专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版2024）

专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 2 26 模型1.羊角模型 图1图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 例1．（2024·湖北·八年级校考期末）如图，，，则为（    ）    A． B． C． D． 例2．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D 例3．（23-24七年级下·北京·期末）如图所示，给出下列条件：①∠1＝∠B；②∠EFD＋∠B＝180°；③∠B＝∠D；④∠E＝∠B；⑤∠BFD＝∠B．其中，一定能判断AB∥CD的条件的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例4．（2023下·浙江嘉兴·七年级统考期末）如图，，，，，则下列说法不正确的是（    ）    A． B．平分 C． D． 例5．（23-24七年级下·广西河池·期末）推理及探索． （1）补全下面的证明过程和理由： 如图1，，，求的度数． 解：，（____________________）． （已知），（____________________）， （____________________）， ． 根据以上解答进行探索：（2）如图2，，与和有何数量有关系？请直接写出来． （3）若，你能探索出图3和图4中与，的数量关系吗？请直接写出． 例6．（2023下·浙江宁波·七年级校考期末）已知，，点E为射线上一点．      (1)如图1，若，，则______°； (2)如图2，当点E在延长线上时，此时与交于点H，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论；(3)如图3，平分，交于点K，交于点I，且，，，求的度数． 1．（2023下·湖北·七年级统考期末）如图，直线，的顶点B，C分别在上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2023上·广东韶关·八年级统考期中）如图，如果，求的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，已知，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知直线，将一块直角三角板按如图所示方式放置，其中三角板的两个顶点分别落在直线、上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）如图，，，则 ．    7．（2023上·广东·八年级专题练习）如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为 ．    8．（2023下·山东临沂·七年级统考期中）如图，直线，， ，那么的度数是 ．    9．（23-24七年级下·广东河源·期末）综合与实践：数学社团的同学以“两条平行线（）和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点不能同时落在直线和之间． (1)【探究】如图1，把三角板的角的顶点分别放在上，若，求的度数； (2)【迁移】如图2，把三角板的锐角顶点放在上，且保持不动，绕点转动三角板，若点恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)【拓展】把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 10．（23-24七年级下·四川广安·期末）（1）【问题解决】如图1，已知，点P在之间，，求的度数． （2）【问题迁移】如图2，若，点P 在的上方，则之间有何数量关系？请说明理由． （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知的平分线和 的平分线交于点G，求∠G的度数（结果用含α的式子表示）. 11．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，点E、F分别是上的点． (1)【问题情景】如图1，若点P在与之间，，求的度数； (2)【尝试应用】如图2，点P在的上方，试探究之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展创新】如图3，若点P在的下方，已知，的平分线和的平分线交于点M，请用含有的式子直接写出的度数． 12．（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知分别在上，点在之间，连接． (1)当平分平分时：①如图1，若，则的度数为______； ②如图2，在的下方有一点平分平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 13．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内．(1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系；图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系：图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系；图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 14．（2024下·四川凉山·七年级统考期末）直线交于M、N，P点是直线上一个动点 (1)如图a，P点在线段上时，若，试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)如图b，P点在射线上时，若时，证明、与的关系．    15．（2023上·黑龙江大庆·七年级校联考期中）如图，已知，分别写出下面的四个图形中与，的关系，请你从所得关系中任意选取一个加以证明    16．（2023上·黑龙江绥化·七年级期末）已知直线，和，分别交于，点，分别在直线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合．    (1)如图1，有一动点在线段间运动时，求证：； (2)如图2，当动点在点之上运动时，猜想、、有何数量关系，并说明理由． 17．（2023下·辽宁营口·七年级校联考期中）已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、．(1)如图1，已知，，求的度数；(2)如图2，若点是上方一点，平分，平分，已知，求的度数；(3)如图3，若点是下方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数．    18．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）【问题情境】如图1，，直线交于点H，交于点G，点F在直线上．直接写出之间的数量关系为 ． 【实践运用】如图2，，直线交于点H，交于点G，点F在直线上．平分，平分，若，求的度数． 【拓广探索】如图3，，直线交于点H，交于点G，点P为平面内不在直线，，上的一点，若，，则 （直接写出答案，用x，y表示）．          