精品解析：四川省泸县第五中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

泸县五中2025年春期高一开学考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页．共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定可得否定命题. 【详解】命题“”的否定是“”. 故答案为：B. 3. 若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】由，可得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 故选：B. 4. 若一扇形的面积和半径均为，则其圆心角的弧度数为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式计算可得. 【详解】设圆心角的弧度数为，依题意可得，解得， 即其圆心角的弧度数为. 故选：A 5. 若函数是定义域上的偶函数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的性质得到关于的方程，从而得解. 【详解】易知函数的定义域为，所以是定义域在上的偶函数， 则，即对恒成立， 所以， 由于不恒为，故，从而得， 经检验，满足题意. 故选：A. 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断，根据同角的三角函数关系求得的值，再根据诱导公式，即可求得答案. 【详解】因为，故， 则由，可得， 故， 故选：D 7. 函数的定义域为（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】求解不等式即可. 【详解】由题意，得， 所以，，得，， 故所求函数的定义城为，， 故选：C. 8. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将齐次化即可得出答案. 【详解】由题， 得， 则或， 因为，所以， . 故选：A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知 ，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据同角基本关系，结合完全平方公式可判断各项. 【详解】对于A：因为所以 即，所以A正确; 对于B、C：因为，且， 所以，即，所以所以B错误，C正确; 对于D：联立，解得所以，所以D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 不等式无解 D. 的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A:验证是否成立即可判断；对于选项B:验证是否成立即可判断；对于选项C:利用即可验证有解；对于选项D:利用二倍角公式，结合基本不等式即可判断. 【详解】对于选项A:不是的周期，故A错误; 对于选项B:关于对称，故B正确； 对于选项C:有解，故C错误； 对于选项D:，若，则， 若则， 当且仅当，即时，原式取等，故D正确. 故选:BD. 11. 已知函数，若存在实数a使得方程有五个互不相等的实数根分别为，，，，，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出在上的图象，由方程有五个互不相等的实数根，结合图象可得 ，从而判断A；由对数的性质可得，从而有，结合基本不等式即可判断B；由题意可得，结合，即可判断C；由余弦函数的对称性可得，，代入得，利用二次函数的性质及不等式的性质可求得的范围，从而判断D. 【详解】 作出在上的图象，如图所示： 对于A，因为， 又因为方程有五个互不相等的实数根，所以，故A错误； 对于B，由题意可得，且有 所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故B正确； 对于C，由题意可得， 由A可知，所以， 故C正确； 对于D，由图可知：与关于对称，与关于对称， 且，， 所以， 所以 因为，所以， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以，即， 故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛： 这道题的关键是能够准确作出在上的图象，再结合对数函数的性质和余弦函数的对称性，即可求解问题. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 函数的图象过定点_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用求得正确答案. 【详解】当时，， 所以定点为. 故答案为： 13. 已知，且“”是“”充分不必要条件，则a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定充要条件，再由充分不必要条件的定义求解， 【详解】等价于或， 而且“”是“”的充分不必要条件，则． 故答案为：． 14. 已知函数，则不等式的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由解析式可判断得在上单调递减，然后结合题意和单调性定义列出不等式组求解即可. 【详解】当时，，单调递减，且； 当时，，单调递减，且； 故可知在上单调递减， 因此． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合. （1）求集合； （2）设集合，且，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合的补集，再与集合求交集即得； （2）由可得，列出不等式组，解之即得. 【小问1详解】 ，则， 又，则； 【小问2详解】 ，且， ，解得， 实数的取值范围为：. 16. 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点 （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角函数定义求得的值，进而求得的值； （2）先求得的值，再利用三角函数诱导公式即可求得该式的值. 【小问1详解】 角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合， 它的终边过点，则， 则； 【小问2详解】 由（1）得，则， 则 17. 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由题设对一切实数x恒成立，讨论参数m，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可. （2）讨论、，结合一元二次不等式的解法求解集. 【小问1详解】 由题设，即对一切实数x恒成立， 当时，不恒成立； 当时，只需，可得； 综上，. 【小问2详解】 当时，，即，可得；解集为； 当时，， 若，则， 若，即时，可得或，解集为； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为； 若，则，可得，解集为. 18. 科技创新成为全球经济格局关键变量，某公司为实现1600万元的利润目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到600万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于20万元，且奖金总数不超过投资收益的. （1）现有①；②；③三个奖励函数模型.结合函数的性质及已知条件.当时，判断哪个函数模型符合公司要求？ （2）根据（1）中符合公司要求函数模型，要使奖金达到50万元，公司的投资收益至少为多少万元？ 【答案】（1）①不符合，②不符合，③符合，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据公司要求知函数为增函数，同时应满足且，一一验证所给的函数模型即可； （2）由，解不等式即可. 【小问1详解】 由题意，符合公司要求的函数在上单调递增， 且对任意恒有且. ①对于函数在上单调递增， 当时，不符合要求； ②对于函数在上单调递减，不符合要求； ③对于函数，在上单调递增， 且当时， ， 因为 而所以当时，恒成立， 因此为符合公司要求的函数模型. 【小问2详解】 由得， 所以, 所以公司的投资收益至少为万元. 19. 已知函数． （1）若，求在区间上的值域； （2）若方程有实根，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解； （2）由（1）知利用换元法可得，，方程有实根即等价于即有实数根且大于零，从而可得，即可求解； （3）若对任意的，总存在，使得，可得,由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解. 【小问1详解】 当时，， 令，因为，所以， 所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值，所以. 所以时，在区间上的值域为. 【小问2详解】 由（1）知当令，，， 则，即有实数根，此时实数根大于零， 所以可得，解得：. 所以方程有实根，实数m的取值范围为. 【小问3详解】 由题意得， 若对任意的，总存在，使得，可得, 由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数， 所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在时均单调递增， 所以函数在时单调递增，所以， 所以，即， 则实数m的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：（1）主要利用换元后转化为一般的二次函数在具体区间求最值问题；（2）中转化为二次函数根的分布问题来求出相应的不等式组，即可求解；（3）中由题可得,再结合指数型复合函数求出，从而可转化为含参二次函数在定区间求解最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泸县五中2025年春期高一开学考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页．共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4. 若一扇形的面积和半径均为，则其圆心角的弧度数为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 5. 若函数是定义域上的偶函数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 函数定义域为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知，则（ ） A B. C. 1 D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 已知 ，，则（　　） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 不等式无解 D. 的最大值为 11. 已知函数，若存在实数a使得方程有五个互不相等的实数根分别为，，，，，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 函数的图象过定点_________． 13. 已知，且“”是“”充分不必要条件，则a的取值范围是___________. 14. 已知函数，则不等式的解集是_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知集合. （1）求集合； （2）设集合，且，求实数的取值范围. 16. 已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点 （1）求的值； （2）求的值. 17. 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式． 18. 科技创新成为全球经济格局关键变量，某公司为实现1600万元的利润目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到600万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于20万元，且奖金总数不超过投资收益的. （1）现有①；②；③三个奖励函数模型.结合函数的性质及已知条件.当时，判断哪个函数模型符合公司要求？ （2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到50万元，公司的投资收益至少为多少万元？ 19. 已知函数． （1）若，求在区间上的值域； （2）若方程有实根，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$