专题02 解一元一次不等式组（四大题型总结）（计算题专项训练）-2024-2025学年八年级数学下册计算题专项训练系列（北师大版）

专题02 解一元一次不等式组（四大题型总结） 【题型一：解一元一次不等式组】 1．（24-25八年级上·全国·假期作业）解下列不等式组： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）解不等式组： （1）； （2）． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）解不等式组： （1）； （2）． 4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）解下列不等式组： （1） （2） 5．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）解下列不等式组： （1）； （2）． 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）解下列不等式组，并将解集表示在数轴上． （1）； （2）． 8．（23-24八年级下·全国·单元测试）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 9．（23-24七年级下·全国·期中）解不等式组，并将解集表示在数轴上． （1）； （2）． 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【题型二：不等式组和方程组结合的问题】 11．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）已知关于x、y的方程组 的解满足 ，，求m的取值范围． 12．（23-24七年级下·吉林长春·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，求正整数k的值． 13．（23-24七年级下·全国·假期作业）关于x，y的方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，求符合条件的整数k的值． 14．（23-24八年级下·河南郑州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组，其中为非负数，为正数． （1）求的取值范围； （2）化简：． 15．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知x、y满足． （1）用含有x的代数式表示y； （2）当时，求x的取值范围； （3）当x、y满足，且时，求m的取值范围． 16．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若关于、的二元一次方程组， （1）若、满足方程，求的值； （2）若，求的取值范围． 17．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程组中x为非正数，y为负数． （1）求a的取值范围； （2）化简：； （3）在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 18．（23-24七年级下·四川巴中·期末）已知方程组的解满足x为负数，y为非正数，求： （1）m的取值范围； （2）化简； （3）在（1）的条件下，若的解集为，请写出整数m的值． 19．（23-24八年级上·福建福州·开学考试）已知关于，的二元一次方程组． （1）当时，解这个方程组； （2）若，设，求的取值范围． 20．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知关于和的二元一次方程组 （1）当时，求该方程组的解； （2）若该方程组的解满足，求的值； （3）设，若，试求的取值范围． 【题型三：由不等式组的解集求参数】 21．（2025七年级下·全国·专题练习）已知不等式组的解集是，求的取值范围． 22．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）已知关于的不等式组的解集为，求的值． 23．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知关于x的不等式组的解集为，求的值． 24．（24-25八年级上·全国·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 25．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）已知关于的不等式组的解集为， （1）求和的值． （2）若，求的取值范围． 26．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：若不等式组的解集是，且满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．若关于x的不等式组的解集是一个“对称集”，求m的值． 27．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚． （1）他把“□”猜成3，请你解不等式组； （2）王老师说：我做一下变式，若不等式组的解集为，请求常数“□”的取值范围． 28．（23-24七年级下·福建泉州·期中）若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的解集中点值．若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组，以及不等式，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于x的不等式组和不等式，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． （3）已知关于x的不等式组 和不等式组，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围． 29．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范困内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． （1）在方程①；②；③中，关于x的不等式组的“关联方程”是____________；（填序号） （2）若关于x的方程是不等式组的“关联方程”求k的取值范围． 30．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． （1）是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ， ， ； （2）若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． （3）若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【题型四：不等式组的整数解问题】 31．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 32．（24-25八年级上·浙江温州·期末）解不等式组，并求出它的所有非正整数解的和． 33．（24-25八年级上·四川眉山·期中）解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出其非负整数解． 34．（2024八年级上·全国·专题练习）若关于的不等式组有且只有三个整数解，求的取值范围． 35．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 36．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知不等式组的整数解是，，，，确定字母的取值范围． 37．（2024·山东济南·模拟预测）若关于x的不等式组所有整数解的和为14，求整数a的值． 38．（2024七年级下·安徽·专题练习）已知关于的不等式组的所有整数解的和为，求的取值范围． 39．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知关于的不等式组． （1）当时，求该不等式组的解集． （2）若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和． （3）在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围． 40．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： （1）不等式组的“长度”______；“整点”为______； （2）若不等式组的“长度”，求a的取值范围； （3）若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解一元一次不等式组（四大题型总结） 【题型一：解一元一次不等式组】 1．（24-25八年级上·全国·假期作业）解下列不等式组： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【思路点拨】 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集即可； （3）分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集即可； （4）分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集即可； （5）分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集即可 （6）分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集即可． 【解题过程】 （1）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组无解． （2） 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为． （3） 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为． （4） 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为． （5） 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为． （6） 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）解不等式组： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．（1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【解题过程】 （1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）解不等式组： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据“同小取小”，即可确定不等式组的解集． （2）分别求出每一个不等式的解集，根据“大大小小找不到”，即可确定不等式组的解集． 【解题过程】 （1）解： 解不等式①得，                                     解不等式②得， ∴这个不等式组的解集为； （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得，   ∴这个不等式组无解． 4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）解下列不等式组： （1） （2） 【思路点拨】 本题考查了解一元一次不等式组和不等式的性质，根据不等式的性质进行变形是解题的关键． （1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【解题过程】 （1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． （2）解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 5．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）解下列不等式组： （1）； （2）． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【解题过程】 （1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）解一元一次不等式组，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【解题过程】 【解题过程】 （1）解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： （2）由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）解下列不等式组，并将解集表示在数轴上． （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，并在数轴上表示出即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，并在数轴上表示出即可． 【解题过程】 （1）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 解集在数轴上表示为如图所示： （2）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：， 解集在数轴上表示为如图所示： 8．（23-24八年级下·全国·单元测试）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【思路点拨】 本题主要考查了解不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是熟练掌握解不等的基本步骤，准确计算，求出两个不等式的解集． （1）先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可； （2）先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可． 【解题过程】 （1）解： 解不等式，得， 解不等式 ，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的解集在数轴上表示如图所示 ： ； （2）解： ， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 9．（23-24七年级下·全国·期中）解不等式组，并将解集表示在数轴上． （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集并在数轴上表示出来即可； （2）先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集并在数轴上表示出来即可． 【解题过程】 （1）解： 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为：， 把解集在数轴上表示出来为： （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 10．（23-24七年级下·全国·单元测试）解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． （1）； （2）． 【思路点拨】 本题考查解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握确定一元一次不等式组解集的原则“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解题的关键． （1）分别求解两个不等式，求出其解集，再根据得确定一元一次不等式组解集的原则到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可． （2）分别求解两个不等式，求出其解集，再根据得确定一元一次不等式组解集的原则到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可． 【解题过程】 （1）解：解不等式，得 解不等式，得 所以不等式组的解集为 它的解集在数轴上表示如下： （2）解：解不等式，得， 解不等式，得 所以不等式组的解集为． 它的解集在数轴上表示如下： 【题型二：不等式组和方程组结合的问题】 11．（23-24七年级下·四川遂宁·期中）已知关于x、y的方程组 的解满足 ，，求m的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了解方程组，解不等式组，先求得方程组的解，结合已知构造不等式组，求解即可，熟练掌握解方程组，不等式组是解题的关键． 【解题过程】 解：∵， 整理得：， ②①得：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由可得， 由可得， ∴． 12．（23-24七年级下·吉林长春·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足不等式，求正整数k的值． 【思路点拨】 本题主要考查了解二元一次方程组，求一元一次不等式组的整数解，先利用加减消元法解方程组得到，再由得到，解不等式组即可得到答案． 【解题过程】 解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵， ∴， 解得， ∴正整数k的值为1或2． 13．（23-24七年级下·全国·假期作业）关于x，y的方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，求符合条件的整数k的值． 【解题过程】 解： ①＋②，得，∴． ∵，∴，解得． 解不等式③，得．解不等式④，得． ∵关于x的不等式组有解，∴． 综上所述，． 故符合条件的整数k的值为，0，1，2，3． 14．（23-24八年级下·河南郑州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组，其中为非负数，为正数． （1）求的取值范围； （2）化简：． 【思路点拨】 本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组、化简绝对值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组得出的值，再结合方程组的解是为非负数，为正数，得出不等式组，解不等式组即可得出答案； （2）由（1）可得，结合绝对值的性质化简即可得出答案． 【解题过程】 （1）解： ①②，得，即， 把代入②，得， 由题意得， 解得． （2）解：， ，． ． 15．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知x、y满足． （1）用含有x的代数式表示y； （2）当时，求x的取值范围； （3）当x、y满足，且时，求m的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程，解一元一次不等式．能正确解方程组或不等式组是解此题的关键． （1）把含x的项迁移到等式的右边，化y的系数为1即可； （2）建立起关于x的不等式，求解即可； （3）先构造方程组，用含有m的代数式分别表示x，y，后建立不等式组求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 解得：； （3）解：联立方程组， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 16．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）若关于、的二元一次方程组， （1）若、满足方程，求的值； （2）若，求的取值范围． 【思路点拨】 本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键：（1）正确找出等量关系列出关于的一元一次方程，（2）根据不等量关系列出关于的一元一次不等式组． （1）用加减消元法得出用含有的式子a表示，代入，求出的值即可， （2）用含有的式子表示， 代入，得到关于的一元一次不等式组，解之即可． 【解题过程】 （1）解：， 解得：， 代入得：， 解得：， 故的值为； （2）解：， ∴， ∴， 把，代入得：， 解得：， 故的取值范围为：． 17．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程组中x为非正数，y为负数． （1）求a的取值范围； （2）化简：； （3）在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 【思路点拨】 （1）先求出方程组的解，即可得出不等式组，求出不等式组的解集即可； （2）根据，再化简绝对值即可； （3）根据不等式的解集求出的范围，即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：解方程组得：， 方程组中为非正数，为负数， ， 解得：， 即的取值范围是； （2）解：∵， ∴， ∴, ∴ ； （3）解：， ∴， 要使不等式的解集为， 必须， 解得：， ，为整数， ， 所以当为时，不等式的解集为． 18．（23-24七年级下·四川巴中·期末）已知方程组的解满足x为负数，y为非正数，求： （1）m的取值范围； （2）化简； （3）在（1）的条件下，若的解集为，请写出整数m的值． 【思路点拨】 本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的性质． （1）加减消元法解二元一次方程组得，由题意得，，然后解一元一次不等式组即可； （2）根据（1）的结果得到，，化简绝对值，计算即可求解； （3）根据不等式的性质可知，，然后求解作答即可． 【解题过程】 （1）解：， 得，， 解得，， 将代入②得，， 解得，， ∴， ∵x为负数，y为非正数， ∴， 解③得，； 解④得，； ∴不等式组的解集为， ∴的取值范围为； （2）解：∵， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴，即， ∴的取值为． ∴整数m的值为． 19．（23-24八年级上·福建福州·开学考试）已知关于，的二元一次方程组． （1）当时，解这个方程组； （2）若，设，求的取值范围． 【思路点拨】 （1）时，方程组为 ，采用加减消元法即可求解； （2）利用得，，即：，再根据，进一步计算求解． 【解题过程】 （1）解：时，方程组为 ， 得，， 解得：， 将代入②得，， 解得， 即方程组的解是； （2）解：， 得，，即 ∵， ∴， ∵，则， ∴ ， ∴S的取值范围是：． 20．（23-24七年级下·福建泉州·期中）已知关于和的二元一次方程组 （1）当时，求该方程组的解； （2）若该方程组的解满足，求的值； （3）设，若，试求的取值范围． 【思路点拨】 （1）方程组利用加减消元法解答即可； （2）原方程组中的两个方程相加，得，结合已知可得关于k的方程，求解即可； （3）解原方程组求得，代入w的式子可得，代入已知的不等式组可得，结合已知条件可得关于w的不等式组，求解即可． 【解题过程】 （1）解：当时，方程组即为， ，得，解得， 把代入①，得， ∴方程组的解为； （2）原方程组中的两个方程相加，得， ∵， ∴， 解得：； （3）解方程组，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【题型三：由不等式组的解集求参数】 21．（2025七年级下·全国·专题练习）已知不等式组的解集是，求的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤．先分别求解两个不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可． 【解题过程】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 因为该不等式组的解集是， 所以， 所以． 22．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）已知关于的不等式组的解集为，求的值． 【思路点拨】 分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组的解集得出关于a、b的方程，解之即可得出答案．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，“熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【解题过程】 解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为 ∵不等式组的解集为， ∴，解得： ∴ 23．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知关于x的不等式组的解集为，求的值． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次不等式组，求代数式的值，根据不等式组的解集求出m与n的值是解题的关键；先解不等式组，根据不等式组的解集得关于m与n的方程，求出m与n的值，即可求得代数式的值． 【解题过程】 解：令 解不等式①，得．解不等式②，得． 不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 24．（24-25八年级上·全国·期末）若关于的一元一次不等式组的解集为，求的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集． 分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集即可得出a的取值范围． 【解题过程】 解：不等式可化为， ∴． ； 不等式可化为， ∴． ∴， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴． ． 25．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）已知关于的不等式组的解集为， （1）求和的值． （2）若，求的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了不等式组的解法和二元一次方程组的解法，掌握不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组的解法：先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． （1）先求出每个一元一次不等式的解集，从而得到不等式组的解集，再根据不等式组的解集也是列出关于，的二元一次方程组，求出、即可； （2）根据，得出，根据，得出，即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：解得，， 解得，， ，， 解得：，； （2）解：， ， ， ， ， ． 26．（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：若不等式组的解集是，且满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．若关于x的不等式组的解集是一个“对称集”，求m的值． 【思路点拨】 本题考查的是解一元一次不等式组，掌握“对称集”的定义是解答此题的关键．解每个不等式得出，根据“对称集”的定义得出，解方程即可． 【解题过程】 解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组的解集是一个“对称集”， ∴， 解得． 27．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚． （1）他把“□”猜成3，请你解不等式组； （2）王老师说：我做一下变式，若不等式组的解集为，请求常数“□”的取值范围． 【思路点拨】 本题考查的是一元一次不等式组的解法，确定解集的方法，掌握确定不等式组的解集的方法是关键． （1）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可； （2）先解不等式组中的两个不等式，再根据解集为，再确定范围即可； 【解题过程】 （1）解： 解不等式得， ∴， ∴ 解不等式得， ∴， ∴ ∴不等式组的解集为． （2）解：， 设常数“□”为m， ∵， ∴， ∴ ∴不等式的解集为 又∵不等式的解集为， 而不等式组的解集为 ∴， ∴． ∴． 28．（23-24七年级下·福建泉州·期中）若一个不等式（组）A有解且解集为，则称为A的解集中点值．若A的解集中点值是不等式（组）B的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）B对于不等式（组）A中点包含． （1）已知关于x的不等式组，以及不等式，请判断不等式B对于不等式组A是否中点包含，并写出判断过程； （2）已知关于x的不等式组和不等式，若D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． （3）已知关于x的不等式组 和不等式组，若不等式组F对于不等式组E中点包含，且所有符合要求的整数m之和为14，求n的取值范围． 【思路点拨】 本题考查新定义概念的运用与求解，不等式组的解法和不等式的性质，掌握好不等式组的解法和不等式性质是本题解题关键． （1）先解不等式组A，再按照要求求中点，再判断中点是否在B不等式中即可． （2）先解不等式组C、D，再根据C组的中点在D不等式组中建立不等式，再解出m取值范围． （3）先解不等式组E、F，再根据E组的中点在F不等式组中建立不等式，再解出m取值范围，再根据符合要求的整数m之和为14，缩小m取值范围从而确定n取值范围． 【解题过程】 （1）解不等式组A：得， ∴中点值为 又∵在不等式B：范围内， ∴不等式B对于不等式组A是中点包含； （2）解不等式C得： ∴不等式组C中点为： 解不等式D得： ∵2m+1位于和之间 ∴ 解得：； （3）解不等式组E得：，则中点值为 解不等式组F得： ∵ ∴ ∵所有符合要求的整数m之和为14 ∴m可取5，4，3，2 ∴． 29．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范困内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”． （1）在方程①；②；③中，关于x的不等式组的“关联方程”是____________；（填序号） （2）若关于x的方程是不等式组的“关联方程”求k的取值范围． 【思路点拨】 本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于的不等式组并求解即可． 【解题过程】 （1）解：①， 解得：， ②， 解得：， ③， 解得：， ， 解不等式④得：， 解不等式⑤得：， 该不等式组的解集为：， 和在的范围内， 不等式组的“关联方程”是①②， 故答案为：①②． （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为：， ， 解得：， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得：， 的取值范围是． 30．（23-24七年级下·广东广州·期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． （1）是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ， ， ； （2）若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． （3）若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“梦想解”的定义是解题的关键． （）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解， （）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为可得，解得． 【解题过程】 （1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵为整数， ∴或； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，解得∶． 综上，． 【题型四：不等式组的整数解问题】 31．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【思路点拨】 本题主要考查了解一元一次不等式组、求不等式组的整数解等知识点，正确求出不等式组的解集是解题的关键．先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后再确定不等式组的解集，最后确定所有整数解即可． 【解题过程】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 32．（24-25八年级上·浙江温州·期末）解不等式组，并求出它的所有非正整数解的和． 【思路点拨】 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，熟练掌握该知识点是解题的关键．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的非正整数，即可得到答案． 【解题过程】 解： 解①得， 解②得， 原不等式组的解为： 非正整数解为、、、0 所有非正整数解的和为． 33．（24-25八年级上·四川眉山·期中）解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出其非负整数解． 【思路点拨】 本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键，分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，最后找出解集范围内的非负整数即可． 【解题过程】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 数轴表示如下； 所以不等式组的解集为：， 所以不等式组的非负整数解为，，． 34．（2024八年级上·全国·专题练习）若关于的不等式组有且只有三个整数解，求的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法． 解不等式组得出其解集为，根据不等式组有且只有三个整数解得出，解之可得答案． 【解题过程】 解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为：， ∵不等式组有且只有三个整数解， ， 解得：， 故答案为：． 35．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组有5个整数解，求a的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了一元一次不等式组的整数解：已知解集（整数解）求字母的取值．解题思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解不等式即可得到答案． 【解题过程】 解； 去分母：， 去括号：， 合并同类项：， ∴， 去括号：， 合并同类项：， ∵不等式组有5个整数解， ∴不等式组的解集为，且5个整数解为：2，1，0，，， ∴， ∴． 36．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知不等式组的整数解是，，，，确定字母的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了由一元一次不等式组的解集求参数，解题的关键是掌握不等式组的解法．先分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的整数解是，，，，求解即可． 【解题过程】 解：， 解不等式①得： ， ， ， ， 解不等式②得： ， ， 不等式组的整数解是，，，， 不等式组的解集是， ， 解得：． 37．（2024·山东济南·模拟预测）若关于x的不等式组所有整数解的和为14，求整数a的值． 【思路点拨】 本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键．根据题意可求不等式组的解集为，再分情况判断出a的取值范围，即可求解． 【解题过程】 解：， 解不等式①得： 解不等式②得： ∴ ∵所有整数解的和为14， ∴不等式组的整数解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，， ∴或， ∴或， ∵a为整数， ∴或． 38．（2024七年级下·安徽·专题练习）已知关于的不等式组的所有整数解的和为，求的取值范围． 【思路点拨】 本题考查了一元一次不等式组．正确解出不等式组的解集，并会根据整数解的情况确定的取值范围是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 首先确定不等式组的解集，先利用含的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于的不等式，从而求出的范围． 【解题过程】 解： ，由①得，， 不等式组有解， 不等式组的解集为， 不等式组的所有整数解的和为， 不等式组的整数解为、、或、、、、0、1． 当不等式组的整数解为、、时，有，的取值范围为； 当不等式组的整数解为、、、、0、1时，有，的取值范围为． ∴m的取值范围是：或. 39．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）已知关于的不等式组． （1）当时，求该不等式组的解集． （2）若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和． （3）在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围． 【思路点拨】 （1）把代入不等式组，解不等式组即可求解； （2）求出不等式组的解集，根据不等式组解集的情况求出的取值范围，得到的整数解，相加即可求出的值； （3）求出方程组的解，把方程组的解和的值代入不等式，解不等式即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，解二元一次方程组，掌握解一元一次不等式组和二元一次方程组是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：当时，不等式组为， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为； （2）解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有个整数解， ∴， 即， 解得， ∴的整数解为，，， ∴； （3）解：， 方程组化简得，， 得，， 解得， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把，代入不等式得，， 解得． 40．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： （1）不等式组的“长度”______；“整点”为______； （2）若不等式组的“长度”，求a的取值范围； （3）若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案； （3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【解题过程】 （1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解： 解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得，, ∴ 当时，方程组解为：， 满足题意， 综上所述：的取值范围． （3）解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当，不等式的解集为， ∴， 解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解， 综上所述：， ∴为， 解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$