点3．一次函数图像与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 题型01正比例函数的定义 1．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）下列问题中的两个变量是成反比例的是（　　） A．被除数（不为零）一定，除数与商 B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长 D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间 【答案】A 【知识点】正比例函数的定义、用反比例函数描述数量关系 【分析】形如（为常数，）的函数称为反比例函数．看两个变量是否具有反比例关系，主要看它们的乘积是否为非零的常数．依据判断方法逐项分析即可． 【详解】解：A．被除数（不为零）一定，除数与商是反比例函数的关系，故此选项符合题意； B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量是正比例函数的关系，故此选项不符合题意； C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长是一次函数的关系，故此选项不符合题意； D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间是正比例函数的关系，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数，正确区分正比例函数与反比例函数是解题关键．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系． 2．（21-22八年级下·上海闵行·期中）定义为一次函数的特征数，若特征数为的一次函数为正比例函数，则这个正比例函数为 ． 【答案】y=-3x 【知识点】正比例函数的定义 【分析】根据特征数的定义得到y=tx+t+3，然后根据正比例函数的定义得到t+3=0，求出t值即可． 【详解】解：∵特征数为[t，t+3]的一次函数为y=tx+t+3， 因为函数为正比例函数， ∴有t+3=0， t=-3， ∴函数解析式为y=-3x， 故答案为y=-3x． 【点睛】本题考查定义新运算以及正比例函数的定义，根据新定义把未知转化为一次函数解析式是解决问题的关键． 3．（2023八年级下·上海·专题练习）已知y与x成正比例，且当时， (1)求y与x之间的函数解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正比例函数的定义 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）将代入解析式，即可得解． 【详解】（1）∵y与x成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴，解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：把代入得：． 【点睛】本题考查正比例函数的定义．用待定系数法求出解析式是解题的关键． 题型02识别一次函数 4．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）下列函数中，一次函数的是（    ） A． B． C． D．（k为常数） 【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．利用一次函数定义进行解答即可． 【详解】解：A、不是一次函数，故此选项不符合题意； B、是一次函数，故此选项符合题意； C、不是一次函数，故此选项不符合题意； D、当时，（k为常数）不是一次函数，故此选项不合题意； 故选：B． 5．（八年级下·上海·课后作业）下列函数中：①；②；③；④；⑤．是一次函数的有 【答案】①④ 【知识点】识别一次函数 【分析】根据一次函数的定义对每个选项进行判断即可. 【详解】解：①是一次函数； ②不是一次函数； ③是二次函数，不是一次函数； ④是一次函数； ⑤是常值函数，不是一次函数， 故是一次函数的有①④. 故答案为①④. 【点睛】本题主要考查一次函数的定义，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 6．（八年级·全国·假期作业）正方形的面积S是边长x的函数，它的表达式是S＝x2．如果正方形的边长的变化范围很小，例如x从1变到1.08，我们来观察面积S的变化情况： x 1 1.02 1.04 1.06 1.08 S 1 1.040 1.082 1.124 1.166 （1）分别计算x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S增大了多少； （2）根据第（1）题的计算结果，当边长x从1变到1.08时，正方形的面积S可不可以看成边长x的一次函数？由此受到启发，你能做出什么猜测？ 【答案】（1）面积S依次增大了0.040，0.042，0.042，0.042；（2）不可以，猜测：面积与边长不成一次函数关系 【知识点】识别一次函数 【分析】（1）根据表格中的数据，计算出x的相邻两个值之间所对应的面积之差即可求解； （2）比较（1）计算计算的差值，看看是否相等，相等即为一次函数，若不相等，则不是一次函数． 