精品解析：山东省德州市武城县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

武城县2024-2025学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学试题 （考试时间120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里，将非选择题的答案用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁，不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 一、选择题（本大题共12个小题每小题4分，共48分．在每小题给出的．四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个图形绕某一点旋转180度后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．依据中心对称图形的概念即可解答． 【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 2. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和180° 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可． 【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意； B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意； C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意． 故选：D． 3. 如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据位似图形的性质即可得． 【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 4. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故选A． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 7. 如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：B． 8. 函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 9. 点A、B、C在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握弧长公式，先根据圆周角定理求出，然后根据弧长计算公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的长为：， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，若点C在函数的图象上，则k的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用求出和，得到点C坐标即可求出k值． 【详解】解：作轴，垂足为点D， ∵点，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点C在函数的图象上， ∴． 故选：C． 11. 如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 且 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论． 当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 取值范围是或． 故选：C． 12. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④. 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， ， 时，， ， ， ，故②正确； ③对称轴为直线，， 最小值， ， ∴， 故③正确； ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：C 二、填空题（本大题共6个小题，共24分） 13. 已知方程的两根分别为，，则的值为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可． 【详解】解：方程的两根分别为，， ，， ． 故答案为：． 14. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 15. 点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数即可求解，掌握于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 16. 如图，在中，为边的中线，以O为圆心，线段长为半径画弧，交x轴正半轴于点D，则点D的坐标为______________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理、圆的定义，属于基础题，明确直角三角形斜边中线等于斜边一半是关键．先由勾股定理求，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得的长，由半径相等得长，从而写出的坐标． 【详解】解：， ， ， ， 为边的中线， ， ， ， 故答案为：． 17. 中国古人发明利用物体的影子确定四季的工具——土圭，具体方法是在平台中央竖立一根杆子，尺，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角．和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第二时刻的影长为24尺，则第一时刻的影长为______尺． 【答案】 【解析】 【分析】由，，得，知，故，解出尺，即第一时刻的影长为尺．本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理． 【详解】解：，， ∴， ， ∴ 则尺， 第一时刻的影长为尺， 故答案为：． 18. 如图，一段抛物线，记为， 它 与轴交于点，；将 绕点旋转得，交轴于点；将 绕点旋转得，交轴于点；．．．．如此进行下去，得到一“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换，根据函数可求出，从而可求出，，再根据整个函数图象每隔个单位长度，函数值就相等，由，即可知的值等于时的纵坐标，从而得出答案． 【详解】解：当时，， 解得：，， ∴， 由旋转的性质知的解析式为：，， 的解析式为：，， ， ∴整个函数图象以个单位长度为一个周期，函数值就相等， ∵， ∴的值等于时的纵坐标， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题有7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，，，，滨河体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是（滑板）的概率是______． （2）体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（滑板）和（运动攀岩）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，熟练掌握概率公式，正确画出树状图是解题的关键． （1）直接运用概率公式求解即可； （2）先画出树状图，可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是共“B”和“D”的结果有2种，最后由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩， ∴小明想从中随机抽取一张，恰好抽到是滑板的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“B”和“D”的结果数为2， ∴． 故体育老师抽到的两张卡片恰好是滑板和运动攀岩的概率是 20. “杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】（1）20%；（2）能 【解析】 【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可． 【详解】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：亩产量的平均增长率为20%． （2）第四阶段的亩产量为（公斤）， ∵， ∴他们目标可以实现． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键． 21. 如图，在中，，D是上一点，，． （1）求证：； （2）若，，的面积为2，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据可得，再根据一组相等的直角，即可求证； （2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ，， ， ； 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ∴． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出满足的x取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：依题意，点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； 又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点， ． ∵，两点均在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数的解析式为． 