专题04 三角形中的特殊模型之8字模型、A字模型与三角板模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版2024）

专题04 三角形中的特殊模型之8字模型、A字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.“8”字模型 1 模型2.“A”字模型 6 模型3.三角板拼接模型 8 13 模型1.“8”字模型 “8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。‌ 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°；∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 例1．（2023·重庆·八年级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 例2．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，求的度数．    例3．（2022秋·安徽淮北·八年级校考期中）“字”的性质及应用： (1)如图相交于点，得到一个“字”，试说明的理由； (2)如图，以图中给的字母为顶点的“字”有多少个； (3)如图和的平分线相交于点，利用(1)中的结论试说明的理由． 例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边． (1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：； (3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：． 例5．（2023春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______； (2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______； (3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； (4)如图4，如果，，当时，则的度数为______． 模型2.“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（2023·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，的度数是（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，若剪去得到四边形，则 ． 例3．（2023秋·新疆阿克苏·八年级统考期末）探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则　　． A．  90°  B．  315°  C．  135°  D. 270° (2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则　　度． (3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是　　． (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是　　． 模型3.三角板拼接模型 由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°， 当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。 常见角度拼接（证明特别简单，故略过）： 例1．（2023春·贵州遵义·八年级校联考期中）把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则 ．    例2．（23-24七年级下·四川成都·期末）将一副直角三角板如图摆放，点A落在边上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3．（2023春·江苏无锡·七年级统考期末）有一副直角三角板、，其中，，．如图，将三角板的顶点E放在上，移动三角板，当点E从点A沿向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．下列结论：①当时，；②逐渐变小；③若直线与直线交于点M，则为定值；④若的一边与的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个．正确的有 ．（填序号）    例4．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如图1，将一副三角板放在直线上，两个直角顶点重合在一起，交直线于点C，其中，． (1)如图2，将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中， 与的数量关系是___________；(2)将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转至图3所示的位置，此时在的内部，与相交于点P，当 时，求的度数；(3)将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转，当时， 的度数为___________．（直接写出结果即可） 1．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）如图，的度数为（　　）    A． B． C． D． 2．（2023·广东清远·八年级校考阶段练习）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（    ） A．90° B．360° C．180° D．无法确定 3．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在中，，若沿图中虚线剪去，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 4．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图所示，则的度数是 ． 5．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图， °． 6．（2023春·江西赣州·七年级校考阶段练习）一副直角三角板中，，，，现将直角顶点按照如图方式叠放，点在直线上方，且，能使三角形有一条边与平行的所有的度数为 ．    7．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变△ACD的位置（其中A点位置始终不变），使CDOB，则∠BAD＝ 8．（2023春·江苏徐州·七年级期末）如图，在四边形纸片中，，若沿图中虚线剪去，则 °．    9．（2023·广东揭阳·八年级校考期末）探索归纳： （1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2= °． （2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2= °． （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ． 10．（2023·浙江杭州·八年级统考期中）如图，是的外角的平分线，且交延长线于点E，，则 °． 11．（2024·河南南阳·七年级校联考阶段练习）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于 度．    12．（2023·江苏·七年级统考期末）如图，，点E、F在上．若，则 ．    13．（2023·江苏七年级期中）如图，、的平分线交于，；、的平分线交于，；如此下去，、的平分线的交角为；…若，，则为 度． 14．（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）在中，点、分别在、边上，将沿直线折叠，点落在边上的处，且，如果，则的度数为 ．    15．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． (1)【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，，则； (2)【性质应用】如图3，和的平分线交于点E，则与、之间存在何种数量关系．请说明理由； (3)【拓展提高】如图4，、是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，直接写出的度数（用含的式子表示）﹒ 16．（2023秋·四川达州·八年级统考期末）在课本第七章第5节中，我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：是的一个外角（如图1），则．    (1)如图2，线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”，请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系 　 　． (2)如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状，若，运用（1）中得出的数量关系，求的度数． 17．（2024·山东烟台·七年级统考期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，∠A＝80°，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系． (1)如图①，若沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______． (2)如图②，若沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______． (3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数 (4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数． 18．（2024·湖北武汉·七年级校联考期中）（1）【问题情境】已知如图1：，求证：． 证明：过点作（过直线外有且只有一条直线与已知直线平行） （请按照上述思路继续完成证明过程）        图1            图2           图3 （2）【尝试运用】如图，若，且经过点，，，求（用代数式表示）． （3）【拓广探索】如图3，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点．若，求的度数． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形中的特殊模型之8字模型、A字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1.“8”字模型 1 模型2.“A”字模型 6 模型3.三角板拼接模型 8 13 模型1.“8”字模型 “8”字模型通常是由两条相交直线和它们所夹的两条线段（或延长线）组成的，形状类似于数字“8”。‌ 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 例1．（2023·重庆·八年级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【答案】D 【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC， ∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D． 例2．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，求的度数．    【答案】 【详解】连结，如图，设与交于点，    ∵，， 又∵，∴， ∴ ． 例3．（2022秋·安徽淮北·八年级校考期中）“字”的性质及应用： (1)如图相交于点，得到一个“字”，试说明的理由； (2)如图，以图中给的字母为顶点的“字”有多少个； (3)如图和的平分线相交于点，利用(1)中的结论试说明的理由． 【答案】(1)理由见解析(2)见解析(3)理由见解析 【详解】（1）解：， ∴， ∵，． （2）解：图中有个“字”分别是：、、、、． （3）解：平分平分，， ，． 例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边． (1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：； (3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：． 【答案】(1)；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解 【详解】（1）解：，理由如下： ，，，即； （2）证明：平分，， 在和中，，，； （3）证明：在上取一点，使，连接交于点， 是的角平分线，， 在和中，，，，同理可证， ，，，即， ，． 例5．（2023春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______； (2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______； (3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； (4)如图4，如果，，当时，则的度数为______． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）在中，，在中，， ∵，∴故答案为： （2）设，， ∵，分别平分，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，故答案为： （3）由（2）可知：， ∵，∴，∴，∴， （4）如图4，延长、交于点，设，， ∴，，∴，∴， ∴，∴， ∴，，， ∴故答案为： 模型2.“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（2023·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， ∵，∴，故选：A． 例2．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，若剪去得到四边形，则 ． 【答案】235°/235度 【详解】解：∵，∴， ∴，故答案为：． 例3．（2023秋·新疆阿克苏·八年级统考期末）探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则　　． A．  90°  B．  315°  C．  135°  D. 270° (2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则　　度． (3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是　　． (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是　　． 【答案】(1)D(2)240(3)(4) 【详解】（1）解：，， ，故选：D． （2）解：，， ，故答案为：240． （3）解：，， ，故答案为：． （4）解：连接，，， ， ，，故答案为：． 模型3.三角板拼接模型 由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°， 当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。 常见角度拼接（证明特别简单，故略过）： 例1．（2023春·贵州遵义·八年级校联考期中）把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则 ．    【答案】 【分析】根据三角形外角性质得出，，再根据三角形的内角和定理和解答即可． 【详解】解：如图可知：，， ，， ， 故答案为：．    【点睛】此题考查三角形内角和，关键是根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答． 例2．（23-24七年级下·四川成都·期末）将一副直角三角板如图摆放，点A落在边上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理．根据平行线的性质，可得，从而得到，再由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴，∵，∴．故选：D 例3．（2023春·江苏无锡·七年级统考期末）有一副直角三角板、，其中，，．如图，将三角板的顶点E放在上，移动三角板，当点E从点A沿向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．下列结论：①当时，；②逐渐变小；③若直线与直线交于点M，则为定值；④若的一边与的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个．正确的有 ．（填序号）    【答案】①③④ 【分析】①由即可判断；②过点C作，即可判断；③分别讨论当直线与线段相交、直线与线段的延长线相交即可判断；④根据平行线的判定定理即可进行判断． 【详解】解：①∵，点E、C、D始终保持在一条直线上∴ ∵∴故①正确；②如图1：过点C作           当点E从点A移动到点H位置时，的度数在逐渐增大∴的度数在逐渐减小 当点E从点H移动到点B位置时，的度数在逐渐增大故②错误； ③当直线与线段交于点M，如图2： ∵ ∴∴ 当直线与线段的延长线交于点M，如图3： ∵ ∴∴ 故若直线与直线交于点M，则为定值故③正确； ④当点E在线段上时，且，则； 当点E在线段上时，且，则； 当时，则；∴若的一边与的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个故④正确；故答案为：①③④ 【点睛】本题以三角板的运动为背景，考查了平行线的判定、三角形的内角和、三角形的外角等知识点．掌握相关数学结论是解题关键． 例4．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）如图1，将一副三角板放在直线上，两个直角顶点重合在一起，交直线于点C，其中，． (1)如图2，将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中， 与的数量关系是___________；(2)将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转至图3所示的位置，此时在的内部，与相交于点P，当 时，求的度数；(3)将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转，当时， 的度数为___________．（直接写出结果即可） 【答案】(1)(2)；(3)或． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，∴，即；故答案为：； （2）解：由（1）得，∴，∴， ∵，∴； （3）解：如图，设与的交点为， ∵，∴，∴，∴； 如图，设与的交点为，∵，∴， ∴；综上，的度数为或．故答案为：或． 1．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）如图，的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，∵，，    ∴，故选：A． 2．（2023·广东清远·八年级校考阶段练习）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（    ） A．90° B．360° C．180° D．无法确定 【答案】C 【详解】如图，连接BC， ∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB， 又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°．故选：C． 3．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在中，，若沿图中虚线剪去，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，∴， ∵，∴故选：A． 4．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图所示，则的度数是 ． 【答案】/360度 【分析】如图所示，与交于点，连接，根据三角形的外角和的性质可得，，由此可将转化为求四边形的内角和，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，与交于点，连接， ∴在中，， 在中，，∴， ∵，， ∴， ∵四边形的内角和为，∴，故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的外角和的性质，四边形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 5．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图， °． 【答案】180 【分析】如图根据三角形的外角的性质，三角形内角和定理可知∠1＝∠B＋∠2，∠2＝∠D＋∠E，∠A＋∠1＋∠C＝180°，由此不难证明结论． 【详解】解：如图， ∵∠1＝∠B＋∠2，∠2＝∠D＋∠E，∠A＋∠1＋∠C＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠D＋∠E＋∠C＝180°，故答案为：180． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型． 6．（2023春·江西赣州·七年级校考阶段练习）一副直角三角板中，，，，现将直角顶点按照如图方式叠放，点在直线上方，且，能使三角形有一条边与平行的所有的度数为 ．    【答案】45°或135°或165° 【分析】旋转三角形，使其三边分别与形成平行状态，根据平行线的判定定理分情况讨论求解即可． 【详解】解：当时， ，理由如下，如图所示：    ∵，，∴．又∵，∴； 当时，，理由如下，如图所示：       ∵，∴， ∵，∴，∴； 当时，．理由如下：延长AC交BE于F，如图所示： ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， 综上，三角形有一条边与平行的所有∠ACE的度数的为：45°或135°或165° 故答案为：45°或135°或165°． 【点睛】此题考查了平行线的判定，三角形外角定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 7．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变△ACD的位置（其中A点位置始终不变），使CDOB，则∠BAD＝ 【答案】15°或165° 【分析】由平行内错角相等得：∠AEC=∠B=45°，再由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得α=15°． 【详解】解：设∠BAD=α，∵CDOB，∴∠AEC=∠B=45°， ∵∠D=30°，∴α=∠BAD=45°-30°=15°，∴当α=15°时，CDOB，∴∠BAD=15°， 当CD在点A的上方时，DC边与OB边平行时，∴∠CEA=∠B=45°， ∴∠DAE=∠CEA-∠D=45°-30°=15°，∴α=∠BAD=180°-15°=165°， ∠BAD=135°+30°=165°，故答案为：15°或165°． 8．（2023春·江苏徐州·七年级期末）如图，在四边形纸片中，，若沿图中虚线剪去，则 °．    【答案】 【详解】解：三角形的内角和等于，，，. ，.故答案为：.    9．（2023·广东揭阳·八年级校考期末）探索归纳： （1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2= °． （2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2= °． （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ． 【答案】 270°/270度 220°/220度 180°+∠A 【详解】解：（1）∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°， ∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-90°=270°，∴∠1+∠2等于270°，故答案为：270°； （2）∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A　=180°+40°=220°，故答案是：220°； （3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2=180°+∠A； 证明：∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A；故答案为：180°+∠A． 10．（2023·浙江杭州·八年级统考期中）如图，是的外角的平分线，且交延长线于点E，，则 °． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∵是的外角的平分线，∴， ∴，故答案为：． 11．（2024·河南南阳·七年级校联考阶段练习）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于 度．    【答案】 【详解】解：如图所示， ∵，∴，    ∵分别是的外角，∴. ∴．故答案为： 12．（2023·江苏·七年级统考期末）如图，，点E、F在上．若，则 ．    【答案】110 【详解】解：，，    ，是的一个外角，，， ，．故答案为：110． 13．（2023·江苏七年级期中）如图，、的平分线交于，；、的平分线交于，；如此下去，、的平分线的交角为；…若，，则为 度． 【答案】 【详解】解：令相交于点M，相交于点P， ∵、的平分线交于，∴，， 设，∴，， 得： ，整理得：， 同理可得：，， ，故答案为：． 14．（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）在中，点、分别在、边上，将沿直线折叠，点落在边上的处，且，如果，则的度数为 ．    【答案】/70度 【详解】解：由折叠的性质可知，， ，，，，， ，，故答案为：． 15．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． (1)【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，，则； (2)【性质应用】如图3，和的平分线交于点E，则与、之间存在何种数量关系．请说明理由； (3)【拓展提高】如图4，、是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，直接写出的度数（用含的式子表示）﹒ 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：∵与是对顶三角形，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∵ ∴； （2）解：如图，，，∴， ∵、分别是、的平分线，∴，. ∴，∴； （3）解：∵，∴， ∵、是的角平分线，且是和的角平分线， ∴，， ∵，∴. 16．（2023秋·四川达州·八年级统考期末）在课本第七章第5节中，我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：是的一个外角（如图1），则．    (1)如图2，线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”，请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系 　 　． (2)如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状，若，运用（1）中得出的数量关系，求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）∵是的外角，∴， ∴；故答案为：； （2）连接，如图，    由（1）的结论可得：，， ∵，∴， 即，∴． 17．（2024·山东烟台·七年级统考期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，∠A＝80°，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系． (1)如图①，若沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______． (2)如图②，若沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______． (3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数 (4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数． 【答案】(1)260°(2)160°(3)(4) 【详解】（1）解：∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°， ∴，故答案为：260°； （2）∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°， ∵翻折，∴∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,∴∠ADA’+∠AEA’＝2(∠ADE+∠AED)=200°， ∴∠1+∠2=360°-(∠ADA’+∠AEA’)=160°，故答案为：160°； （3）解：连接．如图所示： ∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，∴∠1+∠2=∠DAA’+∠DA’A+∠EAA’+∠EA’A=∠EAD+∠EA’D， ∵，∴，∴，∴． （4）解：如图，设AB与交于点F， ∵，，由折叠可得，，∴， 又∵，，∴，∴． 18．（2024·湖北武汉·七年级校联考期中）（1）【问题情境】已知如图1：，求证：． 证明：过点作（过直线外有且只有一条直线与已知直线平行） （请按照上述思路继续完成证明过程）        图1            图2           图3 （2）【尝试运用】如图，若，且经过点，，，求（用代数式表示）． （3）【拓广探索】如图3，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点．若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）20° 【详解】（1）证明：过点作， ∵，∴，， ∵，∴； （2）设，，故，，过点作. ∵，∴， ∴，，，∴， ∵，，∴，∴，∴； （3）设，．∵平分，平分， ∴，， ∵，∴，， ∵，∴，即， ∵，∴，∴． 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$