【详解】解：（1）1.040﹣1＝0.040， 1.082﹣1.040＝0.042， 1.124﹣1.082＝0.042， 1.166﹣1.124＝0.042， 即x从1变到1.02，从1.02变到1.04，从1.04变到1.06，从1.06变到1.08时，面积S依次增大了0.040，0.042，0.042，0.042； （2）因为x由1变到1.08时，正方形面积S的变化值不是定值，所以正方形的面积S不可以看成边长x的一次函数， 猜测：面积与边长不成一次函数关系． 【点评】本题考查了一次函数的定义，能理解一次函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数叫一次函数． 题型03根据一次函数的定义求参数 7．（23-24八年级下·上海宝山·阶段练习）函数是一次函数，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】此题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数定义可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 8．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）当 时，函数是一次函数． 【答案】/不等于0 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义即可求解． 【详解】函数是一次函数， 故答案为：． 题型04求一次函数自变量或函数值 9．（2024八年级下·上海·专题练习）下列各点中，在一次函数的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【详解】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 分别代入，，求出值，再对比四个选项后即可得出结论． 【解答】解：．当时，， 点不在一次函数的图象上； B．当时，， 点在一次函数的图象上； C．当时，， 点不在一次函数的图象上； D．当时，， 点不在一次函数的图象上． 故选：B． 10．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如果点在一次函数的图象上，那么 ． 【答案】5 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了根据一次函数解析式求一次函数值，根据一次函数解析式利用一次函数图象上点的坐标特征可求出n值，此题得解． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴． 故答案为：5． 11．（21-22八年级下·上海·期中）如图，直线y＝﹣x＋6与x轴交于C，与y轴交于A，过C、A分别作x轴，y轴的垂线交于点B，P是线段BC上的一个动点． (1)求A，C坐标； (2)若点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内，问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由． 【答案】(1)A（0，6），C(8，0） (2)能，4或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、求一次函数自变量或函数值、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】（1）分别将x＝0和y＝0代入即可求出A，C坐标； （2）分两种情况：作辅助线，构建两个全等三角形，通过AE＝FQ列关于a的方程，解出即可． 【详解】（1）解：当x＝0时，y＝6， ∴A（0，6）， 当y＝0时，﹣x＋6＝0， 解得x＝8， ∴C（8，0）； （2）解：由题可知：点Q是直线y＝2x﹣6上一点， 如图1，过Q作EF⊥y轴，交y轴于E，交直线CB于F， ∵Q（a，2a﹣6）， ∴AE＝2a﹣6﹣6＝2a﹣12，FQ＝8﹣a， ∵△APQ是等腰直角三角形， ∴AQ＝PQ，∠AQP＝90°， ∴∠EQA＋∠PQF＝90°， ∵∠AEQ＝90°， ∴∠EAQ＋∠EQA＝90°， ∴∠PQF＝∠EAQ， 在△AQE和△QPF中， ∵， ∴△AQE≌△QFP（AAS）， ∴AE＝FQ， ∴2a﹣12＝8﹣a， 解得a＝； 如图2，过Q作EF⊥y轴，交y轴于E，交直线CB于F， ∵Q（a，2a﹣6）， ∴AE＝6﹣（2a﹣6）＝12﹣2a，FQ＝8﹣a， 同理得：△AQE≌△QFP， ∴AE＝FQ， ∴12﹣2a＝8﹣a， 解得a＝4； 综上所述，点A、P、Q能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，a的值是4或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形、全等三角形的性质和判定、一次函数图象上点的坐标特征等知识点，通过作辅助线构建两个全等三角形，并利用点Q的坐标表示线段AE和FQ的长，是解题的关键． 题型05列一次函数解析式并求值 12．（23-24八年级下·福建福州·期末）一次函数图象经过点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，解之即可得出的值． 【详解】解：一次函数图象经过点， 解得： 故选：C 13．（20-21八年级下·上海松江·期中）汽车油箱中现有汽油60升，若每小时耗油10升，则油箱中剩余油量（升）与燃烧的时间（小时）之间的函数关系式是 ． 【答案】y=60-10x 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】由剩余油量=原有油量-耗油量可得解析式． 【详解】解：原有油量为60升，每小时耗油10升， ∴y=60-10x． 故答案为：y=60-10x． 【点睛】本题考查一次函数求解析式，解题关键是通过题意列出代数式． 题型06判断一次函数的图象 14．（21-22八年级下·上海静安·期中）下列命题中正确的是（    ） A．一次函数在y轴上的截距是 B．一次函数的图象与x轴交于点 C．一次函数的图象仅是一条线段 D．一次函数中，y随x的增大而减小 【答案】C 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】根据一次函数的解析式与图象的关系逐项判断，即可得解． 【详解】A．一次函数y=2(x+1)−2=2x在y轴上的截距是0，故A错误，不符合题意； B．一次函数y=x−1的图象与x轴交于点(1,0)，故B错误，不符合题意； C．表示该函数只取x在的范围内的图象，因此该图像仅是一条线段说法正确，故C正确，符合题意； D．一次函数y=−kx+b中，，y随x的增大而增大，，y随x的增大而减小，故D错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质、数形结合是解答本题的关键． 15．（八年级下·上海长宁·期末）我们知道：当时，不论取何实数，函数的值为3，所以直线一定经过定点；同样，直线一定经过的定点为 . 【答案】 【知识点】判断一次函数的图象 【分析】先将y=（k-2）x+3k化为：y=（x+3）k-2x，可得当x=-3时，不论k取何实数，函数y=（x+3）k-2x的值为6，即可得到直线y=（k-2）x+3k一定经过的定点为（-3，6）． 【详解】根据题意，y=（k-2）x+3k可化为：y=（x+3）k-2x， ∴当x=-3时，不论k取何实数，函数y=（x+3）k-2x的值为6， ∴直线y=（k-2）x+3k一定经过的定点为（-3，6）， 故答案为（-3，6）． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b． 题型07根据一次函数解析式判断其经过的象限 16．（23-24八年级下·上海·期末）下列函数中，其图象不经过第一象限的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据一次函数的性质和各个选项中的函数解析式，可以分析判断解决问题． 【详解】解：A、函数，，，则交在y轴的负半轴，则图象不经过第一象限，故本选项符合题意； B、函数，，，则交在y轴的正半轴，则图象经过第一象限，故本选项不符合题意； C、函数，，则图象经过第一象限，故本选项不符合题意； D、函数，，则图象经过第一象限，故本选项不符合题意； 故选：A． 17．（2024八年级下·上海·专题练习）在直角坐标系中，直线不经过第 象限． 【答案】四 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查一次函数的性质，根据直线解析式和一次函数的性质，可以得到该直线经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【详解】解：，，， 该直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故答案为：四、 18．（2022八年级下·上海·专题练习）一次函数的图象能否可以不经过第三象限?为什么? 【答案】不可以不经过第三象限．理由见解析 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】先假设不经过第三象限，得到经过第一二四象限或二四象限的k的取值即可求解． 【详解】解：若一次函数的图象不经过第三象限， 则一次函数的图象可以是经过第一二四象限，此时，无解； 也可以经过第二四象限，此时，无解． 综上可知，上述一次函数图象不可以不经过第三象限． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，熟记一次函数的性质是解题的关键． 题型08已知函数经过的象限求参数范围 19．（23-24八年级下·上海宝山·期末）下面是两位同学对于某个一次函数（k、b为常数，且）图象的描述： 同学甲：不经过第三象限； 同学乙：经过点． 根据这两位同学的描述，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式中，与对函数图象的影响是解题的关键． 根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可． 【详解】解：∵该函数的图象经过点． ， 故， 故D正确，不符合题意； ∵该函数的图象不经过第三象限，经过点． ， 故， 故A、B正确，不符合题意； ， ， ， ， 故C错误，符合题意， 故选：C． 20．（24-25八年级上·上海·阶段练习）函数的图像不经过第一象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记的图象不经过第一象限是解题的关键．由函数的图像不经过第一象限，利用一次函数图象与系数的关系，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可求出的取值范围． 【详解】解：函数的图像不经过第一象限， 解得：， 的取值范围是． 故答案为：． 21．（2022八年级下·上海·专题练习）直线与已知直线平行，且不经过第三象限，求的值． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】根据两直线平行问题得到，然后解方程，再根据图像不经过第三象限，而得出． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， ∴或， ∴截距为或． 又∵图像不经过第三象限， ∴不合题意， ∴ ∴． 【点睛】此题主要考查了两直线相交或平行，熟练掌握一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征以及平行线的性质是解题的关键． 题型09一次函数图象与坐标轴的交点问题 22．（23-24八年级下·上海徐汇·期末）直线在y轴上的截距是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题．解答该题时，需熟练掌握截距的定义：与坐标轴交点的纵坐标或横坐标． 根据在y轴上的截距是“与y轴交点的纵坐标”解答． 【详解】解：当时，， ∴所以直线在轴上的截距是1． 故选：C． 23．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如果直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数图形与与坐标轴围城的三角形的面积，求出直线与坐标轴的交点，把求线段的长的问题转化为求函数的交点的问题．求出求出直线与坐标轴的交点，然后根据三角形的面积公式即为可求． 【详解】解：当时，， 当时， 两坐标轴围成的三角形的面积为：． 故答案为：． 24．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，且它们都经过点． (1)求点、点坐标； (2)过点作的平行线交轴于点，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，直线上是否存在一动点，使是等腰三角形？若存在，请直线写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为或或 或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数的综合，涉及一次函数与二元一次方程，一次函数与坐标轴交点问题，等腰三角形的性质，掌握灵活运用这些知识是解题的关键． （1）根据点求出直线、的解析式，即可求解； （2）根据，可设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析，即可求出点的坐标； （3）分为三种情况讨论：①以为底时；②以为底时；③以为底时；根据等腰三角形的性质列出方程即可求解． 【详解】（1）解：直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为：， 令，则， ， 直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为：， 令，则， 解得：， ； （2）， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 令，则， 解得：， ； （3）①以为底时， ，， ， 设， ， ， 或； ②以为底时，则， 设，且， ， 解得：（舍去）或， ； ③以为底时，点在的中垂线上， ， ， ； 综上所述，点的坐标为或或 或． 题型10一次函数图象平移问题 25．（23-24八年级下·上海·阶段练习）要得到直线的图像，可把直线（    ） A．向下平移个单位 B．向上平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数的图像平移变换，解题的关键是根据“左加右减、上加下减”的函数图像平移规律解答即可． 【详解】解：将直线的图像向下平移个单位即可得到直线的图像． 故选：A． 26．（23-24八年级下·上海·单元测试）将直线向下平移个单位后，所得直线的解析式是 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”直线平移的规律是解题的关键． 根据“上加下减”的直线平移规律写出解析式即可． 【详解】解：将直线向下平移个单位后，所得直线的解析式为， 即， 故答案为：． 27．（22-23八年级下·上海静安·期中）在直角坐标中，直线与平行，且经过点，将直线向上平移3个单位，得到直线 (1)求这两条直线的解析式； (2)如果直线与x轴、y轴分别交于点A，B，求的面积． 【答案】(1)， (2)16 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）根据平移可知，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据解析式求出A，B两点坐标，然后求出面积即可． 【详解】（1）解：∵与平行， 设直线的解析式为：， 把点代入得：， ∴直线的解析式为：， ∴直线向上平移3个单位，得到直线的解析式为：， （2）解：令，则， 解得：， ∴， 当时，， ∴ ∴． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴交点坐标，掌握一次函数图象平行时值不变是解题的关键． 夯实基础 一、单选题 1．下列函数（1），（2） ，（3） ，（4） ，（5） 中，是一次函数的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：因为一次函数的一般形式为(其中k，b是常数且k≠0)， 所以(1)(2)(4)是一次函数， 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的概念，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的概念． 2．若实数a，b满足ab＜0，且a＜b，则函数y＝ax＋b的图像可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ab＜0，且a＜b， ∴a＜0，b＞0， ∴函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，且与y轴的交点在x轴上方． 故选：A． 3．正比例函数的图象经过的象限是（   ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、二象限 【答案】B 【分析】根据正比例函数的性质即可得到结论． 【详解】解：， 正比例函数的图象经过第二、四象限， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的图象，掌握当时，正比例函数的图象经过第二、四象限是解决问题的关键． 4．若一元二次方程x2﹣7x+5=0的两个实数根分别是a、b，则一次函数y=abx+a+b的图象一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据根与系数的关系可得出a+b=7、ab=5，再结合一次函数图象与系数的关系，即可找出一次函数y=abx+a+b的图象经过的象限，此题得解． 【详解】解：∵方程x2-7x+5=0的两个实数根分别是a、b， ∴a+b=7、ab=5， 则一次函数的解析式为y=5x+7， ∴该一次函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一次函数图象与系数的关系，利用根与系数的关系结合一次函数图象与系数的关系，找出一次函数图象经过的象限是解题的关键． 5．已知直线y1=kx+1（k＜0）与直线y2=mx（m＞0）的交点坐标为（，m），则不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为（　　） A．x> B．<x< C．x< D．0<x< 【答案】B 【分析】由mx﹣2＜（m﹣2）x+1，即可得到x＜；由（m﹣2）x+1＜mx，即可得到x＞，进而得出不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为＜x＜． 【详解】把（，m）代入y1=kx+1，可得 m=k+1， 解得k=m﹣2， ∴y1=（m﹣2）x+1， 令y3=mx﹣2，则 当y3＜y1时，mx﹣2＜（m﹣2）x+1， 解得x＜； 当kx+1＜mx时，（m﹣2）x+1＜mx， 解得x＞， ∴不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为＜x＜， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 二、填空题 6．若是正比例函数，则m的值为 ． 【答案】0 【分析】根据正比例定义得到，计算可得． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：0． 【点睛】此题考查了正比例函数的定义，形如的函数是正比例函数． 7．将直线向下平移3个单位截距为，则 ． 【答案】2 【分析】此题考查了一次函数的平移，根据平移规律得到，即可得到答案． 【详解】解：∵直线向下平移3个单位截距为， ∴， ∴ 故答案为：2 8．方程的解是x＝ ，则函数在自变量x等于 时的函数值是8 【答案】 2 2 【分析】解一元一次方程求解，然后结合数形结合思想求自变量的值． 【详解】解：解方程得到：， 函数的函数值是8． 即， 即函数在自变量等于2时的函数值是8． 故答案为：2；2． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程与一次函数的关系．任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 9．已知一次函数与两个坐标轴围成的三角形面积为4，则 . 【答案】 【详解】直线与轴的交点坐标是，与轴的交点坐标是（0，）， 根据三角形的面积是，得到，即，解得． 10．已知与成正比例，且当时，，写出与的函数关系式 【答案】 【详解】由y与4x-1成正比例，设y=k(4x-1)（k≠0）， 把x=1，y=6代入得，k(4-1)=6， 解得k=2， 所以，y与x的函数关系式为y=2(4x-1)=8x-2， 故答案为y=8x-2. 11．若直线经过第一、二、三象限，则直线不经过第 象限. 【答案】一 【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定m，n的取值范围，从而求解． 【详解】由直线y=-mx+n的图象经过第一、二、三象限， ∴-m＞0，n＞0， ∴m＜0，-n＜0 ∴直线y=-nx+m经过第二、三、四象限， ∴直线y=-nx+m不经过第一象限， 故答案为一． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 12．一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于5，则该直线的表达式为 ． 【答案】或 【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式得到，求出k即可． 【详解】解： 当x=0时，y=10 ∴与y轴交于点(0,10) 当y=0时，， ∴与x轴交于点， ∵围成的三角形的面积为5， ∴， 解得 ∴该直线的表达式为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积，解题关键是求出直线与坐标轴的交点坐标，并注意分类讨论． 13．如图，直线与直线交于点，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系即可确定． 【详解】解：根据题意，可得的解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是熟练掌握两者之间的关系． 14．如图在同一平面直角坐标系中，函数与的图像相交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将与图像向右平移1个单位后函数关系式为，再得出其交点，最后根据数形结合的思想解决问题． 【详解】解：函数与的图像相交于点，将与图像向右平移1个单位后函数关系式为，其交点变为， 所以不等的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图像的平移，从函数的角度看，就是寻求使一个一次函数的值大于（或小于）另一个一次函数的值的自变量x的取值范围；从函数图像的角度看，求不等式的解集就是确定一条直线在另一条直线上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 15．如图，已知直线与直线y＝kx＋6相交于点M，M的横坐标为4，分别交y轴于点A、B，当点P为直线上的一个动点时，将AP绕点A顺时针旋转90°得到AQ，连接．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由交点M求出直线l2的解析式，得到点B，A的坐标，设P（xP，-xP+6），过P作PC⊥y轴于C，过Q作QD⊥y轴于D，证明△PCA≌△ADQ(AAS)，得到OD，DQ的长度，利用勾股定理求出OQ求出最小值． 【详解】解：∵M的横坐标为4，且M为的交点， ∴当x=4时，y1=y2，则1+3=4k+6， 解得k=-， ∴l2的解析式为y=-x+6， 当x=0时，yB=6，∴B（0，6）， 当x=0时，yA=3，∴A（0，3）， 设P（xP，-xP+6）， 过P作PC⊥y轴于C，过Q作QD⊥y轴于D， 则AC=，， ∵∠CAP+∠DAQ=，∠CAP+∠APC=， ∴∠DAQ=∠APC， ∵∠PCA=∠ADQ，AP=AQ， ∴△PCA≌△ADQ(AAS)， ∴DA=，DQ= AC=， ∴， ∴， ∴当时，OQ有最小值为，即为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数交点问题，全等三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握各知识点并熟练应用是解题的关键． 三、解答题 16．已知． (1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？ (2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？ 【答案】(1)，n为任意实数 (2)， 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，形如的是一次函数，形如的是正比例函数． （1）根据一次函数的定义即可解答； （2）根据正比例函数的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵是一次函数， ∴， 解得：， ∴，n为任意实数； （2）解：∵是正比例函数， ∴， 解得：． 17．已知函数 (1)求当时的函数值； (2)当为何值时，函数值为？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，解题的关键在于：（1）将代入求解即可；（2）令，得，进而求解． 【详解】（1）当时 即当时 函数值为． （2）当时， 解得： 即当时，函数值为． 18．写出下列一次函数的一次项系数k和常数项b的值． (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）根据定义写出、的值； （2）根据定义写出、的值； （3）根据定义写出、的值； （4）先化为一般形式，然后根据定义写出、的值即可求解． 【详解】（1），则，； （2），则，； （3），则，； （4），则，． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键．一般地，两个变量、之间的关系式可以表示成形如的函数（，为常数，的次数为，且），那么就叫做一次函数． 19．画出方程的图象，利用图象写出方程的6组整数解． 【答案】 【分析】先画出的图象，再找到方程的整数解即可. 【详解】当x=0时，y=−2；当y=0时，x=2； 所以，此直线过(0，-2)、(2，0)两点 由此可在平面直角坐标系中作出图形，如下图所示： 方程的6组整数解为：           【点睛】此题考查了使用两点法画一次函数的图象，通常的作法是选取直线和坐标轴的两个交点. 20．先列出下列问题中的函数表达式，再指出它们各属于什么函数． 电压为时，电阻与电流的函数关系； 食堂每天用煤，用煤总量与用煤天数（天）的函数关系； 积为常数的两个因数与的函数关系； 杠杆平衡时，阻力为，阻力臂长为，动力与动力臂的函数关系（杠杆本 身所受重力不计）． 【答案】（1）反比例函数关系；（2）正比例函数关系；（3）反比例函数关系；（4）反比例函数关系； 【分析】（1）利用I＝，进而得出答案； （2）利用煤总量W（t）＝用煤天数t（天）×1.5，进而得出答案； （3）利用xy＝m，进而得出答案； （4）动力大小×动力臂＝阻力臂大小×阻力进而求出即可． 【详解】，故是反比例函数关系； ，故是正比例函数关系； 由题意得：，故是反比例函数关系； 由题意得出：， ∴，故是反比例函数关系． 【点睛】此题主要考查了正比例和反比例函数的定义，正确得出函数关系式是解题关键． 21．如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx过点B（m，6），过点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A，C，∠AOB=30°．动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，动点Q从点B出发．以每秒个单位长度的速度向点C运动．点P，Q同时开始运动，当点P到达点B时，点P，Q同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)求m与k的值； (2)若以点P，Q，B为顶点的三角形是等腰三角形，请求出t的值． 【答案】(1)， (2)或4或秒 【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性质求解即可； （2）分三种情况讨论：①当BQ=BP时，求得t=24-12；②当PQ=PB时，过点P作PM⊥BQ于点M，求得t=4；③当QB=QP时，过点Q作ON⊥BP于点N，求得t=． 【详解】（1）解：∵BA⊥OA， ∴∠BAO=90°， ∵∠AOB=30°，B（m，6）， ∴OA=m，AB=6， ∴OB=2AB=12，OA=6， ∴m=6，即B（6，6）， ∵直线y=kx过点B（6，6）， ∴k=； （2）解：分三种情况： ①当BQ=BP时，t=12-2t， 解得t=24-12； ②当PQ=PB时，如图2， 过点P作PM⊥BQ于点M， ∴BM=t， ∴t=（12-2t）， 解得t=4； ③当QB=QP时，如图3， 过点Q作ON⊥BP于点N， 则BN=6-t， ∴t-6=•t， 解得t=； 综上所述，当△PQB为等腰三角形时，t的值为24-12或4或秒． 【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键， 22．某班数学兴趣小组对函数的图象与性质进行了探究，探究过程如下：    (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： 填空：______，______； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象： (3)观察函数图象，写出该函数的两条性质：①______；②______； (4)点是该函数图象上一点，现已知点在直线的下方，且，那么的取值范围是______． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值(答案不唯一) (4)或 【分析】（1）分别求出和时对应的y值即可； （2）根据表中数据，描点后画出函数图象即可； （3）根据函数图象，结合增减性和最值写出性质； （4）分别求得与时的自变量的值，进而根据函数图象即可求解． 【详解】（1）当时，， 当时，， 故答案为：，． （2）解：根据描点连线，如图所示．    （3）观察函数图象，写出该函数的两条性质：①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值3(答案不唯一)． 故答案为：①该函数图象是轴对称图形；②该函数有最大值3(答案不唯一)． （4）解：当时，即， 解得：或， 当时， 解得或， 根据函数图象可得，点在直线的下方，且， ∴或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，画一次函数图象，根据交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 能力提升 一、单选题 23．已知一次函数的图象与轴交于负半轴，且不经过第一象限，则该函数的图象与一次函数的图象的交点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】一次函数的图象与轴交于负半轴，且不经过第一象限，，画图如解图所示， 由图象可知，两函数图象交点在第四象限． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段上的点D到直线的距离长为3，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出点A、B、C的坐标，得出，，求出，设点D的坐标为，根据，求出m的值，即可得出答案． 