精品解析：湖南省常德市临澧县第一中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

临澧一中2025年上学期高三开学考试卷 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算即可得结论. 【详解】. 故选：B. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的取值情况，分析判断集合中元素的特征得不等式，求解即得. 详解】因， 则， 故. 故选：D. 3. 已知双曲线与双曲线的离心率相同，则（ ） A. B. 2 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求得双曲线和双曲线的离心率，再根据其离心率相同求解. 【详解】解：因为双曲线， 所以，则，， 又双曲线， 所以，则， 因为双曲线与双曲线的离心率相同， 所以，解得，则， 故选：A 4. 若数据的平均数为，方差为5，则数据的方差为（ ） A. 1 B. C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用方差的公式求解. 【详解】由已知得， 所以数据的方差为. 故选：C. 5. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由奇函数性质求出，接着验证满足题意即可结合对数运算性质计算求解的值. 【详解】因为是奇函数，所以， 所以，又，所以， 当时，，定义域为R关于原点对称， 且， 所以是奇函数，所以， 所以. 故选：D. 6. 斯坦梅茨几何体是以数学家斯坦梅茨命名的几何体，是指由两个或两个以上的半径相等的圆柱（含底面）成直角相交而得到的几何体（公共部分）.如图，由两个底面半径为的圆柱（圆柱的高组成的斯坦梅茨几何体的表面积为.若两个底面半径为1，高为3的两个圆柱直角相交，挖去斯坦梅茨几何体，则斯坦梅茨几何体的表面积与四个剩余几何体的表面积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆柱的表面积公式即可求解. 【详解】由题可知斯坦梅茨几何体的表面积为16，剩余四个几何体的表面积等于原两个圆柱表面积的和， 所以斯坦梅茨几何体的表面积与剩余四个几何体的表面积的比值为. 故选:A. 7. 若函数在上恰有个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可判断当时函数的极值点情况，再结合函数图像列不等式即可. 【详解】由题得， 即是偶函数， 又在上有个极值点， 易知是极值点，则在上有个极值点， 当时，，， 设，则， 则，，在上的前个极值点依次为，，，，， 所以， 故选：A. 8. 蚊虫的繁殖生长与气温有密切关系，某地科研机构通过观测数据得到该地蚊虫密度与年平均气温（单位：）的关系可用模型来拟合，利用观测数据求得，且，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线必过样本点中心求出的值，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 由点在回归直线上，得，解得， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线（）的焦点为是C上不同的两点，则（ ） A. C的方程为 B. 点F到C的准线距离为4 C. 的最小值为4 D. 若共线，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据焦点写出抛物线判断A；由抛物线性质判断B、C；设直线AB为，联立抛物线并应用韦达定理有，再由及基本不等式求最值判断D. 【详解】由，得，C的方程为，A错误； 根据抛物线的性质知，点F到C的准线距离为，B正确； 由抛物线上点到焦点距离最小点为顶点，故， 又为不同点，故，C错误； 设直线AB的方程为，与联立，得， 所以，则， 当且仅当且时取等号，D正确. 故选：BD 10. 已知函数满足对任意，都有，则（ ） A. B. 可能是增函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】取计算可判断AB；用代换可得，进而可得可判断D；取，可求得可判断D. 【详解】令，得，解得， 代入，得，所以A正确，B错误； 用替换中的，得， 用替换中的，得， 所以，故D正确； 中，取得，取得， 所以，故C正确. 故选：ACD. 11. 在中，内角所对的边分别为，且，则（ ） A. 若，则 B. 若为锐角，则 C. 若，则 D. 若为锐角三角形，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据余弦定理与正弦定理，利用和角公式整理等式，结合三角形边与角的大小关系，可得答案；对于B，根据三角形内角的取值，由A所得等式，则可得等角，根据正弦定理，可得答案；对于C，利用余弦二倍角公式，可得答案；对于D，利用正切的二倍角公式，可得答案. 【详解】由得，由余弦定理得，即， 由正弦定理得，所以， 若，则，易知，从而，所以，A错误； 若为锐角，由及得，所以，由正弦定理得，B正确； 因为，所以为锐角，，C正确； 当为锐角三角形时，由，得， 所以，D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出导函数，然后求出斜率，进而可得切线方程. 【详解】因为，所以， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 已知点，，，，且满足，的点只有1个，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，且，所以点既在以为直径的圆上，也在以为直径的圆上，由题可知两圆相外切，通过圆心距等于两半径之和列出等式计算即可. 【详解】由，且得，且， 点既在以为直径的圆上，也在以为直径的圆上，两圆相切， 因为两圆半径相等，内切不满足条件，所以圆心距等于两半径之和， 即，. 故答案：. 14. 已知三棱锥，点在棱上，且，若点都在球的表面上，则当三棱锥的体积最大时，点到平面的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分割法求三棱锥的体积最大值，根据对称性明确球心的位置，根据面面垂直求得距离，可得答案. 【详解】在三棱锥中，点在棱上，则. ，当且仅当两两垂直时取等号. 如图，取的中点，连接，由对称性可得在直线上， 因为，所以， 设，则球的半径， 即，解得， 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，则点到平面的距离， 就是点到直线的距离，因为，所以点到平面的距离为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤. 15. 如图，在正四棱柱中，点E，F，G分别为的中点，点H在棱上. （1）若证明：平面； （2）若求平面BEH与平面FGH夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示证明与，再结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）求出平面BEH与平面FGH的法向量，根据空间角的向量求法，即可求解. 【小问1详解】 证明：以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，. 由，得，则， 因为，所以. 因为，所以. 因为，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 当时，，， 设平面的法向量为，则有得 取，得，，故， 设平面的法向量为，则有得 取，得，，故， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 分析】（1）求导，再分和，由，求解即可； （2）法一：转化为，根据（1）得到，取得到，再由证明；法二：转化为，令利用导数法证明则即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 苦，则在上单调递增， 若，由，得， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 证明：法一：要证，即证， 即证， 由（1）知，时在上单调递增，在上单调递减， 所以， 取得，即， 令，则， 当时，；当时，， 所以当时，取得极小值， 所以，即， 所以， 所以. 法二：要证，即证， 令，则， 易知在区间上单调递减，又， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即， 所以得证. 【点睛】方法点睛：证明不等式，一般转化为，令，由证明. 17. 2024年5月某数据挖掘与分析机构发布《2024年中国国货消费品牌500强》，统计榜单前20名品牌所在行业，得到如下频数表： 行业 汽车出行 3C数码 家用电器 食品饮料 生鲜水果 珠宝文玩 频数 7 4 4 3 1 1 （1）从表中家用电器、食品饮料、生鲜水果和珠宝文化行业的9个品牌中随机抽取4个. （i）求抽取的4个品牌中有来自家用电器的概率； （ii）求抽取的4个品牌中恰好来自2个不同行业的概率； （2）从来自汽车出行、3C数码及家用电器的15个品牌中抽取4个品牌，且来自3C数码及家用电器的企业抽取的数目相同，记该数目为，求的分布列与期望. 【答案】（1）（i）；（ii） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）（i）利用对立事件的概率公式可求抽取的4个品牌中有来自家用电器的概率；（ii）利用古典概率公式求解即可； （2）的取值依次为0，1，2，分别求出概率，进而可得的分布列，进而可求得数学期望. 【小问1详解】 （i）抽取的4个品牌中有来自家用电器的概率为. （ii）从这9个品牌中随机抽取4个，抽取的4个品牌恰好来自2个不同行业， 抽取结果数为， 所以所求概率为. 【小问2详解】 的取值依次为， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 . 18. 已知点是椭圆上关于原点对称的两点，点是的左、右焦点，直线与交于点，直线的斜率之积为，在以为边长的三角形中，长为的边所对角的余弦值为. （1）求的方程； （2）若点在直线上，记直线的斜率分别为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标代入椭圆的标准方程，作差整理，结合题干中的斜率之积，可得参数之比，利用余弦定理建立方程，可得答案； （2）设出直线的方程，联立椭圆方程写出韦达定理，利用点的坐标表示出斜率，整理表达式，可得答案. 【小问1详解】 设，则，，两式相减整理得， 所以直线的斜率之积为，所以， 设，由余弦定理得， 解得或（舍去），所以的方程为. 【小问2详解】 由题得直线的方程为， 与联立得， 易知， 把代入得， ， ， ， 所以， 所以， 由直线的斜率存在且不为零，可得， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第一问利用点差法可得斜率乘积与参数之间的等量关系；第二问设出直线方程，与椭圆方程联立，用韦达定理表示出斜率，代入等式即可. 19. 