2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 平行线中的拐点模型之羊角模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（羊角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 2 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 2 26 模型1.羊角模型 图1图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 例1．（2024·湖北·八年级校考期末）如图，，，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】  ∵，∴． ∵，∴．故选：C 例2．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D 【答案】见解析 【详解】证明：过点E作EF∥CD，如图 ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BOD，∵EF∥CD（辅助线）， ∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）； ∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换）， ∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换）， 即∠B=∠E+∠D． 例3．（23-24七年级下·北京·期末）如图所示，给出下列条件：①∠1＝∠B；②∠EFD＋∠B＝180°；③∠B＝∠D；④∠E＝∠B；⑤∠BFD＝∠B．其中，一定能判断AB∥CD的条件的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：①当∠1＝∠B时，根据同位角相等，两直线平行可得AB∥CD，故①符合题意； ②当∠EFD＋∠B＝180°时， ∵∠BFC＝∠EFD，∴∠BFC＋∠B＝180°，∴AB∥CD，故②符合题意； ③当∠B＝∠D时，无法判断AB∥CD，故③不符合题意； ④当∠E＝∠B时，无法判断AB∥CD，故④不符合题意； ⑤当∠BFD＝∠B时，根据内错角相等，两直线平行得AB∥CD，故⑤符合题意． 则符合题意的有①②⑤，共3个．故选：B． 例4．（2023下·浙江嘉兴·七年级统考期末）如图，，，，，则下列说法不正确的是（    ）    A． B．平分 C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作，与交于点，如图：    ∵，，∴，∵，∴，， ∵，∴，又∵， ∴，∴， ∵，∴，  即平分；故选项B说法正确； ∵，∴，∴， 又∵，∴；故选项C说法正确； ∵，，∴，   即；故选项D的说法正确；故选：A． 例5．（23-24七年级下·广西河池·期末）推理及探索． （1）补全下面的证明过程和理由： 如图1，，，求的度数． 解：，（____________________）． （已知），（____________________）， （____________________）， ． 根据以上解答进行探索：（2）如图2，，与和有何数量有关系？请直接写出来． （3）若，你能探索出图3和图4中与，的数量关系吗？请直接写出． 【答案】（1）同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；（2）；（3） 【详解】解：（1），（同旁内角互补，两直线平行）， （已知），（平行于同一直线的两条直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补； （2）如图，过点作，， ，，， ，即； （3）如下图，过点作， 如图③，，，即， ，，，，， 如图④，，， ，，，，即， ，综上所述，． 例6．（2023下·浙江宁波·七年级校考期末）已知，，点E为射线上一点．      (1)如图1，若，，则______°； (2)如图2，当点E在延长线上时，此时与交于点H，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论；(3)如图3，平分，交于点K，交于点I，且，，，求的度数． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）解：延长交于点H， ，，    是的外角，故答案为：； （2）结论：．证明：，， 是的外角，，． （3）解：：，设，则，，， 又，，， 平分，， ，，即，解得， ，． 1．（2023下·湖北·七年级统考期末）如图，直线，的顶点B，C分别在上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴ ∵，∴．故选：B． 2．（2024七年级上·广东·专题练习）如图，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过作， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴,故选：． 3．（2023上·广东韶关·八年级统考期中）如图，如果，求的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，∴，∵，， ∴．故选：B 4．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，已知，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，， ，，故选：C． 5．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知直线，将一块直角三角板按如图所示方式放置，其中三角板的两个顶点分别落在直线、上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，∵，，∴， ∵，∴，故选：C． 6．（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）如图，，，则 ．    【答案】/60度 【详解】  如图，过点C作，∴， ∵，，∴，∴， ∴．故答案为： 7．（2023上·广东·八年级专题练习）如图，，平分，平分交的延长线于点E，若，则的度数为 ．    【答案】/68度 【详解】解：如图，延长交于M．由题意设，．    则有，得：， ∵，∴，∵，∴，故答案为：． 8．（2023下·山东临沂·七年级统考期中）如图，直线，， ，那么的度数是 ．    【答案】/22度 【详解】解：如图，过点作，，    ∵直线，，， ，故答案为：． 9．（23-24七年级下·广东河源·期末）综合与实践：数学社团的同学以“两条平行线（）和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点不能同时落在直线和之间． (1)【探究】如图1，把三角板的角的顶点分别放在上，若，求的度数； (2)【迁移】如图2，把三角板的锐角顶点放在上，且保持不动，绕点转动三角板，若点恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)【拓展】把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 【答案】(1)；(2)；(3)或． 【详解】（1）解：依题意得：，，， ，， ，． （2）解：如图，过点E作，依题意得：， ，，， ，， ． （3）解：分两种情况讨论如下：①当点E在上方时，设交于点H，如图所示： 依题意得：，设，则， ，，解得：，， ，； 当点E在下方时，延长交于点H，如图所示： 依题意得：，设，则，， ，，解得：，， ， 综上所述：射线与相交所夹锐角的度数为或． 