【详解】解：连接， 把代入得：， ∴点B的坐标为， 把代入得：， ∴点A的坐标为， 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∴，， ∴， 设点D的坐标为，则： ， 解得：， ， ∴点D的坐标为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是设点D的坐标为，根据三角形面积列出关于m的方程，解方程． 二、填空题 25．在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=kx+b交x轴于A（-3，0），交y轴于B，且三角形AOB的面积为6，则k= ． 【答案】 【分析】由直线过A点(-3,0)，可得OA=3，，即，再由直线交y轴于B点，可得B点坐标为(0,b)，即，结合，可得，即有，则k值可求． 【详解】∵直线过A点(-3,0)， ∴OA=3，， 即， ∵直线交y轴于B点， ∴当x=0，有， ∴B点坐标为(0,b)，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要一次函数与坐标轴交点的问题以及坐标系中三角形面积的问题，掌握一次函数的图像与性质是解答本题的关键． 26．观察下表，知方程的解是 ． 【答案】 【分析】设，要求方程的解，就是求函数当y=2450时对应的x的值，观察表格即可得出. 【详解】解：设，由题中所给表格，可知当时，，所以方程的解是． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，本题重在理解，即要求方程的解，就是求函数当y=2450时对应的x的值，前者是从数的角度，后者是从形的角度，数形结合，相得益彰. 三、解答题 27．已知函数 （1）如果y是x的正比例函数，求m的值； （2）如果y是x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式． 【答案】（1）m=2或m=﹣1（2）y=3x﹣1 【分析】（1）根据y=kx（k是不等于零的常数）是正比例函数，列式求解即可； （2）根据y=（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式，列式求解即可． 【详解】（1）由y=（m2+2m）是正比例函数，得 m2﹣m﹣1=1且m2+2m≠0， 解得m=2或m=﹣1； （2）由y=（m2+2m）是反比例函数，得 m2﹣m﹣1=﹣1且m2+2m≠0， 解得m=1． 故y与x的函数关系式y=3x﹣1 ． 【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，重点是将一般式y=（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式． 28．如图，直线：y=-2x+b与坐标轴交于A，B两点，点A的坐标是(0，4)． (1)求直线的函数表达式和点B的坐标． (2)若点P的坐标是(4，3)，求△ABP的面积． (3)如图，点P在第一象限，若△ABP是等腰直角三角形且∠ABP=90°，求点P的坐标． 【答案】(1)y＝−2x＋4，B（2，0） (2)7 (3)点P的坐标为（6，2） 【分析】（1）将点A的坐标代入直线解析式中可求出b值，从而得出结论； （2）过点P作PH⊥x轴于H，根据S△ABP＝S梯形AOHP−S△ABO−S△BPH即可求解； （3）过点P作PC⊥x轴于C，由△ABP是等腰直角三角形且∠ABP＝90°，可得AB＝BP，由等角的余角相等∠ABO＝∠BPC，可得△ABO≌△BPC，根据全等三角形的性质即可得出PC＝BO＝2，BC＝AO＝4，即可得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是（0，4）． 代入直线l：y＝−2x＋b得b＝4， ∴直线l：y＝−2x＋4， 令y＝0，xB＝2 即B（2，0）； （2）作PH⊥x轴， ∵点A的坐标是（0，4）．B（2，0），点P的坐标是（4，3）， ∴AO＝4，OB＝2，PH＝3，OH＝4，BH＝OH−OB＝4−2＝2， ∴S梯形AOHP＝×（3＋4）×4＝14，S△AOB＝×4×2＝4，S△BPH＝×2×3＝3， ∴S△ABP＝S梯形AOHP−S△ABO−S△BPH＝14−4−3＝7； （3）如图：过点P作PC⊥x轴于C， ∴∠PCB＝90°， ∴∠CBP＋∠BPC＝90°， ∵△ABP是等腰直角三角形且∠ABP＝90°， ∴AB＝BP，∠CBP＋∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝∠BPC， 在△ABO和△BPC中， ， ∴△ABO≌△BPC（AAS）， ∴PC＝BO＝2，BC＝AO＝4， ∴OC＝OB＋BC＝2＋4＝6， ∴点P的坐标为（6，2）． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数的性质、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是利用三角形的面积和全等三角形的判定和性质进行解答． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$