精品解析：广东省清远市清城区东城一中教育集团2024-2025学年九年级上学期期末模拟过关练习数学试题

2024～2025学年东城一中教育集团九年级上学期期末过关练习 数学试题 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 1．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 2．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单选题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. （笛卡尔爱心曲线） B. （蝴蝶曲线） C. （费马螺线曲线） D. （科赫曲线） 2. 已知点与在同一平面内，的半径为6，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 点在圆上或圆外 3. 对于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标 C. 开口向下，顶点坐标 D. 开口向上，顶点坐标 4. 下列函数中，图象经过一、二、四象限的是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程x（x+5）=0的根是（ ） A. x1=0，x2=5 B. x1=0，x2=﹣5 C. x1=0，x2= D. x1=0，x2=﹣ 6. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 4 B. C. D. 7. 如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为35°，若拉线的长度是米，则电线杆的长可表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为( ) A. B. C. D. 9. 如图，，，下列结论一定正确的是（　　） A B. C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线上的动点，若是以为底的等腰三角形，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___． 12. 如图，AB是⊙O的一条直径，点C是⊙O上的一点（不与点A，点B重合），分别连接AC，BC，半径OE⊥AC于点D，若BC＝DE＝2，则AC＝______． 13. 做重复实验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”频率约为0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率为___． 14. 如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与轴的其中一个交点为，则由图象可知，与轴的另一个交点坐标是______． 15. 反比例函数为常数）和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：；四边形的面积不变；当点是的中点时，则点是的中点，其中正确结论是______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 如图，是半圆的直径，点在半圆外，与半圆交于点和E点． （1）利用现有已知条件请只用无刻度的直尺作出的两条高线，不必写出作法； （2）若，连接，求证：． 17. 公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定． 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？ 18. 如图，已知，，，且B、D、E三点共线， （1）证明：； （2）证明：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点，的坐标分别是，，绕点逆时针旋转后得到． （1）画出，直接写出点，的坐标； （2）求在旋转过程中，点经过路径的长； （3）求在旋转过程中，线段所扫过的面积． 20. 如图，一个质地均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“是”“中”“国”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转盘指针的位置固定，转动转盘，当转盘自然停止时，指针指向的汉字即为转出的汉字（指针落在分界线重新转动）． （1）转出的汉字为“我”的概率是________． （2）小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字在阴影区域时，小明获胜；否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平，并说明理由． 21. 已知与成正比例，当时， （1）求与之间的关系式； （2）该函数的图象经过点，求的值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 如图1，AB是⊙O的一条弦，点C是上一点． （1）若∠ACB=30°，AB=4．求⊙O的半径． （2）如图2，若点P是⊙O外一点．点P、点C在弦AB同侧．连接PA、PB．比较∠APB与∠ACB的大小关系，并说明理由． （3）如图3．设点G为AC的中点，在上取一点D．使得，延长BA至E，使AE=AB，连接DE，F为DE的中点，过点A作BE的垂线，交⊙O于点P，连接PF，PG．写出PG与PF的数量关系，并说明理由． 23 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）已知点P是坐标平面内一点，若线段关于点P的对称线段（点，分别是点O，A的对称点）的两个端点恰好都落在该抛物线上，求点P的坐标； （3）若点M为x轴上一动点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，试探究是否存在点M，使点D恰好落在该抛物线上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年东城一中教育集团九年级上学期期末过关练习 数学试题 本试卷共6页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 1．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 2．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、单选题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. （笛卡尔爱心曲线） B. （蝴蝶曲线） C. （费马螺线曲线） D. （科赫曲线） 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，深刻理解轴对称图形与中心对称图形的概念是解题关键． 2. 已知点与在同一平面内，的半径为6，若，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 点在圆上或圆外 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内是解题的关键． 根据点与圆的位置关系求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，即， ∴点在圆外， 故选：C． 3. 对于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向下，顶点坐标 B. 开口向上，顶点坐标 C. 开口向下，顶点坐标 D. 开口向上，顶点坐标 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：对于抛物线，，则抛物线开口向上，顶点坐标为 故选：B． 4. 下列函数中，图象经过一、二、四象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数和反比例函数的性质即可解答． 