综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴当时，x的取值范围为或． 23. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点E，平分，． （1）求的大小； （2）过点C作交的延长线于点F．若，，求圆的半径． 【答案】（1） （2）圆的半径为6 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出，结合已知得出，根据角平分线的定义得出，再根据圆内接四边形对角互补得出，于是得到，从而求得的大小； （2）先证得垂直平分，再证为等边三角形，再证，，于是可求出的长，再在中求出的长，问题可解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴°， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴，为直径， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 即圆的直径为， 所以圆的半径为6． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形，平行线的性质，涉及的知识点较多，需熟练掌握． 24. 如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F． （1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为　 　； （2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值； （3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3）变化.证明见解析. 【解析】 【分析】（1）证明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值即可； （2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用（1）的结论，求得的值； （3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得；然后证明△PME∽△PNF，从而由求得的值.与（1）（2）问相比较，的值发生了变化. 【详解】（1）∵矩形ABCD， ∴AB⊥BC，PA=PC. ∵PE⊥AB，BC⊥AB， ∴PE∥BC. ∴∠APE=∠PCF. ∵PF⊥BC，AB⊥BC， ∴PF∥AB. ∴∠PAE=∠CPF. ∵在△APE与△PCF中，∠PAE=∠CPF，PA=PC，∠APE=∠PCF， ∴△APE≌△PCF（ASA）. ∴PE=CF. 在Rt△PCF中，， ∴； （2）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN. ∵PM⊥PN，PE⊥PF， ∴∠EPM=∠FPN. 又∵∠PME=∠PNF=90°， ∴△PME∽△PNF. ∴. 由（1）知，， ∴. （3）变化.证明如下： 如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB. ∵PM∥BC，PN∥AB， ∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN. ∴△APM∽△PCN. ∴，得CN=2PM. 在Rt△PCN中，， ∴. ∵PM⊥PN，PE⊥PF， ∴∠EPM=∠FPN. 又∵∠PME=∠PNF=90°， ∴△PME∽△PNF. ∴. ∴的值发生变化. 25. 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）2；；（2）①；②或 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解； ②根据题意得出顶点坐标在图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ②∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图像上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 武城县2024-2025学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学试题 （考试时间120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里，将非选择题的答案用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁，不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 一、选择题（本大题共12个小题每小题4分，共48分．在每小题给出的．四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 刺绣是中国民间传统手工艺之一．下列刺绣图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 B. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D. 任意画一个三角形，其内角和180° 3. 如图，在直角坐标系中，三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　） A. B. C. D. 4. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小． A. B. C. D. 9. 点A、B、C在上的位置如图所示，，的半径为3，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，若点C在函数的图象上，则k的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 11. 如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于x轴的直线l与反比例函数的图像交于点，将直线l绕点逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 且 C. 或 D. 或 12. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4 二、填空题（本大题共6个小题，共24分） 13. 已知方程的两根分别为，，则的值为______． 14. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 15. 点关于原点对称的点的坐标是______． 16. 如图，在中，为边的中线，以O为圆心，线段长为半径画弧，交x轴正半轴于点D，则点D的坐标为______________________． 17. 中国古人发明利用物体影子确定四季的工具——土圭，具体方法是在平台中央竖立一根杆子，尺，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角．和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第二时刻的影长为24尺，则第一时刻的影长为______尺． 18. 如图，一段抛物线，记为， 它 与轴交于点，；将 绕点旋转得，交轴于点；将 绕点旋转得，交轴于点；．．．．如此进行下去，得到一“波浪线”，若点在此“波浪线”上，则的值为___． 三、解答题（本大题有7小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，，，，滨河体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是（滑板）的概率是______． （2）体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（滑板）和（运动攀岩）的概率． 20. “杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标． （1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； （2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现． 21. 如图，在中，，D上一点，，． （1）求证：； （2）若，，的面积为2，求的面积． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出满足的x取值范围． 23. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点E，平分，． （1）求的大小； （2）过点C作交的延长线于点F．若，，求圆的半径． 24. 如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F． （1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为　 　； （2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值； （3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论． 25. 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$