10．（23-24七年级下·四川广安·期末）（1）【问题解决】如图1，已知，点P在之间，，求的度数． （2）【问题迁移】如图2，若，点P 在的上方，则之间有何数量关系？请说明理由． （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知的平分线和 的平分线交于点G，求∠G的度数（结果用含α的式子表示）. 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）如图，过点P作． ∵，∴．∵，∴，∴． 又∵，∴，∴． （2）．理由：如图，过点P作． ∵，，∴，∴． ∵，∴． ∵，∴，∴． （3）如图，过点G作． ∵，，∴，∴，． 又∵的平分线和的平分线交于点G， ∴，， 由（2）得，． ∵，∴， ∴，即． 11．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，点E、F分别是上的点． (1)【问题情景】如图1，若点P在与之间，，求的度数； (2)【尝试应用】如图2，点P在的上方，试探究之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展创新】如图3，若点P在的下方，已知，的平分线和的平分线交于点M，请用含有的式子直接写出的度数． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）过点P向左作，则． ，，， ，．则； （2），理由如下：过P向右作，则． ，，．由，得：． （3），理由如下：依题意，可设，设， 同（2）可得，，，． 12．（23-24七年级下·北京·期中）如图，已知分别在上，点在之间，连接． (1)当平分平分时：①如图1，若，则的度数为______； ②如图2，在的下方有一点平分平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；②．(2) 【详解】（1）解：①如图，分别过点G、P作， ，，∴， ，同理可得: ， ∵，∴，∵平分平分； ，∴．故答案为：． ②如图，过点Q作， ∵平分平分， ，， 设，∵，，， ∵，，，，， 由（1）可知，∴． （2）解：结论： 理由：∵在的上方有一点O，若平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,过点O作，则，如图， ，，， ， 由（1）可知：， ∵，∴，即， ∴，∴． 13．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内．(1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系；图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系：图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系；图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 【答案】(1)； ；；；；；(2)． 【详解】（1）如图，过作， ∵，∴，∴，， ∴，∴； 如图，过作， ∵，∴，∴，， ∴，∴； 如图，过作，∵，∴， ∴，，∴； 如图，过作，∵，∴，∴，， ∴，∴； 如图，过作，∵，∴， ∴，，∴，∴； 如图，同理，同理：； （2）由上可知：，∵，，∴． 14．（2024下·四川凉山·七年级统考期末）直线交于M、N，P点是直线上一个动点 (1)如图a，P点在线段上时，若，试判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)如图b，P点在射线上时，若时，证明、与的关系．    【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析 【详解】（1）解：，理由如下：过点P作∴       ∵∴ ∴∴∵∴； （2）证明：，理由如下：过点P作， ∵∴∴ ∵∴． 15．（2023上·黑龙江大庆·七年级校联考期中）如图，已知，分别写出下面的四个图形中与，的关系，请你从所得关系中任意选取一个加以证明    【答案】图①结论；图②结论；图③结论；图④结论；证明见解析 【详解】解：图①结论；图②结论；图③结论；图④结论，理由如下： 如图①：过点做 ，             ∵，∴，，， 两式相加得∶ ，即； 如图②：过点做， ∵，∴，∴，， ∵，即 ；如图③，延长与交于点．             ，（两直线平行，同位角相等）， 又(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，； 如图④：，（两直线平行，同位角相等）， 又(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和) ． ． 16．（2023上·黑龙江绥化·七年级期末）已知直线，和，分别交于，点，分别在直线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合．    (1)如图1，有一动点在线段间运动时，求证：； (2)如图2，当动点在点之上运动时，猜想、、有何数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)，理由见解析． 【详解】（1）证明：如图，过点作，       ，，，．又，； （2）解：，理由如下：如图，过作， ，，，，，． 17．（2023下·辽宁营口·七年级校联考期中）已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、．(1)如图1，已知，，求的度数；(2)如图2，若点是上方一点，平分，平分，已知，求的度数；(3)如图3，若点是下方一点，连接、，且的延长线平分，平分，，求的度数．    【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：如图1中，作． ∵，，∴，∴，， ∴∠．        （2）解：如图2中，设， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴． （3）解：如图3中，设，， ∵，即，∴， ∵，即，∴； 又∵；∴，∴，∴． 18．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）【问题情境】如图1，，直线交于点H，交于点G，点F在直线上．直接写出之间的数量关系为 ． 【实践运用】如图2，，直线交于点H，交于点G，点F在直线上．平分，平分，若，求的度数． 【拓广探索】如图3，，直线交于点H，交于点G，点P为平面内不在直线，，上的一点，若，，则 （直接写出答案，用x，y表示）．          【答案】【问题情境】；【实践运用】的度数为；【拓广探索】的大小为或或或． 【问题情境】如图，作，而， ∴，∴，       ∵，∴，∴． 【实践运用】设，平分，∴， 由（1）得：，∴． ∵平分．∴． 过点M作，则，∴． ∵，∴， ∴． 【拓广探索】对P点的位置有六种可能，①如图所示，作，而          ∴，而，， ∴，，∴， ②如图所示，作，而 ∴，∴，，∴， ③如图所示，作，而∴，而，， ∴，，∴， ④如图所示，作，而记的交点为，          ∴，而，， ∴，， ∴， ⑤如图所示，作，而∴，而，， ∴，， ∴， ⑥如图所示，作，而∴，而，， ∴，， ∴， 综上：的大小为或或或． 23 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$