【详解】A选项，图象过第一、三、四象限，不符合题意； B选项，图象过第一、二、四象限，符合题意； C选项，图象位于第一、三象限，不符合题意； D选项，图象位于第二、四象限，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的性质，梳理掌握一次函数和反比例函数的图象与性质是解题的关键． 5. 一元二次方程x（x+5）=0根是（ ） A. x1=0，x2=5 B. x1=0，x2=﹣5 C. x1=0，x2= D. x1=0，x2=﹣ 【答案】B 【解析】 【详解】∵x（x+5）=0， ∴x=0或x+5=0， 解得：x1=0，x2=﹣5． 故选B． 6. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，将点代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， 故选：D． 7. 如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为35°，若拉线的长度是米，则电线杆的长可表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】先根据锐角三角函数的定义求出的长，然后根据中点的定义可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵点C是的中点， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解答此题的关键是熟记锐角三角函数的定义． 8. 如图，点A，B，C，D，O都在方格纸格点上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由是由绕点按逆时针方向旋转而得，可知旋转的角度是的大小，然后由图形即可求得答案． 【详解】解：是由绕点按逆时针方向旋转而得， ， 旋转的角度是的大小， ， 旋转的角度为． 故选：C． 【点睛】此题考查了旋转的性质．解此题的关键是理解是由绕点按逆时针方向旋转而得的含义，找到旋转角． 9. 如图，，，下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理结合相似三角形的性质与判定逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴故C符合题意，D不符合题意； 根据现有条件无法证明，故B不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相关知识是解题的关键． 10. 如图，抛物线与轴交于点，点，点是抛物线上的动点，若是以为底的等腰三角形，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时,则P点在线段CD的垂直平分线上,由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标,从而可以知道P点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得P点坐标． 【详解】解：作中垂线交抛物线于，（在左侧），交轴于点;连接P1D,P2D． 易得 ． ∴，． 将代入中得，． ∴，． ∴，． 故选B． 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的坐标横、纵坐标互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 解：点关于原点对称的点的坐标是(， 故答案为：． 12. 如图，AB是⊙O的一条直径，点C是⊙O上的一点（不与点A，点B重合），分别连接AC，BC，半径OE⊥AC于点D，若BC＝DE＝2，则AC＝______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据垂径定理得到AD＝CD，再利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则可判断OD为△ABC的中位线，所以OD＝BC＝1，从而得到直径为6，然后利用勾股定理计算AD的长． 【详解】∵OE⊥AC， ∴AD＝CD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD＝BC＝1， ∵DE＝2， ∴OE＝3， ∴AB＝6， 在Rt△ABC中，AC＝＝＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理三角形的中位线 以及勾股定理，掌握圆的相关性质是解题的关键． 13. 做重复实验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44，则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率为___． 【答案】0.56． 【解析】 【分析】由于事件“凸面向上”和“凹面向上”是对立事件，根据对立事件的概率和为1计算即可． 【详解】瓶盖只有两面，“凸面向上”的频率约为0.44， 则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为1﹣0.44＝0.56， 故答案为0.56． 【点睛】本题主要考查概率的意义、等可能事件的概率，解答此题关键是要明白瓶盖只有两面，即凸面和凹面． 14. 如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与轴的其中一个交点为，则由图象可知，与轴的另一个交点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是抛物线与轴的交点，利用抛物线的对称性求解是解题的关键．利用抛物线的对称性即可求得抛物线与轴的另一个交点坐标． 【详解】解：点与关于直线对称， 抛物线与轴的另一个交点坐标为． 故答案为：． 15. 反比例函数为常数）和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：；四边形的面积不变；当点是的中点时，则点是的中点，其中正确结论是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，解答本题的关键是正确理解的几何意义． 由反比例系数的几何意义可得答案； 由四边形的面积矩形的面积（三角形的面积三角形的面积），解答即可求解； 连接，点是的中点可得和的面积相等，根据的面积的面积、与的面积相等解答即可求解． 【详解】解：由于、在同一反比例函数图象上， 则与的面积相等，都为，正确； ， 又矩形、三角形、三角形为定值， 则四边形的面积不会变化，正确； 连接，点是的中点， 则和的面积相等， 的面积的面积，与的面积相等， 与的面积相等， 与的面积相等， 点一定是的中点，正确； 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 如图，是半圆的直径，点在半圆外，与半圆交于点和E点． （1）利用现有已知条件请只用无刻度的直尺作出的两条高线，不必写出作法； （2）若，连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，直接连接、即可； （2）因为是的直径，根据直径所对的圆周角是直角得：，即．又，根据“三线合一”得：．连接，，根据同弧所对的圆周角是直角的一半得：．根据在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等得：． 【小问1详解】 解：如图，连接与，则、是的两条高线； ∵是的直径， ∴， ∴，， ∴、是的两条高线； 小问2详解】 证明：如图，连接，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形的高线，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质，数形结合． 17. 公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定． 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？ 【答案】（1） （2）2592 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 （个）． ∴预计7月份该品牌头盔销售量是2592个． 18. 如图，已知，，，且B、D、E三点共线， （1）证明：； （2）证明：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）证明，再根据全等三角形的判定方法证明； （2）由全等三角形的性质推出，然后利用三角形外角性质可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点，的坐标分别是，，绕点逆时针旋转后得到． （1）画出，直接写出点，的坐标； （2）求在旋转过程中，点经过的路径的长； （3）求在旋转过程中，线段所扫过的面积． 【答案】（1）见解析，；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标； （2）利用勾股定理列式求出OB的长，再利用弧长公式列式计算即可得解； （3）根据AB扫过的面积等于以OA、OB为半径的两个扇形的面积的差列式计算即可得解． 【详解】解：（1）△A1OB1如图所示， A1（-3，3），B1（-2，1）； （2）由勾股定理得， ∴弧BB1的长= （3）由勾股定理得， ∴ ∴ ∴线段AB所扫过的面积为： 【点睛】本题考查利用旋转变换作图，弧长计算，扇形的面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，（3）判断出AB扫过的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键． 20. 如图，一个质地均匀的转盘被分成8等份，分别标有“我”“是”“中”“国”“人”“我”“骄”“傲”这8个汉字，转盘指针的位置固定，转动转盘，当转盘自然停止时，指针指向的汉字即为转出的汉字（指针落在分界线重新转动）． （1）转出的汉字为“我”的概率是________． （2）小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字在阴影区域时，小明获胜；否则小华获胜．请你判断这个游戏是否公平，并说明理由． 【答案】（1） （2）公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）分别计算两个人获胜的概率，即可解答． 小问1详解】 解：8个汉字中，有2个“我”字， ∴转出的汉字为“我”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：8块区域中，有4块阴影区域， ∴小明获胜的概率为， 则小华获胜的概率为， ∵， ∴两人获胜的概率相同，即游戏公平． 【点睛】本题考查了概率的应用，掌握概率公式求概率是解题的关键． 21. 已知与成正比例，当时， （1）求与之间的关系式； （2）该函数的图象经过点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正比例的性质； （1）设，代入，，求得，即可求解； （2）将点代入（1）中解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵与成正比例， 设， 时，， ， 解得：， 与的关系式为： 即； 【小问2详解】 解：∵的图象经过点， ∴ 解得： 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 如图1，AB是⊙O的一条弦，点C是上一点． （1）若∠ACB=30°，AB=4．求⊙O的半径． （2）如图2，若点P是⊙O外一点．点P、点C在弦AB的同侧．连接PA、PB．比较∠APB与∠ACB的大小关系，并说明理由． （3）如图3．设点G为AC的中点，在上取一点D．使得，延长BA至E，使AE=AB，连接DE，F为DE的中点，过点A作BE的垂线，交⊙O于点P，连接PF，PG．写出PG与PF的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）⊙O的半径为4；（2）∠APB<∠ACB，理由见详解；（3）PG=PF，理由见详解． 【解析】 【分析】（1）连接OA、OB，由题意易得△AOB是等边三角形，进而问题得解； （2）设PB与⊙O交于点E，连接AE，易得∠AEB=∠C，然后根据三角形外角的性质可求解； （3）连接AF，BD，由题意易得AF∥BD，，，则有∠FAB=∠DBE=∠CAB=∠DBA，AF=AG，进而可证△PFA≌△PGA，然后根据全等三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）连接OA、OB，如图1所示： ∵∠ACB=30°， ∴∠AOB=60°， ∵OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∵AB=4， ∴OA=AB=4， 即⊙O的半径为4； （2）∠APB<∠ACB，理由如下： 设PB与⊙O交于点E，连接AE，如图2所示： ∴∠AEB=∠C， ∵∠AEB=∠P+∠PAE， ∴∠C=∠P+∠PAE， ∴∠APB<∠ACB； （3）PF=PG，理由如下： 连接AF，BD，如图3所示： ∵， ∴，∠CAB=∠DBA， ∴BD=AC， ∵AE=AB，EF=DF， ∴AF∥BD，， ∴，∠FAE=∠DBA=∠CAB， ∵AG=GC， ∴AF=AG， ∵PA⊥EB， ∴∠FAE+∠PAF=90°，∠CAB+∠PAG=90°， ∴∠PAF=∠PAG， ∵PA=PA， ∴△PAF≌△PAG（SAS）， ∴PF=PG． 【点睛】本题主要考查圆周角、圆心角、弧、弦的之间的关系，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 23. 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）已知点P是坐标平面内一点，若线段关于点P的对称线段（点，分别是点O，A的对称点）的两个端点恰好都落在该抛物线上，求点P的坐标； （3）若点M为x轴上一动点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，试探究是否存在点M，使点D恰好落在该抛物线上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点M，使点D恰好落在该抛物线上，点D的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）由旋转的性质可设设点的横坐标为m，则点的横坐标为，它们的纵坐标相等，再将，代入解析式求得m的值，再过点P作轴于点Q，过点作轴于点G，则为的中位线，即可求解； （3）分两种情况讨论：①当点D在x轴下方时，或点D作于点F，②当点D在x轴上方时，设，过点D作于点F，通过构造直角三角形全等，利用全等三角形性质求得点D坐标，再将点D坐标代入解析式求解即可． 【小问1详解】 解：把点，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：根据中心对称的性质可知，轴，，点在点的右边，设点的横坐标为m，则点的横坐标为，它们的纵坐标相等， ∵，在该抛物线上， ∴， 解得， ∴点， 如图1，过点P作轴于点Q，过点作轴于点G，则为的中位线， ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：存在点M，使点D恰好落在该抛物线上，理由如下： ①如图2，当点D在x轴下方时，过点D作于点F， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设， ∴， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 如图3，当点D在x轴上方时，设，过点D作于点F， 同理可证， ∴，， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 综上所述，存在点M，使点D恰好落在该抛物线上，点D的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象与性质、旋转的性质、三角形全等的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$