精品解析：陕西省渭南市瑞泉中学2024-2025学年高一上学期第一次教学质量检测数学试题

渭南市瑞泉中学2024-2025学年度上学期第一次教学质量检测 高一数学试题 第I卷（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设全集为，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. T C. S D. Z 3. 已知命题：，；命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 4. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. 或 C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知集合，，则集合的所有真子集的个数（ ） A. 7 B. 4 C. 8 D. 15 7. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. ，则 D. 若，则 10. 一个矩形的周长为，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共58分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，集合，则___________． 13. 已知，则的最大值为_____．已知，，且，则的最小值为_____ 14. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知，，全集． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知关于的不等式. （1）若不等式的解集是或，求的值； （2）若不等式的解集是，求的取值范围； （3）若不等式的解集为，求的取值范围． 17. （1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 18. 某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件元时，每天销售的件数为，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少？ 19. 根据要求完成下列问题： （1）已知、，集合、集合、集合，则同时满足且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由； （2）已知、，命题和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题：不等式有解：若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渭南市瑞泉中学2024-2025学年度上学期第一次教学质量检测 高一数学试题 第I卷（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设全集为，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算，即可求解. 【详解】解：，， 故选：B. 2. 已知集合，则（ ） A. B. T C. S D. Z 【答案】C 【解析】 【分析】分析可得，由此可得出结论. 【详解】任取，则，其中，所以，故， 因此，. 故选：C 3. 已知命题：，；命题：，，则（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析命题、的真假，进而分析选项，可得答案. 【详解】当时，，所以命题为假命题，则命题为真命题； 当时，，所以命题为真命题，则命题为假命题； 所以和都是真命题. 故选：C 4. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的补集以及交集的定义即可求解. 【详解】由图可知，阴影部分的元素为属于但不属于的元素构成， 所以集合表示为. 故选：A. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式化简，即可根据必要不充分条件的定义求解. 【详解】由可得，解得或， 因此无法得到，但可以得到， 因此“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 6. 已知集合，，则集合的所有真子集的个数（ ） A. 7 B. 4 C. 8 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再根据子集的定义即可求解. 【详解】依题意，所以集合B的真子集的个数为. 故选：A. 7. 已知实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将用和表示出来，再根据已知不等式利用性质求出的取值范围. 【详解】设，则， 所以，解得， 即， ， 则， 因此. 故选：D. 8. 关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. ，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断AD，结合作差法比较大小判断BC. 【详解】解：对于A选项，因为，故，故，正确； 对于B选项，由于，，故，，故，即，正确； 对于C选项，由于，故，故，即，正确； 对于D选项，当时，，故错误. 故选：ABC 10. 一个矩形的周长为，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式计算一一判定即可. 【详解】不妨设矩形长宽分别为，则. 对于A项，显然成立，符合， 对于C项，显然成立，符合， 即A、C正确； 对于B项，显然不成立， 对于D项，显然不成立，即B、D错误. 故选:AC 11. 已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据全称命题的否定，结合二次函数的性质，利用分类讨论，求得参数范围，再根据充分条件的定义，可得答案. 【详解】由题意，命题的否定为命题：，， 当时，则，解得，此时命题为真； 当时，函数为开口向下的二次函数，显然命题为真； 当时，函数为开口向上的二次函数， 令，解得，根据二次函数的性质，此时命题为真. 综上可知，当时，命题为真. 根据题意，结合充分条件的定义，知命题成立的一个充分条件应为的子集， 而ABD三个选项中的范围是的子集. 故选：ABD. 第II卷（非选择题共58分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，集合，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得，进而分析可得、的值，计算可得答案． 【详解】根据题意，集合， 又， ，即， 故，， 则， 故答案为： 13. 已知，则的最大值为_____．已知，，且，则的最小值为_____ 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】当时，，故， 当且仅当时取到等号，故的最大值为 由于，，故， 则， 当且仅当时，即时取到等号，故的最小值为. 故答案为：；. 14. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得关于的方程的根为且，即可得到，再将所求不等式等价转化为一元二次不等式，解得即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的根为且，所以，即． 故不等式，即，等价于，等价于，解得， 因此不等式的解集为． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知，，全集． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据并集与补集的运算求解即可； （2）分与由条件列不等式求范围即可. 【小问1详解】 当时，， 所以或，又， 所以或； 【小问2详解】 当时，有，解得； 当时，有，解得， 综上所述a的取值范围为. 16. 已知关于的不等式. （1）若不等式的解集是或，求的值； （2）若不等式的解集是，求的取值范围； （3）若不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）由题意可知不等式的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数的值； （2）由题意得出，由此可解得实数的取值范围； （3）由题意得出，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为不等式的解集是或， 所以，和是方程的两个实数根，且， 由韦达定理得，所以； （2）由于不等式的解集是， 所以，解得， 因此，实数的取值范围是； （3）由于不等式的解集为， 则不等式对任意的恒成立， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了一元二次不等式恒成立，考查计算能力，属于中等题. 17. （1）已知，，，求证：． （2）已知，，，，求证：． 【答案】(1)证明:∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴； (2)证明:∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． . 【解析】 【分析】（1）利用不等式的性质证明； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【详解】（1）略； （2）略. 18. 某商品进货价为每件50元，据市场调查，当销售价格每件元时，每天销售的件数为，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少？ 【答案】元 【解析】 【分析】设每天获得的利润为元，则，令，利用基本不等式可得结果. 【详解】设每天获得的利润为元，则， 令，， 则， 当且仅当，即时每天获得的利润最多， 所以销售价为元. 19. 根据要求完成下列问题： （1）已知、，集合、集合、集合，则同时满足且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由； （2）已知、，命题和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；命题：不等式有解：若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）存在，、或、 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得：，根据真子集关系求实数的取值范围，根据子集关系求实数的取值范围，进而得解； （2）对于命题：根据韦达定理求得，进而结合恒成立问题求实数的取值范围；对于命题：根据二次不等式分类讨论求解即可. 【小问1详解】 因为， 因为为的真子集，则或或， 若，则，的值不存在； 若，则，无解； 若，则，解得； 综上所述：； 因为，则或或或， 若，则，解得； 若，则，无解； 若，则，无解； 若，则，解得； 综上所述，或； 所以存在，的值，当、或、时，满足，； 【小问2详解】 因为、是方程的两个实根，则， 可得， 当时，， 由不等式对任意实数恒成立可得：， 即，解得或， 所以命题为真命题时，； 命题：不等式有解， 当时，原不等式一定有解， 当时，只需，解得， 综上不等式有解时， 又命题是假命题，则， 所以命题是真命题且命题是假命题时，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $