专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型-2024-2025学年七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版2024）

专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 1 10 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 七年级的学生刚刚开始接触几何的证明，普遍会出现证明步骤不规范，在书写的时候也会出现无从下手的情况，做题速度也普遍变慢，只有少数学生能够在规定时间内正确作答。所以，只要学生能够学会利用平行线的性质和判定的几个基本模型去解决相应的几何问题，会起到事半功倍的效果。 例1．（23-24下浙江·七年级校考期末）如图，，，，那么 .    【答案】/50度 【分析】过点M作直线利用平行线的性质得到，所以由“两直线平行，内错角相等”得到 【详解】解：如图，过点M作直线，则， 又，，，，    ，，故答案为： 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键 例2．（2023·山东·统考中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．    【答案】 【分析】可求，由，即可求解． 【详解】解：，，，， ，，故答案：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质是解题的关键． 例3．（2024下·浙江宁波·七年级统考期末）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D．与没有数量关系 【答案】A 【分析】过C作∥，得到∥，因此，，由垂直的定义得到，由邻补角的性质即可得到答案． 【详解】解：过C作∥， ∥，，，， ，，， ，，故选：A．    【点睛】本题考查平行线的性质，关键是过C作，得到，由平行线的性质来解决问题． 例4．（23-24七年级下·广东·期中）如图，已知，的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…第次操作，分别作和的平分线，交点为，若∠度，则 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，图形类的规律探索，熟知平行线的性质是解题的关键．先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得到；同理得出，，，，据此得到规律，最后求得的度数． 【详解】解：过作， ，，，， 和的平分线交点为，． 和的平分线交点为，； 和的平分线，交点为， ；； 以此类推，，当∠度时，等于．故答案为：． 例5．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，已知，和分别平分和，若，则 ．    【答案】/度 【分析】过作，过作，可得，，，，，即可求解． 【详解】解：如图，过作，过作，    ，， ，，，， 设，，，， 和分别平分和，， ， ，，，， ，，解得：，；故答案：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握性质，作出适当的辅助线是解题的关键． 例6．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）如图，已知，点E，F分别在直线上，点O在直线之间， 如图所示，分别在和的平分线上取点M，N，连接，则 ；如果，，，连接，则 （用m，n的代数式表示） 【答案】 【分析】过点O作，过点M作，过点，则，由平行线的性质推出，同理得，由此推出，再由角平分线的定义得到，进一步推出，由此即可得到答案；同理求出当，，时，的值即可． 【详解】解：如图所示，过点O作，过点M作，过点， ∵，∴，∴， ∵，∴， 同理可证， ∴； ∵，∴，∴， ∵分别是的角平分线，∴， ∵，，∴， ∴； ； 同理当时，可得，， ∵，， ∴，故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 例7．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，，，则、、之间满足的数量关系为 ．    【答案】 【分析】如图，过E作，过F作，过G作，再证明，再结合平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图，过E作，过F作，过G作， ∵，∴，    ∵，∴，， ∵，∴，，∴， ∵， ∴；故答案为： 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 例8．（2023·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由； （2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由； （3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由． 【答案】见解析. 【解析】解：（1）∠E=∠B+∠D，理由如下： 过点E作直线a∥AB，则a∥AB∥CD，则∠B=∠1，∠D=∠2，∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D . （2）∠E+∠B+∠D =360°，理由如下：过点E作直线b∥AB，则b∥AB∥CD∴∠B+∠3=180°，∠4+∠D=180° ∴∠B+∠3+∠4+∠D =360°即∠E+∠B+∠D =360°. （3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G，理由如下： 过点E，F，G作直线c∥AB，d∥AB，e∥AB，则c∥AB∥d∥e∥CD， 则∠B=∠5，∠6=∠7，∠8=∠9，∠10=∠D ∴∠B+∠EFG+∠D=∠5+∠7+∠8+∠10=∠5+∠6+∠9+∠10=∠BEF+∠FGD. 例9．（2023下·陕西渭南·七年级统考期中）已知点在直线，之间，且．    (1)如图1，过点作直线，求证：；(2)若平分，． ①如图2，平分，过点作，若，求的度数； ②如图3，过点作，若平分，试判断与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)①，②，见解析 【分析】（1）根据平行线的性质求解即可；（2）①根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可； ②根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可． 【详解】（1）∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴； （2）①∵平分，∴， ①由平分，可设， 又∵，∴， 又∵，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴． ②．理由：设，， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴，即， ∴，∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质和角平分线的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点，利用代数式表示各个角之间的关系． 1．（2023下·浙江·七年级期中）如图，，平分，且，垂足为F，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，过点F作，则，由平行线的性质得到，由角平分线的定义求出，再由垂线的定义求出，则． 【详解】解：如图所示，过点F作， ∵，∴，∴， ∵平分，，∴， ∵，即，∴，∴，故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）已知如图：，与的角平分线交于点，则图中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由角平分线的定义可得，，由平行线的性质可求得，从而求得，由对顶角相等得，则有，即可求解． 【详解】如图，与的角平分线交于点，，， ，，，， ，， ，．故选：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 3．（2023下·浙江温州·七年级统考期中）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中，两点分别落在直线，上，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：直线，∴，故选：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 4．（2023下·河南焦作·七年级统考期末）若，则，，的度数之比可能为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过的顶点作，可得，利用平行线的性质求出，，可得，结合选项可得答案． 【详解】解：过的顶点作，∵，∴， ∴，，∴， ∴，，的度数之比可能为，故C正确．故选：C．    【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键． 5．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点E作，则，由平行线的性质得，过点C作，则有，同理，结合角平分线的定义即可求得结果． 【详解】解：如图，过点E作，∵，∴，    ∴，∴， 过点C作，则有， 同理，∵和分别平分和， ∴，∴，， 即，解得：，故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解二元一次方程组，构造平行线是解题的关键． 6．（2022下·广东七年级期中）如图，，，是的平分线，三点在一条直线上，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作，则，进而求出，由平行线的传递性可证，从而，由角平分线的定义求出，进而可求出的度数． 【详解】作，则． ∵，∴，∴． ∵，，∴， ∴．∴． ∵是的平分线，∴， ∴．故选A．    【点睛】本题考查了平行线性质的应用－拐点问题，常用的解答方法是过过拐点作其中一条线的平行线，利用平行线的传递性说明与另一条线也平行，然后利用平行线的性质解答即可． 7．（2023下·辽宁铁岭·七年级校考阶段练习）如图，直线，用含的式子表示，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过角的顶点作，根据平行线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过角的顶点作，∴    ∵，∴，∴∴故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键． 8．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，三角形中，．交于，、分别是、上的点，连接、，，．则的度数为 ．    【答案】/85度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是先过点作，交于点，证明，再根据平行公理的推论证明，从而证明，再根据已知条件，求出，最后利用平行线的性质求出答案即可． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点，， ，，， ，即，， ，即，，，， ，，故答案为：．    9．（2023下·浙江金华·七年级校联考阶段练习）如图，直线，，为直角，则 ．    【答案】 【分析】过点作，根据平行线的性质，求解即可． 【详解】解：过点作，如下图：    则，∴，， ∴，故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质并运用数学结合思想． 10．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，，点O在内部，且平分，射线交于点E，若，，则的度数为 ．    【答案】/87度 【分析】过O作，利用平行线的性质和角平分线的定义求解即可． 【详解】解：过O作，    ∵， ∴， ∴，，， ∵，∴， ∵平分，∴，则， ∵，∴， ∴，故答案为：. 【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，添加平行线，利用平行线的性质求解是解答的关键． 11．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，，和的平分线相交于点P．请写出、、的数量关系 ．    【答案】 【分析】作，则，根据平行线的性质可得，结合角平分线定义可得，再根据推出，，即可得出． 【详解】解：如图，作， ，，，， ，，， 和的平分线相交于点P．，， ，， ，，， ，即．故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的和差关系等，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 12．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，，平分，，，则 ． 【答案】 【分析】过E点作EM∥AB，根据平行线的性质可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分线的定义可求得∠B+3∠D=132°，结合∠B-∠D=28°即可求解． 【详解】解：过E点作EM∥AB，∴∠B=∠BEM， ∵AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠MED=∠D，∴∠BED=∠B+∠D， ∵EF平分∠BED，∴∠DEF=∠BED， ∵∠DEF+∠D=66°，∴∠BED+∠D=66°，∴∠BED+2∠D=132°，即∠B+3∠D=132°， ∵∠B-∠D=28°，∴∠B=54°，∠D=26°，∴∠BED=80°．故答案为：80°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线证出∠BED=∠B+∠D是解题的关键． 13．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，将一块含的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中点，分别在直线，上，若，，则 °．    【答案】40 【分析】由题意可得，，则有，由平行线的性质可求得，即可求． 【详解】解：如图，由题意得：，，    ，， ∵，， ．故答案为：40． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 14．（2023上·四川成都·八年级校考期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多物品都与如图所示的曲线有关、如图，从点O照射到曲线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则 ， ． 【答案】 /40度 /115度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，两直线平行，同旁内角互补可得，然后计算即可得解． 【详解】解： ∵，∴，∵，∴， 即，解得．故答案为：；． 15．（2023下·广东中山·七年级校联考期中）已知：直线，点、分别在直线，上，点为平面内一点．(1)如图1，猜想，，的数量关系并说明理由．(2)利用（）的结论解决问题：如图2，已知，平分，平分，，求的度数．    【答案】(1)，理由见解析(2) 【分析】（1）过点E作，根据题意和平行线的判定得，根据平行线的性质得，，根据，即可得；（2）根据题意得，，根据平行线的性质得，根据得，即可得，进行计算即可； 【详解】（1），证明如下： 证明：如图1所示，过点E作，    ∵，∴，∴，， ∵，∴； （2）解：∵平分，平分，∴，， ∵，∴， ∵，∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是根据图形找到角之间的和差关系，熟练掌握平行线的性质． 16．（2023下·福建莆田·七年级统考期中）如图，，是位于，之间的一点，现作如下操作： 第一次操作：分别作和的平分线，交点为． 第二次操作：分别作和的平分线，交点为． 第三次操作：分别作和的平分线，交点为． 第次操作，分别作和的平分线，交点为．    (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【分析】（1）先过作，根据，得出，再根据平行线的性质，得出，，进而得到； （2）先根据和的平分线交点为，运用（1）中的结论，得出；同理可得； （3）根据和的平分线，交点为，得出；根据和的平分线，交点为，得出；据此得到规律，最后求得的度数． 【详解】（1）解：如图1，过作，       ，，，， ，； （2），理由如下：如图2，和的平分线交点为， 由（1）可得，； 和的平分线交点为， 由（1）可得，； （3）如图2，和的平分线交点为， 由（1）可得，； 和的平分线，交点为， ； 以此类推，，当度时，等于． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 17．（2023下·安徽滁州·七年级统考期末）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F． （1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答： 如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数； 解：过点P作直线PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依据是　　； 因为AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依据是　　； 所以∠C＝（　　），所以∠APC＝（　　）+（　　）＝∠A+∠C＝97°． （2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）： ①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由； ②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH；（2）①∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由见解答过程；②3∠PMQ+∠A+∠C＝360°． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可完成填空；（2）结合（1）的辅助线方法即可完成证明； （3）结合（1）（2）的方法，根据∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°，即可证明∠PMQ，∠A与∠C的数量关系． 【详解】解：过点P作直线PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依据是两直线平行，内错角相等； 因为AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依据是平行于同一条直线的两条直线平行；所以∠C＝（∠CPH）， 所以∠APC＝（∠APH）+（∠CPH）＝∠A+∠C＝97°． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠CPH；∠APH，∠CPH； （2）①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立，理由如下： 过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG， ∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°， ∴∠APQ+∠PQC＝∠APH+∠HPQ+∠GQP+∠CQG＝∠A+∠C+180°． ∴∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立； ②如图3，过点P作直线PH∥AB，QG∥AB，MN∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PH∥QG∥MN， ∴∠A＝∠APH，∠C＝∠CQG，∠HPQ+∠GQP＝180°，∠HPM＝∠PMN，∠GQM＝∠QMN， ∴∠PMQ＝∠HPM+∠GQM，∵∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠PMQ+∠MPQ+∠PQM＝180°， ∴∠APM+∠CQM＝∠A+∠C+∠PMQ＝2∠MPQ+2∠MQP＝2（180°﹣∠PMQ），∴3∠PMQ+∠A+∠C＝360°． 【点睛】考核知识点：平行线的判定和性质．熟练运用平行线性质和判定，添加适当辅助线是关键． 18．（2023下·浙江·七年级专题练习）（1）如图①，AB//CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由；（2）如图②，AB//CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．    【答案】（1）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5，理由见解析；（2）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7，一般情况：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等． 【分析】（1）首先分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN，由平行线的性质，可得∠2+∠4=∠1+∠3+∠5； （2）首先分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB，由AB∥CD，可得AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ，然后利用平行线的性质，即可证得∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7． 【详解】解：（1）∠2+∠4=∠1+∠3+∠5． 理由：分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN， ∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠CMN=∠5， ∴∠2+∠4=∠BEF+∠FEG+∠GMN+∠CMN=∠1+∠EGH+∠MGH+∠5=∠1+∠3+∠5；    （2）∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7． 理由：分别过点E，G，M，K，P，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB，KL∥AB，PQ∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN∥KL∥PQ， ∴∠1=∠BEF，∠FEG=∠EGH，∠HGM=∠GMN，∠KMN=∠LKM，∠LKP=∠KPQ，∠QPC=∠7， ∴∠2+∠4+∠6=∠1+∠3+∠5+∠7． 结论：开口朝左的所有角度之和与开口朝右的所有角度之和相等． 【点睛】此题考查平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 19．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图1，已知点分别是直线上的点，点在与之间，且．(1)若，则　　． (2)如图2，在图1的基础上，作射线交于点，使，设，猜想的度数（用表示），并说明理由． (3)如图3，在图1的基础上，分别作射线交于点，作射线交于点，若，请直接写出与间的数量关系． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质，把转化为，从而求得度数； （2）过点作，过点作，利用平行线的性质，把转化为，把转化为，得出，从而用表示出的度数； （3）利用（2）的结论，同时利用两直线平行，同旁内角互补得出，进而找到与间的数量关系． 【详解】（1）解：过点作，如图所示， ，，， ，故答案为：； （2）解：，理由如下： 过点作，由（1）知，， 过点作，，， ，， ，， ，，； （3）解：，理由如下： 由（2）的结论可知，，，， ， ，， ，，即． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，采用分类讨论的思想解题，作平行线将角转化是解题的关键． 20．（2023下·浙江·七年级期末）已知，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点． （1）如图1所示时，试问，，满足怎样的数量关系?并说明理由． （2）除了（1）的结论外，试问，，还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明 （3）当满足，且，分别平分和， ①若，则__________°． ②猜想与的数量关系．（直接写出结论） 【答案】（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF；（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①150°或30；②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF 【分析】（1）由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为：； （2）当点在的右侧时，，，满足数量关系为：； （3）①若当点在的左侧时，；当点在的右侧时，可求得； ②结合①可得，由，得出；可得，由，得出． 【详解】解：（1）如图1，过点作，，， ，，，； （2）如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为：； 过点作，，， ，，，； （3）①如图3，若当点在的左侧时， ，， ，分别平分和，，， ； 如图4，当点在的右侧时，，， ；故答案为：或30； ②由①可知：， ；，． 综合以上可得与的数量关系为：或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键． 27 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平行线中的拐点模型之猪蹄模型（M型）与锯齿模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（猪蹄模型（M型）与锯齿模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 1 10 模型1.猪蹄模型（M型）与锯齿模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 七年级的学生刚刚开始接触几何的证明，普遍会出现证明步骤不规范，在书写的时候也会出现无从下手的情况，做题速度也普遍变慢，只有少数学生能够在规定时间内正确作答。所以，只要学生能够学会利用平行线的性质和判定的几个基本模型去解决相应的几何问题，会起到事半功倍的效果。 例1．（23-24下浙江·七年级校考期末）如图，，，，那么 .    例2．（2023·山东·统考中考真题）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．    例3．（2024下·浙江宁波·七年级统考期末）如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D．与没有数量关系 例4．（23-24七年级下·广东·期中）如图，已知，的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为，第二次操作，分别作和的平分线，交点为，第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…第次操作，分别作和的平分线，交点为，若∠度，则 度． 例5．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，已知，和分别平分和，若，则 ．    例6．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）如图，已知，点E，F分别在直线上，点O在直线之间， 如图所示，分别在和的平分线上取点M，N，连接，则 ；如果，，，连接，则 （用m，n的代数式表示） 例7．（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，，，则、、之间满足的数量关系为 ．    例8．（2023·浙江七年级期中）如图（1）所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．（1）如图（2）所示，已知，请问，，有何关系并说明理由； （2）如图（3）所示，已知，请问，，又有何关系并说明理由； （3）如图（4）所示，已知，请问与有何关系并说明理由． 例9．（2023下·陕西渭南·七年级统考期中）已知点在直线，之间，且．    (1)如图1，过点作直线，求证：；(2)若平分，． ①如图2，平分，过点作，若，求的度数； ②如图3，过点作，若平分，试判断与的数量关系并说明理由． 1．（2023下·浙江·七年级期中）如图，，平分，且，垂足为F，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 2．（2023下·浙江杭州·七年级校考期中）已知如图：，与的角平分线交于点，则图中与的关系是（    ） A． B． C． D． 3．（2023下·浙江温州·七年级统考期中）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中，两点分别落在直线，上，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．（2023下·河南焦作·七年级统考期末）若，则，，的度数之比可能为（　　）    A． B． C． D． 5．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）如图，已知和分别平分和，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．（2022下·广东七年级期中）如图，，，是的平分线，三点在一条直线上，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 7．（2023下·辽宁铁岭·七年级校考阶段练习）如图，直线，用含的式子表示，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，三角形中，．交于，、分别是、上的点，连接、，，．则的度数为 ．    9．（2023下·浙江金华·七年级校联考阶段练习）如图，直线，，为直角，则 ．    10．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，，点O在内部，且平分，射线交于点E，若，，则的度数为 ．    11．（2023下·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，，和的平分线相交于点P．请写出、、的数量关系 ．    12．（2023下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，，平分，，，则 ． 13．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，将一块含的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中点，分别在直线，上，若，，则 °．    14．（2023上·四川成都·八年级校考期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多物品都与如图所示的曲线有关、如图，从点O照射到曲线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，则 ， ． 15．（2023下·广东中山·七年级校联考期中）已知：直线，点、分别在直线，上，点为平面内一点．(1)如图1，猜想，，的数量关系并说明理由．(2)利用（）的结论解决问题：如图2，已知，平分，平分，，求的度数．    16．（2023下·福建莆田·七年级统考期中）如图，，是位于，之间的一点，现作如下操作： 第一次操作：分别作和的平分线，交点为． 第二次操作：分别作和的平分线，交点为． 第三次操作：分别作和的平分线，交点为． 第次操作，分别作和的平分线，交点为．    (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (3)若，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 17．（2023下·安徽滁州·七年级统考期末）已知AB∥CD，线段EF分别与AB，CD相交于点E，F． （1）请在横线上填上合适的内容，完成下面的解答： 如图1，当点P在线段EF上时，已知∠A＝35°，∠C＝62°，求∠APC的度数； 解：过点P作直线PH∥AB，所以∠A＝∠APH，依据是　　； 因为AB∥CD，PH∥AB，所以PH∥CD，依据是　　； 所以∠C＝（　　），所以∠APC＝（　　）+（　　）＝∠A+∠C＝97°． （2）当点P，Q在线段EF上移动时（不包括E，F两点）： ①如图2，∠APQ+∠PQC＝∠A+∠C+180°成立吗？请说明理由； ②如图3，∠APM＝2∠MPQ，∠CQM＝2∠MQP，∠M+∠MPQ+∠PQM＝180°，请直接写出∠M，∠A与∠C的数量关系． 18．（2023下·浙江·七年级专题练习）（1）如图①，AB//CD，则∠2＋∠4与∠1＋∠3＋∠5有何关系？请说明理由；（2）如图②，AB//CD，试问∠2＋∠4＋∠6与∠1＋∠3＋∠5＋∠7还有类似的数量关系吗？若有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．    19．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图1，已知点分别是直线上的点，点在与之间，且．(1)若，则　　． (2)如图2，在图1的基础上，作射线交于点，使，设，猜想的度数（用表示），并说明理由． (3)如图3，在图1的基础上，分别作射线交于点，作射线交于点，若，请直接写出与间的数量关系． 20．（2023下·浙江·七年级期末）已知，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点． （1）如图1所示时，试问，，满足怎样的数量关系?并说明理由． （2）除了（1）的结论外，试问，，还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明 （3）当满足，且，分别平分和， ①若，则__________°． ②猜想与的数量关系．（直接写出结论） 4 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$