精品解析：山东省菏泽市牡丹区2024-2025学年下学期九年级开学考数学试卷

九年级数学开学检测 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列实数中的无理数是（　　） A. B. 3.14 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数及算术平方根、立方根，熟练掌握无理数及算术平方根、立方根是解题的关键；因此此题可根据无理数、算术平方根及立方根可进行求解． 【详解】解：∵， ∴是无理数，、3.14、是有理数； 故选C． 2. 用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一，已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ） A. 纳米 B. 纳米 C. 纳米 D. 纳米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数进行表示即可． 【详解】解：0.015毫米纳米； 故选B． 4. 某运动会颁奖台如图所示，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上边看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从上面看得到的图形如下： 故选：A． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（　　） A. 且 B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，根据关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根得到，且，即可求出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， ∴a的取值范围为且． 故选：A 6. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，掌握去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．根据相关运算法则运算判断，即可解题． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、，选项运算错误，不符合题意； D、，选项运算正确，符合题意； 故选：D． 7. 从中，任取两个不同的数作为一次函数的系数，则一次函数的图象交轴于负半轴的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率.先画树状图展示所有6种等可能的结果数,然后根据一次函数的图象交轴于负半轴的结果数为2,再根据概率公式求解. 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能结果，其中使一次函数的图象交轴于负半轴的有共2种结果， 所以一次函数的图象交轴于负半轴的概率是， 故选：B． 8. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，点是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，解答本题的关键是设出半径为后，用表示出、的长度． 根据题意，可以推出，设半径为，则，，结合勾股定理可推出半径的值． 【详解】解：连接，如图： 则， ， 在中，， 设半径为，则，， 即， 解得：， 这段弯路所在圆的半径为， 故选：A． 9. 下列命题是真命题的有（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 两个有理数的积可能为无理数 D. 两个无理数的积仍为无理数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，实数的运算，等式的性质，不等式的性质，利用等式及不等式的性质、无理数及有理数的积分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、由不等式的性质可得，若，且，则，原命题为假命题，不符合题意； B、由等式的性质可得，若，则，原命题为真命题，符合题意； C、两个有理数的积仍为有理数，原命题为假命题，不符合题意； D、两个无理数的积不一定为无理数，比如，原命题为假命题，不符合题意． 故选：B． 10. 用一条长为的绳子围成一个面积为a的长方形，的值不可能为（　　） A. 20 B. 100 C. 40 D. 160 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，找到等量关系并列出方程是解题的关键． 设围成面积为a的长方形的长为，则宽为，根据长方形的面积公式列出方程，整理得，由求出，即可求解． 【详解】解：设围成面积为a的长方形的长为，则宽为，依题意，得 ，整理，得 ， ∵， 解得， 故选D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分式的值为0，则的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用分式值为零的条件，则分子为零进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴x−2＝0，2x≠0 解得：x＝2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，正确把握分式的相关性质是解题关键． 12. 学校要组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，可列方程为_____． 【答案】x（x﹣1）＝21 【解析】 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为，即可列方程． 【详解】设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得： x（x﹣1）=21． 故答案为x（x﹣1）=21． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系． 13. 若点、、在反比例函数的图象上，且，则、、的大小关系为__________（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象增减性求解． 【详解】解：，，双曲线位于第二四象限， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查反比例函数图象性质；熟练掌握反比例函数图象增减性是解题的关键． 14. 在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】勾股定理逆定理得到，进而推出四边形是矩形，连接，则，斜中半定理，得到，进而得到最小时，最小，进而得到时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， 连接，则， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， 此时，即：， ∴， ∴的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，斜边上的中线，矩形的判定和性质，垂线段最短．解题的关键是得到时，的值最小． 15. 如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点；将绕旋转得到，交轴于；将绕旋转得到，交轴于，…，如此进行下去，若点在某段抛物线上，则___________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标． 将这段抛物线通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道与的顶点到x轴的距离相等，且，照此类推可以推导得到结果． 【详解】解：∵， ∴配方可得， ∴顶点坐标为， ∴A1坐标为 ∵由旋转得到， ∴，即顶点坐标为，； 照此类推可得， 顶点坐标为，； 顶点坐标为，； 顶点坐标为，； … 顶点坐标为，； ∵在某段抛物线上，则 故答案为：0． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. （1）计算； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）2（2） 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简，然后计算加减法即可; （2）先把变形为，再把变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴ ． 17. 如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且． （1）求证： （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和相似三角形的判定定理证得； （2）由（1）知，得，可求出DE的长，再利用勾股定理即可得出AE的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，． ∵， ∴ ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键． 18. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，三角形的面积，利用待定系数法求出反比例函数的表达式是解题的关键． （）利用正比例函数求出点的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解； （）分别求出的坐标，得到的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算即可求解； 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入得，， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴． 19. 在同一时刻的物高与水平地面上的影长成正比例．如图，小莉发现垂直地面的电线杆的影子落在地面和土坡上，影长分别为和，经测量得与地面成角，且此时测得垂直于地面的长标杆在地面上影长为，求电线杆的长度． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作作交BC延长线于E，先利用勾股定理求出，，过点D作垂足为F，则可知四边形是矩形，得到，，再由垂直于地面的长的标杆在地面上的影长为得到，则，即可得到． 【详解】解：过点D作作交延长线于E， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 过点D作垂足为F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵垂直于地面的长的标杆在地面上的影长为， ∴， ∴， ∴． ∴旗杆的长度约为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质与判定，解直角三角形，平行投影，解题的关键在于能够正确理解题意、解直角三角形． 20. 如图，矩形的对角线、交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接、、． （1）求证:四边形是菱形． （2）若，，则菱形的面积为 ． 【答案】（1）证明： ， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识； 熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键. （1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出即可得出结论； （2）由矩形的性质得出由菱形的性质得出，的长，然后由菱形的面积公式即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ， ∵四边形是菱形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为： ． 21. 为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书面类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题： ： （1）本次被抽查的学生共有____名，扇形统计图中“A书画类”所占扇形的圆心角的度数为_____度； （2）请你将条形统计图补全； （3）若该校七年级共有500名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“ C．社会实践类”的学生共有多少名？ （4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率． 【答案】（1）50，72； （2）见解析 （3）名 （4） 【解析】 【分析】本题是统计与概率类综合题，主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体和求两次事件的概率等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述基本知识是解题的关键． （1）用条形统计图中D类的人数除以扇形统计图中D类所占百分比即可求出被抽查的总人数，用条形统计图中A类的人数除以总人数再乘以即可求出扇形统计图中A类所占扇形的圆心角的度数； （2）用总人数减去其它三类人数即得B类人数，进而可补全条形统计图； （3）用C类人数除以总人数再乘以500即可求出结果； （4）先利用列表法求出所有等可能的结果数，再找出王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：本次被抽查的学生共有：名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为； 故答案为：50，72； 【小问2详解】 B类人数是：名，补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 名， 答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有80名； 【小问4详解】 所有可能的情况如下表所示： A B C D A B C D 由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种， ∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率． 22. 如图，，为圆的直径，点在弧上，连接，，点在的延长线上，，． （1）求证：与圆相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键． (1)证明，即可证明是的切线； (2)连接，先计算，再计算，后得到，解答即可 【小问1详解】 解：，所对的弧是同弧； ， ， ， 即， 为直径， ， ， ， ， ， 与相切； 【小问2详解】 解：连接， ，所对的弧是同弧， ， 为直径， ， 在中，， ， ，， ， 23. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于F，交于E，根据点D和点E坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质可得，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴设抛物线的表达式：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：如图1， 作于F，交于E， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：设，的中点坐标为 ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴， 设，则： ，， 解得：，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学开学检测 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列实数中的无理数是（　　） A. B. 3.14 C. D. 2. 用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是纸厚度的六分之一，已知1毫米百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ） A. 纳米 B. 纳米 C. 纳米 D. 纳米 4. 某运动会颁奖台如图所示，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（　　） A. 且 B. 且 C. D. 且 6. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 从中，任取两个不同的数作为一次函数的系数，则一次函数的图象交轴于负半轴的概率是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，点是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（　　） A. B. C. D. 9. 下列命题是真命题的有（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 两个有理数的积可能为无理数 D. 两个无理数的积仍为无理数 10. 用一条长为的绳子围成一个面积为a的长方形，的值不可能为（　　） A. 20 B. 100 C. 40 D. 160 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分式的值为0，则的值是________． 12. 学校要组织足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，可列方程为_____． 13. 若点、、在反比例函数的图象上，且，则、、的大小关系为__________（用“<”连接） 14. 在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_________． 15. 如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点；将绕旋转得到，交轴于；将绕旋转得到，交轴于，…，如此进行下去，若点在某段抛物线上，则___________． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. （1）计算； （2）已知，求代数式的值． 17. 如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且． （1）求证： （2）若，，，求的长． 18. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积． 19. 在同一时刻的物高与水平地面上的影长成正比例．如图，小莉发现垂直地面的电线杆的影子落在地面和土坡上，影长分别为和，经测量得与地面成角，且此时测得垂直于地面的长标杆在地面上影长为，求电线杆的长度． 20. 如图，矩形的对角线、交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接、、． （1）求证:四边形是菱形． （2）若，，则菱形的面积为 ． 21. 为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书面类、B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题： ： （1）本次被抽查的学生共有____名，扇形统计图中“A书画类”所占扇形的圆心角的度数为_____度； （2）请你将条形统计图补全； （3）若该校七年级共有500名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“ C．社会实践类”的学生共有多少名？ （4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目的概率． 22. 如图，，为圆的直径，点在弧上，连接，，点在的延长线上，，． （1）求证：与圆相切； （2）若，，求的长． 23. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $