专题02 三角形中的特殊模型之双角平分线模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版2024）

专题02.三角形中的特殊模型之双角平分线模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1双角平分线模型（双内角） 1 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 7 模型3.双角平分线模型（双外角） 10 15 模型1双角平分线模型（双内角） 双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，、的平分线相交于点I，若，则 度． 例2．（2024·江西赣州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，(1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶数，求这个三角形的周长．(2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数．b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数． 例3．（2024·辽宁鞍山·八年级统考期中）（1）已知：如图（1），在中，、分别平分和，直接写出与的数量关系；（2）已知：如图（2），在四边形中，、分别平分和，试探究与、之间的数量关系． 例4．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 双角平分线模型2：当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半。 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 例1．（2024·江苏·八年级月考）如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若，则的度数是　　． 例2．（2024·河北·九年级专题练习）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系． (1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ； 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是   ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由． 例3．（2024·江苏八年级课时练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则 ． 模型3.双角平分线模型（双外角） 双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差。 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 例1．（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 例2．（2023·安徽宿州·八年级校联考期末）（1）如图（a），平分，平分. ①当时，求的度数.②猜想与有什么数量关系？并证明你的结论. （2）如图（b），平分外角，平分外角，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）. 例3．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，、、分别平分的外角、内角和外角．下列结论正确的是： ．（只填序号）①；②；③． 例4．（2023·北京昌平·八年级校考阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题. 探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90+∠A,理由如下： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB ∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)= (180-∠A)= 90-∠A ∴∠BOC=180-(∠1+∠2) =180-(90-∠A)=90+∠A (1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． (2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论） (3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论） 1．（2024·山东菏泽·八年级统考期中）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若，则∠BOC的度数为（      ） A．150° B．120° C．110° D．100° 2．（2023·河南周口·八年级统考期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点P，则（    ） A． B． C． D． 3.（2024·广东八年级课时练习）如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ） A．36° B．30° C．20° D．18° 4．（2024·四川达州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴在正半轴、轴正半轴分别交两点，在的延长线上，平分，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·福建漳州·七年级统考期末）如图，在中，是角平分线，是边上的高，延长与外角的平分线交于点．以下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024·重庆·七年级校考期中）如图，，、、分别平分△ABC的外角、内角、外角．以下结论：①：②∠DAC=2∠ADB；③；④平分．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（2024·山东·八年级统考期末）如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论①，②，③，④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．②④ 8．（2024春·江苏南通·七年级统考阶段练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，若，则 ． 9．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，在中，与的平分线相交于，与的平分线相交于，以此类推，与的平分线相交于，求与数量关系. 10．（2024·湖北·八年级专题练习）如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数. 11．（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点F。(1)若，，试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数 12．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）（问题背景），点分别在上运动（不与点重合）.（问题思考）（1）如图①，、分别是和的平分线，随着点点的运动，求的度数.（2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点. ①若，则__________；②随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； （问题拓展）（3）在图②的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动（如图③），__________.（用含的代数式表示） 13．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图①，在△ABC中，，，、均是的外角．射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转．交射线于点E．设射线的旋转时间为秒． (1)______度(用含t的代数式表示)，当点E与点C重合时，______． (2)当点E在点C右侧时，t的取值范围是_______．(3)如图②，、的角平分线交于点P，请判断与的数量关系并说明理由．(4)如图③、的角平分线交的反向延长线于点Q，当的三个内角中，有一个角等于另一个角的3倍时，直接写出t的值． 14．（23-24七年级下·河南周口·期末）问题引入： (1)如图①所示，中，点O是和的平分线的交点， 若，则________（用α表示）：填空并说明理由 如图②所示， ， ， 若，则________（用α表示），填空并说明理由． (2)如图③所示，，，若，求 ________（用α表示）． 15．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线相交于点Q，延长相交于点F． (1)若，求的度数；(2)在中，若，求∠A的度数． 16．（2023春·河南周口·七年级统考期末）【基本模型】（1）如图1，在中，平分，平分外角，试说明． 【变式应用】（2）如图2，，A，B分别是射线上的两个动点，与的平分线的交点为P，则点A，B的运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 【拓展应用】（3）如图3，，作的平分线，A是射线上的一定点，B是直线上的任意一点（不与点O重合），连接，设的平分线与的邻补角的平分线的交点为P，请直接写出的度数．    17．（2023·吉林长春·七年级校考期中）（1）如图（1），在△ABC 中，∠BAC=70°，点 D 在 BC 的延长线上，三角形的内角∠ABC 与外角∠ACD 的角平分线 BP，CP 相交于点 P，求∠P 的度数.（写出完整的解答过程）【感知】：图（1）中，若∠BAC=m°，那么∠P= °（用含有 m 的代数式表示） 【探究】：如图（2）在四边形 MNCB 中，设∠M=α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD 的角平分线 BP，CP 相交于点 P.为了探究∠P 的度数与 α 和 β 的关系，小明同学想到将这个问题转化图（1）的模型，因此，他延长了边 BM 与 CN，设它们的交点为点 A， 如图（ 3 ）， 则∠ A= （用含有 α 和 β  的代数式表示）， 因此∠P= ．（用含有 α 和 β 的代数式表示） 【拓展】：将（2）中的 α+β＞180°改为 α+β＜180°，四边形的内角∠MBC 与外角∠NCD 的角平分线所在的直线相交于点 P，其它条件不变，请直接写出∠P＝ 　　．（用 α，β的代数式表示）     18．（2023·河南洛阳·七年级统考期末）在中，(1)如图（1），的平分线相交于点P． 若，则_______．若，则______． (2)如图（2），在中的外角平分线相交于点Q，，求的度数． (3)如图（3），的的平分线相交于点P，它们的外角平分线相交于点Q．直接回答：与具有怎样的数量关系？(4)如图（4），中的内角平分线相交于点P，外角平分线相交于点Q，延长线段交于点E，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，请直接写出的度数． 19．（2023·河南周口·七年级校考期末）探究发现：如图①，在中，内角的平分线与外角的平分线相交于点．（1）若，则 ； 若，则 ； （2）由此猜想：与的关系为 (不必说明理由)． 拓展延伸：如图②，四边形的内角与外角的平分线相交于点，． （3）若，，求的度数，由此猜想与，之间的关系，并说明理由． 20．（2023春·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，已知点A、B分别在∠MON的边ON、OM上（不与点O重合），AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，直线AD，BC相交于点C． （1）如图1，若∠MON = 90°，试猜想∠ACB=________ °； （2）如图2，在（1）的基础上，若∠MON每秒钟变小10°，经过了t秒（0 <t < 9）， ①试用含t的代数式表示∠ACB的度数；②并求出当t取何值时，∠MON与∠ACB的度数相等；（3）如图3，在（2）的条件下，若BC平分∠ABO，其它条件不改变，请直接写出∠BCD与∠MON的关系． 21．（2023·江苏·七年级统考期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】（1）如图1，在中，点是内角平分线与外角的平分线的交点，则有．请补齐下方的说理过程． 理由如下：因为， 又因为在中，，所以． 所以______．（理由是：等式性质）同理可得：______． 又因为和分别是和的角平分线， 所以，______．所以． 即（）．所以． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】（2）如图2，在中，．延长至，延长至，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于、，求的度数； 【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状． ①已知，，求的度数；②直接写出与的关系． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02.三角形中的特殊模型之双角平分线模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1双角平分线模型（双内角） 1 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 7 模型3.双角平分线模型（双外角） 10 15 模型1双角平分线模型（双内角） 双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，、的平分线相交于点I，若，则 度． 【答案】100 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，连接并延长交于，根据角平分线定义可得，根据三角形内角和可得，根据三角形内角和即可得出结果． 【详解】解：连接并延长交于P， 平分，，平分，，， ，， ，，故答案为：100． 例2．（2024·江西赣州·八年级校联考期中）如图，在△ABC中，(1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶数，求这个三角形的周长．(2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数．b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数． 【答案】(1)13cm (2)a、112.5°；b、90°＋x° 【分析】（1）利用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边，得出BC的取值范围为1＜BC＜7，再根据BC是能被3整除的偶数，得到BC=6 cm，再求出周长为13 cm． （2）利用三角形的内角和等于180°，先求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线平分角的知识，求出∠PBC+∠PCB，然后再一次用三角形内角和等于180°，求出∠BPC． 【详解】（1）∵AB=4 cm，AC=3 cm∴1＜BC＜7∴BC=6 cm ∴三角形的周长为：C△ABC=AB+AC+BC=4+3+6=13cm （2）a、当∠A=45°时，由三角形的内角和可知：∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−45°=135° ∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB ∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB= (∠ABC+∠ACB)=×135°=67.5° ∴∠BPC=180°− (∠PBC+∠PCB)=180°−67.5°=112.5° b、当∠A=x°时，由三角形的内角和可知：∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°− x° ∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB ∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB= (∠ABC+∠ACB)=×(180°− x°)=90°−x° ∴∠BPC=180°− (∠PBC+∠PCB)=180°−(90°−x°)=90°＋x° 【点睛】本题考查有关三角形的知识．第一小问的解题关键是运用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边进行解答；第二小问的解题关键是运用三角形的内角和等于180°，以及角平分线平分角的知识结合一起解答，在求角度时，有时不一定需要每个角都求出来，可以利用整体思想． 例3．（2024·辽宁鞍山·八年级统考期中）（1）已知：如图（1），在中，、分别平分和，直接写出与的数量关系；（2）已知：如图（2），在四边形中，、分别平分和，试探究与、之间的数量关系． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠P与∠A的数量关系； （2）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠P与∠A+∠B的数量关系． 【详解】（1）∵平分 ，∴． 同理，． ∴ ； （2）∵平分 ，∴． 同理，． ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键． 例4．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105 【分析】本题考查三角形的内角和定理，n等分线的定义． （1）由三角形的内角和定理可得，由角平分线得到，，从而； （2）由三等分线可得，，从而；（3）同（2）思路即可求解； （4）同（2）（3）思路即可，，两式相加即可解答； （5）同（4）思路可得，又，即可求得，同理有，即可解答． 【详解】解：（1）∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴ ． （2）∵、是的三等分线，、是的三等分线， ∴，， ∴ ．故答案为： （3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线， ∴，， ∴ ．故答案为： （4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，∴，，，， ∴ ， ， ∴． 故答案为： （5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线， ∴，，，， ∴ ， ， ∴， ∵∴，∴， 同理可得．故答案为：105 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 双角平分线模型2：当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半。 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 例1．（2024·江苏·八年级月考）如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若，则的度数是　　． 【解答】解：在中，，在中，， 、分别是和的平分线，，， ， ，，，即．故答案为：． 例2．（2024·河北·九年级专题练习）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系． (1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ； 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是   ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由． 【答案】(1)30°；50°；1:2(2)成立，见解析 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用和表示出，再根据角平分线的定义得到，，然后整理即可． （2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用和表示出，再根据角平分线的定义得到，，然后整理即可． 【详解】（1）解：如图2，是等边三角形，，， 平分，平分．，， ，； 如图3，是等腰三角形，，，， 平分，平分．，， ，；故答案为，，； （2）解：成立，如图1，在中，， 在中，，（1） 平分，平分，，， 又，，（2） 由（1）（2），，． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、利用三角形的外角性质和角平分线的定义解答是关键． 例3．（2024·江苏八年级课时练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线， ∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1， ∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A， ∵∠A=α．∠A1=∠A=α，同理可得∠A2=∠A1=α， 根据规律推导，∴，故答案为． 模型3.双角平分线模型（双外角） 双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差。 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 例1．（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 【答案】61° 【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答． 【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°， ∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°， ∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°， ∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF， ∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°， ∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案为：61°． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键． 例2．（2023·安徽宿州·八年级校联考期末）（1）如图（a），平分，平分. ①当时，求的度数.②猜想与有什么数量关系？并证明你的结论. （2）如图（b），平分外角，平分外角，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）. 【答案】（1）①120°；②；证明见解析；（2）不正确； 【分析】（1）①根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理计算即可； ②结论：∠D=90°+∠A．根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理计算即可； （2）不正确．结论：∠D=90°-∠A．根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：（1）①，， ，，，； ②结论：．理由：，， ； （2）不正确．结论：．理由：，， ， . 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 例3．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，、、分别平分的外角、内角和外角．下列结论正确的是： ．（只填序号）①；②；③． 【答案】①② 【分析】本题考查了与平行线有关的角平分线的计算，涉及了三角形的外角定理，根据，即可判断①；根据即可判断②；根据，、，即可判断③； 【详解】解：∵，    ，平分 ∴∴，故①正确； ∵∴ ∵平分，平分∴∴ ∵∴，故②正确； ∵，∴， ∵，∴， ∵∴，故③错误；故答案为：①② 例4．（2023·北京昌平·八年级校考阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题. 探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90+∠A,理由如下： ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB ∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)= (180-∠A)= 90-∠A ∴∠BOC=180-(∠1+∠2) =180-(90-∠A)=90+∠A (1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由． (2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论） (3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论） 【答案】（1）探究2结论：∠BOC=；（2）探究3：结论∠BOC=90°－；（3）拓展：结论 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义可得∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC），∠BOC=∠2-∠1，然后整理即可得解；（2）根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出∠OBC和∠OCB，再根据三角形的内角和定理解答；（3）同（1）的求解思路． 【详解】（1）探究2结论：∠BOC=∠A．理由如下：如图， ∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD， 又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠2=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1， ∵∠2是△BOC的一个外角，∴∠BOC=∠2-∠1=∠A+∠1-∠1=∠A，即∠BOC=∠A； （2）由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC）， 在△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC）， =180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC），=180°-（180°+∠A），=90°-∠A；故答案为∠BOC=90°-∠A． （3）∠OBC+∠OCB=（360°-∠A-∠D）， 在△BOC中，∠BOC=180°-（360°-∠A-∠B）=（∠A+∠D）．故答案为∠BOC=（∠A+∠D）． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键． 1．（2024·山东菏泽·八年级统考期中）如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若，则∠BOC的度数为（      ） A．150° B．120° C．110° D．100° 【答案】B 【详解】解：∵点O到△ABC三边的距离都相等， ∴OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，∴， ∵，∴，∴， ∴；故选B． 2．（2023·河南周口·八年级统考期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点P，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在四边形中，，∴， 由题意可得：平分，平分，∴，， ∴，∴故选：C． 3.（2024·广东八年级课时练习）如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ） A．36° B．30° C．20° D．18° 【答案】A 【详解】解：∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠ECD=（∠A+∠ABC）． 又∵∠ECD=∠E+∠EBC，∴∠E+∠EBC=（∠A+∠ABC）． ∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABC，∴∠ABC+∠E=（∠A+∠ABC）， ∴∠E=∠A=18°，∴∠A=36°．故选A． 4．（2024·四川达州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴在正半轴、轴正半轴分别交两点，在的延长线上，平分，平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， 平分，，平分，， ，故选：B． 5．（2024·福建漳州·七年级统考期末）如图，在中，是角平分线，是边上的高，延长与外角的平分线交于点．以下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵是角平分线，∴，故①符合题意； ∵是边上的高，∴，故②符合题意； ∵是角平分线，平分，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，故③不符合题意；∵，， ∴ ，故④符合题意；故选C 6．（2024·重庆·七年级校考期中）如图，，、、分别平分△ABC的外角、内角、外角．以下结论：①：②∠DAC=2∠ADB；③；④平分．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAC=2∠EAD， ∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，∴∠EAD=∠ABC，∴ADBC，①正确； ∵ADBC，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠ACB，∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC，∴∠ACB=2∠ADB，∴∠DAC=2∠ADB，∴②正确； 在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD=∠DCF， ∵ADBC，∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB ∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD， ∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°， ∴∠ADC+∠ABD=90°∴∠ADC=90°-∠ABD，∴③正确； ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°-∠ABC， ∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误；即正确的有3个，故选：B． 7．（2024·山东·八年级统考期末）如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论①，②，③，④，其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．②④ 【答案】D 【详解】解：为外角的平分线，平分，，， 又是的外角，，，即，故②正确； ，分别平分，，，， ，故①、③错误； 平分，平分，，， ， 是的外角，，故④正确；故选：D． 8．（2024春·江苏南通·七年级统考阶段练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，若，则 ． 【答案】 【详解】解：和分别是的内角平分线和外角平分线，，， 又，， ，， 同理可得：，， 则，故答案为：． 9．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，在中，与的平分线相交于，与的平分线相交于，以此类推，与的平分线相交于，求与数量关系. 【答案】 【详解】解：在中，有∠ACD=∠A+∠ABC，在中，有∠A1CD=∠A1+∠A1BC， ∵与的平分线相交于，∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC， ∴∠A1=∠A，同理，∠A2=∠A1，即∠A2=∠A， 由此可得，∠A3=∠A，……∴. 10．（2024·湖北·八年级专题练习）如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数. 【答案】 【详解】解：∠B、∠C的外角平分线相交于点G， 在中，∠BGC=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠EBC+∠BCF） =180°-（180°-∠ABC+180°-∠ACB）=180°-（180°-m°+180°-n°）；= 11．（23-24七年级下·四川资阳·期末）如图，四边形的内角的平分线与外角的平分线相交于点F。(1)若，，试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数 【答案】(1)，理由见解析(2) 【详解】（1），理由为：∵，∴， ∵，平分，，∴，， ∴，∴； （2）解：∵是四边形，∴， ∴，∴， 又∵，平分，，∴，， ∴． 12．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）（问题背景），点分别在上运动（不与点重合）. （问题思考）（1）如图①，、分别是和的平分线，随着点点的运动，求的度数.（2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点. ①若，则__________；②随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由； （问题拓展）（3）在图②的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动（如图③），__________.（用含的代数式表示） 【答案】（1）（2）①②的度数不随、的移动而发生变化，理由见解析（3） 【详解】解：（1），， 、分别是和角的平分线，，， ，；故答案为：； （2）①，，，， 是的平分线，，平分，， ，故答案为：； ②的度数不随、的移动而发生变化，设，平分，， ，， 平分，，，； （3）设，平分，， ，， 平分，，， ；故答案为：． 13．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图①，在△ABC中，，，、均是的外角．射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转．交射线于点E．设射线的旋转时间为秒． (1)______度(用含t的代数式表示)，当点E与点C重合时，______． (2)当点E在点C右侧时，t的取值范围是_______．(3)如图②，、的角平分线交于点P，请判断与的数量关系并说明理由．(4)如图③、的角平分线交的反向延长线于点Q，当的三个内角中，有一个角等于另一个角的3倍时，直接写出t的值． 【答案】(1)，6(2)(3)．理由见解析(4)4.5或6或12 【详解】（1）解：∵射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转，∴； ∵，，∴， 当点E与点C重合时，∴，解得；故答案为：，； （2）若要与射线相交，则， 当点E在点C右侧时，，解得，故答案为：； （3）解：，理由为：∵是的外角，∴， ∵、的角平分线交于点P，∴，， ∴； （4）解：∵，∴， 又∵和时和的平分线，∴，， ∴， ∴， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得(舍去)； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为，或． 14．（23-24七年级下·河南周口·期末）问题引入： (1)如图①所示，中，点O是和的平分线的交点， 若，则________（用α表示）：填空并说明理由 如图②所示， ， ， 若，则________（用α表示），填空并说明理由． (2)如图③所示，，，若，求 ________（用α表示）． 【答案】(1)，(2) 【详解】（1）解：在中，，∴． 如图①所示，∵点O是和的平分线的交点， ∴． ∴； 如图②所示，∵， ， ∴， 故答案为：，； （2）解：，理由如下：∵，， ， ∴，， ，． 故答案为：． 15．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在中，与的平分线相交于点P，的外角与的平分线相交于点Q，延长相交于点F． (1)若，求的度数；(2)在中，若，求∠A的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：中，，， 与的平分线相交于点P，，， ， ； （2）解：与是的外角，，， 与的平分线相交于点Q， ，， ， ； 是的外角，，， 又，，，解得． 16．（2023春·河南周口·七年级统考期末）【基本模型】（1）如图1，在中，平分，平分外角，试说明． 【变式应用】（2）如图2，，A，B分别是射线上的两个动点，与的平分线的交点为P，则点A，B的运动的过程中，的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 【拓展应用】（3）如图3，，作的平分线，A是射线上的一定点，B是直线上的任意一点（不与点O重合），连接，设的平分线与的邻补角的平分线的交点为P，请直接写出的度数．    【答案】（1）见解析（2）不变，（3）或 【详解】解：(1)如图1，∵，，∴，．       又∵平分，平分∴，， ∴，∴． (2)的大小不变．理由：如图2，∵，，∴，．又∵平分，平分，∴，， ∴，∴． (3)分两种情况讨论：①如图3，∵，，∴，．又∵平分，平分，∴，， ∴∴．       ②如图4，∵，，∴，． 又∵平分，平分，∴，， ∴，∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形外角定理，解题的关键是灵活对等式进行适当变形． 17．（2023·吉林长春·七年级校考期中）（1）如图（1），在△ABC 中，∠BAC=70°，点 D 在 BC 的延长线上，三角形的内角∠ABC 与外角∠ACD 的角平分线 BP，CP 相交于点 P，求∠P 的度数.（写出完整的解答过程）【感知】：图（1）中，若∠BAC=m°，那么∠P= °（用含有 m 的代数式表示） 【探究】：如图（2）在四边形 MNCB 中，设∠M=α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD 的角平分线 BP，CP 相交于点 P.为了探究∠P 的度数与 α 和 β 的关系，小明同学想到将这个问题转化图（1）的模型，因此，他延长了边 BM 与 CN，设它们的交点为点 A， 如图（ 3 ）， 则∠ A= （用含有 α 和 β  的代数式表示）， 因此∠P= ．（用含有 α 和 β 的代数式表示） 【拓展】：将（2）中的 α+β＞180°改为 α+β＜180°，四边形的内角∠MBC 与外角∠NCD 的角平分线所在的直线相交于点 P，其它条件不变，请直接写出∠P＝ 　　．（用 α，β的代数式表示）     【答案】（1）35°；感知：m°，探究：α+β-180°，（α+β）-90°；拓展：90°-α-β 【详解】（1）∵BP平分∠ABC，∴∠CBP=∠ABC， ∵CP平分△ABC的外角，∴∠DCP=∠ACD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠ABC， 在△BCP中，由三角形的外角性质，∠DCP=∠CBP+∠P=∠ABC+∠P， ∴∠A+∠ABC=∠ABC+∠P，∴∠P=∠A=×70°=35°． 感知：由（1）知∠P=∠A∵∠BAC=m°，∴∠P=m°，故答案为：m°， 探究：延长BM交CN的延长线于A． ∵∠A=180°-∠AMN-∠ANM=180°-（180°-α）-（180°-β）=α+β-180°，由（1）可知：∠P=∠A， ∴∠P=（α+β）-90°；故答案为：α+β-180°，（α+β）-90°； [拓展] 如图，延长MB交NC的延长线于A． ∵∠A=180°-α-β，∠P=∠A，∴∠P=（180°-α-β）=90°-α-β故答案为：90°-α-β 【点睛】本题考查三角形综合题，三角形内角和定理、四边形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用已知结论解决问题. 18．（2023·河南洛阳·七年级统考期末）在中，(1)如图（1），的平分线相交于点P． 若，则_______．若，则______． (2)如图（2），在中的外角平分线相交于点Q，，求的度数． (3)如图（3），的的平分线相交于点P，它们的外角平分线相交于点Q．直接回答：与具有怎样的数量关系？(4)如图（4），中的内角平分线相交于点P，外角平分线相交于点Q，延长线段交于点E，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，请直接写出的度数． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：∵，∴120°， ∵的平分线相交于点P，∴，， ∴＝60°，∴180°－90°＋ ∴若，则，若，则90°＋． （2）解：∵ ∴． ∵的外角平分线相交于点Q．∴． ∴． ∴． （3）解：由（1）知，，由（2）知：，∴． （4）解：∵BQ，BE分别是的外角平分线和内角平分线，∴90°， ①当2时，90°＝2×（90°－n°）∴n＝90，∴90°， ②当时，∵90°，∴60°，∴＝60°，∴n＝60，∴60°， ③当时，90°，∴45°，∴＝45°，∴n＝90，∴90°， ④当时，∵90°，∴30°，∴＝30°∴n＝120，∴120°， 综上：90°，60°，120°． 19．（2023·河南周口·七年级校考期末）探究发现：如图①，在中，内角的平分线与外角的平分线相交于点．（1）若，则 ； 若，则 ； （2）由此猜想：与的关系为 (不必说明理由)． 拓展延伸：如图②，四边形的内角与外角的平分线相交于点，． （3）若，，求的度数，由此猜想与，之间的关系，并说明理由． 【答案】（1）40°25°；（2）(或)（3）= 【详解】解：（1）由题可知：BE为的角平分线，CE为的角平分线， =2=2，=2，， 三角形内角和等于，在中：， 即：，①， 在中：，即：，②， 综上所述联立①②，由①-②×2可得 ：， ，，， 当，则； 当，则；故答案为，； （2）由（1）知：(或)； （3）∵与的平分线相交于点，∴， ， 又∵，∴（两直线平行，内错角相等），∵是的一个外角， ∴（三角形一外角等于不相邻的两个内角的和）， 在四边形中，四边形内角和为，， ， ∴，∴①， ∴，即， 在中：，， 由上可得：，②， 又∵，∴，，， 由①②可得，，，． 20．（2023春·江苏扬州·七年级校联考期中）如图，已知点A、B分别在∠MON的边ON、OM上（不与点O重合），AD平分∠BAN，BC平分∠ABM，直线AD，BC相交于点C． （1）如图1，若∠MON = 90°，试猜想∠ACB=________ °； （2）如图2，在（1）的基础上，若∠MON每秒钟变小10°，经过了t秒（0 <t < 9）， ①试用含t的代数式表示∠ACB的度数；②并求出当t取何值时，∠MON与∠ACB的度数相等；（3）如图3，在（2）的条件下，若BC平分∠ABO，其它条件不改变，请直接写出∠BCD与∠MON的关系． 【答案】（1）45；（2）①∠ACB =（45+5t）°；②t = 3；（3）∠BCD = ∠MON 【详解】解：（1）∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABM， ∴， ∵∠MON = 90°，∴， ∴∠NAB=∠O+∠ABO=90°+∠ABO，∠ABM=∠O+∠OAB=90°+∠OAB， ∴， ∴，∴∠ACB =180°-∠CAB-∠CBA= 45°，故答案为45； （2）①由题意得：， ∴由（1）可知，，， ∴， ∴，∴∠ACB =180°-∠CAB-∠CBA=（45+5t）°； ②由 （1）及题意得：90－10t = 45 + 5t，解得t=3，∴ 当t = 3时，∠MON 与∠ACB的度数相等； （3）∠BCD = ∠MON，理由如下：由（2）可得：∵AD平分∠BAN，BC平分∠ABO， ∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴∠BCD = ∠MON． 21．（2023·江苏·七年级统考期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】小明在处理教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】（1）如图1，在中，点是内角平分线与外角的平分线的交点，则有．请补齐下方的说理过程． 理由如下：因为， 又因为在中，，所以． 所以______．（理由是：等式性质）同理可得：______． 又因为和分别是和的角平分线， 所以，______．所以． 即（）．所以． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】（2）如图2，在中，．延长至，延长至，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于、，求的度数； 【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状． ①已知，，求的度数；②直接写出与的关系． 【答案】（1）ECB，ACB，ECB；（2）70°；（3）①205°；②=（）+90° 【详解】解：（1）因为， 又因为在中，，所以． 所以ECB．（理由是：等式性质） 同理可得：_ACB_． 又因为和分别是和的角平分线， 所以，__ECB____．所以． 即（）．所以．故答案是：ECB，ACB，ECB； （2）∵，∴∠AEC=∠ABC=20°， ∵、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于、， ∴∠EAC+∠FAC=∠ABC+=(∠ABC+)=×180°=90°，∴∠F=180°-90°-20°=70°； （3）①延长BA、CD交于点M，延长CE、BF交于点N， ∵BF，CE平分∠ABG、∠DCB，∴∠N=∠M， ∵，，∴∠M=180°-（180°-150°）-（180°-80°）=50°，∴∠N=25°， ∴=360°-（180°-25°）=205°； ②∵=360°-（180°-∠N）=180°+∠N，+=180°+∠M， 又∵∠N=∠M，∴-180°=（+-180°），即：=（）+90°． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$