若数列中存在互不相等的正整数，使得，则称数列为“类等差数列”. （1）若数列满足，写出该数列的前6项，并判断其前6项是否为“类等差数列”； （2）若数列满足且对任意正整数，判断数列是否为“类等差数列”，并说明理由； （3）若，且为奇数）满足，且删除首项或末项或正中间一项后所得数列都是“类等差数列”，判断是否一定为等差数列，并证明你的结论. 【答案】（1），前6项不是“类等差数列”， （2）不是“类等差数列”，理由见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用“类等差数列”判断即可； （2）令中，得，假设存在至不相等的正整数，使得，不妨设中最小，计算可得，可得结论； （3）当时，一定是等差数列，当为大于5的奇数时，不一定是等差数列，利用“类等差数列”判断可得结论， 【小问1详解】 数列的前6项依次为：， 不存在互不相等的正整数，使得， 所以的前6项不是“类等差数列”， 小问2详解】 令中，得， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， 假设存在至不相等的正整数，使得， 不妨设中最小， 由，得， 两边同时除以得， 都是正整数， 所以是偶数，是奇数，所以， 所以假设不成立，不是“类等差数列”. 【小问3详解】 当时，一定是等差数列，当为大于5的奇数时，不一定是等差数列，证明如下： 若，由题意得是“类等差数列”， 所以存在互不相等的正整数，使得，即， 因为，所以，即， 同理，由是“类等差数列”，得，即， 由是“类等差数列”，得，即， 所以， 所以是等差数列. 若为大于5的奇数，构造数列，使得 则满足，且， 所以，又不是首项，末项和正中间一项， 所以删除首项或末项或正中间一项后所得数列都是类等差数列， 因为， 所以不是等差数列. 综上可得，当时，一定是等差数列，当为大于5的奇数时，不一定是等差数列. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临澧一中2025年上学期高三开学考试卷 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线与双曲线的离心率相同，则（ ） A. B. 2 C. D. 8 4. 若数据的平均数为，方差为5，则数据的方差为（ ） A. 1 B. C. 4 D. 5 5. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 斯坦梅茨几何体是以数学家斯坦梅茨命名的几何体，是指由两个或两个以上的半径相等的圆柱（含底面）成直角相交而得到的几何体（公共部分）.如图，由两个底面半径为的圆柱（圆柱的高组成的斯坦梅茨几何体的表面积为.若两个底面半径为1，高为3的两个圆柱直角相交，挖去斯坦梅茨几何体，则斯坦梅茨几何体的表面积与四个剩余几何体的表面积的比值为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上恰有个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 蚊虫的繁殖生长与气温有密切关系，某地科研机构通过观测数据得到该地蚊虫密度与年平均气温（单位：）的关系可用模型来拟合，利用观测数据求得，且，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线（）焦点为是C上不同的两点，则（ ） A. C方程为 B. 点F到C准线距离为4 C. 的最小值为4 D. 若共线，则的最大值为 10. 已知函数满足对任意，都有，则（ ） A. B. 可能是增函数 C. D. 11. 在中，内角所对的边分别为，且，则（ ） A. 若，则 B. 若为锐角，则 C. 若，则 D. 若为锐角三角形，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在处的切线方程为__________. 13. 已知点，，，，且满足，的点只有1个，则__________. 14. 已知三棱锥，点在棱上，且，若点都在球的表面上，则当三棱锥的体积最大时，点到平面的距离为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤. 15. 如图，在正四棱柱中，点E，F，G分别为的中点，点H在棱上. （1）若证明：平面； （2）若求平面BEH与平面FGH夹角的余弦值. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：. 17. 2024年5月某数据挖掘与分析机构发布《2024年中国国货消费品牌500强》，统计榜单前20名品牌所在行业，得到如下频数表： 行业 汽车出行 3C数码 家用电器 食品饮料 生鲜水果 珠宝文玩 频数 7 4 4 3 1 1 （1）从表中家用电器、食品饮料、生鲜水果和珠宝文化行业的9个品牌中随机抽取4个. （i）求抽取的4个品牌中有来自家用电器的概率； （ii）求抽取的4个品牌中恰好来自2个不同行业的概率； （2）从来自汽车出行、3C数码及家用电器的15个品牌中抽取4个品牌，且来自3C数码及家用电器的企业抽取的数目相同，记该数目为，求的分布列与期望. 18. 已知点是椭圆上关于原点对称两点，点是的左、右焦点，直线与交于点，直线的斜率之积为，在以为边长的三角形中，长为的边所对角的余弦值为. （1）求方程； （2）若点在直线上，记直线的斜率分别为，求的取值范围. 19. 若数列中存在互不相等的正整数，使得，则称数列为“类等差数列”. （1）若数列满足，写出该数列的前6项，并判断其前6项是否为“类等差数列”； （2）若数列满足且对任意正整数，判断数列是否为“类等差数列”，并说明理由； （3）若，且为奇数）满足，且删除首项或末项或正中间一项后所得数列都是“类等差数列”，判断是否一定为等差数列，并证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $